SKKN Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 Trường PTDTBT THCS Trung Tiến

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
 I.
Lí do chọn đề tài
Trang 1
II.
Mục đích nghiên cứu
Trang 1
III.
Đối tượng nghiên cứu
Trang 2
IV.
Phương pháp nghiên cứu
Trang 2
B. NỘI DUNG
I.
Cơ sở lí luận
Trang 2
II.
Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Trang 2
III.
Nội dung vấn đề
Trang 3
1.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 3
2.
Sắp xếp bài toán theo các mức độ , những dạng toán cơ bản
Trang 6
3.
Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích
Trang 9
4.
Một số lưu ý trong quá trình phân tích đa thức thành nhân tử
Trang 12
IV.
Kết quả thực hiện
Trang 13
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I.
Kết luận
Trang 13
II.
Kiến nghị
Trang 14
A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
 Theo điều 28.2 của Luật giáo dục( 14/6/2005) đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác ,chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm ,đem lại niềm vui , hứng thú học tập cho học sinh”. Với quan điểm dạy học tích cực có thể hiểu: "phương pháp dạy học là cách thức, là con đường, là hệ thống và trình tự các hoạt động giữa giáo viên và học sinh, được giáo viên sử dụng để tổ chức chỉ đạo và hướng dẫn học sinh tự lực và tích cực đạt tới kiến thức, rèn luyện và phát triển kỹ năng, các năng lực nhận thức cũng như góp phần hình thành các phẩm chất nhân cách mà mục tiêu dạy học đề ra". Trong xu thế chung của dạy học hiện nay, người ta coi dấu hiệu cơ bản của phương pháp là tính chất tổ chức chỉ đạo hoạt động nhận thức của giáo viên đối với học sinh. Do vậy việc dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng trong trường THCS hiện nay cần tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn. 
	Toán học là một trong những bộ môn khoa học được có vai trò vô cùng quan trọng, bởi vì Toán học giúp hình thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic...đặc biệt trong thời đại ngày nay, khi công nghệ phát triển để tiếp cận được những thông tin kịp thời và chính xác đòi hỏi mỗi người chúng ta phải có một kiến thức, một sự hiểu biết nhất định. Do đó, trong công tác giảng dạy giáo viên cần trang bị cho các em học sinh có lượng kiến thức đầy đủ và vững chắc để tiếp tục lĩnh hội, tiếp thu kiến thức mới. 
 	Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, tôi nhận thấy dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc vận dụng của dạng toán này có liên quan chủ đạo đến việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,.... Vì vậy chúng ta cần giúp học sinh tháo gỡ, giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong phần này thì việc tiếp thu kiến thức ở các phần liên quan sẽ dễ dàng hơn.Với những lí do nêu trên, bản thân tôi đã chọn đề tài: “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 Trường PTDTBT THCS Trung Tiến ” để nghiên cứu và áp dụng trong năm học 2015-2016 .
II. Mục đích nghiên cứu:
	Đưa ra các giải pháp giúp rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8. Nhằm giúp các em có những kĩ năng cơ bản trong giải các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng và kĩ năng giải toán nói chung, tạo nền tảng vững chắc cho các em góp phần nâng cao chất lượng môn toán cho học sinh khu vực miền núi.
III. Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A, 8B của trường PTDTBT THCS Trung Tiến, qua các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình SGK, SBT Toán 8.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. 
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. 
 Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận 
 Toán học là bộ môn khoa học có tính tư duy tính trừu tượng cao, do đó nó có khả năng giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo cho học sinh. Do tính chính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, nên Toán học có khả năng giúp cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp với logic. Việc tìm lời giải của một bài toán có tác dụng to lớn trong việc cho học sinh các phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập và trong việc giải quyết các vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo. Môn Toán còn có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức trong cuộc sống và trong lao động. Các kiến thức Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, giúp các em hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. 
Trong quá trình giảng dạy chúng ta cần phát triển ở học sinh năng lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của riêng bản thân mình, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực hoạt động cũng như học tập hiện nay và mãi mãi về sau. Giáo dục cho học sinh về tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân, phát triển ở mọi học sinh khả năng tiếp thu môn Toán.
Vì vậy việc dạy và học môn toán không phải chỉ dừng lại ở các kiến thức trong SGK, không chỉ làm những bài tập do giáo viên yêu cầu ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những nội dung trọng tâm, rèn những kĩ năng cơ bản một cách thành thạo. Trong bộ môn toán học 8 thì dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng là công cụ, là nền tảng là cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình,  
II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
 Trong các bộ môn toán học được xem là một môn học khó vì nó đòi hỏi khả năng tư duy của học sinh. Đặc biệt đối với học sinh các khu vực miền núi thì môn học này càng khó khăn hơn vì khả năng tính toán của các em còn chậm, phần lớn các em chưa biết quan sát nhận xét, tìm cách giải quyết bài toán...nên các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải quyết thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt 
 Hơn nữa do điều kiện kinh tế còn nhiều khó khăn nên đa số các em miền núi nói chung và học sinh Trung tiến nói riêng còn thiếu các loại sách bài tập, chưa có điều kiện tiếp cận với các tài liệu tham khảo nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không biết áp dụng phương pháp nào cho phù hợp nhất, hướng giải nào là tối ưu. 
 Giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phương pháp mới còn mơ hồ. 
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà.
Xuất phát từ tình hình thực tế của trường và yêu cầu của nội dung kiến thức, tôi nhận thấy việc “Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8 Trường PTDTBT THCS Trung Tiến” là thực sự cần thiết. Bởi vì, đây là cách giúp học sinh rèn được kĩ năng quan sát, nhận xét và vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học vào từng bài tập cụ thể. Từ đó, giúp các em tìm tòi, phát hiện và chiếm lĩnh tri thức một cách tốt nhất.
III. Nội dung vấn đề
1)Một số phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử.
1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Phương pháp chung: 
Ta thường làm như sau:
 - Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).
 - Tìm nhân tử chung của các biến 
Khi đó, nhân tử chung của đa thức là tích của nhân tử chung bằng số và nhân tử chung của các biến.
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C = A.(B + C).
Ví dụ1: Phân tích đa thức 5x2 yz – 15xy2 z+ 20x2y2 z thành nhân tử.
Giáo viên gợi ý: 
- Tìm nhân tử chung của các hệ số: 5, 15, 20 ? 
- Học sinh : 5, vì ƯCLN(5, 15, 20 ) = 5 
- Tìm nhân tử chung của biến:x2 yz, xy2 z, x2y2 z 
- Học sinh tả lời: xyz 
- Vậy nhân tử chung của các hạng tử trên là 5xy
 Giải:
 5x3 yz – 15xy2 z+ 20x2y2 z = 5xyz.x2 – 5xyz.3y + 5xyz.4xy 
 = 5xyz.(x2 – 3y + 4xy) 
Ví dụ2: Phân tích đa thức 21x(x – y) – 14y(y – x) thành nhân tử. 
Giáo viên gợi ý:
- Nhân tử chung của 21 và 14 ?
- Học sinh: 7
- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- Học sinh: (x – y) hoặc (y – x) 
- Thực hiện phép đổi dấu tích 21x(x – y) hoặc tích – 14y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)? 
Cách 1: Đổi dấu – 14y(y – x) = 14y(x – y)
Cách 2: Đổi dấu tích 21x(x – y) = –21x(y – x) 
Giải
 21x(x – y) – 14y(y – x) = 21x(x – y) + 14y(x – y)
 = 7(x – y).3x + 7(x – y).2y
 = 7(x – y)(3x + 2y)
1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để đưa về dạng tích.
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
Ví dụ 3: phân tích (x +3y)2 – (x – 3y)2 thành nhân tử. 
Hướng dẫn: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào? 
 HS: A2 – B2 
Giải
(x + 3y)2 – (x – 3y)2 = [(x + 3y) – (x – 3y)].[(x + 3y) + (x – 3y)] 
 = (x + 3y – x + 3y)(x + 3y + x – 3y) 
 = 4y.2x
 = 8xy
Đối với học sinh khá giỏi GV có thế cho các em bài tập phức tạp hơn
 Ví dụ 4: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6)
Giải: a6 – b6 = = (a3 – b3 )( a3 + b3 ) 
 = (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)
Giáo viên củng cố cho học sinh:
 Phương pháp này các em cần nhớ kĩ các hằng dẳng thức, biết nhận dạng mà sử dung hằng đẳng thức cho phù hợp.
1.3. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp chung
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức. 
Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:
 - Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. 
 - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. 
- Nhóm các hạng tử nhằm xuất hiện nhân tử chung: 
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x2 – 9x + xy – 9y thành nhân tử.
Gợi ý: 	- Các hạng tử có nhân tử chung không?
	- Làm thế nào để xuất hiện nhân tử chung?
(Học sinh trả lời: nhóm (x2 – 9x) và (xy – 9y))
Giải:
	 x2 – 9x + xy – 9y = (x2 – 9x) + (xy – 9y) 
	= x(x – 9) + y(x – 9) 
	= (x – 9)(x + y)
 - Nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức: 
Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử. 
Gợi ý: x2 + 2x + 1 có dạng hằng đẳng thức nào? 
(Học sinh: A2+ 2AB +B2=(A+B)2)
 Giải:
	x2 + 2x +1– 4y2 = (x2 + 2x +1) – (2y)2 
	 = (x + 1)2 – (2y)2
	 = (x + 1– 2y)(x +1+2y)
- Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
Ví dụ7: Phân tích đa thức x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y thành nhân tử.
Gợi ý: Có thể nhóm ba hạng tử đầu thành một nhóm, hai hạng tử sau thành một nhóm.
Giải
x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y = (x2 + 2xy + y2) + (5x + 5y)
	= (x + y)2 + 5(x + y)
	= (x + y)(x + y + 5)
Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.
1.4. Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp chung:
Là sự phối hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Cho nên học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
 Khi sử dụng phương pháp này thì ta cần để ý lần lượt các phương pháp đã học: Đặt nhân tử chung; dùng hằng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử?
 Ví dụ8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
	a) 10x3 + 20x2y + 10xy2 	b) x2 – 2xy + y2 – 16 
Gợi ý: Đặt nhân tử chung ?
 	Dùng hằng đẳng thức ?
 	Nhóm nhiều hạng tử ?
	Hay có thể phối hợp các phương pháp trên?
Giải
a) 10x3 + 20x2y + 10xy2 = 10x(x2 + 2xy + y2)= 10x(x + y)2
b) x2 – 2xy + y2 – 16 = (x2 – 2xy + y2) – 16
 = (x – y)2 – 42 
 = (x – y – 4)(x – y + 4)
2) Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Trong một lớp, mức độ tiếp nhận kiến thức của học sinh không đồng đều, có học sinh tiếp thu kiến thức rất nhanh, ngược lại cũng có những học sinh tiếp thu rất chậm. Do đó, để học sinh nắm bắt và tiếp thu kiến thức dễ dàng giáo viên nên sắp xếp các bài toán theo các mức độ khác nhau. Đồng thời, hình thành những dạng toán cơ bản thường gặp để học sinh có thể dễ dàng trong việc học tập và giúp các em tiếp thu kiến thức nhanh hơn.
2.1. Đối với học sinh yếu, kém: Giáo viên nên cho học sinh làm những bài tập cơ bảncó vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ đơn giản học sinh có thể nhận dạng ngay phương pháp cần áp dụng.
Ví dụ 8: Phân tích đa thức các đa thức sau thành nhân tử.
	a. x2 –3 x 	b. x2 – 6x + 9	c. x2 – xy + 7x – 7y 
Giải:
a. x2 – 3x 
(Học sinh dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x).
	x2 – x = x(x –3)
b. x2 – 6x + 9
 (Học sinh thấy được dạng của hằng đẳng thức A2 – 2AB + B2 = (A – B)2).
 x2 – 6x + 9 = (x – 3)2
c. x2 – xy + 7x – 7y 
 (Học sinh thấy được hai hạng tử đầu x2 – xy có nhân tử chung là x; hai hạng tử cuối 7x – 7y có nhân tử chung là 7 thì lập tức nhóm hạng tử).
	x2 – xy + 7x – 7y = (x2 – xy) + (7x – 7y) 
	 = x(x – y) + 7(x – y) 
	 = (x – y)(x + 7)
2.2. Đối với học sinh trung bình: Giáo viên cho học sinh làm các bài tập cơ bản vận dụng phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức,phương pháp nhóm hạng tử ở mức độ cao hơn. Đồng thời, vận dụng phối hợp các phương pháp nêu trên.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức đa thức x2 + 6x – y2 + 9 thành nhân tử. 	 
Gợi ý: - Có thể nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức, sau đó tiếp tục vận dụng hằng đẳng thức.
Giải:
	x2 + 6x – y2 + 9 = (x2 + 6x + 9) – y2 
	 = (x + 3)2 – y2
 = (x + 3 – y)(x + 3 + y).
2.3. Đối với học sinh khá, giỏi: Ngoài việc những bài tập cơ bản phải làm tốt, học sinh phải biết sáng tạo trong việc làm thêm các bài tập nâng cao như: Tính nhanh giá trị của biểu thức, các bài toán tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích
- Dạng tính nhanh giá trị của biểu thức:
Ví dụ 10: (?2a – trang 23 sgk Toán 8 tập 1)
Tính nhanh giá trị của các biểu thức P = x2+2x +1 – y2 tại x = 94,5 và y = 4,5.
Gợi ý:Nếu để như vậy thay x,y vào để tính thì rất phức tạp, nên ta cần làm gì?
 HS: Phân tích đa thức x2 + 2x + 1 – y2 thành nhân tử rồi thay số vào tính.
Giải:
P = x2 + 2x + 1 – y2 = (x2+ 2x + 1) – y2
 = (x+1)2– y2
 = (x+1– y)(x+1+ y).
	Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức P ta được:
	P = (94,5 + 1 – 4,5) (94,5 + 1 + 4,5) = 91.100 = 9100.
- Dạng toán tìm x (dạng phương trình đưa được về dạng phương trình tích):
Ví dụ 11: Tìm x biết: x(x + 4) + x + 4 = 0 
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử.
Giải
 	x(x + 4) + x + 4 = 0 x(x + 4)+(x + 4)=0
 	 (x + 4)(x +1)=0
	 x + 4 = 0 hoặc x + 1=0 
	x = - 4 hoặc x = -1
	Vậy: x = - 4 ; x =-1	
- Dạng toán rút gọn phân thức đại số 
Ví dụ 12: (Bài 12a – trang 40 sgk Toán 8 tập 1) 
	Rút gọn phân thức .
Gợi ý: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Giải
Bên cạnh đó, đối với học sinh khá, giỏi giáo viên còn giới thiệu cho học sinh các bài toán vận dụng hai phương pháp phân tích nâng cao là tách hạng tử, thêm bớt hạng tử và những bài toán có cách giải hay để phát triển tư duy tạo hứng thú trong học tập.
 Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
 Ví dụ 13 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 +4x+3
Gợi ý: bốn cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)
 Cách 1: ( Sử dụng phép tách hạng tử 4x): Ta có: 
 x2 +4x+3 = x2 +x +3x +3
 = ( x2 +x) + (3x+ 3)
 = x (x+1) +3 (x +1)
 = (x+ 1)(x+ 3) 
 Cách 2: ( Sử dụng phép tách hạng tử x2): Ta có: 
 x2 +4x+3 = 4x2 – 3x2 +4x+3 
 = ( 4x2 +4x) - (3x2 - 3)
 = 4x(x+1) – 3(x2 -1)
 = 4x(x+1) – 3(x+1)(x -1)
 = ( x+1) (4x – 3x +3) 
 = (x+ 1)(x+ 3) 
 Cách 3: ( Sử dụng phép tách hạng tử 3): Ta có: 
 x2 +4x+3 = x2 +4x +4 -1
 = ( x2 -1) + (4x+ 4)
 = (x-1)(x +1)+ 4(x+1)
 = (x+ 1)(x-1+4)
 = (x+ 1)(x+ 3) 
 Cách 4: ( Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức): Ta có: 
 x2 +4x+3 = x2 +2.2x +22 -1
 =( x+2)2 – 1
 = (x+2-1)(x +2+1)
 = (x+ 1)(x+ 3) 
 Việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức.
Ví dụ 14: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử.
Ta có thể phân tích: 
Cách 1: Thêm x2 và bớt x2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức)
	 x4 + x2 + 1 = x4 + x2 + x2 +1 – x2 
	= x4 + 2x2 +1 – x2 
	= (x4 + 2x2 + 1) – x2 
	= (x2 + 1)2 – x2 
	= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) 
Cách 2: Thêm x và bớt x:(làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung)
	 x4 + x2 + 1 = x4 – x + x2 + x + 1 
	= (x4 – x) + (x2 + x + 1)
	= x(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
	= x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
	= (x2 + x + 1)(x2 – x + 1)
 Như vậy, với một bài toán ta tìm ra nhiều cách giải khác nhau, phương pháp giải hay để phát triển tư duy tạo hứng thú trong học tập đối với học sinh khá giỏi.
3) Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh khi phân tích :
 Do học sinh chưa nắm rõ các phương pháp phân tích nên trong lúc làm bài học sinh thường nhầm lẫn mà không biết nên dẫn đến kết quả sai. 
3.1. Sai lầm 1: Chưa hiểu được phân tích đa thức thành nhân tử là làm như thế nào?
 Ví dụ 15: Khi phân tích đa thức 4(x – y) – 7x(x – y) thành nhân tử học sinh làm như sau: 4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y) + (4 – 7x)
 Sai lầm của học sinh ở đây là chưa biết phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đa thức. Khi đặt nhân tử chung xong các em không biết dùng phép tính gì nên đặt đại dấu “+” hoặc dấu “–”. 
 Vì vậy, giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi đặt nhân tử chung thì phép tính tiếp theo là phép nhân.
Lời giải đúng: 	4(x – y) – 7x(x – y) = (x – y).(4 – 7x)
3.2. Sai lầm 2: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
 Ví dụ 16: Phân tích đa thức x2 –2xy + x –2y thành nhân tử. 
 Lời giải sai: x2 –2xy + x –2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y)
	 = x(x – 2y) + (x – 2y)
	 = (x – 2y)x (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1)
 Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung
(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – 2y) thì hết, có nghĩa là còn lại là số 0) 
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh ở trường hợp này nên phân tích (x – 2y) = 1.(x – 2y) thì khi đặt nhân tử chung x – 2y thì học sinh vẫn còn nhìn thấy số còn lại là 1.
Lời giải đúng: x2 – 2xy + x – 2y = (x2 – 2xy) + (x – 2y)
	 = x(x – 2y) + 1.(x – 2y) = (x – 2y)(x + 1) 
GV : Lưu ý học sinh còn cách nhóm nào nữa không ? 
3.3. Sai lầm 3: Vận dụng hằng đẳng thức chưa thành thạo.
Ví dụ 22: Phân tích đa thức x2 – 9y2 thành nhân tử.
Lời giải sai: x2 – 9y2 = (x + 9y)(x – 9y) (kết quả sai)
Sai lầm của học sinh là: dùng hằng đẳng thức A2 – B2 mà không đư