SKKN Sử dụng một số bài toán đặc trưng của hình học phẳng ở chương trình THCS để giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng ở chương trình THPT giúp học sinh trường THPT Như Thanh 2 ôn luyện thi THPT Quốc gia và học sinh giỏi các cấp

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Ở CHƯƠNG TRÌNH THCS ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Ở CHƯƠNG TRÌNH THPT GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2 ÔN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA VÀ HỌC SINH GIỎI CÁC CẤP
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
THANH HOÁ NĂM 2018
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
 Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi THPT có môt phần rất quan trọng nằm ở câu vận dụng cao đó là câu hỏi về hình học phẳng nằm ở chương trình lớp 10. Đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp Trung học cơ sở nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích. Như vậy, mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó. Tuy nhiên, khi giải các bài toán hình học toạ độ học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh. Do đó, hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ ràng. Thực tế yêu cầu trong việc giảng dạy chỉ phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán đó. Vì vậy, với trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này. Qua quá trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng một số bài toán đặc trưng của hình học phẳng ở chương trình THCS để giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng ở chương trình THPT giúp học sinh trường THPT Như Thanh 2 ôn luyện thi THPT Quốc gia và học sinh giỏi các cấp”. 
1.2. Mục đich nghiên cứu
 Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán của hình học phẳng ở chương trình THCS có ứng dụng để giải các bài toán có liên quan ở hình học giải tích ở chương trình THPT và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán về hình học giải tích.
 Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi THPT Quốc gia và kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá.
Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
	Tính chất đặc trưng của hình học phẳng, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10.
	Một số đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá từ 2012 đến nay.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 	 - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 10 và lớp 12
 	 - Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của học sinh lớp 12C1 năm học 2016-2017. Lớp 11A1 năm học 2017-2018 trường THPT Như Thanh 2.
 	- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng trong các kì thi THPT Quốc Gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây. 
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
 Một số bài toán cơ bản của hình học phẳng thường dung.
Bài toán 1: Liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng.
Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn ngoại tiếp và K là giao điểm của AH với BC. Chứng minh rằng K là trung điểm của HD
Chứng minh
Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung )
Và ( cùng phụ với góc ) 
 cân tại B mà nên K là trung điểm của HD (đpcm)
Bài toán 2 : Liên quan đến quan hệ vuông góc trong giải toán
Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh rằng 
Chứng minh:
Mà (đpcm)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I. Gọi H, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC. Chứng minh rằng 
Chứng minh
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trong ngoại tiếp tam giác 
ABC tại A (1)
Do nên tứ giác BKHC nội tiếp 
suy ra (2) (cùng bù với góc )
Từ (1) và (2) mà (đpcm)
Bài toán 3: Liên quan đến trực tâm của tam giác
 Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, E và G lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và ABC. Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác DEG
 Chứng minh
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD. Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có mà (1)
Mặt khác cân tại A nên mà DM 
là đường trung bình của 
do đó 
Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác DGE
2.2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Thực trạng đứng trước một bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từ đâu ? Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán. Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm. Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán. 
 Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản. Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán. Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều. Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng. Vì vậy, song song với các lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ không phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng. Qua đó giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng”. Vì vậy phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng
2.3. Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1. Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên 
2. Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương ứng. 
3. Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh. 
4. Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán. 
5. Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện. 
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng cho bài học. Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi: bản chất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không? Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó. Vì vậy, để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán. Trong các buổi học này chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp tư duy giải toán: "phân tích tính chất hình học phẳng trong bài toán hình học toạ độ tương ứng". Trước hết, ta cần chú ý chuyển bài toán toạ độ về bài toán hình phẳng trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho. Sau đó, ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán.
 Cụ thể sau đây là một số ví dụ áp dụng một số bài toán cơ bản của hình học phẳng ở chương trình THCS để giải một số bài toán hình học giải tích ở chương trình THPT.
Áp dụng Bài toán 1: Liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho nhọn có trực tâm H(5;5), phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x+y-8=0. biết đường tròn ngoại tiếp đi qua 2 điểm M(7 ;3), N(4 ;2). Tìm tọa độ các đỉnh của .
Hướng dẫn giải.
Gọi D là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC 
+Đường thẳng (HHD) vuông góc với BC và qua H có PT x-y=0
+ Gọi K là chân đường cao hạ từ A 
+ Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đi qua 3 điểm D(3 ;3),M(7 ;3),N(4 ;2) có PT : 
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
+ Tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ hoặc B(3 ;5),C(6 ;2).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho nhọn. Đường trung tuyến kẻ từ A và phương trình đường thẳng BC lần lượt là Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tai điểm thứ hai là D(4;-2). Viết phương trình các cạnh AB, AC biết 
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm BC
+ Tọa độ điểm {M}= là nghiệm của hệ 
 + có PT: x+y-2=0.
+ Tọa độ điểm {A}= là nghiệm của hệ 
+ Tọa độ điểm {K}= là nghiệm của hệ 
 +Theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC 
Do M là trung điểm của BC nên C(7-t;3-t).
Do 
Ví dụ 3. ( Trích đề thi HSG cấp tỉnh môn toán tỉnh Thanh Hoá năm 2013)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Ta kí hiệu lần lượt là vtpt, vtcp của đường thẳng d. 
Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
AD vuông góc với BC nên , mà AD đi qua điểm D suy ra phương trình của . Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
Tứ giác HKCE nội tiếp nên , mà (nội tiếp chắn cung ) Suy ra , vậy K là trung điểm của HD nên .
Do B thuộc BC , kết hợp với M là trung điểm BC suy ra . 
. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
Do . Ta có
Suy ra 
Áp dụng Bài toán 2: Liên quan đến quan hệ vuông góc trong giải toán
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA. Gọi F(1;1) là điểm trên cạnh BC sao cho . Điểm là giao điểm của BD và AF. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B nằm trên đường thẳng (d): x+2y-6=0.
Hướng dẫn giải.
+ Viết PT đường thẳng AF qua H và F
+ Viết PT đường thẳng BD qua H và vuông góc với AF
+ Điểm B là giao điểm của (d) với BD. Ta có 
+ Viết PT đường thẳng AB qua B và vuông góc với BF
+ Điểm A là giao điểm của AF với AB; 
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Gọi là giao điểm của AM và BN. Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : x +2y +4 =0.
Hướng dẫn giải
+PT đường thẳng BN: 3x+y-4=0
+PT đường thẳng sẽ có PT : 
+ Điểm A là giao điểm của nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
+ Điểm M là giao điểm của nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
Ví dụ 3. ( trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2014)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần 
lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết và điểm D nằm trên đường thẳng.
A
M
D
C
B
N
H
H
Hướng dẫn giải
Trong tam vuông BCH ta có : HN=NC (1)
 Mặt khác: BH và DN song song với
(Vì cùng vuông góc với MC)
Từ đó: H và C đối xứng qua DN
 DH vuông góc với HN
Gọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện 
Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được 
Từ đó tìm được : .
Ví dụ 4. (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2016)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD có và A, C thuộc trục hoành. Gọi E là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng EC đi qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên.
Hướng dẫn giải
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J là giao điểm của BD với CE. Khi đó ta có: 
và suy ra H là trực tâm của suy ra thẳng hàng. Do đó 
Đường thẳng BE qua B(2;4) vuông góc với Ox nên có phương trình x =2.
Gọi 
Thay (2) vào (1) ta được (do b nguyên)
(Ta chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất trên khoảng nên không có nghiệm nguyên ).
Khi đó , đường thẳng CD có phương trình cắt Ox tạiC(-1;0).Vậy là các điểm cần tìm.
Áp dụng Bài toán 3: Liên quan đến trực tâm của tam giác
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho cân tại A; M là trung điểm đoạn AB. Biết rằng là tâm đường tròn ngoại tiếp và G(0;1), lần lượt là trọng tâm tam giác ACM. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC 
Hướng dẫn giải
Giả sử M(x;y) và . 
Ta có 
Lại có 
Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM
 suy ra A(4;5) và M là trung điểm của AB . suy ra B(-5;2).
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy cho cân tại A; M là trung điểm đoạn AB. Biết rằng là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ACM. Các đường thẳng AB, CM lần lượt đi qua các điểm E(-2;3), F(0;1). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết hoành độ điểm M âm.
Hướng dẫn giải
+ PT đường thẳng CM qua F và vuông góc với KI là:
 5x+y-1=0
+ M thuộc CM nên M(m;1-5m)
+ 
+ PT đường thẳng AB qua M và E là: x-3y+11=0
+ Goi P là trung điểm của AC thì theo 
tính chất trọng tâm tam giác ta có : 
+ Ta có 
+ P là trung điểm của AC ta được A(4 ;5), C(1 ;-4).
Chọn một tam giác nào đó giả sử A(7;5), B(-1;1), C(3;-3). Khi đó ta tìm được điểm D(3;3). Tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ACD là .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
- Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan.
+ Việc tiếp cận các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng của các em học sinh đã nhanh nhạy hơn, các em đã tự tin khi tiếp cận dạng toán này.
+ Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn đề mới.
+ Chất lượng ôn thi mũi nhọn môn Toán của nhà trường được nâng lên rõ rệt, làm tiền đề cho việc nâng cao chất lượng dạy và học.
Trong hai đề thi học sinh giỏi cấp trường môn toán năm học 2016 - 2017 thì có 85% học sinh lớp 10 và 90% học sinh lớp 11 giải được bài toán hình học giải tích phẳng.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Trước một bài toán, giáo viên phải biết hướng dẫn học sinh tự giải, biết tìm ra hướng đi đúng đắn. Bởi một số bài toán đòi hỏi phải sáng tạo, phải có tư duy nhất định mới có thể giải được.
Biết trân trọng thành quả lao động sáng tạo của các nhà khoa học, giúp học sinh hứng thú học tập bộ môn nhằm nâng cao chất lượng bộ môn toán và chất lượng giáo dục hiện nay.
Hiện nay, đa số các thầy cô giáo cũng biết phương pháp này. Tuy nhiên ứng dụng của nó hiện nay chưa được nghiên cứu một cách tổng thể. Do vậy tôi mong rằng những kinh nghiệm nhỏ mình có thể giúp ích phần nào cho công tác giảng dạy tại các trườngtrung học phổ thông.
3.2. Kiến nghị
 	Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy để học sinh hiểu, nắm vững kiến thức cơ bản, vận dụng được kiến thức để giải toán cần lưu ý một số nội dung sau:
 	Phải đầu tư nhiều thời gian để nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để hiểu rõ kiến thức cơ bản, kiến thức trọng tâm.
 Biết phân loại, dạng bài tập phù hợp các đối tượng trong lớp, kiên trì uốn nắn động viên, phát huy kiến thức học sinh đã có, bổ sung hoàn thiện kiến thức học sinh thiếu, hổng trong từng tiết dạy.
Thường xuyên nắm bắt ý kiến phản hồi từ phía học sinh thông qua các tiết bài tập, bài kiểm tra định kỳ, kiểm tra miệng  điều chỉnh kịp thời nội dung giúy học sinh dể hiểu bài học.
 	Trước khi giảng dạy phần này nói riêng cũng như các nội dung khác nói chung giáo viên cần bổ sung những nội dung kiến thức có liên quan để học tốt nội dung mới.
 	Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân để phần nào giúp học sinh có cái nhìn dễ dàng hơn về bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng. Tôi cũng nhận thấy với sự hiểu biết có hạn, thời gian, không gian hẹp nên sáng kiến này không tránh khỏi thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cám ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết
 Nguyễn Thị Thanh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi đại học, cao đẳng từ các năm học 2010 đến nay.
2. Đề thi học sinh Giỏi tỉnh Thanh Hóa từ năm học 2010 đến nay.
3. Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng oxy, Đặng Thành Nam, NXB Giáo dục Việt Nam 2014.
4. Sách giáo khoa hình học 9, NXB Giáo dục Việt Nam 2012.
5. Sách giáo khoa hình học 9, NXB Giáo dục Việt Nam 2012.
6. Sách giáo khoa môn Hình học lớp 10, NXB Giáo dục Việt Nam 2012.
7. Sách giáo khoa Hình học 10 (Chương trình Nâng cao), NXB Giáo dục Việt Nam 2012.
8. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ 2015, 2016, NXB Giáo dục.
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài 1	
 1.2. Mục đich nghiên cứu 1
1.3. Đối tượng thời gian nghiên cứu 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu 1
2. NỘI DUNG 
2.1 Cơ sở lý luận 3	
 Thực trạng vấn đề 5
2.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện 6
2.4 Hiệu quả của đề tài 13
 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	 
3.1 Kết luận 14
3.2 Kiến nghị 14