SKKN Ứng dụng của tỉ số thể tích trong một số bài toán hình học không gian

MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
Phần 1. Mở đầu
2
Phần 2. Nội dung của đề tài
3
 2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
 2.2 Thực trạng vấn đề
4
 2.3 Giải pháp để giải quyết vấn đề
4
 2.3.1 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện
4
 2.3.2. Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích
8
 2.3.3. Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách
13
 2.3.4. Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác
17
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
Phần 3. Kết luận và kiến nghị
20
Tài liệu tham khảo
21
1. MỞ ĐẦU
- Lý do chọn đề tài
 Trong những năm học trước thì đề thi Đại học – Cao đẳng (THPT Quốc Gia) câu hỏi về hình học không gian thường ở dạng “thẳng” tức là làm trực tiếp, phần lớn các em đã quên các kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11. Do đó việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng.
 Trong năm học 2016 – 2017 này việc thi THPT Quốc Gia môn Toán được chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, trong đó có khoảng ba đến bốn câu về khối đa diện(dựa theo các đề tham khảo của bộ) và để giải quyết vấn đề này với lượng thời gian rất ngắn là một vấn đề khá khó với phần đông học sinh. Qua việc tham khảo tài liệu thì việc tính thể tích khối đa diện hay tỉ số thể tích giữa các khối đa diện thường dùng bằng cách phân chia, lắp ghép các khối đa diện và lập tỉ số thể tích giữa các khối đa diện để đưa về yêu cầu cần xác định. Đó là loại câu hỏi mang tính phân loại cao của đề thi. 
 Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được
 Nhưng qua việc nghiên cứu tài liệu, học tập ở đồng nghiệp thì thấy có rất ít tài liệu nghiên cứu hay bàn sâu vào vấn đề này hoặc có những tài liệu khi viết về vấn đề này thường không triệt để hoặc quá phức tạp cho học sinh, với mong muốn đơn giản hóa vấn đề để các em học sinh dể tiếp cận, được rèn luyện nhiều, xử lý tốt một câu khó trong đề thi. Trước kì thi THPT Quốc Gia đến gần, với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh thêm một phương pháp để giải quyết một số bài toán hình học không gian, tôi nghiên cứu và viết đề tài: “ Ứng dụng của tỉ số thể tích trong một số bài toán hình học không gian”. Mong rằng với tài liệu này, được sự hưởng ứng của đồng nghiệp; các em học sinh thêm tự tin để giải quyết tốt bài toán về thể tích khối đa diện.
- Mục đính nghiên cứu
 Với mục đính “Sử dụng tỉ số thể tích trong một số bài toán hình học không gian” nhằm giúp cho học sinh giải tỏa bớt khó khăn khi giải quyết bài toán thể tích khối đa diện, thông qua đó phát triển tư duy, vận dụng kiến thức linh hoạt, tạo hứng khởi tìm tòi, khám phá và yêu thích môn Toán cũng như mong muốn đóng góp một phần công sứ nhỏ bé của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT Lê Lợi. 
- Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài này sẽ nghiên cứu về kỹ năng phân chia, tách ghép khối đa diện và sử dụng tỉ số thể tích khối đa diện để giải quyết bài toán về thể tích nằm trong trương trình toán phổ thông; luyện thi đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông. Với trách nhiệm của một người giáo viên muốn đưa đến học sinh những điều tốt đẹp nhất hy vọng đây là tài liệu giảng dạy bổ ích cho đồng nghiệp cũng như cho học sinh trong các bài toán trắc nghiệm về thể tích khối đa diện
- Phương pháp nghiên cứu
 Với mục tiêu là rèn luyện về kỹ năng sử dụng tỉ số thể tích giữa các khối đa diện nên phương pháp nhiên cứu mà tác giả đã sử dụng trong đề tài là phương pháp nghiên cứu xây dựng trên cơ sở lý thuyết, trong phần ví dụ đều cho ở hai dạng câu hỏi tự luận và câu hỏi trắc nghiệm khách quan; trình bày lời giải đầy đủ của một ví dụ.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 
Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ , Khối chóp , Khối hộp chữ nhật , ) rồi cộng các kết quả lại.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ
Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25)
Cho khối chóp S.ABC, trên các đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác điểm S. CMR: (1)
Giải: 
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ lên (SBC). Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’
cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét SAH ta có (*)
Do đó 
(**)
Từ (*) và (**) ta được đpcm □
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’B và C’C ta được
	(1’)
Ta lại có 
. Vậy: (2)
Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
 Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2An (, trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
	(2’)
Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
 Bài toán 3: Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số hai chiều cao
 Bài toán 4: Hai hình chóp có cùng độ dài chiều cao thì tỉ số thể tích của chúng bằng tỉ số diện tích đáy
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
Hình học không gian là một vấn đề khó và rộng đòi hỏi học sinh phải có tư duy trừu tượng cao, phải có khả năng phân tích, tổng hợp, đánh giá, vì thế mà khi đứng trước một bài toán yêu câu tính thể tích hoặc tỉ số thể tích để định hướng được cách giải thường gặp khó khăn và đề tài góp một phần nhỏ trong định hướng và giải quyết vấn đề trên
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Dựa vào bốn bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó
2.3.1 Tính tỉ số thể tích các khối đa diện
Ví dụ 1 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD [1]
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó
(1). Lại có hai hình chóp S.BCM và S.BCD có cùng chiều cao và (đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau) nên (2). Mặt khác tương tự ta cũng có (3)Từ (1), (2), (3). Vậy 
Ví dụ 2 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi mp(AB’D’) [1]
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’
Ta có 
; 
Suy ra Kẻ OO’//AC’ ( . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C. 
Do đó Hay 
Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD là hình vuông tâm O. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SB, SD. Tỷ số thể tích bằng [4]
A. 12 B. 6 C. 8 D. 4
Xét hai hình chóp A.HOK và A.SBD có chung mặt phẳng đáy nên có chung chiều cao; Do H, K, O lần lượt là trung điểm của SB, SD, BD nên . Chứng minh tương tự hay . Chọn đ.án C
Ví dụ 4 (Đề tham khảo lần 3 của Bộ giáo dục & đào tạo năm 2017)
Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số . [2]
A. B. C. D. 
Giải
Gọi K, M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD, BC, BD, CD. Khi đó . Mặt khác
. 
Chứng minh tương tự ta được
. Vậy hay 
Chọn đáp án A
Ví dụ 5 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C’B’ và C’D’. Khối lập phương bị mặt phẳng (AEF) chia thành hai phần, khối chứa điểm C có thể tích bằng V1, khối còn lại có thể tích bằng V2 . Khi đó tỉ số bằng: [4]
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải 
Đặt 
Dễ thấy (cùng chiều cao và diện tích đáy) 
Chọn đáp án D
* Bài tập tham khảo:
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS: 
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng () qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính để mặt phẳng () chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
ĐS: 
Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (BDC’) chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ lệ thể tích phần nhỏ so với phần lớn là :
	A. 	B. 	C. 	D. 
ĐS: Đáp án A
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; . Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC). Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.BCNM. Tỷ số là:
A. 	 	B. 	C. 	 D. 
ĐS: Đáp án C
2.3.2 Ứng dụng của tỉ số thể tích để tính thể tích
Ví dụ 1 (ĐH khối B – 2008 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,, và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a [2]
Giải
Áp dụng công thức (1) ta có
Suy ra
Ghi chú: 
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ 2 (ĐH khối A – 2007 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a [2]
Giải
Ta có
 Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
Gọi H là trung điểm của AD ta có mà nên . 
Do đó . Vậy: (đvtt)
Ví dụ 3 (ĐH khối D – 2006 )
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a [2]
Giải
Ta có . AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau nên ta có 
Tương tự 
Do đó VS.AMN = .VS.ABC =.VS.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VS.ABC .Mà VS.ABC = . 
Vậy VA.BCMN = (đvtt)
Ghi chú: 
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau đây ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ 4 (ĐH khối B – 2006)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD = a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a [2]
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó nên (1). 
Mặt khác 	(2). Từ (1) và (2) suy ra 
Mà . Vậy (đvtt)
Ví dụ 5 (Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa)
Tính thể tích của khối chóp có độ dài các cạnh và [3]
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.
Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S (Các mặt bên có đường trung tuyến bằng một nữa cạnh huyền) và (Có chung chiều cao và )
Đặt , ta có: 
S
M
N
P
B
C
A
. Chọn đáp án C
Ví dụ 6 (ĐH - CĐ khối D – 2010)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. [2]
Giải
Từ giả thiết ta tính được . Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA.
Ta có 	
 (đvtt)
Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD có hai cạnh đối và AB, CD tạo với nhau góc 300. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng a. Tính thể tích khối tứ diện. [3]
A. 	B. 	C. 	D. 
Giải
Dựng, ta được và 
Chọn đáp án D
Ví dụ 8 Cho hình chóp đều S.ABC có đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi A’; B’; C’ tương ứng là các điểm đối xứng của A; B; C qua S. Thể tích của khối bát diện có các mặt: ABC; A’B’C’; A’BC; B’CA; C’AB; AB’C’; BC’A’; CA’B’ là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải
Thể tích khối bát diện đã cho là
Ta có: . Xét vuông tại G:
Vậy .
Chọn đáp án C
* Bài tập tham khảo:
Bài 1. Cho khối tứ diện ABCD có . Tính thể tích tứ diện ABCD.
ĐS: 
Bài 2. Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
ĐS: 
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP
	ĐS: 
Bài 4. (ĐH khối B – 2010)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
	ĐS: và 
Bài 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều biết cạnh , . Gọi , lần lượt là trung điểm của cạnh và . Tính thể tích của khối đa diện 
A. 	B. 	C. 	 D. 
 ĐS: Đáp án đúng: A
Bài 6. Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng nằm trên một mặt phẳng và
. A, B, C là các điểm tương ứng trên Ox, Oy, Oz. Biết OA= a; OB = 2a; OC = 3a. Thể tích khối chóp O.ABC theo a là:
A. 	B. 	C. 	 D. 
 ĐS: Đáp án đúng: B
Bài 7. Cho  hình  hộp   ABCD.A’B’C’D’, có đáy  là  hình    thoi  cạnh  bằng  a, góc A bằng 600.Hình chiếu của B’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD.Biểt BB’= a.Thể tích khối hộp là:
 A. B. C. D. 
 ĐS: Đáp án đúng: A
Bài 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Thể tích của khối tứ diện ACB’D’ là
A. 	 B. 	 C. D. 
 ĐS: Đáp án đúng: B
2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính khoảng cách
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 (ĐH khối D – 2002 )
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). [2]
Giải
Ta có AB2 + AC2 = BC2 . Do đó . Mặt khác CD = , BD = BC = 5, nên cân tại B, Gọi I là trung điểm của CD
Vậy 
Ví dụ 2 (ĐH khối D – 2007)
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) [2]
Giải
Ta có vuông tại A và AH là đường cao nên 
Mà . 
 vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), do đó . 
Vậy 
Ví dụ 3 (ĐH khối D – 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C [2]
Giải
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’Suy ra B’C//(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)). Ta có .Ta có 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có . Hơn nữa , nên ta được AE , mà AE = , vuông tại B nên 
 . vuông tại B nên . Do đó 
Vậy: 
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính 
Ví dụ 4 
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC’B’) [1]
Giải
Theo giả thiết ta có A’H (ABC). 
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên AH = BC = a. vuông tại H nên ta có . mặt khác Suy ra 
Ta có . Vì vuông tại A’, suy ra B’H = . cân tại B’. Gọi K là trung điểm của BH, ta có . Do đó .
Suy ra . Vậy 
Ví dụ 5 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, . Khoảng cách giữa AB và SC bằng: [4]
A. B. C. D. 
Giải Dựng hình bình hành ABCD, khi đó . Lại có 
(cùng chiều cao và diện tích đáy)
Ta có: nên (có thể dùng công thức Hê-rông hoặc đây là tam giác cân chỉ cần xác định đường cao ). Từ 
Chọn đáp án A
* Bài tập tương tự:
Bài 1. (ĐH khối D – 2009)
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: 
Bài 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: 
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: 
Bài 4. Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: 
Bài 5. Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện của tứ diện. CMR: 
Bài 6. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I,AB = a,BC =, H là trung điểm của AI. Biết SH vuông góc với đáy và tam giác SAC vuông tại S. Khoảng cách từ S đến (SBD) là:
A. B. C. D. 
 ĐS: Đáp án đúng: C
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCN) bằng:
A. B. C. A. 
 ĐS: Đáp án đúng: B
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBM) bằng:
A. B. A. A. 
 ĐS: Đáp án đúng: B
2.3.4 Ứng dụng tỉ số thể tích để tính diện tích đa giác
Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo công thức , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ1 (ĐH khối A – 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng [2]
Giải
Gọi K là trung điểm của BC và I là trung điểm của MN. Ta có (1)
Từ và (do cân tại A) nên .
Mặt khác, do đó 
Từ (1) 
(O là trọng tâm của tam giác ABC)
Ta có cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên 
AK = AS = và SI = .
Vậy 
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi với . . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ H đến (SAB) bằng 2cm và thể tích khối chóp S.ABCD bằng . Diện tích tam giác SAB bằng [4]
A. B. C. D. 
Giải Vì nên hình chiếu H của S trên mặt phẳng đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lại có đáy là hình thoi và nên tam 
giác ABC đều do đó H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi I là tâm hình thoi, khi đó 
nên . Mặt khác . Chọn đáp án D
* Bài tập tham khảo:
Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2 ). Một mặt phẳng qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện.
Xác định thiết diện đó
Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a)
ĐS: Thiết diện AMN có diện tích 
Bài 2 Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD)
Chứng minh rằng: 
Tính diện tích tam giác BCD
ĐS: 
Bài 3. Cho hình hộp đứng ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, . Diện tích thiết diện của hình hộp qua B vuông góc với là
A. B. C. D. 
 ĐS: Đáp án đúng D
Bài 4. Cho hì