Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số

MỤC LỤC
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ 
ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình môn Toán THPT, chủ đề Hàm số và đồ thị hàm số chiếm một khối lượng lớn kiến thức và được giảng dạy ở cả lớp 10, lớp 11 và lớp 12. Học xong chương trình THPT học sinh phải nắm vững khái niệm hàm số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số; đọc được đồ thị hàm số. Các bài toán dạng nhận diện đồ thị của hàm số và giải quyết các bài toán liên quan giúp các em củng cố và nắm vững các khái niệm và tính chất cơ bản của hàm số rất tốt.
Từ khi Bộ Giáo dục và Đào tạo thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT Quốc Gia đòi hỏi cần có các câu hỏi kiểm tra ở các mức độ vận dụng, vận dụng cao của người học mà hạn chế sử dụng máy tính cầm tay; hoặc quá khó học sinh chỉ biết “lụi” phương án ngẫu nhiên. Với thế mạnh riêng của chủ đề hàm số và đồ thị, người ra đề có nhiều đất để sáng tạo các câu hỏi kiểm tra các mức độ tư duy cao mà không sa đà vào đánh đố; không phải trắc nghiệm hóa các bài toán tự luận khó (như các bài thi chọn học sinh giỏi quốc gia; thi Olympic quốc tế,) không phù hợp với tiêu chí của kì thi. Các câu hỏi về đồ thị hàm số kiểm tra được năng lực tư duy cao rất tốt. Có lẽ cũng vì lí do này, trong các đề thi THPT Quốc Gia hàng năm cũng như các đề thi Khảo sát chất lượng ôn thi THPT Quốc gia của các Sở Giáo dục và Đào tạo, của các trường THPT trên cả nước xuất hiện ngày cảng nhiều các dạng toán về đồ thị hàm số. 
Khi tổ chức, hướng dẫn các em học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia, tôi nhận thấy sự lúng túng, khó khăn của các em khi giải các bài tập mức vận dụng và vận dụng cao liên quan đến đồ thị hàm số. Bởi vậy, tôi lựa chọn đề tài SKKN: “Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị hàm số”. Đề tài này tôi đúc rút những kinh nghiệm bản thân về những dạng toán thường gặp giúp các em học sinh lớp 12 giải được các dạng toán về đồ thị hàm số. Đề tài SKKN này là một góp ý, trao đổi của tác giả với các đồng nghiệp để nâng cao chất lượng dạy học chủ đề hàm số và đồ thị.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là đưa ra những phương pháp giải các dạng toán thường gặp về đồ thị hàm số giúp các em học sinh lớp 12, các em học sinh chuẩn bị tham gia kì thi THPT Quốc Gia áp dụng vào các bài tập về đồ thị hàm số ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Đồng thời thông qua đó nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các nội dung kiến thức và kĩ năng chủ đề hàm số và đồ thị; các phép biến đổi đồ thị; tương giao giữa các đồ thị hàm số.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về chủ đề hàm số và đồ thị.
Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh khi học và giải các bài toán thuộc chủ đề hàm số và đồ thị đặc biệt là các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số; những khó khăn mà học sinh thường mắc phải khi giải các dạng toán về đồ thị.
Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh cụ thể nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
II. HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN 
VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Chủ đề hàm số và đồ thị học ở cả chương trình môn Toán lớp 10, lớp 11 và lớp 12. Cụ thể như sau:
Trong chương trình môn Toán 10: Chủ đề hàm số được học ở chương 2 (Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai); học sinh được học các khái niệm cơ bản nhất về hàm số (tập xác định; sự đồng biến và nghịch biến của hàm số; đồ thị hàm số; hàm số chẵn và hàm số lẻ; ). Các bài toán sử dụng đồ thị để biện luận phương trình, bất phương trình cũng được học lồng ghép ở các bài học liên quan đến phương trình và bất phương trình.
Trong chương trình môn Toán 11: Chủ đề hàm số được học ở ba chương (Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; Chương 4: Giới hạn; Chương 5: Đạo hàm).
Trong chương trình môn Toán 12: Chủ đề hàm số được tiếp nối chương trình môn Toán 10 và 11 và được học ở chương 1 (Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số).
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy đa phần học sinh làm được các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, nhưng sử dụng đồ thị một hàm số để giải các bài toán liên quan thì các em lại gặp khó khăn. Chẳng hạn bài toán: “Cho đồ thị hàm số , tìm để phương trình có nghiệm” nhiều em không giải được.
Sự xuất hiện ngày càng nhiều dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số trong các đề thi THPT Quốc Gia chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo cũng như các đề thi Khảo sát lớp 12 môn Toán (Các đề thi thử) của các Sở Giáo dục và Đào tạo; của các trường THPT trên toàn quốc đòi hỏi nhu cầu tổng kết các dạng toán đó. Trên cơ sở các dạng toán cơ bản, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận và giải được các bài toán khó hơn về đồ thị.
Qua tham khảo các Đề thi thử và Đề thi chính thức của kì thi THPT Quốc Gia, tác giả chia thành năm dạng toán sau đây
Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của một phương trình.
Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số.
Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị.
Dạng 4: Đồ thị hàm số và bài toán so sánh các giá trị của hàm số.
Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số.
SKKN này tác giả đưa ra một số ví dụ cho mỗi dạng, qua đó giúp học sinh làm tốt các bài toán tương tự của mỗi dạng. Các ví dụ này được trích từ các Đề thi thử của một số trường và Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc.
2.3. Hướng dẫn học sinh giải một số dạng toán về đồ thị của hàm số
2.3.1. Dạng 1: Đồ thị hàm số và bài toán xét biện luận số nghiệm của một phương trình
Ví dụ 1. ( Trích Đề thi thử trường THPT Yên Khánh A - lần 4 -2019) Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm thuộc nửa khoảng là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Phân tích và cách giải bài toán: 
Một dạng toán quen thuộc học sinh thường gặp là “Dựa vào đồ thị của hàm số tìm tham số để phương trình có nghiệm ”
Cách giải bài toán: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng Do đó, để phương trình có nghiệm ta tìm để và đường thẳng cắt nhau.
Khi ta thay biến bởi hàm số , ta chuyển bài toán về dạng “Dựa vào đồ thị của hàm số tìm tham số để phương trình có nghiệm ”.
Cách giải bài toán: Trước hết ta tìm tập giá trị của hàm số , giả sử tập giá trị đó là tập . Khi đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị tại điểm có hoành độ 
Lời giải
Chọn A 
Trước hết, xét hàm số , .
Ta có 	. 
.
Bảng biến của như sau:
.
Bây giờ, đặt . Lúc này, phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm 
 Đường thẳng và đồ thị hàm số có điểm chung trong nửa khoảng 
.
Vậy .
Ví dụ 2. (Trích Đề thi thử trường THPT Thăng Long Hà Nội - 2019) Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập tất cả các giá trị của để phương trình nghiệm thuộc khoảng là
A. .	B. .
C. .	D. .
Phân tích và cách giải bài toán: 
Đặt , với thì Bài toán trở thành: Tìm để phương trình có nghiệm 
Lời giải
Chọn D
Ta có nên .
Đặt ,. Phương trình trở thành với .
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm . Từ đồ thị hàm số suy ra các giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm là .
Ví dụ 3. (Trích Đề thi thử trường THPT Hoàng Hoa Thám – Hưng Yên - Lần 1- 2019) Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Đặt .
Ta có với mọi .
Suy ra . 
Với , quan sát đồ thị, ta thấy , suy ra .
Do đó để phương trình có nghiệm, với nguyên, thì ta phải có .
Vậy có giá trị nguyên của thỏa mãn.
Ví dụ 4. Cho hàm số ( ) . Hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tập nghiệm thực của phương trình có số phần tử bằng
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số ta có .
Ta có BBT của hàm số như sau:
Ta có: .
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng song song với trục hoành.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt
2.3.2. Dạng 2: Đồ thị hàm số và chiều biến thiên của hàm số
Ví dụ 5. (Trích Đề thi thử Sở GD-ĐT Nam Định 2019) Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Phân tích và cách giải bài toán:
Tính đạo hàm của hàm số .
Dựa vào đồ thị hàm số ta tìm khoảng để .
Lời giải
Chọn A
Ta có .
Do đó, hàm số nghịch biến khi .
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: .
Do đó, .
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
Ví dụ 6. (Trích Đề thi thử trường THPT Bình Giang - Hải Dương - Lần 2 - 2109) Cho hàm số có liên tục trên và đạo hàm có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Phân tích và cách giải
Ta có . Ta tìm một khoảng trong các khoảng đã cho thỏa mãn .
Đặt thì trở thành . Từ tương giao giữa đồ thị hai hàm số và ta tìm được nghiệm của bất phương trình 
Lời giải
Chọn B
Ta có .
Cho ta được .
Đặt thì và ta có bất phương trình .
Dựa vào hình vẽ bên trên ta thấy bất phương trình có tập nghiệm là với . Suy ra với .
Do đó, hàm số nghịch biến trên với .
Dễ thấy, chỉ có đáp án B thỏa mãn vì với . 
Ví dụ 7. (Trích Đề thi thử trường ĐH Vinh lần 2 - 2019) Cho hàm số liên tục trên có và đồ thị hàm số như hình vẽ. Hàm số đồng biến trên khoảng
A..	B. .
C. .	D. .
Phân tích và cách giải: 
Trước hết ta lập bảng biến thiên của hàm số dựa vào đồ thị hàm số chúng ta xét dấu được đạo hàm 
Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số ta suy ra bảng biến thiên của hàm số , từ đó ta tìm được khoảng đồng biến của nó.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số . Ta có 
Từ giả thiết nên 
Dựa vào đồ thị của hàm số và ta có bảng biến thiên của hàm như sau:
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra tồn tại duy nhất giá trị thỏa mãn .
Từ đó ta suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng .
2.3.3. Dạng 3: Đồ thị hàm số và bài toán cực trị
Ví dụ 8. (Trích Đề thi thử trường THPT Văn Giang Hưng Yên - 2019) Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Phân tích và cách giải: Để giải dạng toán này, ta chú ý tới các điểm sau
Hàm số đạt cực trị tại điểm thì liên tục trên khoảng nào đó với và đổi dấu khi qua .
Nếu đồ thị hàm số cắt đường thẳng (không tiếp xúc) tại điểm thì đổi dấu khi qua .
Lời giải
Chọn	B
Ta có .
Dựa vào đồ thị suy ra có 1 nghiệm và đổi dấu khi qua nghiệm đó.
Do đó hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
Ví dụ 9. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. .	B. .
C. .	D. .
Phân tích và cách giải: 
Hàm số có đạo hàm . Căn cứ vào đồ thị hàm số , ta lập bảng xét dấu của .
Lời giải
Chọn	C
Ta có .
Suy ra . 
Từ đồ thị hàm số ta có
.
.
Ta có bảng xét dấu của sau
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 10. (Trích Đề thi thử trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị lần 1- 2019) Hàm số có đạo hàm . Đồ thị hàm số như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số .
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có
; .
; .
Bảng xét dấu
Ta thấy đổi dấu khi đi qua các điểm và .
Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
2.3.4. Dạng 4: Đồ thị hàm số và bài toán so sánh các giá trị của hàm số
Ví dụ 11. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng Giá trị lớn nhất của trên bằng
A. . B. .
C. . D. .
Phân tích và cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số ta lập được bảng biến thiên của hàm số trên đoạn . Trên cơ sở bảng biến thiên của hàm số trên đoạn và giả thiết , chúng ta xác định được giá trị lớn nhất của hàm số trên .
Lời giải
Chọn D
Bảng biến thiên của hàm số trên 
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của trên chỉ có thể tại hoặc tại .
Ta có .
Mà .
Vậy giá trị lớn nhất của trên bằng .
Ví dụ 11. (Trích Đề thi THPT Quốc Gia năm 2018) Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt Biết rằng Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. .	
B. .
C. .	
D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có 
Từ đồ thị hàm số và đường thẳng ta có 
Bảng biến thiên của hàm số là
Từ bảng biến thiên suy ra 
Ta so sánh và : Hàm số đồng biến trên khoảng , suy ra 
Vậy .
2.3.5. Dạng 5: Đồ thị hàm số và bài toán tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
 Ví dụ 12. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận đứng?
A. . 	B. . 	
C. . 	D. .
Phân tích và cách giải:
Gọi là nghiệm của phương trình với . Do là hàm số bậc ba nên ta có (hoặc ). Suy ra đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số .
Do đó, số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện .
Lời giải
Chọn B
Điều kiện xác định của hàm số là 
Xét 
 đồ thị hàm số cắt tại điểm có nghiệm đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng .
, do đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ nên phương trình không có nghiệm .
, đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm, một điểm có hoành độ hai điểm còn lại có hoành độ là có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số có 3 tiệm cận đứng .
Vậy đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận đứng .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
SKKN đã được tác giả triển khai dạy cho học sinh lớp 12A năm học 2018 – 2019 của trường THPT Tống Duy Tân ở các tiết tự chọn. Sau khi học nội dung này, tác giả nhận thấy các em học sinh tiếp nhận tốt nội dung kiến thức được đề cập. Thông qua các ví dụ được trình bày, các em có thể giải các bài toán tương tự và tìm ra cách giải các bài toán cụ thể cùng chủ đề. 
SKKN cũng được các thầy cô bộ môn toán trường THPT Tống Duy Tân giảng dạy các tiết dạy tự chọn toán lớp 12, dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi và nhận được phản hồi tốt. SKKN được các thầy cô sử dụng làm tài liệu giảng dạy hữu ích. 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Những dạng toán về đồ thị được trình bày trong SKKN này là những dạng toán cơ bản và thường gặp, các ví dụ được tác giả chọn lựa phù hợp và tiêu biểu, giúp học sinh nắm vững cách giải lớp các bài toán liên quan. Nội dung SKKN là tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, là tài liệu tham khảo phục vụ cho công tác giảng dạy đối với giáo viên.
3.2. Kiến nghị
Xuất phát từ tâm nguyện của một giáo viên đang từng ngày giảng dạy cho học sinh, tôi mong muốn nếu đề tài của tôi được đánh giá tốt thì cần được phổ biến một cách rộng rãi để tài liệu đến tay những giáo viên và học sinh yêu thích môn toán.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên): Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên): Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012 (Tái bản lần thứ sáu)
Các Đề thi THPT Quốc gia năm 2017. Năm 2018. Các Đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 của các trường THPT, các Sở Giáo dục và Đào tạo trên cả nước.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Đỗ Đường Hiếu
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Tống Duy Tân 
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Hướng dẫn học sinh giải bài toán hình học giải tích không gian bằng kĩ thuật tham số hóa
Ngành GD cấp tỉnh
C
2014
Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình bậc hai chứa tham số và thỏa mãn điều kiện phụ
Ngành GD cấp tỉnh
C
2016
Xây dựng hệ thống bài tập dạy học chủ đề ứng dụng hình học của tích phân theo định hướng phát triển năng lực
Ngành GD cấp tỉnh
C
2017
Một số phương pháp giải các bài toán vận dụng của chủ đề hình học không gian
Ngành GD cấp tỉnh
C
2018
----------------------------------------------------