SKKN Một số phương pháp giải bài toán chia hết trong n nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh lớp 6

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT TRONG N NHẰM PHÁT TRIỂN TƯ DUY LOGIC CHO HỌC SINH LỚP 6
1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lý do chọn đề tài.
 Với mục tiêu giáo dục của nước ta là xây dựng nội dung chương trình và phương pháp giáo dục toàn diện cho thế hệ trẻ , đáp ứng yêu cầu phát triển nhân lực phục vụ cho quá trình công nghiệp hóa , hiện đại hóa đất nước , phù hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam , tiếp cận trình độ giáo dục ở các nước phát triển trong khu vực và trên thế giới.
 Để thực hiện tốt mục tiêu giáo dục , người giáo viên cần có sự hiểu biết, nắm chắc những thay đổi về nội dung và phương pháp cũng như những yêu cầu trong cuộc sống. Đổi mới phương pháp đó chính là lấy học trò làm trung tâm phát huy tính tích cực học tập của học sinh . Học sinh tự tìm tòi kiến thức, vận dụng những kiến thức đó học vào quá trình giải bài tập, ứng dụng vào cuộc sống.
 Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình. 
 Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh. Do vậy trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát huy tư duy Toán học. 
 Bản thân tôi trong quá trình nghiên cứu chương trình toán THCS tôi nhận thấy phần:"Tính chất chia hết " là một nội dung phong phú và đa dạng.
 Trong nhiều năm công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, tôi nhận thấy đa số học sinh thực sự chưa có phương pháp giải bài tập. Khi gặp các bài tập dạng này, học sinh thường lúng túng không biết bắt đầu phải giải như thế nào? Với mong muốn giúp các em làm quen và nắm được cách giải toán dạng này, tôi biên soạn thành một chuyên đề để các em tham khảo và có một kĩ năng nhất định khi giải toán dạng này. Khi được giáo viên ra bài tập đọc đề lên là bước vào tính toán luôn không cần phân tích đề xem bài tập đó thuộc dạng nào? Phương pháp giải như thế nào? Dẫn đến việc học sinh khó suy luận được, ngay cả học sinh giỏi vẫn mắc sai lầm.
 Sự lúng túng này thể hiện rõ khi các em tham gia giải các bài toán nâng cao về dạng toán chia hết . Dạng bài tập này hầu như không thiếu trong thi học kỳ ở các lớp cũng như nhiều kỳ thi khác. Từ những sai lầm và rất lúng túng của học sinh, tôi đó kiểm tra , phân tích thực trạng tìm ra nguyên nhân chính là do các em chưa hiểu được các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của số tự nhiên và chưa nắm được phương pháp giải các bài toán ở dạng này. 
 Với những lý do trên từ đó tìm tòi nghiên cứu, tham khảo tư liệu và áp dụng đề tài:”Một số phương pháp giải bài toán chia hết trong N nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh lớp 6” để dạy cho mọi đối tượng học sinh trong việc giảng dạy học tập hằng ngày. Nhằm giúp cho các em học khối 6 khắc phục những sai lầm, biết giải các bài tập loại này một cách tự tin và hiệu quả làm tiền đề để giải các bài tập dạng này ở các lớp trên.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Đề tài này nhằm giúp cho các em nắm chắc được định nghĩa, các tính chất, các dấu hiệu chia hết của số tự nhiên và phương pháp giải dạng toán chia hết và kỹ năng giải bài tập nói chung.
 - Phát huy tính tích cực chủ động và tạo hứng thú cho học sinh trong học tập, đặc biệt là trong giải bài tập toán.
 - Là tài liệu rất cần thiết cho việc ôn luyện học sinh bộ môn toán nói chung cũng như học sinh giỏi bộ môn toán , và giúp cho giáo viên hệ thống được kiến thức, phương pháp giải bài tập toán dạng toán chia hết.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Đội tuyển toán khối 6 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, với tổng số 20 học 
sinh.
 - Các bài toán liên quan đến tính chia hết trong chương trình Toán THCS.
 - Đề tài này nghiên cứu và áp dụng cho đối tượng học sinh đại trà và bồi dưỡng học sinh khá giỏi cũng như phục vụ cho việc giảng dạy học tập hằng ngày.
 Về mặt kiến thức kỹ năng đề tài chỉ nghiên cứu một số phương pháp giải toán có liên quan đến định nghĩa, các tính chất, các dấu hiệu chia hết và phương pháp giải dạng bài tập chia hết đối với số tự nhiên.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Đọc sách, tham khảo tài liệu. 
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp. 
- Cùng trải nghiệm thực tế - nhiều năm dạy toán khối lớp 6.
- Thông qua học tập BDTX các chu kì.
 Dựa vào kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, trao đổi cùng đồng nghiệp đã rút ra được một số vấn đề có liên quan đến nội dung của sáng kiến.
2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm.
Trong hoạt động dạy và học theo phương pháp đổi mới người giáo viên phải giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học tập chủ động tích cực muốn vậy người giáo viên cần truyền thụ cho học sinh những tri thức những kĩ năng , phương pháp để học sinh biết cách học , biết cách suy luận, biết cách tìm tòi để phát hiện ra kiến thức mới.
Để phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong giải toán, nhất là giải các bài toán chia hết học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản, phương pháp giải , giáo viên cần hiểu rõ bản chất vấn đề , tổng hợp kiến thức cung cấp , hệ thống cho học sinh các cách giải.Thông qua các bài toán về tìm x trong dấu giá trị tuyệt đối mà phát triển tư duy lô gíc, phát triển kỹ năng, củng cố và phát triển kiến thức toán của học sinh . 
- Các kiến thức thường sử dụng là:
 2.1.1. Các dấu hiệu chia hết:
+. Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn.
+. Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9):
Một số chia hết cho 3( hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3( hoặc 9).
Chú ý: Một số chia hết cho 3( hoặc 9) dư bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3( hoặc 9) cũng dư bấy nhiêu và ngược lại.
+. Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số của số đó có tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
+. Dấu hiệu chia hết cho 4( hoặc 25):
Một số chia hết cho 4(hoặc 25) khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4(hoặc 25).
+. Dấu hiệu chia hết cho 8( hoặc 125):
Một số chia hết cho 8( hoặc 125) khi và chỉ khi ba chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8( hoặc 125).
 +. Dấu hiệu chia hết cho 11:
Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn( từ trái sang phải) chia hết cho 11.
2.1.2. Tính chất của quan hệ chia hết:
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0.
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b.
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà ( b,c) = 1 thì a chia hết cho (b.c).
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c.
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên.
+Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a b) chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (a b) không chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m và b chia hết cho n thì (a.b) chia hết cho (m.n).
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chia hết cho m.
+ Nếu a chia hết cho m thì chia hết cho m với n là số tự nhiên.
+ Nếu a chia hết cho b thì chia hết cho với n là số tự nhiên.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Thực trạng học sinh ở vùng thành phố, nhưng hầu hết gia đình các em trong lớp 
kinh tế còn khó khăn, bố mẹ phần lớn kinh doanh buôn bán . Do vậy việc mua tài liệu tham khảo cho các em còn hạn chế rất nhiều, thời gian quan tâm đến con cái còn ít. Là học sinh lớp 6 các em vừa mới từ tiểu học lên còn lạ với phương pháp dạy học ở trung học cơ sở cho nên các em còn nhiều lúng túng từ cách ghi bài đến cách trình bài bài giải.
 Qua giảng dạy và qua các bài kiểm tra đầu năm tôi thấy kết quả bài làm của học sinh rất thấp . Lý do học sinh không có điểm cao là do học sinh không nắm được cách giải hoặc nắm chưa sâu cho nên học sinh còn mắc nhiều sai lầm dẫn đến bài giải sai. Các em chưa biết cách suy luận, chưa biết cách trình bày lời giải một bài toỏn, đôi khi các em tìm ra được kết quả nhưng không biết cách trình bày bài giải. Một số em chưa nắm vững được định nghĩa về phép chia hết,các tính chất của phép chia hết hoặc vận dụng chưa thành thạo.
 Qua kiểm tra khảo sát đầu năm của lớp bồi dưỡng học sinh khá, giỏi kết quả như sau:
Tổng số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
 20
0
0
8
40
12
60
0
0
 Trong số các bài kiểm tra của học sinh tôi thấy số các bài trình bày được lời giải hoàn chỉnh ( nhóm 1) rất ít, mà trong phần trình bày bài giải của các em vẫn còn chưa lô gíc.
 Nhóm 2 đa số các em viết kết quả đúng hoặc gần đúng nhưng chưa biết cách trình bày hoặc trình bày theo cách suy diễn của các em mà không có lô gíc. 
Ví dụ: Thay x bởi chữ số thích hợp để số 43x5 chia hết cho 3.
Lời giải của học sinh: x = 0 ; 3 ; 6 ; 9 vậy số 4305 ; 4335 ; 4365 ; 4395 đều chia hết cho 3. 
Lời giải đầy đủ: Theo dấu hiệu chia hết cho 3, để 43x5 3 thì: 4 + 3 + x + 5 3
 12 + x 3 x 3 ( vì 12 3) x 
 Nhóm 3 các em viết kết quả đúng hoặc chưa đầy đủ, các em chưa biết cách trình bày hoặc suy luận thiếu căn cứ.
Ví dụ: Cho S = 5 + 120 + x , x N . Tìm điều kiện của x để S chia hết cho 5.
Lời giải của học sinh: x = 5 ; 0 và: 5 + 120 +5 = 130 5, 5 + 120 + 0 = 125 5.
Lời giải đầy đủ: Do 5 5 ; 120 5, nên để 5 + 120 + x 5 thì x 5 .
Vậy với x = 5k ( k N) thì S 5.
 Cho dù trước khi làm bài kiểm tra các em cũng đó được học lý thuyết và phương pháp làm bài nhưng chưa được luyện tập nhiều nên kết quả còn thấp. Sau khi trả bài cho các em tôi nhận xét rồi hướng dẫn lại cách làm, sau đó cho các em lên bảng trình bày lời giải thì các em trình bày lại được. 
 Vì vậy tôi thấy rằng giáo viên cần rèn luyện cho học sinh phương pháp giải cũng như rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán nói chung cũng như dạng toán chia hết nói riêng nhằm giúp các em hiểu và làm được thành thạo bài tập toán. Để các em cảm thấy môn toán không khó như các em vẫn cảm nhận, từ đó nâng cao chất lượng dạy học toán.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Trước hết giáo viên cho học sinh ôn tập và nắm vững định nghĩa, các tính chất của phép chia hết .Sau đó cho học sinh làm quen dần với các dạng toán với các phương pháp của các dạng toán ấy rồi cho học sinh luyện giải các dạng toán chia hết qua các ví dụ. Sau mỗi dạng bài giáo viên: nêu phương pháp giải lấy ví dụcho học sinh tự luyện các bài tương tự. 
2.3.1.Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết.
 Để chứng minh a chia hết cho b( b ¹ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b( hoặc chia hết cho b).
Ví dụ 1: Chứng minh rằng (3n)100 chia hết cho 81 với mọi số tự nhiên n.
Giải:
Ta có (3n)100 = 31000. n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000. 
Vì 81 chia hết cho 81 nên 81.3996.n1000 chia hết cho 81.
 (3n)1000 chia hết cho 81.
2.3.2.Phương pháp 2: Dựa vào tính chất của quan hệ chia hết.
* Dùng tính chất chia hết của một tổng, hiệu:
 - Để chứng minh a chia hết cho b(b ¹ 0) ta biểu diễn số a dưới dạng một tổng của nhiều số hạng rồi chứng minh tất cả các số hạng đó đều chia hết cho b.
 - Để chứng minh a không chia hết cho b ta biểu diễn số a thành tổng của các số hạng rồi chứng minh một số hạng không chia hết cho b còn tất cả các số hạng còn lại đều chia hết cho b.
Ví dụ 2: Khi chia một số cho 255 ta được số dư là 170. Hỏi số đó có chia hết cho 85 không? Vì sao? 
Giải:
Gọi số đó là a (a là số tự nhiên).
Vì a chia cho 255 có số dư là 170 nên a = 255.k + 170 (k là số tự nhiên).
Ta có: 	 255 chia hết cho 85 nên 255.k chia hết cho 85.
	170 chia hết cho 85.
 (255.k + 170) chia hết cho 85 (Tính chất chia hết của một tổng).
 Do vậy a chia hết cho 85.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Giải:
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a + 1, a + 2.
Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là:
 a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) = (3a + 3) chia hết cho 3
 (Tính chất chia hết của một tổng).
Từ bài tập, này giáo viên có thể đưa học sinh vào tình huống : Có phải tổng của n số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho n hay không?
Qua đó gợi trí tò mò, đưa học sinh vào tình huống có vấn đề cần phải giải quyết. Sau đó giáo viên gợi ý cho học sinh, để trả lời câu hỏi này, các em cần làm bài tập sau:
Ví dụ 4: Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 4 hay không ?
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). 
 Do 4 chia hết cho 4 nên 4a chia hết cho 4 mà 6 không chia hết cho 4 nên 
(4a + 6) không chia hết cho 4.
 Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4.
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n.
* Dùng tính chất chia hết của một tích:
Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) tôi hướng dẫn học sinh chứng minh bằng một trong các cách sau:
+ Biểu diễn b = m.n với (m, n) = 1. Sau đó chứng minh a chia hết cho m, 
a chia hết cho n.
+ Biểu diễn a = a1.a2 , b = b1.b2 , rồi chứng minh a1 chia hết cho b1 ; a2 chia hết cho b2 .
Ví dụ 5: Chứng minh (495a + 1035b) chia hết cho 45 với mọi a , b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 495 chia hết cho 9 nên 1980.a chia hết cho 9 với mọi a.
Vì 1035 chia hết cho 9 nên 1035.b chia hết cho 9 với mọi b.
Nên: (495a + 1035b) chia hết cho 9.
Chứng minh tương tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với mọi a, b.
Mà (9, 5) = 1.
 (495a + 1035b) chia hết cho 45.
 Ví dụ 6: Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8.
Giải: 
Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n + 2.
Tích của hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
Vì n, n + 1 không cùng tính chẵn lẻ nên n.(n + 1) chia hết cho 2.
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4n.(n + 1) chia hết cho (4.2)
 4n.(n + 1) chia hết cho 8.
 2n.(2n + 2) chia hết cho 8.
Ví dụ 7: Cho A = 2 + 22 + 23  + ... + 259 + 260  .Chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Giải: 
Viết A dưới dạng A = 2(1 + 2) + 23( 1 + 2) + ... + 259( 1 + 2)
 A = 2.3 + 23.3 + ... + 259.3 
 A = 3.( 2 + 23 + 25 + ... + 259) chia hết cho 3.
 Như vậy trong bài toán này giáo viên chỉ cho học sinh thấy được tổng A có 60 số hạng, nếu nhóm mỗi nhóm 2 số hạng rồi đặt thừa số chung thì ta được mỗi số hạng đều chứa thừa số 3 nên tổng A chia hết cho 3.
 Qua bài toán này giáo viên gợi ý cho học sinh nếu nhóm 3 số hoặc 4 số ... thì mỗi nhóm như thế sẽ chứa thừa số nào, suy ra tổng A có thể chia hết cho số nào? Từ đó giáo viên có thể cho học sinh nêu các đề toán tương tự và trình bày bài giải. Sau đó giáo viên cho hs nêu bài toán tổng quát với luỹ thừa của 2 và mở rộng cho luỹ thừa với các cơ số khác. 
Với cách hướng dẫn như trên học sinh không những biết cách làm mà các em còn nắm vững và hiểu sâu sắc về bài toán ở dạng này.
 * Dùng dấu hiệụ chia hết
 Để sử dụng phương pháp này giáo viên hướng dẫn học sinh dựa vào dấu hiệu chia hết và các tính chất chia hết đặc biệt là tính chất chia hết của một tổng. Thông thường các dạng toán ở đây là tìm các chữ số để một số nào đó chia hết cho một số khác mà các số này phân tích được thành tích của các số có dấu hiệu và các thừa số đó đôi một nguyên tố cùng nhau.
Ví dụ 8 : Tìm tất cả các số x, y để có số chia hết cho 36.
Giải: 
 Vì (4, 9) = 1 nên chia hết cho 36
 chia hết cho 9 và chia hết cho 4.
 Ta có: chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y Î .
 chia hết cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hết cho 9.
 (9 + 13 + x + y) chia hết cho 9. Û (3 + x + y) chia hết cho 9
Vì x, y Î N và 0 £ x; y £ 9 Nên x + y thuộc 
 Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 ( > 9 - Loại ).
 Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9.
 Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956.
2.3.3.Phương pháp 3: Dùng định lý về chia có dư.
Để chứng minh n chia hết cho p, ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p.
 Ví dụ 9: Chứng minh rằng:
a. Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
 b. Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 4.
Giải:
a. Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2.
Tích của ba số tự nhiên liên tiếp là: n.(n + 1).(n + 2).
 Một số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2.
 - Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
 - Nếu r = 1 thì n = 3k + 1 (k là số tự nhiên).
 	n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hết cho 3.
 n.(n + 1).(n + 2) chia hết cho 3.
 - Nếu r = 2 thì n = 3k + 2 (k là số tự nhiên).
 n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hết cho 3.
 n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3.
Tóm lại: n.(n +1).(n +2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên.
b. Chứng minh tương tự ta có n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.
Sau khi giải bài tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát.
Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n.
2.3.4. Phương pháp 4: Sử dụng chữ số tận cùng
 Khi gặp những bài toán chứng minh chia hết cho 2 ; 5 ; 10 hoặc các luỹ thừa của 10 mà không thể đưa được về các phương pháp trên ta sử dụng tính chữ số tận cùng. Với chú ý : Những số có chữ số tận cùng là : 0; 1 ; 5 ; 6 dù luỹ thừa bậc bao nhiêu thì cũng có tận cùng là chính nó.
Ví dụ 10: Chứng minh rằng: a/ 94260 – 35137 chia hết cho 5 
 b/ 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5.
 Giải:
a/ Ta có: 94260 = (9424)15 .
 Mà 9424 có tận cùng là 6 (9424)15 có chữ số tận cùng là 6.
Và 35137 có chữ số tận cùng là 1 
94260 – 35137 có chữ số tận cùng là 6 – 1 = 5.
Nên 94260 – 35137 chia hết cho 5 
b/ Ta có 995 = (992)2.99 
Mà 992 có chữ số tận cùng là 1 (992)2 có chữ số tận cùng là 1
 (992)2.99 có chữ số tận cùng là 9.
 + 984 có chữ số tận cùng là 6
+ 973 có chữ số tận cùng là 3 
+ 962 có chữ số tận cùng là 6
 995 – 984 + 973 – 962 có chữ số tận cùng là 9 – 6 + 3 – 6 = 0. 
Nên 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho 2 và 5.
 Ở dạng này khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi có thể mở rộng thêm cho học sinh sử dụng 2 chữ số tận cùng để chứng minh chia hết cho các luỹ thừa của 10 hoặc 25; hoặc 125. Với chú ý : Những số có chữ số tận cùng là : 25; 625 dù luỹ thừa bậc bao nhiêu thì cũng có tận cùng là chính nó.
2.3.5. Phương pháp 5: Sử dụng đồng dư thức
 Trước hết để học sinh sử dụng được phương pháp này khi giảng dạy tôi phải củng cố kiến thức phần này cho học sinh. Học sinh phải nắm được định nghĩa đồng dư, các tính chất của đồng dư thức để áp dụng vào giải bài tập.
Ví dụ 11 : Chứng minh rằng: 
a/ 301293 – 1 chia hết cho 13.
b/ 2090n – 803n - 464n + 261n chia hết cho 271 với n là số tự nhiên khác 0.
Giải:
a/ Ta có : 3012 9 ( mod 13), nên 30123 93 1 ( mod 13)
Do đó 301293 30213.21 93.21 1 ( mod 13)
 Vậy 301293 – 1 1 – 1 = 0 ( mod 13), hay 301293 – 1 chia hết cho 13.
b/ Ta có : 2090 193 ( mod 271), nên 2090n 193n ( mod 271)
 803 261 ( mod 271, nên 803n 261n ( mod 271)
 464 193 ( mod 271),nên 464n 193n ( mod 271)
 Mà 261n 261n ( mod 271)
Vậy 2090n – 803n - 464n + 261n 193n – 261n - 193n + 261n 0 ( mod 271)
Hay 2090n – 803n - 464n + 261n chia hết cho 271 với n là số tự nhiên khác 0.
 Khi học sinh đã nắm vững các phương pháp thường dùng để chứng minh chia hết, giáo viên có thể ra một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống, được đào sâu các kiến thức về phép chia hết.
2.3.6. Một số bài toán 
Bài 1: Cho các chữ số 0, a, b. Hãy viết tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba số trên. Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết cho 211.
Giải:
Tất cả các số có ba chữ số tạo bởi ba chữ 0, a, b là: 
 Tổng của các số đó là: 
 = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a 
 = 211a + 211b = 211(a + b) chia hết cho 211.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2).
Giải:
Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
 Mà 5.(n +2) chia hết cho (n +2).
 Do đó (5n + 14) chia hết cho (n +2) 4 chia hết cho (n + 2) (n + 2) là ước của 4.
 (n +2) Î
 n Î.
 Vậy với n Î{0; 2} thì (5n + 14) chia hết cho (n +2).
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để là số tự nhiên .
Giải:
Để là số tự nhiên thì (n + 15) chia hết cho (n