SKKN Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó

1.MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong chương trình toán học THPT, khi học đến chương phương pháp tọa độ trong không gian học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán viết phương trình mặt phẳng và có nhiều dạng phương trình mặt phẳng. 
Bản thân tôi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tự nhiên, các lớp cơ bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tôi thấy việc phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó là sát thực, phù hợp và cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh yếu kém, khá giỏi và ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng. Do vậy tôi chọn đề tài " Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ theo hướng phát triển tư duy từ dễ đến khó'' để nghiên cứu nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu trên và góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
	Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. 	 Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu không trách khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và cá bạn đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn!
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Trang bị cho học sinh về một số phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ .
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao kỹ năng tư duy sáng tạo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 - Các bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ nằm trong chương trình toán học phổ thông.Từ đó phân loại, tổng hợp các dạng và cách giải chúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
- Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần này.
- Thông qua việc kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu của học sinh
- Thông qua sách giáo khoa, sách bài tập, hệ thống bài tập và tài liệu tham khảo
- Thông qua các đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng và kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015. 
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Khi dạy bài toán viết phương trình mặt phẳng theo khi biết các yếu tố như mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng, hay song song với mặt phẳng, hay chỉ song song với một đường thẳng và tạo với mặt phẳng khác một góc cho trước, thì nhiều học sinh không định hướng ngay được cách giải, mà các em còn nhầm lẫn cả việc tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. 
 	Trên cơ sở lý thuyết của các bài toán sau trong sách giáo khoa hình học 12 sau đây
Bài toán 1: Trong không gian cho mặt phẳngvà hai véc tơ không cùng phương:có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng . Tích có hướng của 2 véc tơ là : 
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Bài toán 2: Trong không gian cho mặt phẳngđi qua điểm và có một véc tơ pháp tuyến thì mặt phẳngcó phương trình là: 
Bài toán 3: Trong không gian cho mặt phẳng: thì nó có một véc tơ pháp tuyến là .
Bài toán 4: Nếu mặt phẳngcắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm với thì mặt phẳng có phương trình theo 
đoạn chắn là: .
Và khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
- Véc tơ có giá vuông góc với mặt phẳng được gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
- Véc tơ có giá song song với đường thẳng d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng.
Cộng thêm mối quan hệ biện chứng giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
 cùng phương
 cùng phương
 cùng phương
Từ cơ sở lý thuyết về phương trình mặt phẳng tôi định hướng giải quyết chung cho bài toán viết phương trình mặt phẳng là:
Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng
Xác định một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Trong sáng kiến này tôi liệt kê, hệ thống một số dạng toán tạo ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng và cách giải các bài toán viết phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy hình học 12 chương ''Phương pháp tọa độ trong không gian" về phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng. Học sinh thường lúng túng trước một bài toán viết phương trình mặt phẳng. Khi gặp các dạng toán:"Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn một điều kiện nào đó" học sinh thường gặp không ít khó khăn vì không tạo ra được các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng đề bài đã cho hoặc không biết hướng giải hoặc không tìm được hướng giải.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút về viết phương trình mặt phẳng. Kết quả :
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12B11
42
6
14,3
9
21,4
15
35,7
8
19,0
4
9.5
12B8
41
4
9,8
8
19,5
13
31,7
10
24,4
6
14,6
12C10
41
5
12,2
9
22
13
31,7
9
22
5
12,2
	Vì thế trong thực tiễn giảng dạy tôi đã yêu cầu học sinh nêu những yếu tố cần để viết phương trình mặt phẳng.Từ các giả thiết các em tìm ra các mối quan hệ biện chứng giữa các đối tượng trong không gian từ đó đưa ra hướng giải cho từng dạng toán tương ứng.
Với các vấn đề của thực trạng trên, tôi đã mạnh dạn triển khai cho các em mảng kiến thức này nhằm giải tỏa bớt những bất cập nói trên.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Giải pháp: 
- Tổ chức một số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất cả các em, bồi dưỡng học sinh khá giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia. 
- Giới thiệu phần lý thuyết về tọa độ trong không gian, phương trình mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng. Sau đó phân loại các dạng và phương pháp giải
- Cuối chuyên đề cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá chất lượng.
Nội dung giải pháp: 
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP:
LOẠI 1: Viết phương trình mặt phẳng khi có sẵn véc tơ pháp tuyến và đi qua một điểm.
Phương pháp chung: 
Tìm một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( là véc tơ khác véc tơ không, có giá vuông góc với mặt phẳng)
Tìm điểm nằm trên mặt phẳng.
Thay vào phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét: Thường khi gặp loại bài toán này học sinh có thể làm ngay được, bởi vì các em chỉ việc thay vào công thức.
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm và có một véc tơ pháp tuyến 
Phương pháp :
Mặt phẳng (P) có phương trình là: 
VD 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng biết :
đi qua điểmvà có một vtpt 
đi qua điểmvà vuông góc với véc tơ 
Hướng dẫn giải:
Phương trình mặt phẳng đi qua điểmvà có một vtpt là:
Mặt phẳng vuông góc với véc tơ nên nó nhận làm vtpt. 
Phương trình mặt phẳng là:
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng AB.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M nằm trên mặt phẳng đó.
VD 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm 
Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A vuông góc với AB 
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB .
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳngvuông góc với AB nên có một vtpt và đi qua 
 ptmp là: 
Mặt phẳng trung trựccủa AB vuông góc với AB nên có vtpt là và đi qua trung điểm của AB
 ptmp là: 
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P).
Phương pháp : 
Cách 1:
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M nằm trên mặt phẳng đó.
Cách 2: 
Nêu dạng phương trình mặt phẳng cần tìm 
Thay tọa độ điểm M vào phương trình .
VD 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và điểm .Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với .
Hướng dẫn giải:
Cách 1: Do mặt phẳng song song với 
 ptmp là: 
Cách 2: Do mặt phẳng song song với nên mặt phẳng có dạng : 
Mà 
Vậy ptmplà: 
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M nằm trên mặt phẳng đó.
VD 4: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng và điểm 
Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng .
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng vuông góc với đường thẳng 
 ptmp là: 
LOẠI 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa hoặc song song với giá của hai véc tơ không cùng phương .
Phương pháp chung : 
Tìm vtpt của mặt phẳng là tích có hướng của hai véc tơ không cùng phương đó.
Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng đó.
Nhận xét: Trong những trường hợp này, đối với các em khá giỏi các em có thể nắm bắt ngay tính chất của tích có hướng hai véc tơ và khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng để tìm ngay ra hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng. Từ đó tính được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đoa.
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm M, N, P.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm nằm trên mặt phẳng đó là M, N hoặc P.
VD 5: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là : 
 Mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và song song với giá của hai véc tơ không cùng phương 
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M nằm trên mặt phẳng đó .
VD 6: Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và song song với giá của hai véc tơ .
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song với mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M hoặc N nằm trên mặt phẳng đó .
VD 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng và điểm .Viết phương trình mặt phẳng đi qua OA và vuông góc với 
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD, biết 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm A hoặc B nằm trên mặt phẳng đó .
VD 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm không đồng phẳng .Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với .
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với đường thẳng d'
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
VD 9: Trong không gian cho 2 đường thẳng và .
Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác đi qua điểm nên mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳngchứa 2 đường thẳng cắt nhau d và d'.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
VD 10: Trong không gian cho 2 đường thẳng cắt nhau và .Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d'.
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác đi qua điểm nên mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và vuông góc với mặt phẳng 
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm M thuộc d nằm trên mặt phẳng đó .
VD 11: Trong không gian cho mặt phẳng đường thẳng .Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác đi qua điểm nên mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
Điểm A nằm trên mặt phẳng đó .
VD 12: Trong không gian cho 2 mặt phẳng , và điểm .Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với 2 mặt phẳng.
Hướng dẫn giải:	
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng d.
Phương pháp : 
Điểm M thuộc đường thẳng d nên M thuộc mặt phẳng (P)
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
VD 13: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy và điểm . 
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng chứa trục Oy nên nó đi qua 
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà:.
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d và d'.
Phương pháp : 
Điểm M, N lần lượt thuộc đường thẳng nên M, N thuộc mặt phẳng (P)
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 
VD 14: Trong không gian cho 2 đường thẳng song song và .Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng .
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng chứa nên nó đi qua 
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 Mặt khác mặt phẳng đi qua điểm .
 ptmp là: 
LOẠI 3: Viết phương trình mặt phẳng khi tìm được ngay véc tơ pháp tuyến và liên quan đến khoảng cách và mặt cầu.
Phương pháp chung: 
Tìm vtpt của mặt phẳng?
Dựa vào yếu tố đã biết suy ra phương trình mặt phẳng đó.
Nhận xét: Sau khi đã được học hai loại trên thì các em sẽ dễ dàng làm hơn với loại này, tuy nhiên các em cũng sẽ hơi lúng túng khi vận dụng các kiến thức về khoảng cách và mặt cầu.
Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng và cách một khoảng bằng h.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Suy ra dạng phương trình mặt phẳng đó.
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) bằng h .
VD 15: Trong không gian cho mặt phẳng và điểm .Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳngvà cách điểm A một khoảng bằng 4.
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng song song với nên mặt phẳng có dạng:
Ta có: 
Vậy có hai mặt phẳng là: 
Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với 2 đường thẳng d, d' và tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Suy ra dạng phương trình mặt phẳng đó.
Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng h .
VD 16:Trong không gian cho hai đường thẳng, và mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng song song với và tiếp xúc với mặt cầu .
Hướng dẫn giải:
Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được chứa trong mặt phẳnglà: .
vtpt của mặt phẳng là : 
 ptmp có dạng là: 
Mặt cầu có tâm và bán kính 
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu .
Vậy có hai mặt phẳng là: và 
Dạng 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng và cắt mặt cầu (S) tâm I bán kính R theo một đường tròn bán kính r.
Phương pháp : 
Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Suy ra dạng phương trình mặt phẳng đó.
Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng .
VD 17: Trong không gian cho mặt phẳng và mặt cầu . Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳngvà cắt mặt mặt cầu theo một giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng .
Hướng dẫn giải:
Do mặt phẳng song song với nên phương trình mặt phẳng có dạng :       
Mặt cầu có tâm và bán kính 
Khoảng cách từ tâm I đến mplà:
Vậy có hai mặt phẳng là: 
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI KHÔNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP:
LOẠI 4: Viết phương trình mặt phẳng khi không xác định ngay được véc tơ pháp tuyến.
Phương pháp chung : 
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là 
Dựa vào giả thiết sẵn có để tìm hệ thức liên hệ giữa A, B, C. Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm
Nhận xét: Đây là dạng khó nhất của cả chuyên đề, bởi vì loại này các em phải đặt ẩn phụ cho véc tơ pháp tuyến. Các em muốn giải tốt các bài này cần phải vận dụng linh hoạt các kiến thức sẵn có, đặc biệt các em phải biết gọi ẩn và biết cách giải hệ phương trình. Dạng này dành cho học sinh khá, giỏi.
Dạng 18: Viết phương trình mặt phẳngđi qua N, P và cách M một khoảng bằng h
Phương pháp :
Gọi vtpt của mặt phẳng, cho mặt phẳng đi qua N suy ra dạng phương trình của nó.
Từ điểm P thuộc mặt phẳng ta được một phương trình
Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng. 
VD 18: Trong không gian cho 3 điểm .Viết phương trình mặt phẳngđi qua N, P và cách M một khoảng bằng 1.
Hướng dẫn giải:
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là 
Do mặt phẳngđi qua N nên phương trình mặt phẳng có dạng :                
Do mặt phẳngđi qua P (1)
 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
Với , chọn 
Với , chọn 
Dạng 19: Viết phương trình mặt phẳngchứa d và tạo với d' một góc 
Phương pháp :
Gọi vtpt của mặt phẳng, cho mặt phẳng đi qua M thuộc d suy ra dạng phương trình của nó.
Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳngvà vtcp của đường thẳng ta được một phương trình
Tính góc giữa mặt phẳng và đường thẳng. 
VD 19: Trong không gian cho 2 đường thẳng và .Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với góc .
Hướng dẫn giải:
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là 
Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp là 
Do mặt phẳngđi qua nên phương trình mặt phẳng có dạng :                        
Do mặt phẳngchứa (1)
Đường thẳng có vtcp là 
Mặt phẳng tạo với một góc .
 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
Với , chọn 
Với , chọn 
Dạng 20: Viết phương trình mặt phẳngchứa d và tạo với mặt phẳng một góc 
Phương pháp :
Gọi vtpt của mặt phẳng, cho mặt phẳng đi qua M thuộc d suy ra dạng phương trình của nó.
Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳngvà vtcp của đường thẳng ta được một phương trình
Tính góc giữa mặt phẳngvà . 
VD 20: Trong không gian cho đường thẳng và mặt phẳng .Viết phương trình mặt phẳng chứa và hợp với một góc thỏa mãn .
Hướng dẫn giải:	
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là 
Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp là 
Do mặt phẳngđi qua nên phương trình mặt phẳng có dạng :          
Do mặt phẳngchứa (1)
Mặt phẳngcó vtpt là 
Mặt phẳng hợp với một góc .
 (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
Với , chọn 
Với , chọn 
Dạng 21: Viết phương trình mặt phẳngchứa d và khoảng cách từ A đến mặt phẳng là lớn nhất.
Phương pháp :
Gọi vtpt của mặt phẳng, cho mặt phẳng đi qua M thuộc d suy ra dạng phương trình của nó.
Tính tích vô hướng của vtpt của mặt phẳngvà vtcp của đường thẳng ta được một phương trình
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng. 
VD 21: Trong không gian cho đường thẳng và điểm .Viết phương trình mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng lớn nhất.
Hướng dẫn giải:	
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đó là 
Đường thẳng đi qua điểm và có vtcp là 
Do mặt phẳngđi qua nên phương trình mặt phẳng có dạng :                       
Do mặt phẳngchứa (1)
Ta có: (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi 
 chọn 
LOẠI 5: Viết phương trình mặt phẳngcắt các trục tọa độ dựa vào phương trình mặt phẳng đoạn chắn.
Phương pháp chung : 
Gọi các giao điểm của mặt phẳngvới các trục tọa độ là . Phương trìnhcó dạng 
Dựa vào giả thiết sẵn có để tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c. Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng cần tìm.
Nhận xét: Nhiều học sinh sẽ không nhớ phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn sẽ dẫn đến việc khó tìm ra lời giải phù hợp cho bài toán.
VD 22: Trong không gian Oxyz cho điểm .Viết phương trình mặt phẳngđi qua M, A và cắt các trục theo thứ tự tại B và C (khác gốc tọa độ O ) sao cho tam giác ABC cân tại A.
Hướng dẫn giải:
Gọi 
Do mặt phẳngđi qua 
Tam giác ABC cân tại A nên 
Với thay vào (1) ta được 
Với thay vào (1) ta được 
VD 23: Trong không gian Oxyz cho điểm .Viết phương trình mặt phẳngđi qua M và cắt các tia theo thứ tự tại A, B và C khác O sao cho thể tích tứ diện có giá trị nhỏ nhất.
 Hướng dẫn giải:
Gọi 
Do mặt phẳngđi qua 
Thể tích tứ diện OABC là: 
Theo bất đẳng thức Côsi:
, dấu bằng xảy ra khi 
Vậy thể tích tứ diện có giá trị nhỏ nhất bằng khi 
VD 24: Trong không gian cho điểm và mặt phẳng .Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với , đi qua A và cắt các trục lần lượt tại 2 điểm phân biệt M, N sao