SKKN Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

I. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài 
	Bài toán tính giới hạn của một dãy số cho bởi công thức truy hồi là một bài toán khó đối với học sinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng. Bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi quốc gia. Liên quan đến dạng toán này đã có nhiều cuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông là chưa nhiều. Đôi khi chỉ đưa ra một công thức, một quy trình giải một cách áp đặt, “thiếu tự nhiên”. Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tại sao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vì không có đủ cơ sơ lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức, không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được một lớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều này làm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tố rất quan trọng đối với người học toán. 
	Trong quá trình giảng dạy chương trình toán lớp 11 và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tìm tòi đúc kết và rút ra được một số phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của các bài toán dạng này. Vì vậy tôi chọn đề tài làm sáng kiến kinh nghiệm là : “Một số phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉ trình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về dãy số và giới hạn tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp các em học sinh nắm được một số phương pháp cơ bản để tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi. Trên cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bài toán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải cho các bài toán đó, qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Học sinh lớp 11A2 và 11A8 trường THPT Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hoá.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.
+ Thực hành qua các bài dạy
 + Tổng kết, đánh giá qua năm học 2016-2017 trên đối tượng là học sinh 2 lớp 11A2 và 11A8.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
	Theo quan điểm của cá nhân thì đề tài này có một số điểm mới như sau:
 + Hệ thống lại cho học sinh ba phương pháp cơ bản để tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
+ Xuất phát từ một số bài toán cơ bản được trình bày trong sách giáo khoa, tôi đã hướng dẫn học sinh giải. Trên cơ sở đó cho học sinh nhận dạng các loại bài tập và đưa ra phương pháp giải tương ứng; đồng thời gợi ý để học sinh tự tìm ra một số kết quả mới như giải quyết bài toán tổng quát hơn, phức tạp hơn. 
	II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Một số định nghĩa liên quan đến dãy số
	Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương. Ký hiệu 
	Định nghĩa 1.2. Cho dãy 
 Dãy được gọi là dãy số tăng (đơn điệu tăng) nếu .
 Dãy được gọi là dãy số giảm (đơn điệu giảm) nếu [4].
	Định nghĩa 1.3. Cho dãy số 
 Dãy được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số sao cho .
 Dãy được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại hằng số sao cho .
 Dãy vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn [4].
2.1.2. Cấp số cộng
	2.1. Định nghĩa
	Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) thoả mãn: un+1=un+d (), d là số thực không đổi gọi là “công sai”.
	2.2. Tính chất 
 Số hạng tổng quát của cấp số cộng: un = 
	 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:
	Sn=u1+ u2+ u3+...+ un = = [4].
2.1.3. Cấp số nhân
	3.1. Định nghĩa
	Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un+1 = un .q (); q là số không đổi gọi là “công bội ”.
3.2. Tính chất
	 Số hạng tổng quát:un = u1 .qn-1
 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
	Sn=u1+ u2+ u3+...+ un = , (q1).
(Nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u1)[4].
2.1.4.Giới hạn của dãy số
 	Định nghĩa 4.1. Dãy số được gọi là có giới hạn 0 nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi đều có trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu hoặc .
	 Định nghĩa 4.2. Dãy số được gọi là có giới hạn là số thực L nếu . Kí hiệu hoặc [5].
 Một số giới hạn cơ bản 
 1. 2. 3. với 
 Định lí 4.1 (Định lý giới hạn kẹp giữa) 
 Cho hai dãy số . Nếu và thì [5].
 Định lý mở rộng:. Cho ba dãy số thỏa mãn
Khi đó [5].
	Định lý 4.2 
 Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
 Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn”[1].
Nhận xét: Giả sử dãy số () có giới hạn hữu hạn thì .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trong sách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:
Bài tập 1. Cho dãy số (un) xác định như sau: 
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi là một cấp số nhân.
b) Tính limun”[1].
 Bài tập 2. Cho dãy số () xác định bởi . Tính lim[2].
 Bài tập 3. Cho dãy số (un) xác định bởi 
a) CMR: 
b) CMR: . Tính limun [1].
 Bài tập 4. Cho dãy số () xác định bởi Tính lim[8]. ( Đề thi HSG khối 11 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011).
	Sau khi nghiên cứu Sách giáo khoa và giải bài toán này ta rút ra một số nhận xét sau đây:
 Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra các giải cho bài toán.
 Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nên rất khó đối với học sinh. Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán. Cụ thể có thể xác định công thức tổng quát của dãy số (un) nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một cấp số cộng, cấp số nhân; hoặc sử dụng các định lý về giới hạn của dãy số như nguyên lý kẹp, định lý về sự tồn tại của dãy số để tìm giới hạn của dãy số.
 Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh giỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra. Vấn đề là học sinh biết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết. Đây là một vấn đề không dễ đối với học sinh. Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp học sinh giải quyết vấn đề này. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
	Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã tổng hợp và đưa ra một số phương pháp để tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi. Trong khuôn khổ của đề tài này, tôi xin đưa ra 3 phương pháp cơ bản để tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau đây.
Phương pháp 1: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số.
Phương pháp 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn của dãy số.
Phương pháp 3: Tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng nguyên lí kẹp.
2.3.1. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định số hạng tổng quát của dãy số.
	Phương pháp xác định số hạng tổng quátcủa một dãy số cho bởi hệ thức truy hồi khá phong phú và đa dạng, trong phạm vi đề tài này tôi chỉ trình bày phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số dãy số bằng cách biến đổi công thức truy hồi, sau đó sử dụng đổi biến để đưa dãy số về cấp số cộng hoặc cấp số nhân.. Trên cơ sở tìm được số hạng tổng quát của dãy số ta tính giới hạn của dãy số đã cho.
Ví dụ 1.1. Cho dãy số (un) xác định như sau. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số. 
Nhận xét: Để giải quyết bài toán này học sinh có thể giải theo 2 cách như sau :
Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp)
	Từ giả thiết ta có: u1 = 1 = 1+ 0.2 = 1+(1-1).2
 u2 = 3 = 1+2 =1+(2-1).2
 u3 =5 = 1+2+2 =1+(3-1).2
 ...
 Dự đoán un = 1+(n-1).2
 Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học.
Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng) 
 Từ giả thiết ta có: un+1 – un = 2 nN*
 Nên theo định nghĩa cấp số cộng thì (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2. Suy ra un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2
Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un) xác định .
a) Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi là một cấp số nhân.
b) Tính limun[1].
Giải
a) Ta có . 
Nên (vn) là một CSN có công bội và v1 . Do đó .
b) Từ câu a) suy ra . Do đó .
Nhận xét
	1. Câu hỏi mà học sinh đặt ra là tại sao lại nghĩ ra được phép đổi biến để dãy (vn) là một CSN? Từ đó giáo viên gợi ý hướng giải là ta cần tìm số b sao cho 
Do vậy nếu đặt thì nên (vn) là một cấp số nhân.
	2. Ngoài ra có thể đặt , khi đó ta có . 
Suy ra 
	3. Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới : " đề xuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"
Bình luận:	Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm. Trong phạm vi đề tài này tác giả chỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cách giúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thức phổ thông.
Từ cách đặt vấn đề của giáo viên học sinh có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn như sau :
Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) xác định bởi . Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
Bài toán này có khái quát hơn ví dụ 1.1, cách giải bài toán này tương tự . Trên cơ sở đó giáo viên có thể gợi ý để giúp học sinh phát triển bài toán theo hai hướng:
Hướng 1: Ta thấy hệ số của un trong bài toán trên là 1. Nếu ta thay hệ số đó bởi một số thực k thì việc giải quyết nó có gì thay đổi.
Bài toán 1.2..Cho dãy số (un) xác định bởi .Xác định số hạng tổng quát của dãy số. Từ đó tính giới hạn của dãy số đó. 
Hướng 2: Thay b bởi một biểu thức phụ thuộc n thì sao?
Bài toán 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi . Trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Từ đó tính giới hạn của dãy số đó.
	Rõ ràng đây là bài toán tổng quát hơn, cách giải bài toán này đòi hỏi sự tư duy và sáng tạo mới của học sinh. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy : Đối với bài toán mới này một số học sinh thường giải được theo cách 1 (phương pháp quy nạp) nhưng các em gặp khó khăn khi đoán tìm số hạng tổng quát un . Liệu có thể giải quyết bài toán này theo cách 2 ? Với bài toán 1.2. Từ giả thiết bài toán ta tìm cách biến đổi về dạng: un+1 - = k(un –) với .
	Đến đây nhiều học sinh có thể chưa nhìn nhận ra vấn đề, giáo viên có thể gợi ý cho học sinh : "Nếu ta đặt vn+1 = un+1 - thì (vn) lập thành một cấp số nhân với công bội k, từ đó ta có cách giải quyết như sau :
	Đặt vn = un - nN* lúc đó (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là k, v1=a +.
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân thì : vn = v1.kn-1=
 Khi đó: un =a.kn-1+b
Với bài toán 1.3 ta định hướng như sau:
Trường hợp 1. Với k =1 dãy số (un) xác định bởi. Trong đó f(n) là một biểu thức phụ thuộc n. 
Khi đó ta biến đổi như sau:
 un =(un - un-1)+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ +(u2 – u1)+ u1
 = f(n-1)+f(n-2)+ ... + f(1)+a. Trong đó f(n-1) + f(n-2) + ... + f(1) tính được.
Ví dụ minh hoạ 1: Cho dãy số (un) xác định như sau . Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ? Từ đó tính .
Giải
Ta có: un=(un - un-1 )+(un-1 – un-2)+(un-2 – un-3)+ +(u2 – u1)+ u1
	 =
	 = . Do đó limun = 2.
Trường hợp 2. Với . Giáo viên gợi ý: "Theo cách cho dãy số ta có: un+1 – kun = f(n), từ đó hãy biểu diễn un tương tự như cách làm ở trên"
Ta có: 
 un = (un - kun-1 ) +k (un-1 – kun-2) +k2 (un-2 – kun-3) + +kn-2 (u2 – ku1) +kn-1 u1
	= f(n-1) + k.f(n-2) + k2f(n-3) + ... +kn-2f(1) + kn-1u1.
(Tổng này tính được tùy theo k và f(n) của bài toán cho)
Ví dụ minh hoạ 2: Cho dãy số (un) xác định như sau . Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy ?
Hướng dẫn
Áp dụng kết quả trên với f(n) = n, k = 2 ta được un= 2n+1 – n – 1.
	Đến đây giáo viên đặt vấn đề: ở bài toán trên nếu ta thay f(n) bởi một biểu thức chứa un-1 thì sao? Cụ thể hệ thức truy hồi cho bởi 
Thì việc tìm số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy số này sẽ được giải quyết như thế nào? 
	 Giáo viên có thể định hướng cho học sinh giải quyết bài toán trên theo hướng giải Bài toán 1.2, muốn vậy ta cần tìm 2 số và sao cho: 
un+1 - un = (un - un-1) 
Do un+1 = pun – qun-1 nên ta có :
 (ta giả thiết rằng 0, vì nếu = 0 thì q = 0, bài toán trên giải quyết vì khi đó là cấp số nhân).
Đặt vn=un+1 -un ta có vn=.vn-1 do đó (vn) lập thành cấp số nhân với công bội là , v1= u2 –u1=b–a và vn=n-1v1 hay un+1 -un =n-1(u2 – u1) (1)
Ta lại có un+1 -un=(un - un-1) un+1 -un =(un -un-1) 
Nên tương tự trên ta cũng có un+1 -un =n-1(u2 –u1) (2)
Trường hợp 1: Nếu trừ vế theo vế của (2) cho (1) ta có 
 (-)un =n-1(u2 –u1) -n-1(u2 – u1) 
Trường hợp 2: Nếu = ta có:
un = (un -un-1)+ (un-1–un-2)+2(un-2 –un-3) + +n-2 (u2 –u1) +n-1u1 
 = vn-1 + vn-2 + 2vn-3 + + n-2v1 + n-1u1 
 = n-2v1 +n-3v1 +2n-4v1 + + n-2v1 + n-1u1
(n-1) số hạng
 = (n-2 +n-2 + + n-2)v1 + n-1u1 
 = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1u1 = (n – 1) n-2 (b – a ) + n-1.a 
 = (n – 1)b. n-1 + (n – 2)a. n-1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số (un) là
 (nếu )
	un = (n – 1)b. n-1 + (n – 2)a. n-1 (nếu =)
với , được xác định bởi 
Bài toán đã được giải quyết.
Ví dụ minh hoạ 3: Cho dãy số (un) được xác định .
 Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó. suy ra limun [2].
Áp dụng kết quả trên ta có số hạng tổng quát 
Do đó lim.
Ví dụ minh hoạ 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy Fibonaci [3].
Ta có số hạng tổng quát của dãy Fibonaci là : un=
Nhận xét: Như vậy với cách làm trên ta đã hướng dẫn học sinh tự xây dựng các bài toán mới và quy trình giải các bài toán đó một cách tự nhiên, không phải sử dụng đến các kiến thức vượt chương trình như lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, phương trình đặc trưng hay phương trình hàm sinh... Điều đó ngoài việc giúp học sinh nhớ và giải được toán mà điều quan trọng hơn là đã giúp học sinh phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề phát triển tư duy sáng tạo. Thực tế qua theo dõi các đề thi HSG các tỉnh nhiều năm qua cũng thấy có khá nhiều bài toán tương tự.
 Ta tiếp tục xét thêm một số ví dụ:
 Thực tế giải toán cho thấy, có nhiều bài toán phức tạp hơn, nếu linh hoạt biến đổi theo cách trên ta vẫn giải quyết được một cách dễ dàng. Ví dụ sau cho thấy rõ điều đó.
Ví dụ 1.3. Cho dãy số (un) thỏa mãn: với .Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đó? Từ đó tìm [6].
Hướng dẫn
Theo giả thiết ta có: (un+1 – un)=(un – un-1) +1 
Đặt vn=(un+1 –un) thì ta có vn+1 - vn =1 nên (vn) lập thành cấp số cộng với v1 = 0 và công sai d = 1, do đó: 
Sn-1 = v1+ v2 + ... + vn-1 = == 
Mặt khác ta có: un = (un – un-1) + (un-1 – un-2) + ... + (u2 – u1) + u1 
 = vn-1+ vn-1 + ... + v1 + u1 = Sn-1 + u1 = 
Vậy un = .
Ví dụ 1.4.Cho dãy số (un) xác định như sau: với 
Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số [7].
Hướng dẫn 
Từ giả thiết ta có: un+1 – 3un = (un+1 – 3un)2 =
 (1)
	Do đó ta cũng có (2)
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: un+1 + un-1 = 6un
(vì suy ra un+1 - un-1 >0)
 Do đó bài toán đã cho trở thành: Cho dãy số (un) xác định với .Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số đó?
Đs: 
Bài tập vận dụng
Bài 1.1.Cho dãy số (un) xác định. Đặt Sn= u1+u2+ +un, 
a) CMR dãy số (vn) với vn = un –1 , là một cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Tính limSn [1].
ĐS: 
Bài 1.2. Cho dãy số (un) xác định bởi 
a) CMR .
b) CMR dãy (vn) với là một cấp số nhân. Tính limun [1].
ĐS: .
Bài 1.3. Cho dãy số (un) xác định bởi .Tính lim[6].
ĐS: lim
Bài 1.4. Cho dãy số (un) xác định bởi .Tính limun [8].
ĐS: limun = 2.
Bài 1.5.Cho dãy số (un) xác định như sau.Tính limun [8](Đề thi HSG tỉnh Lạng sơn năm 1999).
ĐS: .
Bài 1.6.Cho dãy số (un) xác định như sau. Tính limun [7].
ĐS 
Bài 1.7. Cho dãy số xác định ,.Tính.
ĐS: .
Bài 1.8. Cho dãy số (un) xác định bởi .Tính lim
 (Đề thi HSG Quảng Ngãi năm 2001 – 2002)
HD: và lim
2.3.2. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng
 cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn
*Nhận xét: Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả với các bài toán mà việc tìm công thức tổng quát của dãy số gặp khó khăn. 
Sau đây ta xét một số ví dụ.
Ví dụ 2.1. Cho dãy số () xác định bởi . Tính lim
Giải
* Chứng minh () là dãy số tăng bằng quy nạp, tức là >
	Khi n = 1 ta có 
	Giả sử , khi đó . Vậy >
* Ta chứng minh dãy () bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp, thật vậy
	Khi n = 1 ta có 
	Giả sử , khi đó . 
	Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 2. Do đó dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a, thì .
* Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có 
Hay . Vì nên a = 2. Vậy 
Nhận xét: Với ví dụ này, ta có thể tìm được số hạng tổng quát của dãy (un) là , tuy nhiên việc xác định số hạng tổng quát của (un) không phải là đơn giản và mất nhiều thời gian. Với phương pháp tính giới hạn như bài giải trên, bài toán được giải quyết tương đối gọn nhẹ.
Ví dụ 2.2. Cho các dãy số được xác định như sau
Chứng minh rằng các dãy số có giới hạn và [5].
Nhận xét: Dựa vào dữ kiện đề bài tìm số hạng tổng quát của hai dãy số là rất khó khăn.
Giải
Ta xét hai trường hợp sau:
(i) Nếu thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy là dãy giảm bị chặn dưới bởi , còn dãy là dãy tăng bị chặn trên bởi. Do đó theo định lý tồn tại và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được.
(ii) Nếu tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 2.3. Cho dãy số được xác định .
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó [5]. 
Hướng dẫn
 Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý ta có tồn tại . Từ đẳng thức chuyển qua giới hạn ta được nhưng do nên chỉ lấy . Vậy.
Ví dụ 2.4. Cho dãy số () xác định bởi .Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
 (Sáng tác dựa trên Đề thi HSG Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011)
Giải
Trước hết ta nhận xét rằng > 0, với mọi n, 
Thật vậy, ta có u1 = 2017 >0. Giả sử , ta chứng minh 
Từ hệ thức truy hồi suy ra 
Do đó ta có .
Mặt khác ta có 
(vì )
Nên (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi , do đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn. Giả sử limun = a, khi đó 
Và ta có 
. Vậy .
Ví dụ 2.5. Cho dãy số ()xác định.Tính lim ( Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011)[8].
Hướng dẫn
* Nhận xét rằng ( kiểm tra bằng chứng minh quy nạp)
* Dãy số () là dãy tăng.
* Giả sử dãy () bị chặn trên, khi đó () có giới hạn hữu hạn và lim= a (a > 0) 
Ta có 
. Phương trình vô nghiệm. 
Vậy dãy (un) không bị chặn hay .
* Ta có .Do đó .
Ví dụ 2.6. Cho dãy số () xác định . Tính lim (Sáng tác từ Đề thi HSG Quảng Bình năm 2010 – 2011).
Hướng dẫn 
* Ta có , do đó dãy (un) là dãy số tăng.
* Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a (). 
Từ hệ thức truy hồi suy ra . Hay (vô lý). Vậy: .
* Từ (*) suy ra hay 
Do đó lim. 
Vậy: lim.
 Bài tập vận dụng
Bài 2.1. Cho dãy số thỏa mãn .Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tìm giới hạn đó [6]. 
ĐS: lim.
Bài 2.2. Cho dãy () xác định (với a >0). Tính lim. ĐS: lim.
Bài 2.3. Cho dãy () xác định . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó[8]. 
 ĐS: limyn= 6.
Bài 2.4. Cho dãy số () xác định bởi (a > 0).Tính limun
ĐS: limun = [8].
Bài 2.5. Cho dãy số () xác định .Đặt . Tính limSn [6].
ĐS:limSn = 2.
Bài 2.6. Cho dãy () xác định bởi .Tính (Tạp chí THTT tháng 10/2010) [5].
Bài 2.7. Cho dãy () xác định.Tính [4]. 
ĐS: .
Bài 2.8. Cho dãy số thực được xác định bởi và trong đó là một số thực thuộc đoạn.Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó[8].
Bài 2.9. Cho số thực .Cho dãy số được xác định bởi: và . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó [8].
Bài 2.10. Cho dãy số () xác định bởi . Tính lim.
ĐS: lim=1.
2.3.3. Phương pháp tính giới hạn của dãy cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng định lý về nguyên lý kẹp
Ta xét một số ví dụ
Ví dụ 3.1. Cho dãy số (un) xác