SKKN Sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 8, 9 tại trường Trung học Cơ sở Lương Thế Vinh

Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Lí do lý luận: Như chúng ta đã biết, môn Toán học là một môn khoa học tự nhiên không thể thiếu trong đời sống mọi mặt của con người. Với một xã hội mà khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển như hiện nay thì môn toán lại càng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu khoa học nói riêng. Để thực hiện được nhiệm vụ là môn khoa học cơ bản, nền tảng cho nhiều môn khoa học khác phát triển thì phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở phải luôn gắn liền việc dạy học kiến thức, kĩ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người, song hành việc phát triển trí tuệ của học sinh và kĩ năng vận dụng các kiến thức đã học vào thực tế. Như vậy, người giáo viên sẽ đóng một vị trí quan trọng trong việc hướng dẫn, tổ chức điều khiển học sinh tiếp cận, lĩnh hội kho tàng tri thức của nhân loại. Khi đó thông qua hoạt động dạy và học nói chung, qua việc học toán nói riêng, đặc biệt là qua hoạt động giải bài tập toán giúp học sinh rèn luyện việc ghi nhớ - lưu giữ và tái hiện kiến thức. Nghĩa là học sinh hồi tưởng, nhớ lại, biết lựa chọn, kết hợp và vận dụng các kiến thức đã học một cách phù hợp trong việc giải quyết các bài toán. Qua đó rèn trí thông minh, sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ toàn diện cho học sinh.
Lí do thực tiễn: Qua thực tế giảng dạy môn Toán THCS nói chung và môn Toán lớp 8, 9 nói riêng, môn Toán luôn tạo ra những những điều thú vị đầy bí ẩn riêng biệt. Để am hiểu cặn kẽ những điều này, đòi hỏi người học phải luôn có sự đam mê khám phá, tìm hiểu. Những kiến thức ở mức độ căn bản của bộ môn thường yêu cầu tất cả người học phải nắm được. Những kiến thức mở rộng, nâng cao, luôn tạo ra nhiều cơ hội mới cho tất cả những ai có lòng say mê bộ môn, có tính kiên trì, nghị lực, có bản lĩnh vượt khó tìm hiểu và chinh phục. Đối với học sinh THCS bất đẳng thức nói chung là một mảng khó trong chương trình toán. Phần lớn học sinh chưa nắm được phương pháp giải và trình bày bài toán bất đẳng thức. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập bất đẳng thức chính là những lập luận (suy luận) từ những kiến thức lí thuyết trừu tượng đến những điều kiện cụ thể chuyển thành lời giải của bài toán. Trong đó điều cơ bản của việc dạy cách giải bài tập toán là dạy cho học sinh tự giải những bài tập quen thuộc, cơ bản để từ đó học sinh liên tưởng, tìm tòi, sáng tạo vào trong các bài tập liên quan hoặc cùng dạng. Bồi dưỡng, phát triển trí tuệ và năng lực hoạt động sáng tạo của học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên và các trường học. Trong công tác bồi dưỡng hoc sinh giỏi việc chọn lọc học sinh giỏi trong đội tuyển là khâu hết sức quan trọng và việc chọn lựa các chuyên đề bồi là việc làm quan trọng nhất. Chính vì điều này, tôi đã viết sáng kiến kinh nghiệm tìm hiểu “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh” trong chương trình Toán lớp 8, 9 nói riêng và vận dụng trong Toán học nói chung với mong muốn được tích lũy thêm kiến thức kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giảng dạy, đồng thời nhận được thật nhiều các ý kiến góp ý của các thầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường để SKKN này được trọn vẹn hơn nữa. Có lẽ rằng nhiều ý kiến của tôi nêu ra sẽ là quá cũ, quá quen thuộc, song tôi luôn hy vọng rằng nó sẽ góp được một điều nhỏ bé nào đó cho mỗi chúng ta trong quá trình giảng dạy mảng kiến thức này. Đây là mong muốn và cũng là lí do giúp tôi chọn nghiên cứu SKKN này.
II. Mục đích nguyên cứu.
Trước khi thực hiện SKKN này tôi nhận thấy ở trường nhiều em học sinh giỏi dự thi kì thi cấp tỉnh đều đạt kết quả rất thấp mọi kì vọng các thầy cô về học sinh dự thi không như mong đợi dẫn đến các em khóa sau ngại thi bộ môn toán vì thành tích trường không cao so các môn khác. Các em thấy những bài thầy cô có dạy qua mà mình không làm được cảm thấy ngại với thầy cô vì thầy cô bỏ tâm huyết công sức bồi dưỡng cả năm trời không thu lại thành quả. Xuất phát từ nguyên nhân đó tôi thống kê lại nguyên nhân vì sau các em thất bại hình thành cho mình một con đường mới trong công tác bồi giỏi. Các sáng kiến chuyên đề bồi rộng giáo viên ôn tập hết không có thời gian xuất phát từ đó tôi nhận ra rằng các cấu trúc đề thi hiện nay không chuyên sâu mà dàn trải rộng tập trung ở một số chủ đề chính mà các SKKN trước đó mang tính chuyên sâu về nội dung từng chủ đề việc người học tiếp thu được là vấn đề rất khó khăn do đó tôi sắp xếp lại cấu trúc các bài vừa sức học sinh không quá khó theo từng dạng đặc biệt dạng gần gủi với các em nên việc tiếp thu không quá khó theo các mảng theo chuyên đề dẫn đến các em hào hứng học tập hơn với mục tiêu đội ngũ học sinh giỏi Toán của Trường THCS Lương Thế Vinh phải đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh mà bài toán về bất đẳng thức luôn có đó chính là mục đích nguyên cứu đề tài này.
Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I. Cơ sở lý luận của vấn đề.
Kiến thức về bất đẳng thức được giới thiệu trong chương III đại số 8. Đây là cơ sở lý luận để nhận biết được bất đẳng thức. Nó còn được vận dụng để giải quyết một lượng không nhỏ các bài tập liên quan đến bất đẳng thức. Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó
 được gọi là các bất đẳng thức.
Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau
Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai.
Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng.
Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất giao hoán: Cho các số thực A và B bất kì, ta luôn có 
Tính chất bắc cầu: Cho các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có 
Tính chất liên hệ với phép cộng: Cho các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có 
 	Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
 	Tính chất liên hệ với phép nhân: Cho các số thực A, B bất kì, ta luôn có
Cho các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có
Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo: Cho các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có 
Để giải quyết các bài tập này học sinh phải nắm chắc hệ thống lý thuyết cơ bản bất đẳng thức, biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, hợp lí, qua đó học sinh có khả năng phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy sáng tạo trong giải toán.
Kiến thức về bất đẳng thức không chỉ được ứng dụng trong thi học sinh giỏi các cấp, kì thi đại học mà ngay những bài toán trong các đề kiểm tra một tiết, học kì chúng ta thường xuyên gặp. Vì vậy muốn nắm chắc được hệ thống lý thuyết cơ bản bất đẳng thức học sinh có thể vận dụng để giải quyết rất nhiều bài tập trong chương trình THCS.
Qua tham khảo một số tài liệu tôi đã cố gắng hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản liên quan đến bất đẳng thức. Ngoài ra, mở rộng đối với một số bài toán lớp 8; 9 trong phần bài tập nhằm giúp các em có tư duy sáng tạo trong suy nghĩ. Mỗi dạng bài tập đều có phần gợi ý nhận xét, định hướng cách giải thông qua kiến thức áp dụng. Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành SKKN này, song việc mắc phải những sai sót trong trình bày, trong diễn đạt  là điều không thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô giáo, của các đồng nghiệp và bạn đọc để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn nữa.
II. Thực trạng vấn đề.
Sau hơn mười năm công tác, bản thân tôi đã tích lũy được những kiến thức và học hỏi từ đồng nghiệp rất nhiều kinh nghiệm quý báu, điều đó đã giúp tôi có nhiều thuận lợi hơn trong quá trình thực hiện nhiệm vụ giảng dạy được phân công. Trong những năm gần đây tôi đã được phân công dạy lớp 8,9. Từ năm học 2015 – 2016, tôi bắt đầu có ý tưởng tích lũy một số kiến thức về bất đẳng thức và áp dụng vào dạy các năm học 2015 – 2016; 2016 – 2017; 2017 – 2018; 2018– 2019. Qua thời gian nghiên cứu, thực hiện viết và áp dụng SKKN “Một số kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8, 9 tại trường THCS Lương Thế Vinh – Huyện Krông Ana – Tỉnh Đăk Lăk”, bản thân tôi tiếp tục trao đổi với những giáo viên đã và đang giảng dạy khối 8, 9 để tích lũy thêm cho SKKN này. Qua đó, tôi thấy:
Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngủ học sinh giỏi dự thi cấp huyện khảo sát về các bài toán về bất đẳng thức thì 100% học sinh không làm được, lấy ý kiến thì các em còn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầu hết các đề thi cấp huyện đều có một bài bất đẳng thức, đặc biệt đề thi cấp tỉnh luôn có một bài toán bất đẳng thức chính vì lý do đó mà cá nhân tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nguyên cứu này nhằm giúp các em đạt giải cao trong các kì thi huyện tỉnh và gần như chiếm trọn vẹn điểm về mảng bất đẳng thức.
SKKN này được chuẩn bị, thử nghiệm và hoàn thành trong một khoảng thời gian tương đối dài, được sự trao đổi về kiến thức cũng như kinh nghiệm với các đồng nghiệp, nên bản thân tôi đã phần nào tự tích lũy cho mình một vốn kiến thức nho nhỏ đảm bảo cho SKKN hôm nay. Với lượng kiến thức này tuy chưa đầy đủ song có thể đã đáp ứng được mục tiêu của SKKN đề ra. Đồng thời thu hút thêm sự đóng góp ý kiến, nhận xét của mọi người để SKKN hoàn thiện hơn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành SKKN, bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn phải kể đến. Trước hết, chú trọng rèn luyện nhiều ở phương pháp dạy học. Theo thời gian, việc tiếp tục nghiên cứu nội dung này có phần khó khăn vì công tác bồi mỗi năm một khối lớp khác nhau. Do đó việc thử nghiệm, so sánh kết quả của SKKN này có phần không được thuận lợi như mong muốn. Mặt khác, các em học sinh tính tự giác trong học tập đối tự rèn chưa cao, vì vậy muốn các em áp dụng kiến thức đã học vào các bài tập cụ thể thì giáo viên sẽ phải trình bày bài tập mẫu, chỉnh sửa, uốn nắn nhiều, có như thế các em mới có thể hiểu và nắm chắc kiến thức được học một cách có hệ thống, giúp các em có thể tự làm những bài tập tương tự tốt hơn.
SKKN được áp dụng trực tiếp vào giảng dạy học sinh giỏi trong nhiều tiết theo chuyên đề của mảng kiến thức này (những dạng bài tập cơ bản) tại trường đã đạt kết quả tốt. Học sinh nắm kiến thức chắc chắn hơn, chính xác hơn và kĩ năng trình bày bài làm được cải thiện rõ rệt. Đây là tiền đề vững chắc, những thuận lợi đáng kể góp phần thúc đẩy kết quả bồi dưỡng HSG đối với nội dung kiến thức này của bản thân tôi trong thời gian vừa qua.
Học sinh khối 8 mới bắt đầu làm quen bất đẳng thức. Vì thế, năng lực tư duy logic của các em chưa phát triển cao, các em phải làm quen với nhiều kí hiệu toán học và các thuật ngữ mới cũng như lượng kiến thức lí thuyết tương đối nhiều. Do vậy, việc áp lý thuyết để làm bài tập toán về bất đẳng thức nói riêng đối với các em là một điều khó. Hầu hết chỉ có các học sinh giỏi mới có thể tự làm đúng hướng và trọn vẹn yêu cầu của bài toán. Còn hầu hết các học sinh khá lúng túng không biết cách làm, cách thức thực hiện và trình bày lời giải như thế nào là đúng mặc dù được giáo viên hướng dẫn hoặc đã được trình bày bài tập mẫu.
Đây là một vấn đề hay trong toán học, vận dụng được rộng rãi, có giá trị sử dụng lâu dài và có thể tiếp tục mở rộng theo hướng chuyên sâu hơn. Nội dung này là một phần kiến thức tuy ngắn gọn song được bao hàm có thể áp dụng được trực tiếp vào giảng dạy trên lớp cũng như dạy tạo nguồn kiến thức bồi dưỡng HSG.
Vấn đề hay, nhiều nội dung nhỏ, đơn giản nhưng dễ mắc sai lầm trong suy nghĩ, trong lời giải, trong trình bày, Vì vậy, đây là một chú ý để chúng ta thật thận trọng, tự rút kinh nghiệm cho bản thân với mục đích cuối cùng là đạt được kết quả cao về nội dung của SKKN đề ra.
Thực tế cho thấy có nhiều nguyên nhân, nhiều yếu tố tác động tạo nên những khó khăn, hạn chế nêu trên. Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều. Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm ý thức vươn lên chưa cao. Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng chưa nhiều. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà,. Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức, các em tỏ ra lúng túng khi lập luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên. Vì vậy mà các em quên nhanh nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làm bài tập. Trong khi đó, để học môn toán tốt, nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là luyện giải bài tập.
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh và chia sẻ một số kinh nghiệm cùng đồng nghiệp nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi toán trên địa bàn Krông Ana. Để đạt được kết quả như mong muốn khi dạy kiến thức về bất dẳng thức, theo ý kiến chủ quan của bản thân, tôi suy nghĩ và đã thực hiện như sau:
III.1. Trước hết, truyền đạt chính xác, đầy đủ các kiến thức cơ bản của bất đẳng thức trong sách giáo khoa. 
* Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ
 với A
 với A và k là số tự nhiên
 với 
"x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
	Dạng 1: 	
	Dạng 2: 	
	Dạng 3:	
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: 
Mục đích giúp cho học sinh có kiến thức nền tốt. Giáo dục được ý thức ham học và nghiêm túc trong học tập, nghiêm khắc với bản thân cho học sinh ngay từ đầu vì thói quen xấu rất khó bỏ và nề nếp chặt chẽ mau vững bền.
III.2. Đưa ra dạng bài tập cơ bản thường hay gặp.
Ví dụ :
 .
Yêu cầu và bắt buộc học sinh phải học thuộc lòng các bất đẳng thức thường gặp để từ đó hình thành tư duy, kỹ năng nhận dạng bất đẳng thức thuộc loại nào để đưa ra cách giải hợp lí đở tốn thời gian.
Mục đích cho các em làm bài tập áp dụng trong tiết dạy lý thuyết và trong tiết dạy luyện tập với các dạng bài tập cụ thể đa dạng từ dễ đến khó có hướng dẫn gợi mở của giáo viên, được trình bày ngắn gọn có các căn cứ rõ ràng. Ngoài ra, có thể tổ chức thi làm bài nhanh giữa các em, để kích thích tính tích cực, ganh đua trong học tập. Giao bài tập về nhà đồng thời tăng cường biện pháp để kiểm tra việc học bài và làm bài ở nhà của học sinh để đảm bảo chất lượng của bài dạy và để tiến hành loại bỏ học sinh lười học khỏi đội tuyển.
III.3. Đưa ra dạng bài có quy tắc để học sinh dễ nhận dạng, không lúng túng khi làm bài trong các kì thi học sinh giỏi các cấp.
Bài 1. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh rằng:(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắk Lắk năm 2018-2019)
Bài giải: Ta luôn có : 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: 
 (Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Bài 2. Chứng minh về mọi số dương a, b, c có a+b+c=3 thì ta có:
Ta có: 
Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:  ;
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta cũng có:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
 Nhìn thấy bài tập trên là học sinh nghỉ ngay đến kĩ thuật Cô-Si ngược dấu để chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được. Bài tập toán muôn hình, muôn vẻ nên với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát hoặc phương pháp làm bài riêng, song sau khi giải hoặc hướng dẫn xong giáo viên nên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự, học sinh có thể tự liên hệ và áp dụng được với kiến thức cũ.
Giáo viên nên tránh nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay bài khó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một khó cảm thấy nản chí không đam mê, không nhận ra và ghi nhớ đợt từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không định hình được phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang. Giáo viên không nên coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng, cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung coi những bài đó mới là tối ưu, kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được phương pháp tư duy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại sự việc có một nguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là giải quyết được hầu hết các sự việc.
Mục đích hướng dẫn phương pháp học tập đặc trưng của bộ môn cho học sinh là học ngay tại lớp, thường xuyên ôn lại kiến thức và rèn luyện làm bài tập nhiều, hiệu quả để khắc sâu kiến thức giúp các em tốn ít thời gian nhất mà nhớ lâu, vận dụng tốt.
III.4. Lựa chọn một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương thường hay ra trong đề thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây. 
Phân tích: Các bất đẳng thức dưới đây khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương.
Bài 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh
Lời giải
a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Suy ra 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 
b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Bài 2. Chứng minh rằng: 
( Đề thi học sinh giỏi toán 9 huyện Krông Ana năm học 2014-2015)
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi x, y. Vậy
Bài 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: 
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức
 Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí.
Bài 4. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau 
 Trong trường hợp trên ta có thể chọn , tức là ta phải nhân hai vế với 4.
Lời giải
Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức :
 Suy ra: 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh.
Bài 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
Lời giải
a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
 	Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 
b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có
Chứng minh tương tự ta được 
Nhân vế các bất đẳng thức ta được 
Mà ta lại có 
Nên từ bất đẳng thức trên ta được 
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Bất đẳng thức không chỉ đúng với a, b, c là các cạnh của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Bất đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur.
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có rất nhiều cách chứng minh cho bất đẳng thức này. Để chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau
 	Thứ nhất ta xét hiệu hai vế và chú ý , khi đó ta có 6 phân thức. Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi , nên ta ghép hai phân thức làm một nhóm sao cho có thể phân tích được thành bình phương của hiệu hai trong ba số a, b, c. Để ý là 
.
 Thứ hai ta để ý đến biến đổi . Do đó ta cộng vào hai vế của bất đẳng thức với 3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau , đến đây ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức bằng việc đặt biến phụ .
Thứ ba là ta tiến hành đặt biến phụ ngay từ đầu, khi đó ta được và bất đẳng thức cần chứng minh thu được ở đây là sẽ chứng minh dễ dàng hơn.
Lời giải
Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với 
Đặt , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Cách 3: Đặt , khi đó ta được 
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi .
Bài 7. Cho biểu thức . Với giá trị nào của a và b thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
(Đề thi học sinh gi