SKKN Phân dạng và các phương pháp giải bài toán về diện tích hình phẳng

MỤC LỤC
	 Trang
I. MỞ ĐẦU	 2
1.1. Lý do chọn đề tài	2	
1.2. Mục đích nghiên cứu	 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	3
1.4. Phương pháp nghiên cứu	3
 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM	 3	
2.1. Cơ sở lí luận 	3
2.2 .Thực trạng của đề tài 	 3 17
2.3. Hiệu quả của đề tài	18
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	 18
3.1 .Kết luận 18
3.2. Kiến nghị 18
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19
I. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, tích phân cùng với các khái niệm khác góp phần quan trọng trong môn Giải tích toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách gập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày.
	Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế.
 Tài liệu “ PHÂN DẠNG VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG” sẽ giúp các em giải quyết được phần nào các vấn đề trên.
1.2, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán nói chung và môn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng hiện nay.
 - Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để ôn tập và luyện thi THPT quốc gia hàng năm. 
1.3, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Chương : Nguyên hàm,Tích phân và chủ yếu là một số dạng toán liên quan đến diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số.
1.4, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau :
 a. Nghiên cứu tài liệu : 
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục .... có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
- Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia của bộ giáo dục và các trường phổ thông,trường đại học trong cả nước.
 b. Nghiên cứu thực tế :
	- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung ứng dụng của tích phân 
	- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
	- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận
 Phần các bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số là một trong những phần quan trọng trong chương trình THPT; là một phần không thể thiếu trong các kỳ thi vào đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.
 Để tính diện tích hình phẳng giới hạn các em thường dùng hai phương pháp chính là: Dùng công thức và vẽ đồ thị sau đó dựa vào đồ thị để tính .Trong đó có những dạng toán mà việc dùng công thức để tính là rất khó khăn và dễ bị sai , khi đó nhất thiết ta phải vẽ đồ thị để tính .
 Việc vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.
 Mặt khác từ chuyên đề nhỏ này cùng với một số kinh nghiệm mà tôi tích lũy được các em có thể mở rộng tư duy tiếp cận một số toán khác. Đặc biệt là giúp các em có thể giải được một số bài tập liên quan đến phần này và các dạng toán thi THPT Quốc gia .
2.2 .Thực trạng của đề tài
 Qua một thời gian giảng dạy tại trường THPT Tĩnh gia 2 tiếp cận với học sinh, nắm được khả năng của học sinh qua việc đọc các tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề trong các kì thi và kinh nghiệm của bản thân. Tôi đã nghiên cứu sâu vào vấn đề này để biên soạn và hệ thống là khối 12 . Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với từng học sinh từ yếu đến trung bình, khá và giỏi.
A.Đặt vấn đề
 Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau :
- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện ).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này .
-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học .
-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu .
- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích. Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải . 
-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối .
Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : 
Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b).
Ví dụ : 
Học sinh viết sai là : 
2/ Hướng khắc phục .
- Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau :
+ Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối .
+ Hoặc dùng công thức sau :
Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) .
- Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn .
- Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên.
B. Cách giải quyết vấn đề và một số bài toán vận dụng :
I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH
1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b 
 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn .
Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) ,trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S được tính theo công thức :
 (1)
 ( Sách giáo khoa giải tích 12CB)
C Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức .
Nếu thì 
Nếu thì 
< Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau :
-Cách 1: Dựa vào các định lí về dấu của biểu thức để xét dấu của biểu thức f(x) 
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó .
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì 
 Chú ý :1.Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có:
 2. Nếu phương trình có nghiệm thì 
2. Một số bài tập vận dụng
Bài 1. 
 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục hoành , hai đường thẳng x = 0 và x = 3.
Giải.
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , trục hoành , hai đường thẳng x = 0 và x = 3 được tính bởi công thức .
Cách 1: Dựa vào định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ta có bảng xét dấu của như sau :
x
 -2 
 + 0 - 
 Dựa vào bảng xét dấu trên ta thấy với thì 
 Diện tích S của hình phẳng trên là : 
 Cách 2: Dựa vào đồ thị như sau: 
Từ đồ thị trên ta thấy 
 (đvdt)
Cách 3: Dựa vào chú ý 
 Ta có 
Bài 2 
 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) y = x3 - 3x2 + 2 , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2 .
 Giải 
 Trục tung có phương trình x = 0
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 được tính bởi công thức : 
 Cách 1:Ta có bảng xét dấu của biểu thức như sau :
x
 1 
 - 0 + 0 - 0 +
Nên 
Cách 2 : Dựa vào đồ thị của hàm số .
 Ta có đồ thị hàm số như sau:
 Dựa vào đồ thị , suy ra trên đoạn [ 0 ; 2 ] đồ thị (C ) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = 1 .
 Hơn nữa x3 -3x2 + 2 ≥ 0 " x Î [ 0 ; 1 ] và x3 -3x2 + 2 ≤ 0 "xÎ [ 1 ; 2 ]
Do đó 
 (đvdt)
 Cách 3: 
 Phương trình 
Nên (đvdt)
Bài 3: 
 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,trục hoành,trục tung.Gọi A(0;9),B(b;0) (-3<b<0). Tìm b để đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 của trường chuyên ngoại ngữ )
Giải
 Để giải bài này ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định được hình phẳng của 2 phần được giới hạn bởi những đường nào ,từ đó ta mới tính được diện tích của chúng.
 Gọi S là diện tích của hình phẳng (H) . Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành 2 phần gồm: -Phần 1 là tam giác OAB có diện tích 
 - Phần 2 là phần còn lại của hình phẳng (H)
 (Như hình vẽ sau)
Theo bài ra ta có (1)
Mặt khác : (2)
 (3)
Từ (1),(2),(3) ta có phương trình 
 Vậy là giá trị cần tìm
 Nhận xét: Qua bài tập này ta thấy nếu không vẽ đồ thị thì chỉ xác định được diện tích của hình phẳng (H),còn 2 phần mà hình phẳng (H) được đoạn thẳng AB chia ra ta không hình dung được hình dạng cũng như công thức tính diện tích của nó là gì và việc giải quyết bài toán là gặp khó khăn. Do vậy sử dụng đồ thị trong trường hợp này là phương án giải quyết bài toán khả thi nhất.
Bài 4 
 Cho hình thang cong (H) được giới hạn bởi các đường ,.Đường thẳng chia hình (H) thành hai phần có diện tích . Tìm k để .
 Giải 
Tương tự bài tập 3 ở trên, để xác định được ta phải dựa vào đồ thị như sau:
Nhìn vào đồ thị trên ta thấy :
 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,.
 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường ,.
Khi đó : 
Theo bài ra ta có phương trình: 
Vậy là giá trị cần tìm 
 Nhận xét : Qua 2 bài tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị là phương pháp vẽ đồ thị và chia diện tích thành các phần sẽ làm cho bài toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn và chính xác hơn.
 II/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
1/ Cách tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số
Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) , y = g(x) có đồ thị là (C’ ).
 Nếu hai đồ thị (C ) và (C’) có điểm chung là điểm M(x0 ; y0) thì cặp số (x0 ; y0) là nghiệm của hệ phương trình (1)
Hoành độ x0 của điểm M là nghiệm của phương trình (*)
 Giải phương tình (*) ta sẽ được x0 là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
 Phương trình (*)được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị.
 Thay x = x0 vào một trong hai phương trình của hệ (1) ta tìm được tung độ của giao điểm .
2/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :
 Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a<b)
 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức :
.
 (Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB)
Muốn tính được diện tích S cần khử được dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức cần tính tích phân . Cách khử được áp dụng bởi 1 trong 3 cách như ở mục I ở trên.
3. Một số bài tập vận dụng
 Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 .
Giải
 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng y = x – 1 là : 
Suy ra diện tích của hình phẳng trên là : 
Cách 1 : Xét dấu tam thức x2 - 4x + 3 ta có :
x
-∞ 1 3 + ∞
x2 – 4x + 3
 + 0 - 0 +
 Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
 (đvdt)
Cách 2 : Dựa vào đồ thị 
Đồ thị hai hàm số y = x2 -3x + 2 và y = x – 1 như sau :
Dựa vào đồ thị ta có x2 – 3x + 2 ≤ x – 1 " x Î [1 ; 3 ] .
Do đó x2 – 4x + 3 ≤ 0 " x Î [1 ; 3] 
 (đvdt)
Cách 3 : Phương trình có 2 nghiệm và nên :
(đvdt)
Bài 6 
 Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 – 3x + 2 và đường thẳng d : y = x + 2 
Giải 
 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là :
Cách 1
 Diện tích của hình phẳng trên là : 
Ta có bảng xét dấu như sau: 
x
 -2 0 2 
 - 0 + 0 - 0 +
Khi đó :S===8(đvdt)
Cách 2 Dựa vào đồ thị hàm số 
S====8(đvdt)
Cách 3
 Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài ta có :
 (đvdt)
III/ HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI BA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Để tính được diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số trở lên bắt buộc ta phải vẽ hình để xác định được hình phẳng và chia nhỏ hình phẳng đó thành các hình phẳng có dạng như ở mục I hoặc II
Bài 7 
 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số trên đoạn 
Giải:
 Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình : 
 Ta có hình vẽ minh họa như sau:
Nhìn vào đồ trên ta thấy hình phẳng cần tính diện tích được chia làm hai phần :
 Phần 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,đường thẳng và 2 đường thẳng x=-2,x=-1.
 Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,đường thẳng và 2 đường thẳng x=-1,x=3.	
Dựa vào đồ thị trên ta thấy :
 Trên đoạn [-2;-1] thì , trên đoạn [-1;3] thì 
Vậy nên diện tích cần tính là :
 (đvdt)
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 
Giải
 Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình : 
 Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình : 	
 Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là nghiệm của phương trình : 
 Đồ thị minh họa như sau:
Dựa vào đồ thị ta thấy hình phẳng cần tính diện tích được chia làm hai phần:
 Phần 1: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,đường thẳng và 2 đường thẳng x=,x=0.
 Phần 2: Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,đường thẳng và 2 đường thẳng x=0,x=1.
Từ đồ thị ta thấy :
 Trên đoạn [;0] thì , trên đoạn [0;1] thì 
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là :
Nhận xét Trên đây là một số bài toán về tính diện tích của hình phẳng ở các dạng khác nhau và mỗi dạng cũng có những cách giải khác nhau . Tuy nhiên phương pháp sử dụng đồ thị thì bài toán rõ ràng ,dễ hiểu và trực quan hơn ,nhiều bài toán khó vẫn giải được dễ dàng.
IV.MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG THỰC TẾ
Bài 9
 Có một người cần làm một cái cổng cổ xưa có hình dạng là một parabol bạc hai(như hình vẽ 1) ,biết chiều rộng của chân cánh cử là 4m, chiều cao là 4m. Hỏi diện tích của cánh cửa là bao nhiêu?(Theo đề thi thử trường THPT Tĩnh gia I)
 Hình 1 Hình 2
Giải
Gắn cánh cửa vào hệ tọa độ Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm giữa của chân cánh cửa( như hình vẽ2 )
 Khi đó cánh cửa là 1 parabol có đỉnh I(0;4) và cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x=-2 và x=2.
 Ta có phương trình của parabol là: .
 Diện tích của cánh cửa là :
Bài 10:
 Một công ty quảng cáo X muốn làm 1 bức tranh trang trí hình MNEIF(Như hình vẽ ) ở chính giữa của 1 bức tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC=6m,chiều dài CD=12m. Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN=4m,cung EIF có dạng là một phần của cung parabolcó đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua 2 điểm C,D.Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng/m.Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?(Theo đề khảo sát chất lượng lớp 12 của SGD&ĐT Thanh hóa năm 2017)
 Giải
 Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho : O trùng với trung điểm của MN
 ON trùng với trục Ox
 OI trùng với trục Oy
Theo bài ra ta có : I(0;6) , N(2;0) ,C(6;0)
 Khi đó ta có phương trình của parabol là : 
Ta có hình vẽ sau:
Dựa vào hình vẽ trên ta có diện tích của bức tranh là: 
 Vậy số tiền cần làm nên bức tranh đó là: T=900.000.S=20.800.000(đồng)
Bài 11 
 Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m ,Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng /1m.Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó?(Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)( Theo đề thi thử của BGD &ĐT)
 Giải
 Chọn hệ trục tọa độ O xy để gắn mảnh vườn sao cho gốc tọa O trùng với tâm của elip, trục Ox trùng với trục lớn của elip,trục Oy trùng với trục bé của elip.
Khi đó ta có phương trình của elip là: 
Ta có đồ thị như sau: 
Dựa vào đồ thị trên ta có phần đất ông An trồng hoa có diện tích là:
 Đặt 
Vậy chi phí để ông An trồng hoa là: T=S100.000=(đồng)
V. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 Bài 1.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số
 y = x3 –x2 + 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 .
Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2
Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và các đường thẳng x = -1 ; x = 0 .
Bài 4 . Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , và các đường thẳng y = 2 , y = -2x – 4 .
Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: y= x3 -3x2 + 3x - 1 ;y=0 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x = 3 .
Bài 6. Tính diện tích của hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường , y = 0 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm (-2 ;0) , ( 0 ;2).
Bài 7. Ông B có một khu vườn được giới hạn bởi parabol và đường thẳng y=25. Ông B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn trên bởi một đường thẳng đi qua O và một điểm M trên pa rabol để trồng một loài hoa. Hãy giúp ông B xác định vị trí của điểm M để diện tích mảnh vườn trông hoa bằng (đvdt) 
 (Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên đại học Vinh)
 Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa qua tôi nhận thấy rằng , tài liệu đã giúp tôi thu được nhiều kết quả khả quan.Học sinh khắc phục được những “sai lầm” và khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 .Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan ,cũng đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học . Từ đó, các em học sinh có hứng thú và học tốt vấn đề này.
2.3. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :
 Qua qúa trình giảng dạy tự chọn và ôn luyện cho các lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh tôi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên ,