SKKN Phương pháp giải một số bài toán hình học phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN TAM GIÁC VÀ TỨ GIÁC
Người thực hiện: Nguyễn Thị Tuyết
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Thị Lợi
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Phần I. MỞ ĐẦU.
Trang 2
1.1. Lý do chọn đề tài.
Trang 2
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Trang 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Trang 3
Phần II. NỘI DUNG SKKN.
Trang 4
Chương I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trang 4
1.1Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trang 4
1.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
Trang 4
1.3.Các SKKN hoặc các kinh nghiệm để giải quyết vấn đề.
Trang 5
1.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục ,với bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
Trang 5
Chương II. Một số phương pháp giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán tọa độ phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác.
Trang 6
2.1: Tìm kiếm, sưu tầm các tính chất hình trong tam giác và tứ giác từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán mới về tọa độ trong mặt phẳng.
Trang 6
2.2. Các tính chất hình học trong tứ giác và các bài toán tọa độ trong mặt phẳng .
Trang 6
2.3. Các tính chất hình học trong tam giác và các bài toán tọa độ trong mặt phẳng .
Trang 12
2.4. Bài tập tự luyện.
Trang 16
Phần III. KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ.
Trang 17
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
Trang 18
Phần I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học phổ thông đó là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích. Bài toán tọa độ trong mặt phẳng thường xuất hiện trong các đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi trong những năm gần đây. Cùng với hai bài toán thuộc các chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và chuyên đề bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bài toán tọa độ trong mặt phẳng xuất hiện trong đề thi nhằm mục đích phân loại trình độ của học sinh (đề ra ở mức độ vận dụng). Để giải được các bài toán này học sinh cần phải phát hiện và chứng minh các tính chất hình học ẩn chứa trong các toán từ đó mới tìm được nhanh lời giải của bài toán. Thực tế cho thấy nếu học sinh không được rèn luyện kỹ năng này một cách hợp lý thì các em rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán tọa độ phẳng trong các đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi. Là một giáo viên giảng dạy môn Toán tôi luôn luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các biện pháp để giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ từ đó biết cách giải và xây dựng được lớp các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
Tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp giảng dạy môn Toán ở các trường THPT cũng như qua quá trình giảng dạy chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng tôi nhận thấy một trong những biện pháp có hiệu quả trong việc phát triển tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư duy sáng tạo cho học sinh là cần nghiên cứu kỹ lưỡng các bài toán tọa độ phẳng trong các đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi qua đó giúp học sinh nắm được cốt lõi cách giải bài toán từ đó giúp các em biết cách giải và xây dựng được lớp các bài toán tương tự.
Bên cạnh đó bài toán tọa độ phẳng trong các đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi trong những năm gần đây thông thường là các bài toán liên quan đến tam giác và tứ giác. Khi giải lớp bài toán này thì kỹ năng phát hiện và chứng minh tính chất hình học là rất quan trọng đóng vai trò là khâu then chốt của lời giải bài toán. Trong chương trình hình học lớp 10 học sinh chỉ được rèn luyện kỹ năng chứng minh tính chất hình học thông qua việc sử dụng phương pháp vectơ, tích vô hướng hay hệ thức lượng trong tam giác. Nếu chỉ sử dụng các phương pháp này thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn thậm chí không chứng minh được một số tính chất hình học khác. Do đó trong quá trình giảng dạy chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giáo viên cần tìm tòi, sưu tầm thêm các tính chất hình học liên quan đến tam giác, tứ giác và hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất hình học qua đó giúp các em xây dựng và giải các bài toán mới.
Với các lí do trên tác giả chọn đề tài: "Phương pháp giải một số bài toán hình học tọa độ phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác".
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Tìm tòi, sưu tầm các tính chất hình học liên quan đến tam giác và tứ giác qua đó giúp học sinh chứng minh các tính chất hình học, xây dựng và giải các bài toán tọa độ trong mặt phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	+ Học sinh lớp 10 (chủ yếu dành cho học sinh khá và giỏi).
	+ Học sinh ôn thi THPT quốc gia, ôn thi HSG cấp tỉnh.
	+ Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các tính chất hình học trong tam giác và tứ giác, các bài toán tọa độ trong mặt phẳng về tam giác và tứ giác vì thế tác giả sử dụng các phương pháp : nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, pp điều tra khảo sát thực tế.
Phần II. NỘI DUNG
 Chương I: Cơ sở lí luận 
1.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
1.2. Cơ sở lý thuyết
1.2.1. Kiến thức cơ bản về hình học phẳng: Tam giác và các điểm đặc biệt, đường đặc biệt trong tam giác (trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp, đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác trong); hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang.
1.2.2. Kiến thức cơ bản về tọa độ, véctơ: Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn.
1.2.3. Cách chuyển đổi ngôn ngữ hình học phẳng sang véctơ, tọa độ.
1.3. Cơ sở thực tiễn
Từ các tính chất hình học (về góc, khoảng cách, độ dài đoạn thẳng,) xây dựng các bài toán tọa độ phẳng.
1.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN
 Khi đứng trước một bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ?”. Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán. 
 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng. Vì vậy song song với các lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, tôi yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ không phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng. Qua đó giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng”. Vì vậy phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng 
1.3.Các SKKN hoặc các kinh nghiệm để giải quyết vấn đề.
	+) Từ một tính chất hình học nào đó giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh từ đó hướng dẫn các em xây dựng các bài toán tọa độ trong mặt phẳng. Tiếp theo từ các tính chất hình yêu cầu các em tự chứng minh và tự xây dựng các bài toán tọa độ phẳng.
	+) Giáo viên đưa ra hệ thống các bài toán tọa độ trong mặt phẳng (có sử dụng tính chất hình nhưng không đưa ra tính chất hình trước) yêu cầu học sinh giải các bài toán đó.
	+) Hình thức học sinh tự nghiên cứu các bài toán dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
1.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục ,với bản thân đồng nghiệp và nhà trường.
Trong quá trình triển khai các kết quả nghiên cứu của đề tài vào công tác giảng dạy chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng chúng tôi đã thu được các hiệu quả đáng khích lệ:
+) Đa số các học sinh khá – giỏi môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài toán mới.
+) Chia sẻ kinh nghiệm với đồng nghiệp ,nhóm chuyên môn và những đồng chí dạy lớp mũi nhọn ,ôn thi HSG ,ôn thi THPTQG để đạt hiệu quả cao hơn.
Chương II: Một số phương pháp giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán tọa độ phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác
2.1.Tìm kiếm, sưu tầm các tính chất hình trong tam giác và tứ giác từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán mới về tọa độ trong mặt phẳng:
	Các bài toán tọa độ phẳng trong các đề thi đại học là bài nhằm phân loại trình độ học sinh (ở mức độ vận dụng). Trong đó thường gặp là các bài toán tọa độ phẳng liên quan đến tam giác và tứ giác. Để giải được các bài toán này ngoài việc nắm vững các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong chương III môn Hình học 10, học sinh cần phát hiện và chứng minh tính chất hình học liên quan đến tam giác, tứ giác từ đó mới tìm được các yếu tố yêu cầu trong đề bài. Trong quá trình ôn thi THPT quốc gia và ôn thi HSG, ngoài việc khai thác các bài toán tọa độ phẳng trong các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi chúng tôi còn tìm tòi, sưu tâm các tính chất hình học về góc, về độ dài, về khoảng cách,trong tam giác và tứ giác từ đó hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất hình học và giúp học sinh xây dựng các bài toán mới về tọa độ trong mặt phẳng. Do tính phong phú và đa dạng của các tính chất hình học nên trong đề tài này tác giả chỉ trình bày các tính chất hình học (không quá khó) liên quan đến tam giác, tứ giác và bằng cách cho các yếu tố về điểm, đường thẳng,hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán mới.
2.2 Các tính chất hình học trong tứ giác và các bài toán tọa độ trong mặt phẳng:
Tính chất 2.1. Cho hình thang vuông (vuông tại , ), là điểm thuộc đoạn sao cho , là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng . Khi đó . 
Chứng minh tính chất 2.1:
Ta có tứ giác nội tiếp suy ra:
Mặt khác (cùng phụ với góc ). Từ đó: 
 (1).
Ta có tứ giác nội tiếp suy ra:
 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra: 
.
Suy ra (đpcm).
	Với hình thang và các điểm trong tính chất 2.1 nếu ta cho tọa độ các điểm , vị trí của điểm trên đoạn thẳng và cho điểm thuộc một đường thẳng hay đường tròn hay một đường cônic (có phương trình) thì sẽ tìm được tọa độ của điểm . Từ đó ta xây dựng bài toán:
Bài 2.1. Trong mặt với hệ trục tọa độ , cho hình thang vuông tại và . Trên cạnh lấy điểm sao cho , điểm là hình chiếu của trên đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm biết , vuông góc với , điểm thuộc đường tròn: và hoành độ của điểm nhỏ hơn 2.
Giải.
(Sử dụng hình vẽ trong tính chất 2.1).
Từ tính chất 2.1, ta có . Do đó đường thẳng đi qua điểm và có VTPT nên có phương trình: . 
Từ giả thiết ta có tọa độ của là nghiệm của hệ:
.
Do hoành độ của nhỏ hơn 2 nên . Đường thẳng đi qua có VTPT suy ra phương trình : . Đường thẳng đi qua điểm và song song nên phương trình : .
Do Do đường thẳng đi qua và 
vuông góc với nên đi qua và có VTPT từ đó có phương trình . 
Do , lần lượt là giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng và suy ra .
Kết luận: .
	Trong bài 2.1 chúng ta có thể thay giả thiết cho tọa độ của điểm bới phương trình đường thẳng thì vẫn thực hiện được lời giải bài toán. Bây giờ Với hình thang và các điểm trong tính chất 2.1 ta cho vị trí của điểm trên cạnh , tọa độ của điểm , phương trình đường tròn ngoại tiếp , điểm thuộc một đường thẳng hay đường tròn hay đường cônic (có phương trình). Khi đó ta xây dựng được bài toán sau:
Bài 2.2. Trong mặt với hệ trục tọa độ , cho hình thang vuông tại và . Điểm thỏa mãn , là hình chiếu vuông góc của trên , , phương trình đường tròn ngoại tiếp : , điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm .
Giải.
Gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp . Khi đó .
Theo tính chất 2.1 ta có nên là trung điểm của .
Do nên ta có . Từ đó ta có .
Do là trung điểm của nên .
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên có phương trình: .
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên có phương trình: .
Do là giao điểm của đường thẳng và đường tròn ngoại tiếp nên tọa độ của là nghiệm của hệ: .
 I
Do nên .Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng nên đường thẳng có phương trình: . Do lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng với đường thẳng nên .Kết luận: , , .
________________________
 Trong mục 2.2: bài 2. 1 và bài 2. được tham khảo từ TLTK số 1.
Tính chất 2.2. Cho hình thang (), các đường phân giác trong của các góc và cắt nhau tại ; các đường phân giác trong của các góc và cắt nhau tại (). Khi đó các điểm nằm trên đường trung bình của hình thang .
Chứng minh tính chất 2.2:
Do suy ra:
 mặt khác do , , , lần lượt là các đường phân giác trong của các góc , , , của hình thang nên ta có:
 .
Lập luận tương tự ta có . 
Gọi , tương ứng là các trung điểm của , . Khi đó thì suy ra suy ra . Lập luận tương tự ta có . Do đó các điểm nằm trên đường trung bình của hình thang (đpcm).
Nhận xét: Giả sử lần lượt là các giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng . Khi đó từ tính chất 2.2 ta có , lần lượt là các đường trung bình của các tam giác và . Do đó lần lượt là trung điểm của .
	Trong tính chất 2.2 bằng cách sử dụng và điểm đối xứng với điểm qua điểm ta có thể xây dựng bài toán:
Bài 2.3. Trong mặt với hệ trục tọa độ , cho hình thang () có , các đường phân giác trong của các góc và cắt nhau tại , phương trình đường thẳng . Tìm tọa độ của biết thuộc đường thẳng .
Giải. (Sử dụng hình vẽ trong tính chất 2.2).
Từ cách chứng minh tính chất 1.2 ta có suy ra đường thẳng đi qua và có VTPT suy ra phương trình : .
 Do nên tọa độ của là nghiệm của hệ: 
 suy ra .
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó từ nhận xét ta có là trung điểm của đoạn thẳng suy ra . Đường thẳng đi qua hai điểm nên có phương trình: . Đường thẳng đi qua song song với đường thẳng nên có phương trình . Do theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng nên suy ra . 
Kết luận: , .
	Trong bài 2.3 ta có thể thay giả thiết điểm thuộc đường thẳng bởi giả thiết đường thẳng đi qua một điểm nào đó (cho biết tọa độ của điểm và ). Từ đó ta có bài toán:
Bài 2.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình thang () có , các đường phân giác trong của các góc và cắt nhau tại , phương trình đường thẳng . Tìm tọa độ của biết đường thẳng đi qua .
Giải.
Gọi là giao điểm của các đường thẳng và đường thẳng . Khi đó từ nhận xét ta có là trung điểm của đoạn thẳng suy ra . 
Đường thẳng đi qua hai điểm nên có phương trình .
Từ chứng minh của tính chất 2.2 ta có suy ra đi qua và có VTPT suy ra có phương trình: . 
Do nên . Đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng nên có phương trình: . Do nên . Do nên . 
	Trong bài 2.4 ta có thể thay giả thiết cho phương trình đường thẳng bởi giả thiết cho tỉ số giữa hai đoạn thẳng và và cho diện tích của hình thang . Từ đó ta có bài toán:
Bài 2.5. Trong mặt phẳng , cho hình thang () có , các đường phân giác trong của các góc và cắt nhau tại , , 
. Tìm tọa độ của biết đường thẳng đi qua điểm .
Giải.
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và đường thẳng . Khi đó từ nhận xét ta có là trung điểm của đoạn thẳng suy ra . Đường thẳng đi qua hai điểm nên có phương trình: .
Từ chứng minh của tính chất 2.2 ta có suy ra đường thẳng đi qua và có VTPT suy ra có phương trình: . Do nên . Ta có:
Trong mục 2.2: bài 2.3 và bài 2.4 được tham khảo từ TLTK số 3; bài 2.5 được tham khảo từ TLTK số 2.
 mà (1) Mặt khác theo giả thiết . Kết hợp với (1) ta có (2). 
Do điểm thuộc đường thẳng nên . 
Từ (2) suy ra .
Do điểm phải thuộc đoạn nên . Mặt khác 
Kết luận: , , .
Chú ý: Học sinh thường lấy thừa nghiệm do không loại trừ trường hợp không thuộc đoạn .
	Tiếp theo trong tính chất 2.2 sử dụng kết quả các điểm nằm trên đường trung bình của hình thang ta sẽ xây dựng được bài toán sau:
Bài 2.6. Trong mặt phẳng , cho hình thang () có , các đường phân giác trong của các góc và góc cắt nhau tại , các đường phân giác trong của các góc và góc cắt nhau tại , phương trình của đường thẳng : . Tìm tọa độ của .
Giải.
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng với đường thẳng . Khi đó theo nhận xét ta có là trung điểm của đoạn thẳng suy ra E(4;2). Mặt khác theo tính chất 2.2 thì đường thẳng song song với đường thẳng . Do đó đường thẳng đi qua và có VTCP suy ra có phương trình: . Đường thẳng đi qua và song song với đường thẳng nên có phương trình: .
Do , lần lượt là các giao điểm của đường thẳng với các đường thẳng nên ta có .
Ta lại có vuông góc với nên đi qua và có VTPT . Do đó có phương trình: . 
Do là giao điểm của và nên . 
Kết luận: , .
____________________
Trong mục 2.2: bài 2.6 được tham khảo từ TLTK số 1.
Tính chất 2.3. Cho hình thang (). Giả sử là trung điểm của cạnh và là chân đường vuông góc hạ từ xuống . Chứng minh rằng .
Chứng minh tính chất 2.3:
Qua kẻ đường thẳng vuông góc với hai đáy cắt các đường thẳng , lần lượt tại . Khi đó . Do đó:
.
Mà suy ra
 (đpcm).
Từ tính chất 2.3 bằng cách cho tọa độ các điểm ; cho vị trí của điểm trên đường thẳng và cho diện tích của hình thang ta có thể hướng dẫn học sinh xây dựng bài toán sau:
Bài 2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình thang (), là trung điểm của cạnh , là hình chiếu vuông góc của trên . Tìm tọa độ của biết và diện tích của hình thang bằng 15.
Giải.
Do đường thẳng vuông góc với đường thẳng tại nên đi qua và 
có VTPT do đó có phương trình: .
Theo tính chất 1.3, ta có . Mặt khác , suy ra . Lại có suy ra (1).
Do điểm thuộc đường thẳng nên . 
Từ (1) ta có:.
Với ta có . Do suy ra .
Với ta có . Do suy ra .
Kết luận: , hoặc , .
____________________
Trong mục 2.2 bài 2.7 được tham khảo từ TLTK số 2.
2.3. Các tính chất hình học trong tam giác và các bài toán tọa độ trong mặt phẳng: 
Tính chất 3.1. Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn tròn tâm , đường tròn này tiếp xúc với các cạnh và tại hai điểm tương ứng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Chứng minh rằng: .
Chứng minh tính chất 3.1:
Xét tam giác ta có:
 .
Do đó:
Suy ra tứ giác nội tiếp suy ra suy ra (đpcm).
	Trong tính chất 3.1 nếu ta cho các phương trình của đường phân giác trong góc và đường thẳng , cho điểm thuộc một đường thẳng hay một đường tròn hay một đường cônic (có phương trình) thì sẽ xây dựng được bài toán:
Bài 3.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác . Đường phân giác trong góc có phương trình: , đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh và tại hai điểm tương ứng . Tìm tọa độ của điểm biết đường thẳng có phương trình: và điểm thuộc đường thẳng .
Giải.
Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Khi đó tọa độ của là nghiệm của hệ:
 suy ra .
Theo tính ch