SKKN Nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7; 8

MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu 
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
2
2.3. Các giải pháp và tổ chức để giải quyết vấn đề 
2
2.3.1. Giải pháp
2
2.3.2. Tổ chức thực hiện
3
2.3.2.1 Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
3
2.3.2.2 Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải quyết bài toán
11
2.3.2.3. Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng
17
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm
19
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận
19
3.2. Kiến nghị
20
1. Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài.
 	Ngày nay, việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề thường xuyên và có tính chất liên tục. Để đạt được điều này, yêu cầu người giáo viên (GV) phải có một phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng học sinh (HS).
 	Toán học là một trong những môn khó ở chương trình phổ thông, đặc biệt là phân môn Hình học. Khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình học cần kẻ thêm đường phụ là yêu cầu khó đối với HS THCS. Song sẽ không khó nếu HS nắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được các phương pháp giải bài tập. Thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn về phương pháp giải loại toán này. Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trình giải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn.
 	Thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho việc kẻ thêm đường phụ khi giải các bài toán hình học. Vì thế, khi giải các bài toán này đòi hỏi người HS phải có một suy nghĩ lôgic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệ thống và tổng hợp. Từ đó có cách kẻ thêm những đường phụ hợp lý để có thể đưa đến cách giải hay và độc đáo. Song công việc này không thể tuỳ tiện, việc kẻ thêm đường phụ luôn phải tuân theo những bài toán dựng hình cơ bản mà chúng ta đã biết.
 	Để tạo ra một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa giả thiết với kết luận bài toán đòi hỏi HS có sự sáng tạo, tìm tòi, biết phân tích tổng hợp, tư duy... Vì vậy, khi giải một bài toán hình việc xác định phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đó đòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể là hướng giải và phương pháp giải.
 	Để làm được điều đó, người GV cần cung cấp cho HS đầy đủ hệ thống kiến thức cơ bản, đặc biệt một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ.
 	Với đề tài “Nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7 ; 8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để các em học sinh học tốt loại toán hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung.
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Trang bị cho học sinh lớp 7 ; 8 một cách có hệ thống các phương pháp dạng toán hình học có kẻ đường phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
- Các bài toán dựng hình cơ bản 
- Các bài toán trong chương trình THCS cần kẻ thêm đường phụ .	 
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
- Nghiên cứu tài liệu
 - Thu thập thông tin
 - Điều tra khảo sát
 - Thử nghiệm thực tế.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Các bài toán hình học có lời giải phải kẻ thêm đường phụ là các bài toán khó đối với với HS THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu HS nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi HS có kỹ năng giải toán và có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các giả thiết với kết luận của bài toán đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hoá, đặc biệt hoá... 
Việc kẻ đường phụ để giải toán, trong sách giáo khoa (SGK) đề cập đến không đáng kể. Do thời lượng không cho phép nên việc làm các ví dụ về dạng toán này ở trên lớp cũng không nhiều. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK, SBT lại đưa ra khá nhiều dạng toán này và đặc biệt là ở các bài tập nâng cao khi giải thông thường cần phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với HS khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu. Mà việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải bài toán có kẻ thêm đường phụ đối với HS còn rất ít. Mặt khác, đối với đa số HS việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi kẻ các đường kẻ phụ cũng như kiến thức về một số loại đường phụ còn rất hạn chế. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng ít nên việc tham khảo đối với HS còn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của đề tài này bản thân tôi mong muốn đó sẽ là một nội dung tham khảo cho GV, HS để góp phần tạo nên cơ sở cho GV có thể dạy tốt hơn, HS hiểu và làm tốt hơn các bài tập loại toán hình có kẻ thêm đường phụ.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong quá trình dạy môn toán nói chung, đặc biệt là phân môn hình học nói riêng, tôi nhận thấy hầu hết các em HS không thích và rất ngại khi làm các bài toán hình. Bởi vì các em thấy các bài toán dạng này rất khó, các em không biết phương pháp giải và giải như thế nào. Chính vì thế đã làm tôi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếp dạy bộ môn toán tôi suy nghĩ là làm thế nào giúp các em có được phương pháp giải các bài toán hình. Từ đó giúp các em khi gặp các bài toán hình các em không còn ngại nữa mà trở nên ham thích, say mê và hứng thú hơn trong việc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.
	Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến này, tôi đã tiến hành điều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình có lời giải kẻ thêm đường phụ đối với HS khối 7, 8 tại trường THCS tôi trực tiếp giảng dạy cuối năm học 2016 - 2017:
Kết quả thu được như sau:
Khối lớp
Tổng số HS
Số HS giải thành thạo 
Số HS giải chưa thành thạo
Số HS không 
biết giải
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
7
54
4
7,4
13
24,1
37
68,5
8
58
5
8,6
15
25,9
38
65,5
Qua kết quả trên tôi nhận thấy rằng: số HS chưa biết làm, còn lúng túng, lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ là rất lớn, trong khi đó chỉ một số rất ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này. 
Từ thực tế trên, bản thân tôi là GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tại trường THCS luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn học này và tạo cho các em tâm lí vững vàng, không sợ khó, không ngại học khi phải giải các bài toán Hình học. Và SKKN “Nâng cao kỹ năng giải bài toán hình học bằng phương pháp kẻ thêm đường phụ cho học sinh lớp 7 ; 8” là một phương pháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng cao chất lượng dạy - học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán học nói chung.
	2.3. Các giải pháp và tổ chức để giải quyết vấn đề.
	2.3.1. Các giải pháp.
2.3.1.1 Các yêu cầu khi kẻ (dựng) các đường phụ.
 	a. Kẻ đường phụ phải có mục đích.
 	Đối với một số bài toán hình để giải được chúng ta cần phải kẻ thêm đường phụ. Vì thế kẻ đường phụ phải giúp được cho việc chứng minh bài toán. Muốn vậy nó phải là kết quả của sự phân tích tổng hợp, tương tự hoá, dự đoán logic theo một mục đích xác định là gắn kết được mối quan hệ của kiến thức đã có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm.
 	Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm cho hình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm việc tìm ra lời giải đúng. Vì vậy, khi tiến hành kẻ đường phụ phải luôn đặt ra câu hỏi: "Kẻ đường phụ này có đạt được mục đích mình yêu cầu không ?”
 	b. Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và phải xác định được.
2.3.1.2. Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải toán hình học ở THCS.
- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý.
- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định.
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước. 
- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước.
- Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đường thẳng khác một góc bằng góc cho trước. 
2.3.1.3.Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ.
 	* Các phương pháp sử dụng đường phụ.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để tạo ra khâu trung gian nhằm liên kết các mối liên hệ để giải quyết bài toán.
- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng.
 	* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai lần đoạn thẳng cho trước. 
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hiệu) hai đoạn thẳng xác định.
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Dạng 5: Tính số đo đoạn thẳng.
Dạng 6: Tính số đo góc.
2.3.2. Tổ chức thực hiện.
2.3.2.1. Phương pháp kẻ thêm đường phụ để tạo nên các hình rồi sử dụng định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán.
Bài 1: Cho ABC, có . Chứng minh: AB =AC.
 * Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồi chứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau.
 - Cách 1:Kẻ thêm đường phụ: Qua A kẻ tia phân giác AI của góc BAC (I BC).
+ HD chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC bằng cách chứng minh : ABI = ACI 
Để chứng minh ABI =ACI ta chỉ cần chứng minh :
 .
Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
- Cách 2: Qua A kẻ AH BC (H BC). 
+ HD chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC 
bằng cách chứng minh : ABH = ACH 
Để chứng minh ABH = ACH ta chỉ cần chứng minh : . 
Để chứng minh : ta dựa vào kiến thức tổng ba góc trong tam giác. Từ đó, ta giải quyết được bài toán 
	Kết luận: Như vậy, cũng từ cùng một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách dựng khác nhau nên dẫn đến các cách chứng minh cũng khác nhau. Tuy nhiên, ta nên lựa chọn cách nào nhanh và đơn giản nhất, Và trong hai cách trên ta nên chọn cách 1. 
Bài 2. Cho ABC, vẽ AH vuông góc với BC (H BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm B, dựng ADAB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại dựng AE AC sao cho AE = AC. Nối D với E, AH cắt DE ở M. Chứng minh MD = ME.
 * Phân tích: Từ kết luận của bài toán, hình cần tạo ra là hình nào để từ đó có thể giải được bài toán?.
+ Kẻ thêm đường phụ:
Từ D hạ DK AH (K AH).
Từ E hạ EN AH (N AH).
+ HD chứng minh: 
Để chứng minh DM = ME ta chứng minh KDM = NEM.
Để chứng minh KDM = NEM. Ta cần chứng minh 
DK = EN, ( so le trong).
Để chứng minh DK = EN ta chứng minh :
 HAB = KDA ( cạnh huyền - góc nhọn).
 Và HAC = NEA ( cạnh huyền - góc nhọn). 
Kết luận: Như vậy bằng cách kẻ thêm đường phụ DK và EN ta có thể giải bài toán dễ dàng.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ABC có Â = 600. Các tia phân giác của cắt nhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E.
Chứng minh: a. ID = IE.
 b. BE + CD = BC
Gợi ý: Kẻ tia phân giác cắt BC tại K ( K BC ) 
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa hay gấp hai lần đoạn thẳng cho trước. 
 	* Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khác hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta có thể:
Cách1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng ngắn.
Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có góc  = 120o. Tia phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB. Kẻ AH CD. Chứng minh AH = DI.
 * Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh AH = DI gợi ý cho ta nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng DI. 
Từ sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?
+ Kẻ thêm đường phụ:
 - Qua A dựng AM DI (M DI).
+ HD chứng minh: Để chứng minh AH = DI. 
 Ta cần chứng minh: AH = DM.
 Vì ADI cân tại A ( hai góc đáy bằng nhau), mà AM là đường cao,
 suy ra AM là trung tuyến DM = DI.
- Để chứng minh AH = DM ta chỉ cần chứng minh : 
 ADM = ADH ( cạnh huyền - góc nhọn). 
 Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.
Bài 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 
 - Đối với bài toán này GV cần gợi ý cho HS :
* Phân tích: Để chứng minh được AM =BC ta cần phải chứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải chứng minh: AM=BM
 hoặc AM=CM.
Vậy để chứng minh AM=BM( hoặc AM = CM). Ta phải chứng minh AMB (hoặc AMC) là tam giác cân tại M.
Từ sự phân tích đó, để chứng minh AM =BM hay AM = MC ta cần kẻ thêm đường phụ nào?.
+Kẻ đường phụ:
- Dựng E là trung điểm của AC .
- Dựng đoạn thẳng ME .
+HD chứng minh:Để chứng minh AM =BC ta chứng minh AM=MC=BC
- Để AM=MC ta chứng minh AMC cân tại M (hoặc ME là đường trung trực của AC).
 	Như vậy với việc kẻ thêm đường phụ ME. HS có thể chứng minh bài toán một cách dễ dàng.
 	* Ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng cách khác:
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng Mx // AB cắt AC tại E.
+ Kẻ đường phụ: Dựng đường trung trực ME của AC.
+ Kẻ đường phụ: Từ M dựng ME AC (E AC).
GV lưu ý : Tuy cùng một đường phụ kẻ thêm nhưng do cách dựng khác nhau nên dẫn đến các cách chứng minh cũng khác nhau.
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho ABC, lấy M là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia Ay AC, trên đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
AM = DE.
AM DE
Gợi ý: trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA.
Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn thẳng xác định.
Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”.
 	* Phân tích:Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm đường phụ thì GV cần phải phân tích cho HS: Từ khái niệm“ đường trung bình” của hình thang gợi cho ta liên tưởng đến định lí tương tự nào trong tam giác? Liệu định lí đường trung bình trong tam giác có thể sử dụng cho lời giải bài toán này không?
 	Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến thức đã có để chứng minh bài toán.
 	Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?
+Kẻ thêm đường phụ:
 - Dựng đoạn thẳng BN
 - Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E.
+ HD chứng minh:
GV: Đến đây đã xuất hiện được vấn đề gì cần giải quyết?
 Ta có được MN là đường trung bình của BEC
Do đó MN = EC. Mà EC =ED + CD. Nên MN = (ED + CD).
- Như vậy để chứng minh được MN = ( AB + CD) ta cần chứng minh AB = ED.
- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ABN =DEN (g.c.g)
Kết luận: Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về việc sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài toán. Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với mục đích tính chất). Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân (Â = 90o). Lấy một điểm M tuỳ ý trên cạnh BC (M khác B và C).
 Chứng minh rằng: MB2 + MC2 =2 MA2 
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến định lý Py-ta-go
Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó.
 	Từ sự phân tích trên ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?
 	Đến đây HS có thể tự tìm ra cách kẻ đường phụ và hướng chứng minh.
+ Kẻ đường phụ :
- Từ M, dựng MN AB (N AB).
- Từ M, dựng MP AC (P AC).
+ HD chứng minh:
 	Từ việc kẻ thêm đường phụ ta có:
- Để chứng minh MB + MC =2 MA2 ta cần chứng minh
 MB + MC=2(MN+NA).
 	Hay ta cần phải chứng minh MB= 2 MN
 	MC= 2 NA
 	Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với tam giác vuông cân NMB tại N.
 MB= NB+MN= 2 MN
 	Áp dụng định lý Py-ta-go đối với vuông cân PMC tại P.
 MC = PM+ PC = 2 MP
 	Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật).
 	Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
Kết luận: Như vậy để có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp kẻ thêm đường phụ. 
 	Đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi giải một bài toán hình, do đó cần phải xác định và phân tích đề bài thật tốt để định hướng cho việc kẻ đường phụ. Kẻ đường phụ phải có mục đích thì mới giúp cho việc giải các bài toán đi đến giải nhanh và đơn giản. 
* Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho đường thẳng AB, O là trung điểm của AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh: CD = AC + DB
Gợi ý: kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K
Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ABC có AB BD.	
* Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài bằng BD; CD.
Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với hai cạnh ấy.
Đến đây ta có thể kẻ thêm đường phụ nào ?
*Kẻ đường phụ:
- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
 	Ta được DEC đạt được theo yêu cầu trên. Vậy điểm E là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giúp ta giải quyết được bài toán này.
* HD chứng minh:
- Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minh 
 (CD và DEDEC).
Do vậy để chứng minh CD > DE ta chứng minh . 
Đến đây có thể dễ dàng chứng minh dựa vào mối quan hệ góc ngoài của tam giác.
Bài 2:Cho ABC ( AB = AC) , A
D là điểm bất kỳ trong tam giác sao cho .
Chứng minh rằng DC > DB.
Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo ra tam giác 
có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB. D
 Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ? B C	
* Kẻ thêm đường phụ.
 - Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho 
 - Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD
* HD chứng minh :
 - Để chứng minh DC >DB ta cần chứng minh 
DC > EC ( EC =BD vì DAB = EAC ( c.g.c).)
 - Để DC > EC ta chứng minh .
 - Để chứng minh ta chỉ cần chứng minh
.
Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì và.
Kết luận: Nhờ có kẻ thêm đường phụ dẫn đến việc giải quyết bài toán một cách đơn giản.
Bài 3. Cho ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C. 
 Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC.
 	* Phân tích: Từ kết luận của bài toán ta suy nghĩ tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau, và dựa vào quan hệ các cạnh trong tam giác. Vậy đường phụ cần kẻ là đường nào ?.
+ Kẻ thêm đường phụ :
Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với MCcắt BC tại D.
Từ cách dựng ta chứng minh được AC = CD; MA= MD.
XétMBD có MD+MB>BD (Bất đẳng thức tam giác). Mà BD = CD + BC nên từ đó ta chứng minh được
 	MA + MB > AC + BC.
* Bài tập tự luyện 
Bài 1: Cho ABC có AC > AB. Tia phân giác của  cắt BC ở D, điểm E trên đường thẳng AD 
Chứng minh: AC - AB > EC - EB
Gợi ý: Trên cạnh AC lấy điểm P sao cho AP = AB
Dạng 5: Tính số đo đoạn thẳng.
Bài 1: Cho ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của góc BAC (DBC). Biết AB =3cm; AD = cm. Tính độ dài đoạn thẳng BD.
* Phân tích:Từ giả thiết ABC vuông tại A, AD là tia phân giác của góc BAC cho ta góc = 45o. Từ đó gợi cho ta nghĩ đến kiến thức định lý Pytago, tam giác vuông cân để tạo ra một tam giác vuông sao cho có một cạnh là BD và hai cạnh kia đã tìm được độ dài. 
Từ phân tích trên ta có thể đường phụ nào?.
+ Kẻ đường phụ:
- Từ D dựng DEAB (E AB). 
- Vậy DE là đường phụ cần vẽ thêm để giải bài toán.
+HD chứng minh: 
- Để tìm được độ dài BD ta cần tính được ED v