SKKN Kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về tính chia hết trong tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6, trường trung học sơ sở phạm văn hinh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LỘC 
TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH LỚP 6, TRƯỜNG TRUNG HỌC SƠ SỞ PHẠM VĂN HINH
Người thực hiện: Lê Văn Thạnh
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh
 Huyện Vĩnh Lộc
SKKN thuộc môn: Toán
VĨNH LỘC, NĂM 2016
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình trung học cơ sở (THCS), môn Toán có vai trò hết sức quan trọng, không những giúp học sinh có được những kiến thưc toán học phổ thông cơ bản để tiếp tục học lên, mà còn góp phần để học sinh học tốt các môn khoa học tự nhiên khác, từng bước hình thành, phát triển nhân cách, tư duy sáng tạo, hoàn thiện năng lực bản thân. Dạy học như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phát triển năng lực tư duy sáng tạo để học sinh có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi giáo viên luôn đặt ra cho mình trong quá trình dạy học Toán.
Thực tế dạy học Toán cho thấy, để học sinh học tốt môn Toán thì người giáo viên phải nắm vững đặc điểm tâm, sinh lý lứa tuổi học sinh, hiểu, cảm thông, chia sẻ điều kiện, hoàn cảnh học sinh nơi mình dạy, từ đó biết chắt lọc nội dung kiến thức, vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp dạy học, tìm mọi cách đơn giản hoá các vấn đề phức tạp để học sinh chủ động, tự giác tiếp cận, nghiên cứu và chiếm lĩnh kiến thức; Làm như vậy sẽ giúp học sinh tự tin hơn, mạnh dạn hơn, hứng thú hơn, tư duy sáng tạo từ đó cũng được hình thành và phát triển.
 Thiết nghĩ, nếu giáo viên có quá trình nghiên cứu cụ thể và toàn diện chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách bài tập, biết lựa chọn hệ thống các bài tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt là những bài tập có tính khái quát cao, có khả năng khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác bài toán, phương pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả năng tư duy của học sinh, thì học sinh sẽ chủ động, say mê, tìm tòi, khám phá, những kỹ năng cơ bản sẽ được rèn luyện, học sinh sẽ từng bước biết sáng tạo trong học toán. 
 Đối với học sinh khi tiếp cận với môn Toán thì tất yếu phải hình thành kỹ năng giải toán đối với một kiến thức nhất định. Có được kỹ năng giải toán nghĩa là đã tự mình vận dụng lý thuyết vào giải quyết bài tập một cách có khoa học. Trong chương trình và sách giáo khoa (SGK) Toán 6 THCS hiện hành, một số chủ đề kiến thức tuy lý thuyết cơ bản không khó, nhưng khả năng vận dụng trong giải toán lại rộng, phong phú, đa dạng không chỉ ở cấp THCS; Một trong những chủ đề ấy là dạng toán chia hết trong tập hợp số nguyên.
 Trong nhiều năm qua, không chỉ các bài kiểm tra định kỳ trong chương trình chính khoá, các bài kiểm tra cuối kỳ, cuối năm mà trong các đề thi học sinh giỏi toán các cấp thường xuất hiện các bài toán về vận dụng tính chia hết. Theo dõi kết quả làm bài của học sinh, Tôi nhận thấy hầu hết học sinh không giải quyết được hoặc giải quyết không trọn vẹn, nhiều học sinh mất phương hướng khi xem xét bài toán. Theo Tôi một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng nêu trên là: Kiến thức về tính chia hết chủ yếu được học ở lớp 6; Trong khi đó các phép biến đổi toán học chủ yếu lại được học lớp các lớp trên; Tài liệu tham khảo tuy nhiều và phong phú nhưng lại thiếu sự gợi ý về phương pháp nghiên cứu, chủ yếu là trình bày lời giải; Đa số giáo viên khi dạy về dạng toán chia hết thì chưa quan tâm củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức trọng tâm, chưa chú ý đến việc xây dựng cho học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, khai thác bài toán.
	Từ những lý do nêu trên, Tôi đi sâu nghiên cứu, rút ra kết luận và triển khai áp dụng đề tài “Kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về tính chia hết trong tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6, Trường THCS Phạm Văn Hinh”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	- Giúp học sinh củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức về tính chia hết trong tập hợp số nguyên.
	- Hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, phương pháp giải một số loại toán về chia hết.
- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng giải một số loại toán về chia hết.
- Bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi lớp 6 năng lực suy luận, tính linh hoạt, phát triển năng lực tư duy logic, tính sáng tạo cho học sinh.
- Góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi lớp 6 và chất lượng môn Toán 6 THCS.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Trong đề tài này tôi chủ yếu nghiên cứu quy trình giải một bài toán đặc biệt là một bài toán chia hết trong tập hợp số nguyên, các phương pháp giải và một số dạng toán nhằm tạo điều kiện cho đối tượng học sinh khá giỏi lớp 6 có một cách nhìn tổng quan cũng như là kỹ năng giải các dạng toán này.
	- Nội dung, chương trình, sách giáo khoa Toán 6 THCS.
	- Học sinh lớp 6 và giáo viên dạy Toán 6 ở trường THCS Phạm Văn Hinh, huyện Vĩnh Lộc.
	- Quá trình dạy và học của giáo viên và học sinh trường THCS Phạm Văn Hinh, huyện Vĩnh Lộc.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; 
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; 
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu. 
- Phương pháp thực nghiệm, kiểm nghiệm, đối chứng, so sánh.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo của học sinh; tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành và phát triển năng lực học sinh; đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh; đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; Khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối giữa trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ năng và định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; chú ý việc tổ chức dạy học phân hoá theo năng lực của học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ năng của Chương trình giáo dục phổ thông; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải quyết vấn đề, các phương pháp thực hành, dạy học theo dự án trong các môn học; tích cực ứng dụng công nghệ thông tin phù hợp với nội dung bài học. 
	Môn Toán 6 THCS hiện hành bao gồm 5 chương, được bố trí trong 140 tiết; trong đó số tiết lý thuyết:100; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập:48; số tiết kiểm tra: 10. Chuyên đề tính chia hết trong tập hợp số nguyên được bố trí trong Chương I và Chương II, bao gồm 25 tiết; trong đó số tiết lý thuyết:15; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập:8; số tiết kiểm tra: 2
	Rõ ràng đối với môn Toán 6 THCS nói chung, chuyên đề tính chia hết trong tập hợp số nguyên nói riêng thì số tiết luyện tập, thực hành được ưu tiên đáng kể; Tính chia hết trong tập hợp số nguyên là trọng tâm của chương trình Toán 6 hiện hành; trong đó việc phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo của học sinh, tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn góp phần hình thành và phát triển năng lực học sinh cần phải được quan tâm đúng mức.
2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
	Vĩnh Long là xã miền núi, địa bàn dân cư rộng, dân số nhiều nhất huyện, kinh tế thuần nông, điều kiện đi lại, học tập của học sinh gặp rất nhiều khó khăn; Tỷ lệ học sinh thuộc hộ nghèo và cận nghèo nhiều; Sự quan tâm của cha mẹ học sinh đối với sự học trong những năm gần đây tuy đã có sự chuyển biến tiến bộ nhưng vẫn thiếu sự theo dõi, sâu sát, định hướng cụ thể.
Đa số học sinh của trường chăm ngoan, có sự cố gắng trong học tập và rèn luyện; Tuy nhiên điều kiện học tập chưa tốt; Số học sinh có khả năng tiếp thu bài tốt còn quá ít; Phương pháp học tập của học sinh chủ yếu dựa vào sự ghi chép từ bài dạy của giáo viên, khả năng nghiên cứu quá hạn chế; Học sinh khi giải bài tập thường không biết bắt đầu từ đâu, định hướng giải như thế nào; Nhiều học sinh không biết vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập, không biết cách trình bày lời giải; khả năng ghi nhớ và vận dụng là rất hạn chế. Khi học về “Phép chia hết trong tập hợp số nguyên” nhiều học sinh lúng túng chưa xác định đúng hoặc hiểu sai kiến thức, không xác định được dạng bài và hướng giải hoặc các bước giải, trình bày bài giải chưa khoa học, thậm chí là cả những học sinh khá, giỏi cũng thấy khó khăn khi gặp phải.
Việc đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá vẫn còn chậm và chưa đồng bộ. Giáo viên và học sinh vẫn chưa khắc phục được nhận thức, thói quen dạy học nặng về lý thuyết, nhẹ về thực hành, ít liên hệ kiến thức toán học với thực tiễn và các môn học khác. Lối dạy học theo kiểu truyền thụ một chiều vẫn còn khá phổ biến.
Chương trình, sách giáo khoa môn Toán đã tạo điều kiện ban đầu thuận lợi cho giáo viên thực hiện các phương pháp dạy học, tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Nhiều chủ đề kiến thức trong sách giáo khoa thể hiện tính liên thông kiến thức giữa các lớp trong bậc học, được vận dụng rất nhiều trong các phân môn Số học và Đại số; Sách tham khảo tuy phong phú nhưng chủ yếu là cung cấp bài tập và lời giải, gây khó khăn cho học sinh khi nghiên cứu.
	Kết quả kiểm tra định kỳ thời lượng 45 phút, lớp 6A, 6B năm học 2014-2015, Chương II tính chia hết trong tập hợp số nguyên:
Lớp
Tổng số HS
Điểm
0 – 2
3 - 4
5 -6
7- 8
9 -10
6A
35
3
8,6%
13
37,1%
14
40,0%
5
14,3%
0
0%
6B
37
5
13,5%
18
48,7%
11
29,7%
3
8,1%
0
0%
Rõ ràng khả năng giải bài tập vận dụng tính chia hết trong tập hợp các số nguyên của học sinh lớp 6 còn quá hạn chế; Tỷ lệ yếu kém quá cao; Tỷ lệ học sinh giỏi quá thấp.
Từ cở sở lý luận và thực trạng nêu trên, cần có những giải pháp phù hợp để rèn luyện kỹ năng giải toán chia hết trong tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6 THCS, góp phần nâng cao chất lượng môn Toán nói chung và môn Toán 6 nói riêng, tạo cơ sở cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6 đạt kết quả cao.
2.3. Giải pháp thực hiện
2.3.1. Củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh các kiến thức cơ bản về tính chia hết trong tập hợp số nguyên; Qua đó hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ và khai thác kiến thức.
2.3.1.1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b (b0), nếu có số nguyên q sao cho b.q = a thì ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. (kí hiệu: ab; ba).
+ Cho a, b là các số nguyên:
- Nếu a = bq (với q Z) thì ab; aq.
- Nếu ab (hoặc ba) thì a = bq, với q Z.
- Muốn chứng minh ab, ta chứng minh cho a = bq, với q Z.
+ Cho a và b là các số nguyên; Nếu tồn tại hai số nguyên q và r (với 0 ) sao cho a = bq + r thì ta nói q là thương và r là số dư trong phép chia a cho b. Từ đó ta có:
- Với hai số nguyên a và b bao giờ ta cũng có: a = bq + r với q và r là các số nguyên, 0 .
- Hiệu a – b chia hết cho m (m Z) khi và chỉ khi a và b có cùng số dư khi chia cho m.
2.3.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết
Trong tập hợp các số nguyên ta có:
+ Số 0 chia hết cho mọi số a khác 0.
+ Số a chia hết cho a với mọi a khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) =1 thì a chia hết cho b.c
+ Nếu ab chia hết cho m và (b, m) = 1 thì a chia hết cho m.
+ Nếu ab chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m.
Tổng quát: Nếu các số nguyên a1, a2,, an cùng chia hết cho số nguyên m thì a1 a2  an chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m (nN).
+ Nếu a chia hết cho b thì chia hết (nN).
2.3.1.3. Các dấu hiệu chia hết xét trong tập hợp các số tự nhiên
* Lưu ý học sinh: Xét số tạo bởi các chữ số tận cùng theo thứ tự của số tự nhiên A.
+ Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25:
- Nếu A chia hết cho 2 thì chữ số tận cùng của A cũng chia hết cho 2;
- Nếu chữ số tận cùng của A chia hết cho 2 thì A chia hết cho 2.
- Nếu kí hiệu A = (a là chữ số tận cùng) thì hai mệnh đề trên được viết như sau: A = 2 a 2. (Kí hiệu “” đọc là: “khi và chỉ khi”.
- Dấu hiệu chia hết cho 5:
A = 5 a 5
- Nhận xét: 2.5 = 21.51 = 10 và A = 2; 5 a 2; 5
Từ đó ta cũng có: A = 4; 25 4; 25
Tổng quát: A = 4; 25 2n; 5n (Xét số tạo bởi n chữ số tận cùng của số A).
* Lưu ý học sinh: Xét tổng hoặc hiệu các chữ số của số tự nhiên A.
- Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9).
 3; 9 (a1 + a2 +  + an) 3; 9
Chú ý: 
 và (a1 + a2 +  + an) có cùng số dư khi chia chia cho 3 hoặc 9.
- Dấu hiệu chia hết cho 11.
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và các chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11.
Sau khi học sinh đã nắm vững lý thuyết thì việc vận dụng lý thuyết vào giải bài tập là rất quan trọng, do vậy giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là dạy cho các em biết suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán. Tuy nhiên khi giải bài tập dạng này tôi không muốn dừng lại ở những bài tập SGK mà muốn giới thiệu thêm một số bài tập điển hình và một số phương pháp giải các bài tập đó.
2.3.2. Làm cho học sinh nắm vững quy trình giải một bài toán.
 - Để giải một bài toán, đặc biệt là bài toán chưa có thuật giải, ngoài việc nắm vững kiến thức yêu cầu người giải phải có phương pháp suy nghĩ khoa học và kinh nghiệm giải. Phương pháp suy nghĩ và kinh nghiệm giải được hình thành qua quá trình học tập, rèn luyện và tích luỹ.
 - Để học sinh trình bày được lời giải bài toán một cách rõ ràng, chính xác và khoa học, khi giảng dạy ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải toán theo 4 bước sau:
	a. Tìm hiểu đề toán;
	b. Tìm hướng giải;
	c. Thực hiện lời giải; 
	d. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
	Vì vậy, ở mỗi bước, giáo viên cần chỉ rõ cho học sinh hiểu cần phải làm gì? Suy nghĩ như thế nào?
* Cụ thể:
a. Tìm hiểu đề toán:
 - Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và phải có hứng thú giải bài toán đó, bởi vậy để học sinh hiểu rõ bài toán ta nên yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề toán, nhìn bài toán một cách tổng quát, gạt đi những yếu tố, những cái không bản chất và hướng dẫn học sinh phân tích đề toán bằng cách trả lời những câu hỏi sau:
	+ Bài toán cho ta biết yếu tố nào? 
+ Yếu tố nào chưa biết, phải tìm?
+ Yếu tố đã biết, chưa biết có mối liên hệ gì?
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (m5 – m) 30 với mọi m Z. 
Học sinh phải trả lời được:
+ Bài toán cho biết biểu thức: m5 – m với m Z.
+ Bài toán yêu cầu chứng minh: (m5 – m) 30 với mọi m Z.
b. Tìm hướng giải:
- Tìm hướng giải là một hoạt động quan trọng trong giải toán, nó quyết định thành công hay không thành công trong việc giải toán. Điều quan trọng là tìm ra con đường đi đúng; Muốn vậy cần hướng cho học sinh suy nghĩ.
- Có thể dùng các bài toán đã giải, hoặc những bài toán tương tự (có thể sử dụng về phương pháp, về kết quả hoặc kinh nghiệm).
- Có thể phải biến đổi bài toán để tạo ra những bài toán mới, khả năng mới có liên quan đến bài toán đã giải.
- Đôi khi phải mò mẫm, dự đoán bằng cách thử các trường hợp có thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt, xét trường hợp tổng quát của bài toán.
- Trở lại ví dụ 1: Cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để chứng minh được ta làm thế nào? Có dấu hiệu chia hết cho 30 không? Một số chia hết cho 30 thì phải đồng thời chia hết cho những số nào? Từ đó học sinh phải suy nghĩ tách được bài toán về 3 bài toán đơn giản hơn.
1) (m5 – m) 2
2) (m5 – m) 3
3) (m5 – m) 5
	Để chứng minh (m5 – m) 2 thì hướng giải quyết là gì?
	Đến đây đòi hỏi học sinh phải nghĩ đến: Không thể sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2 mà phải biến đổi (m5 – m) thành tích chứa nhân tử chia hết cho 2 hoặc m5 và m có cùng số dư khi chia cho 2.
c. Thực hiện lời giải:
	- Việc thực hiện lời giải là khâu cuối cùng của quá trình giải toán. Khi thực hiện lời giải kết hợp rèn luyện cho học sinh cách trình bày lời giải đầy đủ, chính xác, logic, mạch lạc, chặt chẽ, làm rõ sự liên hệ giữa các bước với toàn bộ bài toán. 
Với ví dụ 1: Để chứng minh (m5 – m) 30 với mọi m Z, học sinh cần chứng minh 3 bài toán:
1) (m5 – m) 2
2) (m5 – m) 3
3) (m5 – m) 5
- Nhận xét:
+ m5 – m = m.m4 – m.1 = m(m4 - 1). 
+ Một số chính phương chia cho 2 có thể dư 0 hoặc 1, chia cho 3 có thể dư 0 hoặc dư 1, chia cho 5 có thể dư 0, dư 1 hoặc dư 4.
- Chứng minh: (m5 – m) 2 (1)
Nếu m 2 thì m(m4 - 1) 2 (m5 – m) 2
Nếu m không chia hết cho 2 thì m4 chia cho 2 dư 1 (m4 - 1) 2 
m(m4 - 1) 2 (m5 – m) 2.
Vậy (m5 – m) 2 với mọi số tự nhiên m 
- Chứng minh: (m5 – m) 3 (2)
Nếu m 3 m(m4 - 1) 3 Vậy (m5 – m) 3
 	Nếu m không chia hết cho 3 thì m2 chia cho 3 dư 1 m4 : 3 dư 1 
(m4 - 1) 3.
Vậy với mọi giá trị của m thì (m5 – m) 3.
- Chứng minh: (m5 – m) 5 (3)
 	Nếu m 5 m(m4 - 1) 5 Vậy (m5 – m) 5
 	Nếu m không chia hết cho 5 thì m2 : 5 dư 1 hoặc dư 4
 m2 chia cho 5 dư 1 m4 : 5 dư 1 (m4 - 1) 5
 m2 chia cho 5 dư 4 m4 : 5 dư 1 (m4 - 1) 5
Vậy với mọi giá trị của m thì (m5 – m) 5. 
- Vì 2, 3, 5 là ba số nguyên tố cùng nhau nên từ (1), (2), (3) ta có :
 (m5 – m) 2.3.5 hay (m5 – m) 30.
d. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
 	Đây là việc làm cần thiết và bổ ích nhưng nhiều học sinh khi giải toán chưa thực hiện bước này. Trong quá trình thực hiện rất có thể mắc nhiều sai sót, nhầm lẫn, việc kiểm tra lại quá trình giải giúp học sinh sửa chữa được sai sót đó.
 	Mặt khác, nhìn lại cách giải, phân tích lại kết quả và các bước đã giải, để tìm kiếm những lời giải khác cho bài toán, hay đưa đến bài toán tổng quát, từ đó học sinh có thể củng cố và phát triển khả năng giải toán. 
Khi giảng dạy cho học sinh, sau mỗi bài làm cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại lời giải từ lý luận đến tính toán. Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh nghiên cứu lời giải để khai thác, phát triển bài toán.
	Với ví dụ 1: Kiểm tra lại lời giải.
 	Trong quá trình giải đã phân tích m5 – m = m(m4 - 1) và sử dụng các tính chất a c và b c thì (a + b) c; nếu có a m thì a(a+b) m. Nếu nghiên cứu kĩ lời giải có thể tìm ra được điều kiện của m để biếu thức (m5 – m) 120.
2.3.3. Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu và tìm phương pháp giải một số loại toán về chia hết.
 2.3.3.1. Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b0) ta biểu diễn a dưới dạng tích của hai số nguyên, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b).
* Ví dụ 2: Cho nN, chứng minh rằng (5n)chia hết cho 125
+ Hướng dẫn học sinh phân tích:
- Ta có thể viết 125 = 53
- Có thể phân tích (5n) thành tích của các lũy thừa, trong đó có chứa 53
+ Lời giải :
 Ta có : (5n) = 5. n=
Vậy (5n)chia hết cho 125.
+ Kiểm tra và nghiên cứu phát triển bài toán:
 Học sinh kiểm tra lại lời giải và có thể chứng minh dạng tổng quát hơn: Chứng minh rằng (a.b)chia hết cho a với a, b, m, n là các số nguyên, mn.
Cách làm tương tự đối với các bài sau:
* Ví dụ 3: Chứng minh rằng số chia hết cho 143.
+ Hướng dẫn học sinh phân tích:
=1001.= 7.11.13. 
143 =11.13
+ Giải: Ta có: = 1001.= 7.11.13. =143.(7) 143.
Vậy chia hết cho 143.
* Ví dụ 4: Chứng minh rằng: chia hết cho 6.
+ Hướng dẫn học sinh phân tích: Ta thấy tổng S ở đây có các số hạng là các lũy thừa của cùng cơ số 5; mặt khác có thể viết 6 = 1+ 5. Do đó nếu nhóm 2 số hạng liền nhau rồi đặt thừa số chung sẽ xuất hiện (1 + 5) ở mỗi nhóm.
+ Lời giải :
+ Kiểm tra và nghiên cứu phát triển bài toán:
Dạng toán này gặp rất nhiều trong các đề thi, tùy vào mỗi bài ta phải tìm được mối liên hệ giữa số chia và cơ số của số hạng trong tổng để nhóm hai, ba,số hạng cho hợp lí (số số hạng phải chia hết cho số nhóm).
 2.3.3.2. Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu.
- Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác không ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng (mỗi số hạng là một số nguyên) rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
- Để chứng minh số nguyên a không chia hết cho số nguyên b khác không ta biểu diễn số a dưới dạng một tổ