Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán mạch cầu điện trở

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài 
	Để học tập môn Vật lý đạt kết quả cao thì ngoài việc nắm vững lý thuyết cần phải biết ứng dụng lý thuyết vào giải bài tập một cách thành thạo nhưng để giải bài tập thành thạo thì việc định hướng, phân loại bài tập là vô cùng cần thiết.
	Trong môn Vật lý ở trường trung học cơ sở, bài tập Điện học tương đối khó đối với học sinh. Trong phần Điện Học thì bài tập về mạch cầu điện trở là phần học sinh gặp khó khăn nhất, trong quá trình học tập và ôn thi học sinh giỏi. Làm thế nào để giải bài tập về mạch cầu điện trở một cách đơn giản hơn? Đó là câu hỏi không chỉ đặt ra đối với riêng tôi mà là câu hỏi chung cho những giáo viên và học sinh muốn nâng cao chất lượng dạy và học.
	Hiện nay trên thị trường có rất nhiều loại sách bài tập nâng cao nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh nhưng qua tham khảo một số sách tôi nhận thấy, đa phần các sách này đều đưa ra các bài tập cụ thể và hướng dẫn giải. Các bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau được đặt kế tiếp nhau, các bài tập cùng loại lại đặt cách xa nhau hoặc trong một quyển sách không có đủ các dạng cũng như các phương bài tập mạch cầu điện trở. Nói chung là các sách viết ra chưa phân loại các dạng và phương pháp làm bài tập một cách cụ thể. Chính vì cách viết sách như vậy dẫn đến việc các giáo viên trong quá trình giảng dạy rất mất nhiều thời gian cho việc đầu tư trong dạy học và ôn thi học sinh giỏi, còn học sinh làm bài tập một cách tràn lan và làm bài nào biết bài đó, không có phương pháp giải chung nên kết quả học tập chưa đạt hiệu quả cao. Việc học tập trở nên khó khăn hơn và gây cho các em có nhiều nản chí khi muốn tự nâng cao kiến thức của mình.
	Vì lý do trên, qua nhiều năm công tác với những hiểu biết và chút kinh nghiệm của bản thân, tôi mạnh dạn nêu lên một số suy nghĩ của mình về : “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ ” với mong muốn hoạt động dạy và học của giáo viên cũng như học sinh sẽ thu được kết quả cao hơn. Ngoài ra, cũng muốn tạo ra hướng đi mới trong việc tham khảo các loại sách bài tập nâng cao.
2. Mục đích nghiên cứu
	Việc nghiên cứu đề tài “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ” nhằm giúp giáo viên giảng dạy có hệ thống và có hiệu quả hơn. Ngoài ra còn giúp người học dễ xem, dễ học hơn trong việc tự học, tự tìm tòi nghiên cứu.
	Nghiên cứu một số phương pháp giải toán mạch cầu điện trở, mỗi phương pháp sẽ có cơ sở lí thuyết, ví dụ minh họa để khắc sâu kiến thức và rèn luyện kĩ năng vận dụng.
	Thông qua hệ thống các phương pháp, các bài tập nhằm làm tài liệu tham khảo cho giáo viên vật lí bồi dưỡng HSG.
3. Đối tượng và phạm vi áp dụng.
3.1. Đối tượng sử dụng đề tài:
 - Giáo viên dạy môn Vật lý THCS & THPT tham khảo để hướng dẫn học sinh giải bài tập.
 - Học sinh học luyện thi kiểm tra định kì, luyện thi học sinh giỏi các môn văn hóa .
3.2. Phạm vi áp dụng:
 - Chương trình vật lý THCS.
 - Chương trình ôn thi học sinh giỏi THCS.
4. Phương pháp nghiên cứu:
- Xác định đối tượng áp dụng đề tài.
- Tập hợp tài liệu: Lý thuyết, bài tập điển hình trong sách giáo khoa, trong sách bài tập, tạp chí Vật Lý, trong các đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, đề thi thử ĐH –CĐ các trường chuyên, trên các đề thi HSG trong những năm qua, các nguồn tin trên internet từ các trang Vật Lý, Toán uy tín,..... và phân chúng thành các bài tập minh họa của những nhóm bài tập cơ bản.
- Nhận dạng các loại bài tập có thể vận dụng.
- Có lời giải các bài tập minh họa để các em học sinh có thể kiểm tra so sánh với bài giải của mình.
NỘI DUNG
1. Khái quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng, mạch cầu không cân bằng.
1.1. Khái quát về mạch cầu điện trở:
- Mạch cầu là mạch dùng phổ biến trong các phép đo chính xác ở phòng thí nghiệm điện.
- Mạch cầu được vẽ như (H - 0.a) và (H - 0.b)
- Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi là các cạnh của mạch cầu điện trở R5 có vai trò khác biệt gọi là đường chéo của mạch cầu (người ta không tính thêm đường chéo nối giữa 
A-B. Vì nếu có thì ta coi đường chéo đó mắc song song với mạch cầu).
1.2. Phân loại mạch cầu:
- Mạch cầu có thể phân thành hai loại
a. Mạch cầu cân bằng (Dùng trong phép đo lường điện). I5 = 0 ; U5 = 0
- Vậy điều kiện cân bằng là gì ?
Cho mạch cầu điện trở như (H1.1) Nếu qua R5 có dòng I5 = 0 và U5 = 0 thì các điện trở nhánh lập thành tỷ lệ thức : 
 = n = const
Ngược lại nếu có tỷ lệ thức trên thì I5 = 0 và U5 = 0, ta có mạch cầu cân bằng.
b. Mạch cầu không cân bằng: Trong mạch cầu không cân bằng được phân làm 2 loại:
- Loại có một trong 5 điện trở bằng không (ví dụ một trong 5 điện trở đó bị nối tắt, hoặc thay vào đó là một ampe kế có điện trở ằng không ). Khi gặp loại bài tập này ta có thể chuyển mạch về dạng quen thuộc, rồi áp dụng định luật ôm để giải.
- Loại mạch cần tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, thì không thể giải được nếu ta chỉ áp dụng định luật Ôm, loại bài tập này được giải bằng phương pháp đặc biệt ( Trình bày ở mục 2.3) 
1.3. Cần ghi nhớ
- Nếu mạch cầu điện trở có dòng I5 = 0 và U5 = 0 thì bốn điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức: (n là hằng số) (*) (Với bất kỳ giá trị nào của R5.).
Khi đó nếu biết ba trong bốn điện trở nhánh ta sẽ xác định được điện trở còn lại.
- Ngược lại: Nếu các điện trở nhánh của mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân bằng và do đó I5 = 0 và U5 = 0
+) Khi mạch cầu cân bằng thì điện trở tương đương của mạch luôn được xác định và không phụ thuộc vào giá trị của điện trở R5 . Đồng thời các đại lượng hiệu điện thế và không phụ thuộc vào điện trở R5. Lúc đó có thể coi mạch điện không có điện trở R5 và bài toán được giải bình thường theo định luật Ôm.
+) Biểu thức (*) chính là điều kiện để mạch cầu cân bằng.
2. Phương pháp tính điện trở tương đương của mạch cầu.
Tính điện trở tương đương của một mạch điện là một việc làm cơ bản và rất quan trọng, cho dù đầu bài có yêu cầu hay không yêu cầu, thì trong quá trình giải các bài tập điện ta vẫn thường phải tiến hành công việc này.
Với các mạch điện thông thường, thì đều có thể tính điện trở tương đương bằng một trong hai cách sau.
- Nếu biết trước các giá trị điện trở trong mạch và phân tích được sơ đồ mạch điện (thành các đoạn mắc nối tiếp, các đoạn mắc song song) thì áp dụng công thức tính điện trở của các đoạn mắc nối tiếp hay các đoạn mắc song song.
- Nếu chưa biết hết các giá trị của điện trở trong mạch, nhưng biết được Hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện qua đoạn mạch đó, thì có thể tính điện trở tương đương của mạch bằng công thức định luật Ôm.
- Tuy nhiên với các mạch điện phức tạp như mạch cầu, thì việc phân tích đoạn mạch này về dạng các đoạn mạch mới nối tiếp và song song là không thể được. Điều đó cũng có nghĩa là không thể tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách áp dụng, các công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song. Vậy ta phải tính điện trở tương đương của mạch cầu bằng cách nào?
+) Với mạch cầu cân bằng thì ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tương đương của mạch cầu.
+) Với loại mạch cầu có một trong 5 điện trở bằng 0, ta luôn đưa được về dạng mạch điện có các đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải.
+) Loại mạch cầu tổng quát không cân bằng thì điện trở tương đương được tính bằng các phương pháp sau:
 2.1. Phương án chuyển mạch.
Thực chất là chuyển mạch cầu tổng quát về mạch điện tương đương (điện trở tương đương của mạch không thay đổi). Mà với mạch điện mới này ta có thể áp dụng các công thức tính điện trở của đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương. 
Muốn sử dụng phương pháp này trước hết ta phải nắm được công thức chuyển mạch (chuyển từ mạch sao thành mạch tam giác và ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao). Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli.
- Cho hai sơ đồ mạch điện, mỗi mạch điện được tạo thành từ ba điện trở. 
H2.1a mạch tam giác (D) H2.1b - Mạch sao (Y) 
- Với các giá trị thích hợp của điện trở có thể thay thế mạch này bằng mạch kia, khi đó hai mạch tương đương nhau. Công thức tính điện trở của mạch này theo mạch kia khi chúng tương đương nhau như sau:
- Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch sao R’1, R’2, R’3
 (1) ; (2) (3) 
( Ở đây R’1, R’2, R’3 lần lượt ở vị trí đối diện với R1,R2, R3 )
- Biến đổi từ mạch sao R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3 
 (5)
 (6)
Áp dụng vào bài toán tính điện trở tương đương của mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch như sau: 
Cách 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R1, R3, R5 thành mạch sao :R’1; R’3; R’5 (H2.2a) Trong đó các điện trở R13, R15, R35 được xác định theo công thức: (1); (2) và (3) từ sơ đồ mạch điện mới (H2.2a) ta có thể áp dụng công thức tính điện trở của đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện trở tương đương của mạch AB, kết quả là: 
Cách 2: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch sao R1, R2 , R5 thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ). 
Trong đó các điện trở R’1, R’2, R’3 được xác định theo công thức (4), (5) và(6). Từ sơ đồ mạch điện mới (H2.2b) áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta cũng được kết quả: 
2.2. Phương pháp dùng định luật Ôm.
- Từ biểu thức: suy ra 
- Trong đó: U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch.
 I là cường độ dòng điện qua mạch chính.
- Vậy theo công thức (*) nếu muốn tính điện trở tương đương (R) của mạch thì trước hết ta phải tính I theo U, rồi sau đó thay vào công thức (*) sẽ được kết quả. 
( Có nhiều phương pháp tính I theo U sẽ được trình bày chi tiết ở mục sau ).
Bài tập ví dụ: Cho mạch điện như hình H . 2.3a. Biết R1 = R3 = R5 = 3 W, R2 = 2 W; R4 = 5 W 
a. Tính điện trở tương đương của đoạn mạch AB.
b. Đặt vào hai đầu đoạn AB một hiệu điện thế không đổi U = 3 (V). Hãy tính cường độ dòng điện qua các điện trở và hiệu điện thế ở hai đầu mỗi điện trở.
Phương pháp 1: Chuyển mạch.
Cách 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành 
mạch sao R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có: 
Suy ra điện trở tương đương của đoạn mạch AB là : 
Cách 2: Chuyển mạch sao R1; R2; R5 thành mạch tam giác (H2.3c). Ta có: 
 Suy ra: 
Phương pháp 2: Dùng công thức định luật Ôm.
Từ công thức: 
Gọi U là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch AB ; I là cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB. Biểu diễn I theo U
Đặt I1 là ẩn số, giả sử dòng điện trong mạch có chiều như hình vẽ (H2.3d)
Ta lần lượt có:
 U1 = R1I1 = 3 I1 (1) ; U2 = U – U1 = U – 3 I1 (2)
Tại nút D, ta có: I4 = I3 +I5 
Thay (11) vào (7) ta được: I3 = 
Suy ra cường độ dòng điện mạch chính. 
Thay (12) vào (*) ta được kết quả: RAB = 3 (W)
b. Thay U = 3 V vào phương trình (11) ta được: 
Thay U = 3(V) và I1 = vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả:
 ( có chiều từ C đến D)
; 
	Lưu ý
- Cả hai phương trình giải trên đều có thể áp dụng để tính điện trở tương đương của bất kỳ mạch cầu điện trở nào. Mỗi phương trình giải đều có những ưu điểm và nhược điểm của nó. Tuỳ từng bài tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý.
- Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính điện trở tương đương của mạch cầu (chỉ câu hỏi a) thì áp dụng phương pháp chuyển mạch để giải, bài toán sẽ ngắn gọn hơn.
- Nếu bài toán yêu cầu tính cả các giá trị dòng điện và hiệu điện thế (hỏi thêm câu b) thì áp dụng phuơng pháp thứ hai để giải bài toán, bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lô gic hơn.
- Trong phương pháp thứ 2, việc biểu diễn I theo U liên quan trực tiếp đến việc tính toán các đại lượng cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu. Đây là một bài toán không hề đơn giản mà ta rất hay gặp trong khi giải các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh. Vậy có những phương pháp nào để giải bài toán tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.
2.3. Phương pháp giải toán tính cường độ dòng điện dòng điện và hiệu điện thế trong mạch cầu.
Với mạch cầu cân bằng hoặc mạch cầu không cân bằng mà có 1 trong 5 điện trở bằng 0 (hoặc lớn vô cùng) thì đều có thể chuyển mạch cầu đó về mạch điện quen thuộc (gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song). Khi đó ta áp dụng định luật Ôm để giải bài toán này một cách đơn giản.
Ví dụ: Cho các sơ đồ các mạch điện như hình vẽ: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết các vôn kế và các am pe kế là lý tưởng.
Ta có thể chuyển các sơ đồ mạch điện trên thành các sơ đồ mạch điện tương đương, tương ứng với các hình H.3.1a’; H.3.1b’; H.3.1c’; H.3.1d’.
Từ các sơ đồ mạch điện mới, ta có thể áp dụng định luật Ôm để tìm các đại lượng mà bài toán yêu cầu:
	Lưu ý: Các bài loại này có nhiều tài liệu đã trình bày, nên trong đề tài này không đi sâu vào việc phân tích các bài toán đó tuy nhiên trước khi giảng dạy bài toán về mạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ năng giải các bài tập loại này thật thành thạo.
- Với mạch cầu tổng quát không cân bằng có đủ cả 5 điện trở, ta không thể đưa về dạng mạch điện gồm các đoạn mắc nối tiếp và mắc song song. Do đó các bài tập loại này phải có phương pháp giải đặc biệt - Sau đây là một số phương pháp giải cụ thể:
Bài tập ví dụ: Cho mạch điện hư hình vẽ (H3.2a) Biết U = 45V, R1 = 20W, R2 = 24W ; R3 = 50W ; R4 = 45W R5 là một biến trở
a. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của mạch khi R5 = 30W
b. Khi R5 thay đổi trong khoảng từ 0 đến vô cùng, thì điện trở tương đương của mạch điện thay đổi như thế nào?
c. Tính cường độ dòng điện và hiệu điện thế của mỗi điện trở và tính điện trở tương đương của mạch khi 
R5 = 30W
Cách 1: Lập hệ phương trình có ẩn số là dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số)
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trên sơ đồ
Bước 2: áp dụng định luật ôm, định luật về nút, để biễu diễn các đại lượng còn lại theo ẩn số (I1) đã chọn (ta được các phương trình với ẩn số I1).
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng của đầu bài yêu cầu.
Bước 4: Từ các kết quả vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dòng điện đã chọn ở bước 1
- Nếu tìm được I > 0, giữ nguyên chiều đã chọn.
- Nếu tìm được I < 0, đảo ngược chiều đã chọn.
Lời giải :
- Giả sử dòng điện mạch có chiều như hình vẽ H3.2b 
- Chọn I1 làm ẩn số ta lần lượt có:
U1 = R1 . I1 = 20I1 (1) ; U2 = U – U1 = 45 – 20I1	 (2)
 (9)
- Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5 (10)
Suy ra I1= 1,05 (A)
- Thay biểu thức (10) các biểu thức từ (1) đến (9) ta được các kết quả:
I1 = 1(A)	;	I3 = 0,45 (A) ; I4 = 0,5 (A)	;	I5 = 0,05 (A)
Vậy chiều dòng điện đã chọn là đúng. => Hiệu điện thế : U1 = 21(V) U2 = 24 (V)
 U3 = 22,5 (V) UBND = 22,5 (V) U5 = 1,5 (V)
=> Điện trở tương đương 
Cách 2: Lập hệ phương trình có ẩn số là hiệu điện thế các bước tiến hành giống như phương pháp 1. Nhưng chọn ẩn số là Hiệu điện thế. Áp dụng 
Chọn chiều dòng điện trong mạch như hình vẽ H3.2b
Chọn U1 làm ẩn số ta lần lượt có: 
	 (1) U2 = U – U1 = 45 – U1	 (2)
	 (3) (4)
 	 (5) 	 (6)
 (7) 	 (8)
 	 (9)
Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5 (10)
Suy ra: U 1 = 21 (V) Thay U1 = 21 (V) vào các phương trình từ (1) đến (9) ta được kết quả .
Cách 3: Chọn gốc điện thế.
Bước 1: Chọn chiều dòng điện trong mạch
Bước 2: Lập phương trình về cường độ tại các nút (Nút C và D)
Bước 3: Dùng định luật ôm, biến đổi các phương trình về VC, VD theo VA, VB
Bước 4: Chọn VB = 0 VA = UAB
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA rồi suy ra U1, U2, U3, U4, U5
Bước 6: Tính các đại lượng dòng điện rồi so sánh với chiều dòng điện đã chọn ở bước 1. Áp dụng
Giả sử dòng điện có chiều như hình vẽ H3.2b
Áp dụng định luật về nút ở C và D, ta có: 
- Áp dụng định luật Ôm, ta có: 
Chọn VD = 0 thì VA = UAB = 45 (V). 
=> Hệ phương trình thành: 
Giải hệ 2 phương trình (3) và (4) ta được: VC = 24(V); VD = 22,5(V)
Suy ra: U2 = VC – VB = 24 (V)	U4 = VD – VB = 22,5 (V)
U1 = U – U2 = 21 (V); U3 = U – UBND = 22,5V; U5 = VC – VD = 1,5 (V)
Từ các kết quả vừa tìm được ta dễ ràng tính được các giá trị cường độ dòng điện 
Cách 4: Chuyển mạch sao thành mạch tam giác (Hoặc mạch tam giác thành mạch sao ).
Chẳng hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch sao R’1 , R’3 , R’5 ta được sơ đồ mạch điện tương đương H3.2c (Lúc đó các giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4,UCD vẫn không đổi)	
Các bước tiến hành giải như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ mạch điện mới.
Bước 2: Tính các giá trị điện trở mới (sao R’1, R’3, R’5)
Bước 3: Tính điện trở tương đương của mạch
Bước 4: Tính cường độ dòng điện mạch chính (I)
Bước 5: Tính I2, I4 rồi suy ra các giá trị U2, U4.
Ta có: Và: I4 = I – I2
Bước 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính các đại lượng còn lại.
Áp dụng:
- Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có
Điện trở tương đương của mạch: 
Cường độ dòng điện trong mạch chính: 
Suy ra: I4 = I – I2 = 1,5 – 1 = 0,5 (A)
 U2 = I2.R2 = 24 (V) U4 = I4.R4 = 22,5 (V)
Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả:
Hiệu điện thế: U1 = U – U2 =21(V) ; U3 = U – U4 = 22,5(V); U5 =U3 – U1 =1,5(V)
Và các giá trị dòng điện ; I5 = I1 – I3 = 0,05 (A)
Cách 5: Áp dụng định luật kiếc sốp
Do các khái niệm: Suất điện động của nguồn, điện trở trong của nguồn, hay các bài tập về mạch điện có mắc nhiều nguồn, học sinh lớp 9 chưa được học. Nên việc giảng day cho các em hiểu đày đủ về định luật Kiếc sốp là không thể được. Tuy nhiên ta vẫn có thể hướng dẫn học sinh lớp 9 áp dụng định luật này để giải bài tập mạch cầu dựa vào cách phát biểu sau:
Định luật về nút mạng. Từ công thức: I = I1+ I2+  +In(đối với mạch mắc song song), ta có thể phát biểu tổng quát: “ Ở mỗi nút, tổng các dòng điện đi đến điểm nút bằng tổng các dòng điện đi ra khỏi nút”
Trong mỗi mạch vòng hay mắt mạch. Công thức: U = U1+ U2+ + Un (đối với các điện trở mắc nối tiếp) được hiểu là đúng không những đối với các điện trở mắc nối tiếp mà có thể mở rộng ra: “ Hiệu điện thế UAB giữa hai điểm A và B bằng tổng đại số tất cả các hiệu điện thế U1, U2, của các đoạn kế tiếp nhau tính từ A đến B theo bất kỳ đường đi nào từ A đến B trong mạch điện ”
Vậy có thể nói: “Hiệu điện thế trong mỗi mạch vòng (mắt mạng) bằng tổng đại số độ giảm thế trên mạch vòng đó”
Trong đó độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, )
Chú ý: - Dòng điện IK mang dấu (+) nếu cùng chiều đi trên mạch
 - Dòng điện IK mang dấu (–) nếu ngược chiều đi trên mạch.
Các bước tiến hành giải. 
Bước 1: Chọn chiều dòng điện đi trong mạch
Bước 2: Viết tất cả các phương trình cho các nút mạng
 Và tất cả các phương trình cho các mứt mạng.
Bước 3: Giải hệ các phương trình vừa lập để tìm các đại lượng dòng điện và hiệu điện thế trong mạch.
Bước 4: Biện luận kết quả. Nếu dòng điện tìm được là:
 IK > 0: ta giữ nguyên chiều đã chọn.
 IK < 0: ta đảo chiều đã chọn.
Áp dụng:
- Chọn chiều dòng điện đi trong mạch như hình vẽ H3.2b.
- Tại nút C và D ta có: 
- Phương trình cho các mạch vòng:
+) Mạch vòng ACBA: U = I1.R1 + I2.R2 	 (3) 
+) Mạch vòng ACDA: I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = 0	 (4)
+) Mạch vòng BCDB: I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = 0 	 (5)
- Thay các giá trị điện trở và hiệu điện thế vào các phương trình trên rồi rút gọn, 
ta được hệ phương trình:
- Giải hệ 5 phương trình trên ta tìm được 5 giá trị dòng điện:
 I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) và I5 = 0,05(A)
- Các kết quả dòng điện đều dương do đó chiều dòng điện đã chọn là đúng.
- Từ các kết quả trên ta dễ dàng tìm được các giá trị hiệu điện thế U1, U2, U3, U4, U5 và RAB 
 Sự phụ thuộc của điện trở tương đương vào R5
- Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là: 
- Khi R5 = ¥, mạch cầu có điện trở là: 
- Vậy khi R5 nằm trong khoảng (0,¥) thì điện trở tương đương nằm trong khoảng 
(Ro, R¥)
- Nếu mạch cầu cân bằng thì với mọi giá trị R5 đều có RTĐ = R0 = R¥
Nhận xét chung.
- Trên đây là 5 phương pháp để giải bài toán mạch cầu tổng quát. Mỗi bài tập về mạch cầu đều có thể sử dụng một trong 5 phương pháp này để giải. Tuy nhiên với học sinh lớp 9 nên sử dụng phương pháp lập hệ phương trình với ẩn số là dòng điện (Hoặc ẩn số là hiệu điện thế), thì lời giải bao giờ cũng ngắn gọn, dễ hiểu và lôgíc hơn.
Để cho học sinh có thể hiểu sâu sắc các tính chất của mạch cầu điện trở, cũng như việc rèn luyện kỹ năng giải các bài tập điện một chiều, thì nhất thiết giáo viên phải hướng dẫn các em hiểu và vận dụng tốt cả 5 phương phương pháp trên. Các phương pháp đó không chỉ phục vụ cho việc ôn thi học sinh giỏi