SKKN Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài:	 
 Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ sung và đổi mới để đáp ứng đòi hỏi của xã hội. Vì vậy, mỗi người giáo viên dạy toán phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy học để thực hiện chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. 
 Chương trình Toán trung học cơ sở rất phong phú và đa dạng, các dạng toán cũng được đề cập đến tương đối nhiều. Trong số đó, các bài toán về lũy thừa là một mảng kiến thức quan trọng. Tuy nhiên ở sách giáo khoa chưa đề cập đến các bài toán khó vì thời lượng tiết dạy hạn hẹp và khó đối với các đối tượng học sinh trung bình, yếu. Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi, bản thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi các dạng toán về lũy thừa và các phương pháp dễ hiểu, dễ vận dụng nhằm bổ trợ và nâng cao kịp thời cho các em. Ở phần mỗi bài toán về lũy thừa đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp với đặc điểm của từng bài toán. Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học. Do đó các bài toán về lũy thừa thường có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi, thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh, các kì thi Violimpic Toán....
 Bên cạnh đó, các bài toán về lũy thừa là đề tài lí thú của phân môn Số học và Đại số, là đối tượng nghiên cứu của Toán học. Các bài toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy vất vả nhất là học sinh lớp 6 và lớp 7. Với Trường THCS Phạm Văn Hinh, một trung tâm chất lượng cao bậc THCS huyện Thạch Thành công tác bồi dưỡng học sinh giỏi được đặt lên hàng đầu đó là nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường trong tất cả các năm học. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6,7 là nhiệm vụ quan trọng đặc biệt là các bài toán về luỹ thừa, đây là nền tảng cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp tiếp theo nhất là lớp 9 dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh.
 Từ những yếu tố khách quan và chủ quan đó. Tôi đã tìm tòi nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”. Nhằm tìm ra các biện pháp hữu hiệu, để có những phương án thích hợp giúp học sinh tiếp cận với các bài toán lũy thừa một cách chủ động, sáng tạo, hứng thú trong quá trình học.
 Các bài toán về lũy thừa rất phong phú về dạng toán, nhưng trong nội dung sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán điển hình và một số phương pháp giải cơ bản cho từng dạng toán đó.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 - Tìm ra các phương pháp giải các dạng toán về lũy thừa.
 - Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với đối tượng học sinh.
 - Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán.
- Để bản thân rút ra một số phương pháp, biện pháp thích hợp giúp học sinh lớp 6,7 khi giải các dạng toán về lũy thừa tốt hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 “Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán về lũy thừa để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7 đạt hiệu quả ở trường THCS Phạm Văn Hinh”. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Phương pháp điều tra, thực nghiệm, phân tích - tổng hợp, gợi mở, vấn đáp 
 - Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan.
1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
 So với sáng kiến kinh nghiệm đã viết năm học 2014-2015 các nội dung được viết thêm: 
 - Phần kiến thức thêm nội dung các công thức mở rộng và các phép toán về thứ tự, cách tìm chữ số tận cùng
 - Số lượng bài tập ở các dạng nhiều hơn và được nâng cao dần.
Cụ thể : 
TT
Các dạng
Các bài thêm
1
Dạng 1
Thêm bài 8
2
Dạng 3
Thêm phần 3.4 và bài tập 20.
3
Dạng 4
Thêm bài 22
4
Dạng 5
Thêm bài 36
5
Dạng 7
Thêm bài 41
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. 
 	Môn Toán là môn học đòi hỏi phải có kĩ năng giải toán và ứng dụng của mỗi dạng toán, là môn khoa học đòi hỏi tư duy cao của người dạy và người học. Thông qua việc giảng dạy môn Toán nhằm rèn luyện cho người học năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo nhằm hình thành nhân cách cho người lao động trong tương lai. Học sinh muốn có kiến thức toán sâu thì phải luyện tập và thực hành nhiều để tích luỹ vốn kiến thức toán học của mình. Đây cũng là vấn đề khó đối với người học, chính vì vậy thì đòi hỏi người dạy cần truyền đạt cho các em sự ham thích học toán bằng cách phân dạng các bài toán về lũy thừa một cách khoa học nhất.
 Trong toán học, luỹ thừa là một phép toán được thực hiện trên hai số a, b, kí hiệu là a, đọc là luỹ thừa bậc b của a, số a được gọi là cơ số, số b gọi là số mũ. 
Trong trường hợp n là số nguyên dương, luỹ thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
Hiện nay công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong các nhà trường THCS đang được quan tâm đặc biệt, đó là một trong những vấn đề đánh giá chất lượng của một nhà trường. Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII yêu cầu của nhiệm vụ bồi dưỡng tạo dựng đội ngũ nhân tài cho tương lai phải xác định rõ hơn, kết quả học sinh giỏi cũng là kết quả của phong trào "hai tốt" ở các nhà trường, nó gắn liền với việc nâng cao chất lượng đại trà, giáo dục toàn diện đối với học sinh.
 Chính vì vậy, các nhà trường THCS cần xác định được mục tiêu đó là nhằm cung cấp cho các em học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện cho các em các kĩ năng giải toán và ứng dụng vào thực tiễn, rèn luyện kĩ năng suy luận hợp lí, sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Xuất phát từ mục tiêu trên phương pháp dạy học hiện nay là tích cực hoá hoạt động của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các tư duy cần thiết.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
a.Thực trạng
	Ưu điểm: Trường THCS Phạm Văn Hinh có truyền thống trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán một số học sinh có tư chất thông minh, có thiên hướng học các môn khoa học tự nhiên, nhiều em yêu thích môn toán.
Nhược điểm: 
Về học sinh:Không biết cách về giải các bài toán về luỹ thừa
 Không biết cách trình bày.
 Không nắm được các dạng toán về luỹ thừa một cách cụ thể.
 Về giáo viên: Giáo viên chưa bao quát hết các dạng toán về luỹ thừa.
 Nhiều giáo viên không chú trọng đến mảng kiên thức này, chưa quan tâm đúng mức đến tất cả các dạng toán về luỹ thừa..
 Nguyên nhân:
Nguyên nhân khách quan:
 +Thời lượng dành cho đơn vị kiến thức này theo phân phối chương trình còn ít.
 + Sách giáo khoa chưa đưa ra những bài toán nâng cao về các dạng toán về luỹ thừa.
- Nguyên nhân chủ quan:
+ Học sinh chưa nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức bổ trợ nâng cao về luỹ thừa
 Kĩ năng trình bày của từng học sinh ở từng dạng toán chưa được rèn luyện nhiều.
+ Giáo viên chưa tìm ra được những giải pháp hữu hiệu khi dạy phần kiến thức về luỹ thừa. 
 Qua một số năm được phân công tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi thường trực tiếp tham khảo nhiều tài liệu viết về nội dung này và tôi thấy việc cần thiết phải có những phân loại, phương pháp giải thích hợp giúp học sinh một phần nào đó có cơ sở để tìm tòi giải các bài toán về lũy thừa. Ở trường trung học cơ sở các dạng toán có liên quan đến lũy thừa xuất hiện nhiều ở lớp 6,7 đặc biệt là các đề học sinh giỏi.
b. Kết quả thực trạng
 Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã đã tham khảo rất nhiều tài liệu, tham gia giải cùng học sinh các bài toán và tiến hành khảo sát các em trong đội tuyển 26 em mà tôi đảm nhận. Cụ thể hai bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm x là số tự nhiên biết : 32x . 27 = 2187. 
Bài toán 2: So sánh 5566 và 6655 
 Kết quả thu được sau khi các em làm 2 bài tập trên như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
8
30.8
9
34.6
7
26.9
2
7.7
 Trên đây là bảng tổng hợp kết quả mà bản thân đã khảo sát trước khi thực hiện với công việc phân loại các bài tập về lũy thừa. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
* Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức cơ bản:
- Bằng cách cung cấp lý thuyết trong những tiết dạy lý thuyết.
- Củng cố trong những tiết luyện tập.
 Vậy tại sao chúng ta phải cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa?
 Vì giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về luỹ thừa để từ đó vận dụng vào thực hành. Với m, n N; x,y R ; x,y 0.
 + xn = x.x...x ( n thừa số x) (Định nghĩa về lũy thừa)
 + xn . xm = xn + m (Nhân hai lũy thừa cùng cơ số)
 + xn : xm = xn - m (n >m ) (Chia hai lũy thừa cùng cơ số)
 + (xn)m = xn . m (Lũy thừa của lũy thừa)
 + (x . y)n = xn . yn (Lũy thừa của một tích)
 + (x : y)n = xn : yn 	 (Lũy thừa của một thương) 
 + ( Lũy thừa tầng)
 * Qui ước: xo =1 ; x1 = x và x-1 = 
Nội dung kiến thức mở rộng và Các tính chất về thứ tự :
Trong trang này: Bài toán 1 tham khảo từ TLTK số ; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số 
 + x-n = 	 (x ≠ 0) 
+ Với a,b,c N* ta có: Nếu thì ; Nếu thì 
+ Nếu a = b thì an = bn
+ Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b (nếu n chẵn), a = b ( nếu n lẻ)
+ Nếu am = an thì m = n
+ Nếu a > b > 0 => am > bm (m ≠ 0)
+Nếu 0< a < 1 thì 
+ Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an 
+ Nếu am > bn và bn > ck => am > ck
+ Với n Î N: (-x)2n = x2n ; (-x)2n+1 = - x2n+1 
 Với các kiến thức trên tôi xin giới thiệu và phân thành các dạng bài tập như sau:
* Hướng dẫn vận dụng các phương pháp giải các dạng bài toán về luỹ thừa:
2.3.1. Dạng 1: Thực hiện phép tính, tính giá trị của biểu thức.
Bài toán 1: Viết các kết quả sau dưới dạng một lũy thừa
a. 420.830 b.415.530 c. 2716: 910 d. (0,125)3 . 256 e. 920 : (0,375)40 
Giải
 a. Ta có 420.830 = (22)20 . (23)30 = 240.290 =2130 
 b. Ta có 415.530 = 415.(52)15 = (4.25)15 =10015 
 c. Ta có 2716: 910 = (33)16: (32)10 = 348: 320 =328
 d. Ta có (0,125)4 . 4096 = (0,53)4.212 = (0,5.2)12 =112 =1
 e. Ta có 910 : (0,375)20 = (32)10: (0,375)20 = (3 : 0,375)20 = 820
 Đối với các bài tập trên việc giải là quá đơn giản vì chỉ cần vận dụng các công thức cơ bản về lũy thừa.
Bài toán 2: Tính giá trị của các biểu thức sau
 M = N = P = 
Giải
Ta có M = = = = = 2.27.7=378
Ta có N = = = = = = 3 
Ta có P = = = = 28 = 256
 Đối với các bài tập trên thì ở câu M ta biến đổi các số về các số nguyên tố với số mũ của nó rồi từ đó rút gọn. Đối với câu N ta vận dụng tích chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc trừ đó là ab ± ac = a (b ± c) rồi biến 
Trong trang này Phần hướng dẫn nắm vững kiến thức cơ bản và mở rộng tham khảo từ TLTK số . bài toán 1 tham khảo từ TLTK số ; bài toán 2 tham khảo từ TLTK số .
đổi tử và mẫu về dạng tích sau đó rút gọn. 
Còn câu P ta phải vận dụng cả hai phương pháp trên để giải.
2.3.2.Dạng 2:Tìm thành phần chưa biết (cơ số hoặc số mũ của một lũy thừa).
Bài toán 3: Tìm x N biết: a. 2x .8 = 256 b. . 
Giải
 a. 2x .8 = 256 2x .23 = 28 2x = 28 : 23 2x = 25 x =5 
 b. 3x + 1 = 4 3x = 3 x =1
 Đối với các bài toán trên ta chỉ việc biến đổi về cùng cơ số và để tìm được x thì cho hai số mũ bằng nhau.
Bài toán 4: Tìm x Z biết. 
 a. (2x – 3)3 = 729 b. (2x – 1)2=49 c.(x - 7)2016 = (x- 7)2017 d.x2016 = x 
Giải
a. (2x – 3)3 = 729 (2x – 3)3 = 93 2x - 3 = 9 2x =12 x = 6 
b.(2x –1)2= 49(2x –1)2 =(7)22x -1=7 hoặc 2x -1= -72x=8 hoặc 2x = - 6 
	 x = 4 hoặc x = -3
c. (x - 7)2016 = (x- 7)2017 . Ta xét 2 trường hợp
Trường hợp 1: Nếu x - 7 = 0 x = 7 (vì 02016 = 02017 = 0) 
Trường hợp 2: Nếu x - 70x 7 chia hai vế cho ( x - 7) ta được = 1
 hay x - 7 =1 x = 8.
d. x2016 = x . Đối với bài toán này ta có 2 cách giải
Cách 1: x2016 = x x = 0 hoặc x = 1 (vì 02016 = 0 và 12016 =1)
Cách 2: x2016 = x x2016 - x = 0 x(x2015 - 1) = 0 x = 0 hoặc x2015 - 1 = 0
 x = 0 hoặc x2015= 1 x = 0 hoặc x = 1
 Trong hai câu a, b ta biến đổi 2 vế đẳng thức về cùng số mũ , để tìm giá trị của x hay đẳng thức xảy ra khi số mũ ở hai vế bằng nhau.
 Trong câu c, d ta sử dụng công thức 1n = 1; 0n = 0 ( với nN*) hoặc cũng có thể đưa về dạng tích như trong câu d. Các bài toán trên mới đưa ra tìm một giá trị x từ các bài toán trên cũng có thể đưa ra bài toán tìm hai giá trị x, y.
Bài toán 5: Tìm x,y biết
a. (x + 6)2+(y - 4)2= 0 b.(x - 2 - y)2016 + = 0 c. 2y + 2x+3 = 272 
Giải
a. Vì (x + 6)2 0 với mọi x và (y - 4)2 0 với mọi y.
 Như vậy để (x + 6)2 + (y - 4)2 = 0 thì . Vậy x = - 6; y = 4
b. Ta có (x - 2 - y)2016 0 với mọi x,y và 0 với mọi x,y.
Trong trang này: Bài toán 3 tham khảo từ TLTK số ;: Bài toán 4,5 tham khảo từ TLTK số 
 Để (x - 2 - y)2016 + = 0 . Vậy x = 4; y= 2
c. 2y + 2x+3 = 272.
 Ta có 272 = 2.8+28 nên 2y + 2x+3 = 272 . 
 Vậy x = 5; y = 8
 Ở câu a,b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các hạng tử đều bằng 0. Còn ở câu c thì phải biến đổi vế phải về dạng đặc trưng của vế trái từ đó đồng nhất hai vế để tìm ra kết quả.
Bài toán 6: Tìm n N, biết:
 a) 5+ 5=650 b) 32.16 = 1024 c) 3.3+5.3=162 
Giải
a) 5+ 5=650 5(1+5) = 6505.26 = 650 5= 650:26 = 25
 5 = 5 n=2
b) 32.16 = 1024(2).2= 22.2= 22=24n-5n = 10 
 -n = 10 n = -10
c) 3.3 +5.3=162 3+5.3 = 1623(1+5) =162 
 3 = 162 : 6 = 273 = 3 n -1 = 3 n =4
 Cả 3 câu a,b,c trên ta đều đưa chúng về hai lũy thừa cùng cơ số để tìm thành phần chưa biết.
Bài toán 7: Tìm m,n thuộc N biết : 2+2 = 2 
Giải
Ta có: 2+2 = 2 2+2 = 2.22+2 - 2.2= 0
 2- (2.2- 2) = 0
2 - 2(2- 1) = 0 2 -1 - 2(2- 1) = - 1(2- 1)( 1- 2) = -1
(2- 1)( 2-1) = 1 vì 2 1; 2 1 
Vậy để (2- 1)( 2-1) = 1 thì 2- 1 = 1 hoặc 2-1 = 1 2 =2 hoặc 2= 2 
 m =1 hoặc n =1(thỏa mãn đề bài).
 Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc chuyển vế sau đó đưa vế phải bằng không. Rồi bằng cách thêm bớt đưa về tích của hai biểu thức rồi lập luận để tìm m và n.
Bài toán 8: Tìm x, y thuộc N biết: a) 2. 3 = 12 b) 10:5 = 20 
Giải
a)2. 3=122x+1.3y = 4x.3x 2x+1 .3y = 22x.3x 3y-x = 2x-1 (*)
Vì (3;2) =1 nên (*) xảy ra khi và chỉ khi y-x = x-1= 0 2x =y+1
 Vậy nếu 2 lũy thừa có cơ số không bằng nhau mà là hai số nguyên tố cùng nhau thì chúng bằng nhau và bằng 1.
b) 10= 20 .5 10= 400y 10= 102y x = 2y. Vậy có vô số cặp (x;y) thuộc N sao cho x = 2y.
Ở câu a,b ta biến đổi 2 vế về lũy thừa của các số nguyên tố, để đẳng thức xảy ra 
 Trong trang này: Bài toán 6,7,8 tham khảo từ TLTK số .
 khi số mũ của lũy thừa cùng cơ số hai vế bằng nhau. Đồng thời triệt tiêu các số mũ của lũy thừa không cùng số mũ.
2.3.3. Dạng 3: So sánh hai lũy thừa
+ Dạng 3.1: So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số	
- Dạng 3.1.1. So sánh hai lũy thừa của các cơ số dương bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài toán 9: So sánh a) 6255 và 1257 b) và 
Giải
a) Ta có 6255 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521 vì 520 < 521 nên 6255 < 1257
b) Ta có = và = 
Vì số mũ 34 
 Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức với m, n N* và m > n, a0.
 + Nếu a > 1 thì am > an ( câu a)
 + Nếu a = 0;a =1 thì am = an
 + Nếu 0 < a < 1 thì am < an (câu b)	
- Dạng 3.1.2. So sánh hai lũy thừa của các cơ số âm bằng cách đưa về cùng cơ số
Bài toán 10: So sánh. a) (-5)30 và (- 3)50 b) (-32)9 và (-18)13 
 c) ()100 và ()500 
Giải
a) Ta có (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
 (- 3)50 = 350 = (35)10 = 24310 vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (- 3)50
b) Do -18 < -16 (-18)13 < (-16)13 < (-32)9 . Vậy (-18)13 < (-32)9 
c) Ta có: ()100 = ()100 = ()100 = = và ()500 = ()500 = 
 vì 2400 hay ()500 < ()100 
 Bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau: Với m, n ÎN* và m > n trong đó m, n là số lẻ, a < 0. Ta có: - Nếu a < -1 thì am < an 
 - Nếu a = -1 thì am = an 
 - Nếu -1 an 
 Trong đó câu b là trường hợp số mũ lẻ. Còn câu a, c là trường hợp số mũ chẵn áp dụng như khi đưa về hai lũy thừa cùng cơ số.
 Ngoài ra ta còn gặp một số bài toán về so sánh nhưng không thể đưa về cùng cơ số hoắc số mũ mà phải đưa về so sánh với lũy thừa trung gian.
Trong trang này:Bài toán 9 tham khảo từ TLTK số ;bài toán 10 tham khảo từ TLTK số 
+ Dạng 3.2. So sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng số mũ.
Bài toán 11: So sánh a) 2300 và 3200 b) 202303 và 303202 c) 9920 và 999910 
 d)111979 và 31320 e) 199010 +19909 và 199110 f)và 
Giải
a) Ta có 3200 = (32)100 = 9100 và 2300 = (23)100 = 8100
 vì 9 >8 8100 2300
b) Ta có 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.1013)101
 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101
 Do 8.1013 = 8.101.1012 > 9.1012 (8.1013) > (9.1012)101 202303 > 303202
c) Ta có 9920 = (992)10 . Do đó 992 <99.101 = 9999
 (992)10 <999910 hay 9920 < 999910
d)Ta có 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
 371320 = (372)660 = 1369660 (2)
Từ (1) và (2) ta thấy: 1331660 < 1369660 mà 111979 < 1331660 111979 < 111920
e) Ta có 199010 +19909 = 19909(1990+1) = 1991.19909
 Ta thấy 1991.19909 <1991.19919 =199110. Nên 199010 +19909 < 199110
f) Ta có = và = 
 Vì nên . Dó đó > 
 Trong bài toán trên ta đã sử dụng kiến thức sau. Với m N* và a,b R, ta có:
 + Nếu a < b thì am < bm 
 + Nếu a = b thì am = bm 
 + Nếu a > b thì am > bm 
+ Dạng 3.3: So sánh hai lũy thừa bằng cách dùng lũy thừa trung gian
Bài toán 12: So sánh a) 1612 và 637 b) 3111 và 1714 
 c) 10750 và 7375 d) 291 và 535 
Giải
a) Ta có 637 < 647 < 648, mà 1612 = (42)12 = 424 = (43)8 = 648. Suy ra 637 < 162
b) Ta có 1714 > 1614 = (24)14 = 256 và 3111 < 3211 = (25)11 = 255
 Do 256 > 255 nên 1714 > 3111
c) Ta có 10750<10850 = (4.27)50 = (22.33)50 = 2100.3150 
 7375 >7275 = (8.9)75 = (23.32)75 = 2225.3150 
 10750 > 2100.3150 < 2225.3150 < 7375
d)Ta có 291 > 290 = (25)18 = 3218 
 535 < 536 = (52)18 =2518 vì 2518 < 3218 nên 535 < 291
 Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c 
(trong đó b là phần trung gian). Cụ thể: Ở câu a ta sử dụng 648 làm lũy thừa trung gian, còn ở câu b ta sử dụng 1614 và 3211, câu c sử dụng 10850 và 7275 , 
 Trong trang này: Bài toán 11,12 dựa theo tài liệu tham khảo số 
Câu d sử dụng 290 và 536 làm lũy thừa trung gian để so sánh.
Bài toán 13 : Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 
Giải
Ta có 527 = (53)9 = 1259 và 263 = (27)9 = 1289 nên 527 < 263 (1)
Ta lại có 263 = (29)7 = 5127 và 528 = (54)7 = 6257 nên 263 < 528 (2)
 Từ (1) và (2) ta được 527 < 263 < 528
Bài toán 14: So sánh 2100 và 1031 
Giải
Ta có 2100 = 231.269 và 1031 = (2.5)31 = 231.531 
Từ cách phân tích trên để so sánh 2100 và 1031 , chỉ cần so sánh 269 và 531
Thật vậy, ta có 531 = 53 . 528 = 53 . (54)7 = 125 . 6257
 269 = 26 . 263 = 26 . (29)7 = 64 . 5127 
Vì 125 > 64 và 6257 > 5127 nên 125 . 6257 > 64 . 5127 => 531 > 269
 Do vậy 1031 > 2100
 Ở bài toán trên ta đã phân tích 1031 thành tích của hai lũy thừa trong đó có một thừa số chứa 231, đồng thời cũng phân tích 2100 thành một lũy thừa chứa 231. Cụ thể so sánh 269 và 531. 
Bài toán 15: So sánh 5566 và 6655 
Giải : Ta có 5566 = (5.11)66 = 566.1166 = (56)11.1166 = (15625) .1166 
 6655 = (6.11)55 = 655.1155 = (65)11. 1155 = (7776).1155 
 vì 1166 > 1155 và (15625) >(7776). Nên 5566 > 6655
 Ở bài toán này, ta đưa về dạng tích, sau đó so sánh từng thành phần rồi ta chỉ việc so sánh hai tích. 
 Hay nói cách khác trong bài toán trên đã sử dụng tính chất: 
 Với a, b, c, dÎ N* . Nếu a > b và c > d thì a.c > b.d 
+Dạng 3.4. So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa
Bài toán 16: So sánh hai biểu thức sau biết:
 a) A=; B= b) M= ; N = 
Giải
 Cách 1.a)Vận dụng ta có: A = <1 < 
 = = = =B. Vậy A < B
 Trong bài toán trên ta đã sử dụng tính chất:Nếu thì với a,b,c N* 
Cách 2: Ta có 2016A = = 
 = = 1+