Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng định lý Vi - Ét trong việc giải một số bài toán THCS

 MỤC LỤC:
STT
Tên đề mục
Trang
1
Mở đầu
02
2
Nội dung SKKN
04
3
Kết luận và đề xuất
17
A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài:
Với mong muốn góp phần hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh, tự chủ năng động và sáng tạo, có kiến thức văn hóa, khoa học và có kỹ năng giải toán, có sức khỏe và ý chí vươn lên, có năng lực tự học và thói quen học tập suốt đời, có năng lực đi vào thực tiễn xã hội góp phần hiệu quả làm cho dân giàu nước mạnh xã hội công bằng, dân chủ và văn minh.
Toán học nói chung, toán THCS nói riêng có rất nhiều loại, nhiều dạng bài tập nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trước một bài toán mới.
Đối với lứa tuổi học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 9 nói riêng, mặc dù tuổi các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích, suy luận, tự minh tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất nhiều hạn chế nhất là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học. Mặt khác trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến . Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng.
	Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số. Chính vì vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “ vận dụng hệ thức Vi-ét và ứng dụng để giả các bài tập có liên quan” đối với các em là dạng toán khó. Đối với dạng toán này nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải thì còn mắc phải nhiều sai sót..
	Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập. 
Chương trình bộ môn Toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, khi học các em không những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Thông qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức VI-ET vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện luận phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một điều kiện nào đó. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9. Bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theo tham số. Mặt khác do khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài toán nên không định hướng được cách giải.
Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có được đầy đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận các dạng toán về phương trình bậc hai theo tham số. Chính vì vậy trong bài này tôi nêu ra một số ứng dụng của định lý Vi-ét áp dụng giải các bài toán: Giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số...; nhằm giúp cho các em học sinh phổ thông hiểu và sử dụng thành thạo định lý Vi-ét trong giải toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh.
II. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp các em hiểu được tầm quan trọng của hệ thức VI-ET trong việc giải các bài toán phương trình bậc hai. 
	Giúp các em có được sự hiểu biết và phương pháp biện luận nghiệm biểu thức chứa nghiệm của một phương trình bậc hai theo hệ số.
	Rèn luyện cho học sinh tính tư duy logic, sự sáng tạo trong toán; sự say mê và yêu thích học môn toán hơn.
III. Đối tượng nghiên cứu:
 Học sinh lớp 9D ( 54 em) trường THCS Minh Khai thành phố Thanh Hóa năm học 2015 - 2016
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 1. Cơ sở lý luận:
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 9, căn cứ vào thực tế dạy và học, hệ thống bài tập về ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán của chương trình đại số lớp 9 tôi thấy hệ thống bài tập trong SGK, sách bài tập do Bộ giáo dục - đào tạo ấn hành ở dạng cơ bản đơn giản, trên thực tế bài tập về ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán rất đa dạng, phong phú và là một thể loại toán phổ biến của đại số THCS. 
Trong chương trình sách giáo khoa mới toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, đặc biệt là định lý Vi - ét và ứng dụng của nó trong việc giải toán. 
Xong qua việc giảng dạy Toán 9 tại trường THCS tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi - ét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Vi - ét có ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán.
Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài:
 “áp dụng định lý Vi -ét trong việc giải một số bài toán THCS” với mong muốn của tôi giúp cho học sinh nắm vững và thành thạo định lý Vi - ét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích năng lực hứng thú học tập môn toán của học sinh. Khi tôi dạy phần kiến thức này, nhất là đối với học sinh khá, học sinh giỏi đòi hỏi giáo viên phải biên soạn, sưu tầm lựa chọn, nội dung kiến thức cho mỗi dạng toán ... để bài dạy phong phú và đạt hiệu quả cao nhất.
 2. Thực trạng của vấn đề:
 	 Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 9, tôi thấy:
 	- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.
 	- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
 	 - Học không đi đôi với hành làm cho các em ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
 	 Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
 	 - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
 	- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán.
	ứng dụng hệ thức Vi - ét vào giải toán là một dạng toán tương đối phù hợp đối với học sinh THCS vì vậy đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt. Các bài toán sử dụng hệ thức Vi - ét hay được đưa vào cho nhiều loại đối tượng, học sinh yếu, học sinh đại trà, học sinh khá, học sinh giỏi. Song thực chất học sinh được làm quen với các bài toán giải phương trình đơn giản, ở các khối lớp, nhưng đối với phương trình bậc hai các em chỉ được học ở lớp 9 ở dạng đơn giản và được học nhiều ở trường trung học phổ thông, ứng dụng hệ thức Vi - ét để giải toán, thường được đưa vào đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông, và đề thi học sinh giỏi các cấp.
	Vì vậy nếu không rèn luyện cho các em những phương pháp, kỹ năng giải toán dạng này, thì các em rất khó có thể tự học và vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo để giải dạng toán này với nhiều bài khó, phức tạp. 
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện. 
 Trước hết giáo viên cần cung cấp cho học sinh 
 - Những kiến thức cần thiết về lý thuyết để vận dụng vào giải các bài tập.
 - Hệ thống từng dạng bài tập cơ bản thường gặp. 
 - Lựa chọn các ví dụ mẫu, cơ bản, điển hình đối với mỗi dạng.
 - Phân tích, định hướng giải cho mỗi ví dụ. 
 - Trình bày lời giải chính thức cho mỗi ví dụ.
 - Rút ra phương pháp chung cho từng dạng.
 - Ra bài tập củng cố, luyện tập cho học sinh qua từng dạng.
 - Ra các bài tập mang tính vận dụng tổng hợp cho học sinh vận dụng.
 Giải pháp được cụ thể hóa như sau
 Lý thuyết chung
 Như chúng ta đã biết đối với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0, nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình thì x1 + x2 = và x1x2 = .
Ngược lại: Nếu hai số x, y thoả mãn các điều kiện:
x + y = S và xy = P
Thì x, y là nghiệm của phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0	(*)
Chú ý: Phương trình (*) chỉ có nghiệm khi S2 - 4P ³ 0
 Hệ quả (trường hợp đặc biệt).
a) Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có 1 nghiệm x 1= 1 
thì a + b + c = 0 và ngược lại nếu a + b + c = 0 thì x1 =1 và x2 = 
b) Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có 1 nghiệm x1 = -1
 thì a – b + c = 0 và ngược lại nếu a – b + c = 0 thì x1 = -1 và x2 = 
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng các kiến thức đó
I. Ứng dụng của định lý vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện .
Bài giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép) là m ¹ 0 và D' = 0
D' = (m-2)2- m(m-3) = -m+4
D' ³ 0 Û m £ 4.
Với 0 ¹ m £ 4, theo định lý Vi-ét, các nghiệm x1; x2 của phương trình có liên hệ:
x1+x2 = ; 	 x1.x2 = .
Do đó: 1 = = (x1+x2)2 - 2x1x2= - 
Û m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m
Û m2 - 10m + 16 = 0 Û m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = -8 không thoả mãn điều kiện 0 ¹ m £ 4
Vậy với m = 2 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn . 
Bài giải:
Ta phải có: 
(1) Û D' = m2 - 4m + 4 -m2 - 2m + 3 =- 6m + 7 > 0Û m < .
(2) Û m2 + 2m - 3 ¹ 0 Û (m-1)(m+3) ¹ 0 Û m ¹ 1; m ¹ -3.
(3) Û.
* Trường hợp: x1+x2 = 0 Û x1 = -x2 Þ m =2 trái với điều kiện (1)
* Trường hợp: 5 - x1.x2 = 0 Û x1.x2 = 5
 Ta được: m2 + 2m - 3 = 5 Û (m-2)(m+4) = 0
Vậy m = -4 phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 
Ví dụ 3: Cho phương trình: mx2-2(m+1) x+ (m-4) = 0 (m là tham số).
 a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1+ 4x2 = 3;
 b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài giải:
(1)
(2)
(3)
(4)
a) Ta phải có:
Từ (1) và (3) tính được: x2 = ; x2 = .
Thay vào (2) được Û 2m2 - 17m + 8 = 0.
Giải phương trình 2m2 -17m +8 0 được m =8; m = thoả mãn điều kiện (4).
Vậy m=8; m = các nghiệm của phương trình thoả mãn x1+4x2=3.
b) Theo hệ thức Vi-ét:
x1+x2 = 2 + 
x1.x2 = 1 - 	(*)
Thay = x1+ x2 -2 vào (*) được x1x2 = 1-2(x1 + x2 - 2).
Vậy x 1+ x2 = 5 - 2(x1+x2).
Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2 + 2x + m = 0	(1) 
x2 + mx + 2 = 0	(2) 
Bài giải:
Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình, khi đó ta có
Trừ theo từng vế hai phương trình đó cho, ta được: (m-2)x0=m-2.
Nếu m =2 thì (1), (2) là x2 + 2x + 2 = 0 nên vô nghiệm.
Nếu m ¹ 2 thì x0 = 1 từ đó m = -3.
Với m =-3:	(1) là x2+2x -2=0; có nghiệm x1=1 và x2=-3.
Và (2) là x2-3x +2=0; có nghiệm x3 =1 và x4 = 2.
 Vậy, với m = -3 thì hai phương trình có nghiệm chung là x = 1.
2. Bài tập:
Bài 1: Cho phương trình x2 - (m+3)x + 2(m+1) = 0 	(1)
Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1=2x2.
Bài 2: Cho phương trình mx2 - 2(m+1)x + (m - 4) = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn x1+ 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 3: a) Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nhật một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m+4)x + m + 5 = 0	(1)
x2 - (m+2)x + m +1 = 0	(2)
b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình (2) và ngược lại:
II. Ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải toán hàm số và đồ thị.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y =2x2 - x tại hai điểm có hoành độ x1; x2. Tính 
Cách giải:
Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = 2x2 - x tại hai điểm có hoành độ 
x1; x2 có nghĩa là phương trình bậc hai: 2x2 – x – a = 0 có hai nghiệm x1; x2.
Từ định lý Vi-ét ta có:
 x1+ x2 = và x1x2 = 
Từ đó ta có:
= (x1+x2)2 =2x1x2 =
Vậy = 
Ví dụ 2:
 Cho Parabol: y = x2 – x – 2, một đường thẳng đi qua điểm M (1;-1) cắt Parabol tại hai điểm A, B. Tìm toạ độ các điểm A, B biết rằng M là trung điểm của AB.
Cho biết công thức tính toạ độ trung điểm M của AB
Với: A(x1; y1); 	B(x2; y2) là 
Cách giải:
x
y
o 1 B
2
M
-1
A
-1
Đường thẳng y = mx+n đi qua điểm M (1;-1) từ đó tính được n =-(1+m). Hoành độ giao điểm của đường thẳng y=mx-(1+m) và Parabol y = x2 – x + 2 là nghiệm của phương trình:
 x2 – x – 2 = mx - (1+ m) 
 hay x2 =(1+ m)x - 1+ m = 0 (1)
 Gọi x1; x2 là hoành độ của A, B là các 
giao điểm của Parabol và đường thẳng. 
Ta có x1; x2 là các nghiệm của (1)
 nên theo định lý Vi-ét: 
 x1+x2 = 1+ m 	 (2)
Mặt khác, M là trung điểm của AB nên 	(3)
Từ (2) và (3) suy ra 1+m = 2, do đó m=1
Khi đó (1) trở thành x2 - 2x = 0. Phương trình này có 2 nghiệm: x1= 0; x2=2.
Vậy: A(0; -2) , B(2; 0)
Ví dụ 3: Cho Parabol: y=x2 + 7x + 6. Tìm điểm M trên trục tung sao cho hai tiếp tuyến với Parabol kẻ từ M vuông góc với nhau.
Cách giải:
Đường thẳng y = mx + n đi qua điểm M (0; y0) nên được y = mx + y0; hoành độ giao điểm của đường thẳng y = mx + y0 và Parabol y = x2 + 7x + 6 là nghiệm của phương trình: x2 + 7x + 6 = mx + y0
Û x2 + (7- m)x + 6 - y0 = 0	(*)
Để đường thẳng và Parabol tiếp xúc nhau thì phương trình (*) có nghiệm kép, tức là D = (7 - m)2 - 4(6 - y0)
= m2 - 14m + 4y0 + 25 = 0	(1)
Để hai tiếp tuyến vuông góc thì các nghiệm m1, m2 của (1) phải thoả mãn m1m2 = -1, tức là 4y0 + 25 = -1. Từ đó y0 = - 6 . Điểm M phải tìm: (0; -6)
2. Bài tập:
Bài 1: Cho Parabol: y = -x2 + 6x - 5. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và có hệ số góc bằng m.
a) Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng d luôn luôn cắt Parabol tại hai điểm B, C phân biệt.
b) Xác định đường thẳng d để BC có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho Parabol: y = x2. Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc đường thẳng y = - , các tiếp tuyến kẻ từ M với Parabol vuông góc với nhau.
III. Ứng dụng của định lí Vi-ét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn. 
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho x1 = ; x2 = 
Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2
Ta có: x1 = ; x2 = = 
Nên 	x1.x2 = . = 
x1 + x2 =. = 
Vậy phương trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - x + 
Hay 2x2 - 2x + 1 = 0
Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 + 5x - 1 = 0	(1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)
Cách giải:
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức Vi-ét, ta có:
x1 + x2 = -5;	x1.x2 = - 1
Gọi y1; y2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có:
y1 + y2 = 	và y1 y2 = 	
Ta có: 	 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 25 + 2 = 27
 = ()2 - 2 = 729 - 2 = 727
Vậy phương trình cần lập là: y2-727y +1 = 0
2) Bài tập:
Bài 1: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là + và 
Bài 2: Lập phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện:
Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và + = 
Bài 3: Xác định có số m, n của phương trình: x2+mx+n = 0
Sao cho các nghiệm của phương trình làm m và n.
IV. Ứng dụng của định lí Vi-ét trong toán chứng minh. 
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0
Chứng minh: (b-a)(b-c) = pq - 6.
Hướng dẫn học sinh giải. Đây không phải là một bài toán chứng minh đẳng thức thông thường, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phương trình và hệ số của các phương trình đó. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Vi-ét và vận dụng định lý Vi-ét vào trong quá trình biến đổi về của đẳng thức, đề suy ra hai vế bằng nhau.
Cách giải:
Với a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
và b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý Vi-ét ta có:
 và 
Do đó: (a-b) (b-c) = b2 + ac - 3	(1)
pq = (-p)(-q) = (a+b)(b+c) = b2 + ac + 3
Suy ra: pq - 6 = b2 + ac + 3 – 6 = b2 + ac - 3	(2)
Từ (1) và (2) suy ra (b-a)(b-c) = pq - 6 (đpcm).
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = -2 (1)	;	a2 + b2 + c = 2	(2)
Chứng minh rằng mỗi số a,b,c thuộc đoạn khi biểu diễn trục số.
Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được:
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4-2) : 2 = 1
Þ bc = 1- a(b + c) =1- a(-2 - a) = a2 + 2a +1
Ta lại có: b + c=-(a + 2), do đó b,c là nghiệm của phương trình:
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0
Để tồn tại X phải có: D ³ 0
(a + 2)2 - 4(a2 + 2a +1) ³ 0
a(3a + 4) £ 0 Û - £ a £ 0
Tương tự: - £ b £ 0; - £ c £ 0
2. Bài tập:
Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c,d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0.
Chứng minh hệ thức: (c - a)(a - b)(b - c)(b - d) = (p - q)2
Bài 2: Cho các số a,b,c thoả mãn:
 Chứng minh rằng: ½a½; ½b½; ½c½ £ 
V. Áp dụng định lí Vi-ét vào giải phương trình và hệ phương trình. 
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: x3 + 3x2 - 3x +11= 0
Cách giải:
Đặt:	 y = x -1 ta có: x = y + 1 thay vào (1) được:
(y+3)3 + 3(y+1)2 - 3(y+1) + 11= 0
Û y3 + 3y2 + 3y + 1- 3y2 – 6 y – 3 – 3y – 3 + 11=0
Û y3 - 6y + 6 = 0	(2)
Đặt: 	y= u + thì (2) trở thành:
(u+)3 - 6(u +) + 6 = 0
Ûu3 + 3u2 + 33 +3 - 6u - 6+ 6 = 0
Û u3+3+ (u +)(3u - 6) + 6 = 0
Û Hay	
Như vậy: u3, 3 là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
t2 + 6t + 8 = 0
D' = 9 - 8 = 1
t1=-3 +1=2
t2=-3 -1=4
Suy ra u3=-2; 3=-4 hoặc u3=-4; 3=-2
Với: u3=-2 Þ u = 	u3=- 4u=
= -4 Þ = v3 = -2 
Do đó: y = u+ = 	+
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: x = y +1 =++1
Ví dụ 2: Giải phương trình: = 6
Hướng dẫn:
TXĐ= {xÎR ½ x¹-1}
Đặt:	 Þ 
Tính: u, , rồi từ đó tính x.
Bài giải:
TXĐ = {xÎR ½ x¹-1}
Đặt:(*) Þ Þ 
u, là nghiệm của phương trình: 	x2 - 5x + 6 = 0
D = 25 -24=1
x1 = = 3
x2 = = 2
u =3 thì = 2 hoặc u = 2 thì =3
Nếu: thì (*) trở thành: 	x2 + 2x+3 = 0
D' =1-3 = -2 < 0
 Phương trình vô nghiệm:
Nếu: 
thì (*) trở thành: x2 -3x+ 2=0
Suy ra: x1=1; x2=2
Vậy phương trình có hai nghiệm x1=1; x2 =2.
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình:
a)	
b)	
a) x,y là nghiệm của phương trình:	 x2 - 11x +31 = 0
 D = (-11)2 - 4.1.31 = 121-124 = -3 < 0
 Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
Ta có hệ: 
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 - 7t + 12 = 0.
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x,y là nghiệm của phương trình:
u2 + 4u + 3 = 0
 Þ u = 1 và u = 3
 Suy ra (x =1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình:
2 - 3 + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = -7 <0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:
(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình: x3+9x2+18+28=0.
Bài2: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	
b) 	
VI. Định lí Vi-ét với bài toán cực trị.
1. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
 x2 - (2m-1)x + m - 2 = 0.Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài giải:
Xét: D = 4m2 - 4m + 1- 4m + 8= 4m2 - 8m + 9 = 4(m-1)2 + 5 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lý viét ta có: x1+x2 = 2m -1; x1.x2 = m - 2
Þ = (x1 +x2)2- 2 x1x2 = (2m -1)2 – 2(m-2)
= 4m2 - 6m + 5=(2m - )2 + ³ 
Do đó giá trị nhỏ nhất của 
Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:
2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A=½x1x2 - 2x1 - 2x2½.