SKKN Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán

A - MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
“Mục tiêu của việc đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là xây dựng 
nội dung chương trình, phương pháp giáo dục, sách giáo khoa phổ thông mới nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, đáp ứng yêu cầu phát triển nguồn nhân lực phục vụ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, phù hợp với thực tiễn và truyền thống Việt Nam; tiếp cận trình độ giáo dục phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và thế giới” [1] (Nghị quyết số 40/2000/QH 10, ngày 9/12/2000). Đổi mới chương trình giáo dục phổ thông phải là một quá trình từ đổi mới mục tiêu, nội dung, phương pháp đến phương tiện giáo dục, đánh giá chất lượng giáo dục. 
Như vậy, nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông theo tình thần Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng lần thứ 8, khoá XI về “Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo...” [2] được khẳng định như một chiến lược, một chính sách giáo dục quốc gia.
Việc tổ chức kiểm tra, đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh chiếm một vai trò hết sức quan trọng bởi từ kết quả kiểm tra, đánh giá khoa học, chính xác giúp giáo viên và nhà trường từ các cấp học phổ thông đến đào tạo nghề nghiệp, đào tạo đại học định hướng chiến lược phát triển của nhà trường, phát huy những ưu điểm trong thực hiện nhiệm vụ chính trị của ngành và địa phương.
Trước mắt, vào năm cuối cấp học phổ thông đối với học sinh thì cần đạt được kết quả tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy, câu hỏi đặt ra là: Làm thế nào để có thể giải quyết nhanh nhất, chính xác nhất, chắc chắn nhất những câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán? Những yêu cầu về kiến thức ở mức độ nào? Kỹ năng giải toán hiệu quả nhất là gì? ...
Trong những năm giảng dạy bộ môn toán ở trường phổ thông tôi thường
được nhiều học sinh hỏi: Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc thế kia? Nhiều khi em không hiểu được tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng như không liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm? 
Những câu hỏi như thế đã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình truyền thụ tri thức cho học sinh. Đành rằng việc giải toán là một quá trình mò mẫm tìm tòi dựa trên những hiểu biết của người học toán. Tuy nhiên có người phải mầy mò rất lâu lại có người tìm được hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào ?!
Đối với đại đa số học sinh thì việc chú trọng giải quyết các câu hỏi ở mức độ nhận thức nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp là nhu cầu thiết yếu không thể thiếu. Một bộ phận học sinh được gọi là có chỉ số IQ cao (thường là học sinh giỏi) thì có nhu cầu giải quyết các câu hỏi ở mức độ vân dụng cao. Khi đó việc giải quyết nhanh, chính xác các câu hỏi ở các mức độ nhận thức thấp hơn càng cần thiết, bởi vì có thể giành được nhiều thời gian hơn và tạo đà tâm lý tốt hơn cho phần câu hỏi còn lại.
Để trả lời được những câu hỏi đặt ra thì trước hết bản thân học sinh phải có một nền tảng kiến thức cơ bản vững chắc, có kỹ năng thiết yếu và một số kỹ sảo (hay còn gọi là thủ thuật) giải quyết các dạng câu hỏi này. Bên cạnh sự nỗ lực, khả năng tự học, tích lũy kiến thức của học sinh ... thì vai trò của người thầy là hết sức quan trọng. 
Người thầy phải định hướng và trang bị kiến thức chuẩn cho học sinh, còn phải biết đúc rút kinh nghiệm, tìm ra những phương pháp, kỹ năng cần thiết, hiệu quả để trang bị cho học sinh thông qua các tiết đứng lớp giảng dạy kiến thức cơ bản, tiết ôn tập ... nhằm từng bước tích lũy kỹ năng, kỹ sảo làm bài, chuyển hóa từ lượng sang chất, có điểm “rơi” phù hợp, tạo niềm tin và tâm lý vững vàng, tự tin cho học sinh qua đó giảm áp lực “thi cử” mà học sinh là người phải gánh chịu nhiều nhất (áp lực này được tạo ra từ nhiều phía, từ xã hội, gia đình, nhà trường, việc làm, định hướng nghề nghiệp, định hướng tương lai ...).
Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải toán đã có nhiều thầy, cô giáo đề cập khá nhiều, thậm chí còn thực hiện trên tầm vĩ mô hơn xong việc trình bày lại một số kinh nghiệm của cá nhân thiết nghĩ là không thừa. 
Từ nhận thức trên và thực tiễn giảng dạy, bồi dưỡng học sinh cùng với quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân, tôi xin đề xuất một số kỹ năng (có thể gọi là phương pháp cũng được) giải quyết nhanh, hiệu quả một số dạng câu hỏi về bảng biến thiên và đồ thị hàm số trong đề thi THPT quốc gia môn Toán (TNKQ) cho học sinh ở trường trung học phổ thông (THPT) qua đề tài: “Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán”. 
Hy vọng rằng, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) này sẽ giúp được phần nào cho đồng nghiệp trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là học sinh THPT trong quá trình học tập và dự thi THPT Quốc gia. Các kỹ năng tư duy được trình bày trong SKKN có thể được áp dụng cho cả các bộ môn khác. Tuy nhiên, trong phạm vi đề tài và do góc nhìn của mỗi người nên đề tài chỉ giới hạn trong phạm vị các câu hỏi mà nội dung có chứa bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số đã được cho trước và sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp để đề tài nghiên cứu đi vào thực tiễn. Xin chân thành cảm ơn!
2. Mục đích nghiên cứu: 
Đề tài trong SKKN xoay quanh việc nâng cao tính hiệu quả và sự khả thi trong việc trang bị kiến thức, vận dụng các kỹ thuật, kỹ năng thiết yếu giải nhanh hệ thống câu hỏi TNKQ trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán về bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho học sinh (chủ yếu là học sinh lớp 12). Đề tài này áp dụng đối với học sinh trường THPT Đào Duy Từ Thành phố Thanh Hóa và có thể vận dụng cho học sinh nhiều nơi khác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
- Cơ sở lý luận của việc đánh giá năng lực học sinh: Yêu cầu về mức độ nhận thức của học sinh, yêu cầu về năng lực học sinh. Khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn giải Toán của học sinh.
- Mục đích, mục tiêu cần đạt về kiến thưc, kỹ năng của học sinh sau khi học xong chương trình Toán THPT đã được cụ thể hóa trong nội dung của sách giáo khoa Đại số 10, Đại số và Giải tích lớp 11 và Giải tích lớp 12.
- Tác động của đề tài “Một số kỹ năng thiết yếu giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán” lên đối tượng người dạy và người học: Nội dung của đề tài giúp thầy, cô có thêm hệ thống các kỹ năng suy luận logic, suy luận có lý để áp dụng vào quá trình giảng dạy; học sinh biết được sự cần thiết của việc hệ thống hóa kiến thức cũng như tự tin hơn khi giải quyết các câu hỏi trong quá trình học tập và thi THPT Quốc gia.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện tốt đề tài này tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Nghiên cứu cơ sở lý luận của một số kỹ thuật xây dựng đề và chuẩn hóa đế thi TNKQ;
Nghiên cứu kỹ thuật xây dựng hệ thống câu hỏi theo các mức độ nhận thức: Nhận biết, thông hiểu, vận dụng (vận dụng thấp, vận dụng cao);
Tổng hợp, hệ thống hóa các kiến thức liên quan theo hướng sử dụng sơ đồ tư duy;
Áp dụng đối chứng giữa cách giải bài thông thường với cách giải bài khi
được trang bị, sử dụng kỹ năng mới; 
- Tiếp tục điều chỉnh và bổ sung những kỹ năng mới hiệu quả hướng tới việc hệ thống hóa những kỹ năng áp dụng cho thầy, cô giáo và mọi đối tượng học sinh (người học).
B - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Cơ sở lý luận của đề tài.
- Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV (khóa VII, 1993), hội nghị lần III (khóa VIII, 1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục - đào tạo phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp...” và mục tiêu của chương trình mới là “góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết lao động hợp tác, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên” [3]. Các quan điểm đó được thể chế hóa trong Luật giáo dục nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam: “Chương trình giáo dục phổ thông thể hiện mục tiêu giáo dục; quy định chuẩn kiến thức, kỹ năng, phạm vi và cấu trúc nội dung giáo dục phổ thông; phương pháp và hình thức tổ chức hoạt động giáo dục, cách thức đánh giá kết quả giáo dục đối với mỗi môn học ở mỗi lớp và mỗi cấp học của giáo dục phổ thông” [4] (Điều 29, mục II - Luật Giáo dục - 2005). 
- Tính cấp thiết của thời đại mà con người ngày càng sử dụng nhiều phương tiện khoa học kỹ thuật tân tiến thì năng lực suy luận, tư duy và năng động trong việc giải quyết vấn đề ngày càng trở nên cấp thiết. 
- Đổi mới kiểm tra, đánh giá gắn liền với đổi mới PPDH nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;
1.1. Cơ sở khoa học.
	Việc phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, tạo cho học sinh sự ham mê tìm hiểu, khám phá về các khái niệm mới, liên hệ với thực tiễn là một trong những yêu cầu tất yếu trong sự ”Dạy” và ”Học” đòi hỏi cần xác định đúng, đánh giá đúng năng lực của học sinh. Xác định cho học sinh mục tiêu, mục đích một cách khoa học, đúng đắn và phù hợp nhằm đạt hiệu quả cao nhất sau quá trình học tập. 
Như vậy, có thể khẳng định mục đích của việc dạy học Toán học ở trường THPT không chỉ giúp cho học sinh phát triển tư duy nhận thức, khả năng vận dụng vào thực tiễn của học sinh mà để đạt được điều đó thì yếu tố không thể thiếu trong hệ thống logic nhận thức là tích hợp đầy đủ những thông tin một cách khoa học về năng lực người học thông qua kiểm tra đánh giá. Kết quả của kỳ thi THPT Quốc gia là một cơ sở quan trọng kiểm định chất lượng giảng dạy của thầy, cô và quá trình học tập, tích lũy kiến thức của học sinh. 
	Điều này có đạt được hay không hoàn toàn phụ thuộc vào việc xây dựng và tổ chức việc học cho học sinh của giáo viên (GV), phương thức thu thập thông tin của GV thông qua tổ chức kiểm tra, đánh giá chất lượng nhận thức của học sinh. Đó là lý do chính để tôi chọn đề tài nghiên cứu trong sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán”.
1.2. Cơ sở thực tiễn.
Đánh giá trong giáo dục là công cụ để xác định năng lực nhận thức người
học, điều chỉnh quá trình dạy học. Đổi mới phương pháp dạy học được chú trọng để đáp ứng những yêu cầu mới của mục tiêu giáo dục nên việc kiểm tra, đánh giá phải chuyển biến mạnh theo hướng phát triển trí thông minh, sáng tạo của học sinh, khuyến khích vận dụng linh hoạt các kiến thức, kỹ năng đã học vào những tình huống thực tế, làm bộc lộ khả năng của học sinh. Đánh giá không chỉ thực hiện ở thời điểm cuối cùng của mỗi giai đoạn giáo dục mà trong cả quá trình giáo dục. 
Hướng tới yêu cầu kiểm tra đánh giá công bằng, khách quan kết quả học tập của học sinh, ngoài phương pháp đánh giá bằng quan sát và vấn đáp, người ta bổ sung các hình thức đánh giá khác như đưa thêm các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan; chú ý hơn tới việc đánh giá cả quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh, quan tâm tới việc tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Trong thực tiễn, nhu cầu đạt được một điểm số nhất định (tương ứng với các mức độ nhận thức) của học sinh sau mỗi cấp học ở chương trình phổ thông và chuyển tiếp lên bậc học cao hơn là tất yếu (trong giai đoạn hiện nay). Kết quả của kỳ thi THPT Quóc gia là thước đo, là tiêu chuẩn đánh giá và là một trong những mục tiêu ban đầu của học sinh trong quá trình chuẩn bị hành trang vào đời của người học. 
II. Thực trạng của vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy, một trong những điều tôi quan tâm là giáo viên dạy và học sinh đã học, tiếp thu và vận dụng kiến thức toán học như thế nào? Thái độ của học sinh đối với khái niệm Hàm số và các vấn đề liên quan ra sao? Đặc biệt, trước khi làm đề tài này, tôi đã tiến hành điều tra thực tiễn về thực trạng dạy và học khái niệm Hàm số, tổng hợp, phân tích các kiến thức có liên quan và vận dụng của học sinh, của giáo viên khi giải quyết các câu hỏi (bài toán) có chứa bảng biến thiên (BBT), đồ thị hàm số ở tổ chuyên môn, tham khảo và trao đổi với nhiều giáo viên toán các thế hệ khác nhau ở các trường THPT khác bằng các hình thức:
Phỏng vấn một số giáo viên dạy giỏi, có kinh nghiệm trong giảng dạy;
Dự giờ, quan sát tiết học; phỏng vấn học sinh, trao đổi tâm sự với học sinh;
	Kết hợp cùng những kiến thức tiếp thu được trong các đợt tập huấn thay sách ở Bộ GD & ĐT, tập huấn về đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá, lộ trình đổi mới chương trình giáo dục phổ thông. Từ đó, có thể nhận thấy:
+ Ở mỗi tiết dạy, cùng với việc tổ chức học tập theo hướng đổi mới thì việc rèn luyện các dạng bài tập trắc nghiệm ứng với từng đơn vị kiến thức của từng bài, từng chương, từng chủ đề cần được quan tâm (giai đoạn tích lũy về lượng của học sinh).
+ Trong thời đại bùng nổ thông tin như hiện nay, không khó để tìm được những bộ câu hỏi trắc nghiệm được soạn sẵn cho từng chủ đề. Tuy nhiên, việc áp dụng các tài liệu này vào giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh là điều không dễ dàng. Thiết nghĩ, việc mỗi giáo viên có thể tự mình thiết kế, tổng kết được những kỹ năng cơ bản về hàm số gắn với bộ câu hỏi trắc nghiệm phù hợp nhận thức học sinh, phù hợp yêu cầu mức độ kiến thức kỹ năng cần đạt trong cấu trúc đề thi THPT Quốc 
gia là điều hết sức cần thiết.
+ Trong đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017, môn Toán thi theo hình thức TNKQ (theo định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tao) thì câu hỏi về Hàm số luôn chiếm tỉ lệ lớn một cách trực tiếp hay gián tiếp (lồng ghép) mà trong đó câu hỏi có chứa bảng biến thiên (BBT) hay đồ thị được trải rộng ở tất cả các mức độ nhận thức (điều này là tất yếu, bởi nhẽ hàm số được xem là “Xương sống” là “Cốt lõi” trong chương trình Toán học phổ thông).
+ Một số giáo viên khi soạn câu hỏi TNKQ tỏ ra “dễ dãi” không phân tích, đánh giá đầy đủ, khoa học nên một bộ phận học sinh mất phương hướng (chẳng hạn, quá nhiều câu hỏi mà học sinh chỉ cần sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) là có thể giải quyết được) nên khi bước vào các kì thi, gặp các câu hỏi đòi hỏi nắm vững kiến thức cơ bản thì học sinh thường lúng túng, không tự tin để giải quyết. Mặt khác với thực trạng này, học sinh luôn bị động, đôi khi chủ quan, hoặc quá tả, quá hữu (nhất là đối với số học sinh chưa xác định được mục tiêu học tập, lười tư duy, “Ăn sẵn” hay máy móc, dập khuôn ...).
	Trước thực trạng đó, là một giáo viên dạy Toán THPT nhiều năm, tôi thấy cần thiết phải giúp các em học sinh, đóng góp một phần vào quá trình giảng dạy của thầy, cô giáo qua nội dung của đề tài “Một số kỹ năng cơ bản giải nhanh các câu hỏi có bảng biến thiên, đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán”.
	Tuy nhiên, vì điều kiện và hạn chế của phạm vi đề tài. Tôi chỉ xin trình bày nội dung đề tài trong một số vấn đề cơ bản thường gặp nhất về BBT và đồ thị hàm số (có mở rộng với một vài hàm số đạo hàm).
III. Các giải pháp thực hiện đề tài.
3.1. Bảng phân loại (đặc tính) các cấp độ tư duy 
Bảng 1. Bảng phân loại các cấp độ tư duy (theo GS. Boleslaw Niemierko)
Cấp độ tư duy
Mô tả
Nhận biết
 Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc nhận
ra chúng khi được yêu cầu.
Thông hiểu
 Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng 
khi chúng được thể hiện theo các cách tương tự như cách giáo 
viên đã giảng hoặc như các ví dụ tiêu biểu về chúng trên lớp học.
Vận dụng thấp
 Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở cấp độ cao hơn “thông 
hiểu”, tạo ra được sự liên kết lôgic giữa các khái niệm cơ bản và
có thể vận dụng chúng để tổ chức lại các thông tin đã được trình 
bày giống với bài giảng của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.
Vận dụng cao
 Học sinh có thể sử dụng các khái niệm về môn học – chủ đề để
giải quyết các vấn đề mới, không giống với các điều đã được học
hoặc trình bày trong sách giáo khoa nhưng phù hợp khi được giải
quyết với kĩ năng và kiến thức được giảng dạy ở mức độ nhận 
thức này. Đây là những vấn đề giống với các tình huống học sinh
sẽ gặp phải ngoài xã hội.
Bảng 2. Bảng phân loại các cấp độ tư duy được áp dụng vào môn Toán. 
Cấp độ tư duy
Mô tả
Nhận biết
- Nhớ (nhận ra) các kiến thức cơ bản (khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lý, hệ quả, ...)
- Nhận ra kết quả, khẳng định giống như trong SGK hay các ví dụ điển hình ...
Thông hiểu
- Thể hiện được các kiến thức cơ bản bằng ngôn ngữ của cá nhân
- Giải quyết các tình huống Toán học đơn giản, giống hoặc tương tự các tình huống học sinh đã được luyện tập trên lớp, cũng như đã có trong SGK
Vận dụng thấp
- Tạo ra được sự liên kết logic giữa các thông tin
- Vận dụng để tổ chức lại các thông tin được trình bày giống với bài giảng của giáo viên hoặc trong SGK
- Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn đề phải giải quyết
Vận dụng cao
- Vận dụng tổng hợp các kiến thức để giải quyết các bài toán toán học có liên quan, các vấn đề mới, không giống với những điều hoặc trình bày trong SGK.
- Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái quát hóa trong chứng minh toán học.
- Biết quy lạ thành quen. Biết vận dụng để giải quyết các bài toán trong thực tiễn cuộc sống.
3.2. Bảng tổng hợp các phép biến đổi đồ thị
3.2.1. Phép tịnh tiến đồ thị hàm số
	Bao gồm các phép tịnh tiến dọc theo các trục tọa độ (đã được trang bị ở chương trình Đại số 10 – NC).
3.2.2. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Lập BBT và vẽ đồ thị (G) của hàm số 
Ta có: , suy ra 
+ là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành . 
+ là phần đối xứng qua trục của phần đồ thị (C) nằm dưới trục 
Dạng 2: Lập BBT và vẽ đồ thị (H) của hàm số 
Vì nên là hàm số chẵn, suy ra đồ thị (H) nhận trục tung làm trục đối xứng. Suy ra
+ là phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục tung . 
+ là phần đối xứng của qua trục tung.
3.3. Tổng hợp, hệ thống hóa, dấu hiệu đặc trưng của các hàm số thường gặp
	Trên cơ sở các bảng tóm tắt kiến thức về các phép biến đổi đồ thị (Đại số lớp 10 – Nâng cao), đạo hàm, giới hạn hàm số, tính liên tục của hàm số (Đại số và Giải tích lớp 11) và chương trình Giải tích 12.
 Để ý rằng: BBT hàm số là một cách Đại số hóa, Giải tích hóa đồ thị và ngược
lại Đồ thị là một cách Hình học hóa BBT của hàm số, hay còn có thể nói rằng: Trong BBT có Đồ thị, trong Đồ thị có BBT. 
3.3.1. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc ba
1. Định dạng hàm số bậc 3: 
a>0
a<0
 có hai nghiệm phân biệt hay 
(H1)
(H2)
 có nghiệm kép hay 
(H3)
(H4)
 vô nghiệm hay 
(H5)
(H6)
2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc ba
+) TXĐ: 
+) Giới hạn tại vô cực và bằng vô cực
Nếu : (tương ứng với các dạng đồ thị ở hình (H1), (H3) và (H5))
Nếu : (tương ứng với các dạng đồ thị ở hình (H2), (H4) và (H6))
+) Tính đơn điệu và cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm (các định lý về dấu)
+) Điểm uốn của đồ thị hàm số luôn có và tại đó tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi , hệ số góc nhỏ nhất nếu .
3.3.2. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số trùng phương
1. Định dạng hàm số bậc bốn trùng phương: 
a>0
a<0
 có 3 nghiệm phân biệt hay 
(H7)
(H8)
 có đúng 1 nghiệm hay 
(H9)
(H10)
2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số bậc bốn trùng phương
+) Hàm số là hàm số chẵn và trục đối xứng là trục 
+) Đạo hàm: , 
+) Hàm số có 3 cực trị: 
	- Nếu hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu (Hình H7)
- Nếu hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu (Hình H8)
+) Hàm số có 1 cực trị 
	- Nếu hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại (Hình H9)
- Nếu hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu (Hình H10)
3.3.3. Định dạng đồ thị và dấu hiệu đặc trưng của hàm số 
1. Định dạng đồ thị hàm số , 
(H11)
(H12)
2. Dấu hiệu đặc trưng của hàm số , 
+) Tập xác định: 
+) Đạo hàm: 
	- Nếu : Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư (II) và (IV) theo các đường tiệm cận chia ra. (Hình H11)
	- Nếu : Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư (I) và (III) theo các đường tiệm cận chia ra. (Hình H12)
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: và TCN: . Tâm đối xứng: 
3.4. Phân tích, hướng dẫn một số kỹ năng cơ bản về bảng biến thiên và đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.
3.4.1. Kỹ năng 1: Xác định khoảng đơ