SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 9 CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO MỘT ẨN THƯỜNG GẶP Ở BẬC THCS
Người thực hiện: Nguyễn Thị Nghiêm
Chức vụ: Phó Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Mai Ninh
SKKN lĩnh vực: Toán
`THANH HOÁ NĂM 2016
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
MỤC LỤC
1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
2
A. Lý do chọn đề tài
2
B. Mục đích nghiên cứu
3
C. Đối tượng nghiên cứu
3
D. Phương pháp nghiên cứu
3
PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
4
A . Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
4
B. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
4
C. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
 I. Một số kiến thức cơ sở về phương trình 
5
 I.1. Cơ sở lý luận
5
 I.2. Các dạng phương trình
6
 II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao một ẩn
7
 II.1. Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
7
 II.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
10
2.1. Phương trình trùng phương
10
2.2 Phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 (a 0, n N*) 
11
2.3. Phương trình dạng: (x + a)4 + (x + b)4 = c 
12
 2.4. Phương trình đối xứng bậc chẵn 
14
 2.5. Phương trình đối xứng bậc lẻ 
15
 2.6. Phương trình bậc bốn phản đối xứng
16
 2.7 Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m 
trong đó a + d = b + c
17
 II.3. Phương pháp biến đổi phương trình về dạng [f(x) + a]n = b 
 ( nN, n 2; a,b là hằng số)
18
D. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
19
PHẦN 3: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
22
PHẦN 1 - MỞ ĐẦU
A . Lý do chọn đề tài 
Trong quá trình giảng dạy, để đạt được kết quả tốt thì việc đổi mới phương pháp dạy học có tầm quan trọng đặc biệt.
 Dạy học giải toán là một trong những vấn đề trọng tâm của dạy học môn toán ở trường THCS. Đối với học sinh thì giải toán là hoạt động chủ yếu của việc học tập môn toán.
 Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán phù hợp với mỗi đối tượng học sinh đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập, sử dụng đúng các phương pháp dạy học,... góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
 Thông qua việc học toán học sinh được cung cấp một cách có hệ thống kiến thức lí thuyết, được rèn luyện nhiều về phương pháp giải toán, giúp các em nhận dạng, tìm tòi đường lối giải toán nhanh chóng, hình thành kĩ năng, phát triển tư duy ngày một sâu sắc hơn và qua đó các em càng yêu thích môn toán hơn.
 Trong số những bài tập được đề cập trong chương trình đại số bậc THCS, tôi nhận thấy bài tập về giải phương trình chiếm một thời lượng lớn nó xuyên suốt chương trình học. Điều đó khẳng định vai trò và vị trí của phương trình - nó là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn đại số. 
 Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn học sinh giải tương đối thành thạo,ít gặp trở ngại khó khăn nhưng khi gặp một bài toán có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn, không ít học sinh lúng túng không biết phải bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào? Học sinh thường ngại học các dạng toán có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn vì các bài toán này rất phong phú đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, trong khi đó việc tổng hợp kiến thức đã học để giải một bài toán của học sinh chưa tốt, phương pháp giải hạn chế.
 Vì vậy: phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc " Hướng dẫn học sinh lớp 9 cách giải các dạng toán về phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS" là cần thiết - chính vì những lý do đó mà tôi quyết định chọn đề tài này. 
B. Mục đích nghiên cứu
- Đề tài này có tác dụng giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống một số phương pháp cơ bản về giải phương trình bậc cao một ẩn thường gặp ở bậc THCS. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến phương trình bậc cao một ẩn.
- Tạo ra hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập.
- Chọn lọc hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phương pháp giải nhằm mục đích rèn luyện và phát triển kĩ năng giải phương trình bậc cao một ẩn cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia tích cực của người học . 
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức đã học về phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng nhẩm nghiệm của đa thức,... để giải thành thạo phương trình bậc cao một ẩn. Qua đó giúp các em học tốt hơn các bài tập về giải phương trình, thấy rõ mục đích của việc học toán, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
C. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh ở lứa tuổi 15 ở trường THCS vì đa số các em chăm học, thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách tương đối ổn định.
- Đề tài được áp dụng đối với học sinh lớp 9 trường THCS Trần Mai Ninh, Thành phố Thanh Hoá trong các tiết học chính khoá, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi vào lớp 10 THPT và lớp 10 chuyên.
D. Phương pháp nghiên cứu
- Giáo viên phải hệ thống được các khái niệm và các định nghĩa cơ bản của các dạng phương trình, các tính chất và các cách giải phương trình từ đơn giản đến phức tạp. Nghiên cứu, tìm tòi, khai thác các kiến thức liên quan đến giải phương trình bậc cao một ẩn qua tài liệu sách, báo và mạng Internet để tìm được những ứng dụng đa dạng, phong phú của phương trình. Mặt khác phải tìm hiểu đối tượng học sinh, lựa chọn các phương pháp, các dạng bài tập thích hợp đối với từng đối tượng học sinh. Tổng kết, phân tích nguyên nhân, đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, từ đó tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đề tài.
- Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, làm bài tập áp dụng, rút ra một số chú ý (thường được vận dụng để làm bài tập), bài tập tự giải (học sinh về nhà làm, những bài tập khó có sự hướng dẫn của giáo viên).
PHẦN 2 - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Trong năm học 2015- 2016 tôi được Ban giám hiệu trường THCS Trần Mai Ninh phân công dạy toán lớp 9 và bồi dưỡng học sinh tham gia thi học sinh giỏi Toán các cấp, kết hợp với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó. 
 Khi trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy những bài toán liên quan đến "Giải phương trình bậc cao một ẩn" là dạng toán thường gặp, có nhiều cách thức để giải xong học sinh lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm một số phương pháp để hướng dẫn học sinh phân tích đề bài, đưa ra nhận xét, từ đó tìm ra cách giải các bài toán dạng này trên cơ sở các phương pháp mà học sinh đã được thầy cô được trang bị trong cấp học. Qua đó học sinh có hứng thú thực sự với dạng toán này, xóa đi cảm giác phức tạp và không có cách giải tổng quát và đạt được hiệu quả nhất định. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
B. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
 a. Đối với học sinh
 Đối tượng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững, có trí tuệ nhất định. Song không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được, đối với các bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" từ bậc ba trở lên, hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán nàỵ
b. Đối với giáo viên
- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ.
- Khó khăn:
Kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm. Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều người còn tư tưởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Đối với bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình.
 c. Các tài liệu
Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số lượng có vô số và lan tràn khắp thị trường, nội dung trùng nhau, lời giải sơ sài, thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính sư phạm không cao. Các sách của Bộ giáo dục vì lý do sư phạm vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán "Giải phương trình bậc cao một ẩn" trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. 
C. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
I. Một số kiến thức cơ sở về phương trình 
I.1. Cơ sở lý luận
1> Khái niệm về phương trình một ẩn:
 Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
 	Khi nói a là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) ta hiểu rằng tại x = a các giá trị tương ứng của hai biểu thức A(x), B(x) bằng nhau.
Biến x gọi là ẩn
Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm .
Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình.
2> Định nghĩa hai phương trình tương đương
Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm.
3> Các phép biến đổi tương đương các phương trình
3.1. Nếu cộng cùng một đa thức chứa ẩn số vào hai vế của phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ: -8x = 16 Û -8x + 3x = 16 + 3x
- Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình đồng thời đổi dấu của hạng tử ấy thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ: -12x + 9 = 16x - 6 Û -12x - 16x = -9 -6
- Hệ quả 2: Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho
Ví dụ: 9x3 + 11x - 13 = 14 + 9x3 Û 11x -13 = 14
3.2 Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho.
Ví dụ: 
I-2. Các dạng phương trình
1. Phương trình bậc nhất một ẩn:
1.1. Định nghĩa:
Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a ¹ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 
1.2.Cách giải
ax + b = 0 Û a x = - b Û
Phương trình bậc nhất ax + b = 0 có nghiệm duy nhất 
2.Phương trình bậc hai một ẩn 
2.1.Định nghĩa:
Phương trình bậc hai có một ẩn là phương trình có dạng:
 ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số, a, b, c là các hệ số đã cho, a ¹ 0
2.2. Cách giải
- Ta dùng các phép biến đổi tương đương, biến đổi phương trình đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậc nhất, phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình.
 - Khi nghiên cứu về nghiệm của phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 
(a ¹0) cần đặc biệt quan tâm tới biệt thức D = b2 - 4ac của phương trình:
vì biệt thức D = b2 - 4ac quyết định số nghiệm của phương trình bậc hai
Ta thấy có các khả năng sau xảy ra:
a) D < 0 Û phương trình bậc hai vô nghiệm
b) D = 0 Û phương trình bậc hai có nghiệm kép 
c) D > 0 Û phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:
; 
2.3. Hệ thức Viet.
Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là: S = x1+x2 = - , P = x1.x2 = 
3. Phương trình bậc cao một ẩn 
Phương trình bậc n một ẩn có dạng tổng quát:
anxn + an-1xn-1 +...+ a1x + a0 = 0 (an ¹ 0)
Trong ®ã: n nguyên dương , x lµ Èn ; an, an-1,..., a0: lµ c¸c hÖ sè.
II. Một số phương pháp giải phương trình bậc cao một ẩn:
 Đối với phương trình bậc cao hơn bậc 4 không có công thức tổng quát để tìm nghiệm của nó. Ngay cả trong trường hợp là phương trình bậc 3 và bậc 4 mặc dù có công thức, có sự hỗ trợ của máy tính nhưng việc tìm nghiệm của một số phương trình cũng hết sức phức tạp nằm ngoài chương trình THCS.
 Khi gặp các phương trình đại số bậc cao một ẩn thì có nhiều cách giải song trong đề tài này tôi đề cập đến ba phương pháp cơ bản để giải phương trình đại số bậc cao. Đó là:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử, đưa phương trình về dạng phương trình tích.
+ Đặt ẩn phụ.
+ Biến đổi phương trình về dạng [ f(x) + a]n = b với nN, n 2; a,b là hằng số.
II.1. Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1.Cơ sở lý luận:
Ta biết rằng phương trình: 
Vì vậy với phương trình bậc cao một ẩn nếu ta phân tích được vế trái thành nhân tử thì sẽ đưa phương trình về dạng phương trình tích của các nhân tử có bậc thấp hơn, dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải.
2. Nội dung
Để giải phương trình bậc cao bằng phương pháp này trước hết HS phải nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, tách hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp và vận dụng một cách thành thạo.
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau:
a) x3 - 2 x = 0 x(x2 -4) = 0 x (x-2)(x+2) = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x1 = 0; x2 = 2; x3 = -2.
b) x4 + 3x2 - 28 = 0 x4 - 4x2 + 7x2 - 28 = 0 x2(x2 -4) + 7(x2 -4) = 0
 (x2 + 7)(x2 - 4) = 0 (x2 +7 )(x-2)(x+2) = 0 (1)
Vì x2 ³ 0 với nên x2 + 7 ³ 7 với x2 + 7 > 0 với ( 2)
Từ (1),(2) (x-2)(x+2) = 0
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 2; x2 = -2
c) x3 - 7x - 6 = 0 x3 + 8 -7x - 6- 8= 0 (x3 + 8) - ( 7x + 14) = 0
 (x + 2)( x2 - 2x + 4) - 7(x+2) = 0 ( x + 2)( x2 - 2x - 3) = 0
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x1 = -1; x2 = -2; x3 = 3.
* Song có một số bài tập dựa vào các phương pháp trên học sinh chưa phân tích đa thức thành nhân tử ngay được.
 Do đó ngoài các phương pháp trên, giáo viên đưa ra định lí Bơzu giúp các em nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhanh nhất.
Định lí Bơzu được phát biểu như sau: Phần dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x- a là một hằng số bằng giá trị f(a) của f(x) khi x = a.
- Khai thác cách nhẩm nghiệm của phương trình:
 anxn + an-1xn-1 +...+a1x+ a0 = 0 (1) ( ai Î Z ) 
+) Nếu an + an-1 +...+ a1+ a0 = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm x = 1, do đó vế trái của phương trình chứa thừa số x -1
 +) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì phương trình (1) có nghiệm x = - 1, do đó vế trái của phương trình chứa thừa số x + 1
+) Mọi nghiệm nguyên của phương trình (1) đều là ước của hệ số tự do a0 
+) Nếu số hữu tỉ x = ( p, q nguyên tố cùng nhau ) là nghiệm của phương trình (1) thì p là ước của a0, q là ước của an. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 - 2x3 + x2 - 4 = 0 (*)
Ta thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên phương trình (*) nhận x = - 1 là một nghiệm.
Do đó vế trái của phương trình (*) chia hết cho x + 1.
 Khi đó phương trình (*) có thể viết được dưới dạng: 
 (x +1 ). ( x3 - 3x2 + 4x - 4 ) = 0 
 (1) x = - 1
Ở phương trình (2) ta không thể áp dụng được việc nhẩm nghiệm theo hai nhận xét đầu được. 
GV hướng dẫn HS thử các ước cña 4 vµ thÊy x = 2 lµ nghiÖm cña (2), nªn (2) viết ®­îc thµnh: ( x - 2). ( x2 - x + 2 ) = 0 Û 
(3) x = 2
Phương trình (4) có = (-1)2 – 4.1.2 = -7 < 0, do đó phương trình (4) vô nghiệm
VËy ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm lµ x1 = -1 ; x2 = 2.
VÝ dô 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2x3 - 5x2 + 8x -3 = 0 
Với phương trình này ta không thể áp dụng được việc nhẩm nghiệm theo ba nhận xét đầu được ( vì phương trình này không có nghiệm nguyên).
Ta nghĩ đến phương án phương trình có nghiêm hữu tỉ và áp dụng cách nhẩm nghiệm thứ tư. 
Khi đó ta nhẩm được x = là một nghiệm của phương trình đã cho.
2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 Û 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3 = 0 
Û (2x -1) ( x2 - 2x + 3) = 0
Từ đây HS tìm được nghiệm của phương trình đó cho một cách dễ dàng.
Bài tập áp dụng:
1. Giải phương trình:
a) 3x4 - 12x2 = 0 b) x3 + 14x2 - 4x - 56 = 0 c) 2x3 + 11x +9 = 0
d) x16 + x8 - 2 = 0 e) 2x4 + 5x3 -35x2 + 40x - 12 = 0
2. Cho phương trình: 2x3 - (1 + 4m)x2 + 4(m2 - m + 1)x - 2m2 + 3m - 2 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Xác định m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt.
Hướng dẫn
2b) 2x3 - (1+4m)x2 + 4(m2 -m+1)x - 2m2 +3m -2 = 0 (*)
Dựa vào cách nhẩm nghiệm tìm đượclà một nghiệm của phương trình(*)
Do đó (*) (2x - 1)( x2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2) = 0
(1)
(2)
(1) 
Muốn phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 
Đặt f(x) = x2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2 
Khi đó:
Vậy với 1< m < 2 thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt khác 
 Phương trình (*) có 3 nghiệm dương phân biệt khi 1<m<2.
II.2. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ
1.Cơ sở lí luận
Khi giải phương trình bậc cao một ẩn, ta còn dùng đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn để đưa phương trình về dạng phương trình quen thuộc đã biết cách giải.
2. Nội dung 
Trong chương trình THCS học sinh thường gặp các dạng phương trình sau:
2.1. Phương trình trùng phương:
a. Dạng tổng quát
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax4 + bx2 +c = 0 (1) (a ¹ 0)
Trong đó: x là ẩn ; a,b,c là các hệ số
b.Cách giải:
Khi giải phương trình loại này ta thường dùng phương pháp đổi biến số
Đặt y = x2 ( y ³ 0) (2)
Khi đó phương trình trùng phương sẽ đưa về dạng phương trình bậc hai trung gian: ay2 + by + c = 0
Giải phương trình bậc hai trung gian rồi thay giá trị tìm được của y vào (2) ta được phương trình bậc hai rút gọn với biến x ( y³ 0). Giải phương trình này ta được nghiệm của phương trình trùng phương ban đầu.
c.Ví dụ: Giải phương trình x4 - 3x2 + 2 =0 (1)
Giải: Đặt y = x2 (y³ 0).
Phương trình (1) trở thành: y2 - 3y + 2 = 0 (y-1)(y-2) = 0
Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn y³ 0
+ Với y = 1 ta có x2 = 1 x1 = 1; x2 = -1
+ Với y = 2 ta có x2 = 2 x3 =; x4 =
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: x1 = 1;x2 = -1; x3 =; x4 =
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình: 4x4 - 5x2 + 1 = 0
2) Cho phương trình: x4 - 2(2m-1)x2 + 4m2 - 3 = 0 (*)
a. Giải phương trình với m = 
b. Với giá trị nào của m thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn:
2b) Đặt y = x2 (y ³ 0) phương trình (*) trở thành:
y2 - 2(2m-1)y + 4m2 -3 = 0 (1)
D’= (2m-1)2 - 4m2 + 3 = - 4(m-1)
Để (*) có 4 nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt tức là (1) thỏamãn:
2.2 Phương trình dạng ax2n + bxn + c = 0 ( a ≠ 0, n)
GV cho học sinh xét các trường hợp n = 1, n = 2 và nêu cách giải phương trình.
Qua đó học sinh sẽ phát hiện ngay ra cách giải phương trình ax2n + bxn +c = 0 
a) Cách giải:
Đặt xn = y sau đó đưa về phương trình bậc hai đối với biến y: ay2 + by + c = 0
b)Ví dụ 
* Ví dụ 1: Giải phương trình: x6 - 3x3 + 2 = 0 (1)
Giải:
Đặt x3 = y. Phương trình ( 1) trở thành y2 - 3y +2 =0
 y1=1, y2=2
Thay trở lại ta có: y1 = 1 x3 = 1 x = 1
 y2 = 2 x3 = 2 x = 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 1 ; x2 = 
*Ví dụ 2: Cho phương trình: x10 + ( m-1)x5 + 4 =0 (2)
Tìm m để phương trình ( 2) có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó?
Giải
Đặt x5 = y
Phương trình ( 2) y2 + (m-1)y + 4 = 0 ( 3)
Phương trình (2 ) có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải có nghiệm kép hay (m-1)2 - 4.4 = 0 (m -1 - 4)(m -1 + 4) = 0 (m - 5)(m + 3) = 0
Vậy với m = 5 hoặc m= - 3 thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất
+ Với m = 5 , ta có (3) y2 + 4y + 4 = 0(y+2)2 = 0 y + 2 = 0 y = -2
 Với y = - 2 x5 = -2 x = 
+ Với m = -3, ta có ( 3) y2 - 4y + 4 = 0 (y-2)2 = 0 y - 2 = 0 y = 2
 Với y = 2 , ta có x5 = 2 x = 
Kết luận:
Với m = 5 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 
Với m= -3 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
1) 7x6 + 8 x3 +1 = 0 2) 12x10 - 15x5 + 3 = 0
2.3. Phương trình dạng: (x+a)4 + (x+b)4 = c (1)
a) Cách giải: Đặt y = x +
Ta có: x +