SKKN Phân dạng toán hệ thức Vi - Ét và ứng dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA
---------o0o---------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN DẠNG TOÁN HỆ THỨC VI-ÉT 
VÀ ỨNG DỤNG
 Người thực hiện: Lê Thị Như
 Chức vụ : Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Quý
 SKKN thuộc lĩnh vực(môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
--- ›ò› ---
Nội Dung
Trang
 Phần I. Mở đầu
1
I.1. Lý do chọ đề tài
1
I.2. Mục đích nghiên cứu
1
I.3.Đối tượng nghiên cứu
1
I.4. Phương pháp nghiên cứu
1
Phần II. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
1
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1
II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
II.3. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn 
 đề
3
II.4. Kết quả đạt được
20
 Phần III. Kết luận, kiến nghị
21
III.1. Kết luận
21
III.2. Kiến nghị
21
I. MỞ ĐẦU
I.1. Lý do chọ đề tài
 Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống. Như vậy kết quả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT của các tỉnh nói chung và của tỉnh Thanh Hóa nói riêng đều có một phần kiến thức về hệ thức Vi-ét. Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp 9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét. Sau đó đã tiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó. Từ cách nghĩ và cách làm đó tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”
I.2. Mục đích nghiên cứu
Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà. Giúp giáo viên có tài liệu và phương pháp giảng dạy, ôn tập các kiến thức về hệ thức Vi-ét một cách đầy đủ khoa học. Giúp học sinh nâng cao kết quả trong việc giải toán về hệ thức Vi-ét và củng cố được nhiều kiến thức toán học khác. Từ đó góp phần nâng cao kết quả thi vào THPTcho học sinh và tạo tiền đề vững chắc cho các em trong quá trình học tập sau này.
I.3.Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài này nghiên cứu: Định lý Vi-ét, phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
I.4. Phương pháp nghiên cứu
Sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” đã ôn lại lí thuyết về hệ thức Vi-ét và khai thác sâu các ứng dụng của nó vào giải toán Đại số 9.
Các dạng toán được phân theo dạng (gồm 10 dạng hay gặp), mỗi dạng toán đưa ra đều có phương pháp giải tổng quát và kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể, chọn lọc trong Sách giáo khoa (SGK), Sách bài tập (SBT), đề thi tuyển sinh môn Toán 9 cùng lời giải chi tiết. Bên cạnh đó với mỗi dạng có nhận xét đánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh những khó khăn, những sai sót mà học sinh hay mắc phải khi giải toán và cách khắc phục.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong chương trình Đại số 9 bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán như: Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai... Các ứng dụng này còn giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán học khác và rèn luyện các kĩ năng trình bày, phân tích, tổng hợp... Tuy nhiên khi giải các bài tập về hệ thức Vi-ét học sinh còn gặp nhiều lúng túng, không có kĩ năng phân tích đề, phương pháp giải không khoa học. Nguyên nhân chính là do các em chưa được hướng dẫn cụ thể theo từng dạng. Vậy làm thế nào để giúp học sinh nắm chắc kiến thức và phương pháp giải các bài tập về hệ thức Vi-ét tôi đã tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp các bài toán về hệ thức Vi-ét từ đó tiến hành phân dạng và chỉ rõ ứng dụng của từng dạng. Trên cơ sở đó tôi đã viế ra sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” 
II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập. Thông thường giáo viên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét. Bên cạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tập dạng này trong các đề thi vào THPT. Do đó kết quả học tập của học sinh đối với các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sự tập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học.
2.2. Đối với học sinh: 
Tháng 6 năm 2017 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bài toán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm 
tra khảo sát học sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 30 phút):
Bài 1 (5,0 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 25x2 + 10x + 1 = 0 	b) x2 - 2x + m = 0 	
Bài 2 (5,0 điểm): Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện .
Với hai bài toán đưa ra, mặc dù chỉ kiểm tra kiến thức cơ bản nhất thì tôi thấy số lượng các em giải trọn vẹn cả hai bài chiếm rất ít, một số em chỉ giải được bài toán 1, phần a, phần lớn các em trình bày lời giải còn mắc nhiều sai lầm, ngộ nhận, thiếu cơ sở dẫn chứng (bài 1, phần b) hoặc không tìm ra hướng làm bài 2. 
Nguyên nhân: 
- Không nắm chắc hệ thức Vi-ét và ứng dụng. 
- Không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố, điều kiện đã biết để giải bài tập.
Kết quả khảo sát khối lớp 9 cụ thể như sau:
Năm học
Sĩ
số
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
2016-2017
56
3
5,8
6
10,5
38
67,4
7
12,8
2
3,5
 	Qua kết quả ta thấy số tỉ lệ khá giỏi chưa cao, tỉ lệ dưới trung bình còn nhiều. Từ thực trạng như vậy, tôi đã dành nhiều thời gian để thử nghiệm áp dụng sáng kiến của mình trong năm 2017-2018 và đã khẳng định được kết quả của sáng kiến .
II.3. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp giải quyết vấn đề
3.1. Ôn tập lí thuyết
* Định lí Vi-ét: (thuận)
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 () thì
Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai thì có thể suy ra nghiệm kia.
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
* Định lí Vi-ét: (đảo)
	Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0.
(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P 0)
3.2. Các dạng toán và phương pháp giải.
3.2.1. Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
3.2.1.1. Phương pháp:
	Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (Tức là kiểm tra có thỏa mãn không).
3.2.1.2. Ví dụ:
 Ví dụ 1 (Bài 25/SGK-Trang 52): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 	 b) 25x2 + 10x + 1 = 0
Giải
a) 2x2 - 17x + 1 = 0 (a = 2 0, b = -17, c = 1)
Ta có:Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)
Ta có: Phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức 
Vi-ét, ta có: .
 Ví dụ 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:
a) x2 - 2x + m = 0 	 b) x2 + 2x + m2 = 0
Giải
x2 - 2x + m = 0 (a = 1 0, b = 2b’ = - 2, c = m).
Ta có: .
Để phương trình có nghiệm . Vậy với , phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
x2 + 2x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ =, c = m).
Ta có: .
Để phương trình có nghiệm . Vậy với , phương trình có hai nghiệm x1, x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: .
3.2.2. Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
3.2.2.1. Phương pháp:
Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (), ta áp dụng nhận xét sau:
Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . 
Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 () có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . 
Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0.
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là 
Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó ta tính ngay được m + n. Khi đó:
- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận).
- Nếu m + n - b, thì ta chuyển sang bước 2.
Bước 3: Kết luận: 
Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n.
Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:
- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.
- Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.
3.2.2.2. Ví dụ:
Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 	 	 b) x2 - 49x - 50 = 0
Giải
a) 35x2 - 37x + 2 = 0 
Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = 1, x2 = . 
b) x2 - 49x - 50 = 0
Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = -. 
Ví dụ 2 (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44):
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình:
a) x2 - 7x + 12 = 0 	 	 b) x2 + 6x + 8 = 0
Giải
a) x2 - 7x + 12 = 0.
Ta thấy . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 3 và x2 = 4. 	
b) x2 + 6x + 8 = 0
Ta thấy . Do đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4. 
Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thức nghiệm (công thức nghiệm thu gọn)
3.2.3. Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.
3.2.3.1. Phương pháp:
Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 () cho biết một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ?
Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét = . Thay x1 = m vào hệ thức, ta có hoặc ta dùng hệ thức . Thay x1 = m 
vào hệ thức, ta có . 
3.2.3.2. Ví dụ:
Ví dụ 1 (Bài 39/SBT-Trang 44): 
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia.	 
b) Chứng tỏ rằng phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0 có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia.	
Giải
a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0. 
Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0. 
Cách 1:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = .
Cách 2: Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
b) x1 = 5 là một nghiệm của phương trình -4x2 - 3x + 115 = 0. 
Vì -4.52 – 3.5 + 115 = - 100 – 15 + 115 = 0. 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 Ví dụ 2 (Bài 40/SBT-Trang 44): Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 của phương trình, rồi tìm giá trị m trong mỗi trường hợp sau:
a) x2 + mx - 35 = 0, biết nghiệm x1 = 7;	 	 
b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0, biết nghiệm x1 = .
Giải
a) x2 + mx - 35 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: . Mà x1 = 7 nên suy ra:
.
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = 
Vậy x2 = , m = .
b) 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: . Mà x1 = nên suy ra:
.
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
 = = 
Vậy x2 = 5, m = 11.
Nhận xét: Trong ví dụ 2 này ta sử dụng hệ thức Vi-ét trước để tìm x2 trước, sau đó sử dụng hệ thức Vi-ét = (vì lúc này đã biết x1 và x2) để suy ra giá trị của tham số.
3.2.4. Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
3.2.4.1. Phương pháp:
Nếu hai số u, v thỏa mãn thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
F Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P 0) thì ta được: hoặc .
3.2.4.2. Ví dụ:
 Ví dụ 1 (Bài 28/SGK-Trang 53): Tìm hai số u và v trong trường hợp sau: 
a) u + v = 32, u.v = 231;
b) u + v = -8, u.v = - 105;
c) u + v = 2, u.v = 9
Giải
a) Ta có u + v = 32, u.v = 231. 
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
b) Ta có u + v = -8, u.v = - 105. 
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 + 8x - 105 = 0.
.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:.
Vậy u = 7, v = -15 hoặc u = -15, v = 7.
c) Ta có u + v = 2, u.v = 9
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 2x + 9 = 0.
Phương trình vô nghiệm. 
Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên.
 Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình): 
Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2.
Giải
Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0.
Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:
2.(u + v ) = 30 u + v = 15 (1)
Vì diện tích của hình chữ nhật bằng 54m2, nên ta có phương trình:
u.v = 54 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: . Do đó u, v là nghiệm của phương trình bậc hai: x2 - 15x + 54 = 0. Ta có 
phương trình có nghiệm .
Vậy hình chữ nhật có hai cạnh là 6m và 9m.
 Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
a) 	 b)
Giải
a) . 
Do đó x và (-y) là nghiệm của phương trình: t2 – 10t - 24 = 0.
Ta có . Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 = 12; t2 = -2.
Suy ra x = 12, - y = -2 x = 12, y = 2
hoặc x = -2, - y = 12 x = - 2, y = -12.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (12; 2); (-2; -12).
 b)
Với x + y = 2, ta có hệ: x, y là nghiệm của phương trình: 
t2 – 2t - 4 = 0 .
 hoặc .
Với x + y = - 2, có hệ:x, y là nghiệm của phương trình: 
t2 + 2t - 4 = 0 .
 hoặc .
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm:
; ; ; 
Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biến đổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức . Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điều này.
Ví dụ 4. Giải phương trình sau: (1)
Giải
Điều kiện: .
Đặt và 
Khi đó phương trình (1) được chuyển thành hệ: u, v là nghiệm của phương trình: t2 - 4t + 3 = 0 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 16.
3.2.5. Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình.
3.2.5.1. Phương pháp:
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 () là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và x2.
	Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xét biệt thức thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (hoặc ).
Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào biểu thức.
Chú ý: Một số phép biến đổi:
3.2.5.2. Ví dụ:
 Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A = ; 	b) B = ; 	c) C = d) D = 
Giải
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: 
a) A = = = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
Vậy A = 20
b) B = . Vậy B = 
c) C = .
Mà ta có:
Vậy C = 
d) D = .
 Ví dụ 2. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2004-2005)
Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) x1 + x2 ; x1.x2 	b) x13 + x23 	c) 
Giải
Phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0 có phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét: 
a) x1 + x2 = S = ; x1.x2 = P = 2.
b) .
c) .
Đặt 
.
3.2.6. Dạng toán 6: Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
3.2.6.1. Phương pháp: 
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( hoặc ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số.
3.2.6.2. Ví dụ: 
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có: với mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ thuộc vào m).
Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Khi đó tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. 
Giải
Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
.
Áp dụng hệ thức Vi-ét: 
Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m). 
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2. 
3.2.7. Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.
3.2.7.1. Phương pháp:
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho hoặc ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: .
Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.
Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.
3.2.7.2. Ví dụ:
 Ví dụ 1. (Bài 62/SGK-Trang 64):
Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Giải
a) Phương trình có nghiệm (đúng với mọi m).
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.
b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình.
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: .
Theo bài, ta có hệ thức: = (II). Thay (I) vào (II), ta có: .
Ví dụ 2. (Bài 44/SBT-Trang 44):
Cho phương trình x2 - 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện .
Giải
Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài: (3).
Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 
Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m m = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = 5 thì .
 Ví dụ 3. (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2011-2012)
Cho phương trình: (1) (với ẩn là ).
a) Giải phương trình (1) khi m =1.
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2. Tìm giá trị của m để x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng .
Giải
a) Khi m = 1 ta có phương trình x2 – 4x + 2 = 0 . 
Giải phương trình được 
b) Ta có với mọi m. 
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
c) Theo hệ thức Vi-ét ta có:
Theo giả thiết: x1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng nên x1 > 0, x2 > 0 m > 0 và 
(3) 
 Thay (1), (2) vào (3), được: m2 + m – 2 = 0 
m = 1 (thỏa mãn); m = - 2 (loại)
Vậy m = 1.
Ví dụ 4. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x).
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị nhỏ nhất của y = 
Giải
a) Ta có với mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Theo bài: y = = (3)
Thay (1) và (2) vào (3), ta có: 
y = .
Vì với mọi m nên suy ra y = . Dấu “=” xảy ra . Vậy ymin = 3 
Nhận xét: Ngoài việc phải kết h