SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế’’

 A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học môn Toán là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của Toán học.
Việc dạy học Toán học ở trường phổ thông phải gắn bó mật thiết với thực tiễn nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ có ý thức ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực của cuộc sống như: khoa học kỹ thuật, kinh tế, sản xuất.
 Tuy nhiên, việc ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong chương trình SGK, cũng như trong việc dạy học môn Toán chưa được quan tâm đúng mức. Hơn nữa những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Mặt khác, trong thực tế giảng dạy môn toán ở phổ thông các giáo viên chưa thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn.[3]
 Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan thực tế đã có mặt trong các đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên Bộ giáo dục đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, và số lượng bài toán thực tế đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử nghiệm của Bộ. Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán thực tế này. Bởi vậy, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết các bài toán trắc nghiệm thực tế’’.
2. Mục đích nghiên cứu.
Xây dựng một số bài tập trắc nghiệm có nội dung thực tiễn, đề xuất một phương án khai thác trong dạy học, nhằm góp phần tăng cường thực tiễn của môn Toán ở trường THPT, góp phần gây hứng thú trong học tập, thấy 
được ứng dụng thực tế của Toán học, qua đó giúp học sinh hiểu rõ được mối quan hệ chặt chẽ giữa Toán học với các môn học khác và thực tiễn.
3. Đối tượng nghiên cứu.
 Khai thác các bài toán có liên quan thực tiễn trong đời sống vào giảng dạy cho học sinh Lớp 12
4. Phương pháp nghiên cứu.
4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
1Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3]
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra.
 B. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận.
+ Bài toán thực tế: Là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội dung liên quan đến thực tế.
Để một tình huống thực tế trở thành một bài toán thực tế, phải xác định được yêu cầu cần phải giải quyết từ tình huống và xác định được các dữ kiện của khách thể làm giả thiết của bài toán.
Thực ra trong dạy học toán ở phổ thông, thường các tình huống thực tế được phát biểu ngay dưới một bài toán thực tế, tức là học sinh thường được yêu cầu giải ngay các bài toán thực tế mà rất ít khi phải toán học hóa tình huống để có bài toán.
2. Thực trạng.
Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên thường chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lý thuyết quy định trong chương trình và sách giáo khoa, sao nhãng việc thực hành, đặc biệt là những bài toán có nội dung thực tiễn nên học sinh thường lúng túng thậm chí còn không hoàn chỉnh được những bài toán có nội dung thực tiễn.
 Giảng dạy Toán còn thiên về sách vở, hướng việc dạy Toán về việc giải nhiều loại bài tập hầu hết không có nội dung thực tiễn. Việc dạy học Toán ở trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ giữa Toán học và thực tế còn yếu. 
 3. Các giải pháp. 
 Qua tổng hợp và phân tích, tôi thấy các bài toán lớp 12 có liên quan đến thực tế thường là các bài toán kinh tế; tìm phương án tối ưu( tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất); xác định thời gian, số tiền, số dân; hoặc vận tốc quãng đường, tính diện tích, thể tích của hình , thông qua việc sử dụng đạo hàm hoặc áp dụng các công thức tính toán( có suy luận tư duy)
 Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây
Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
	Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” 
cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và
mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng
2Trong trang này: Mục 1 có tham khảo trong TLTK[3], mục 3 mô hình có tham khảo TLTK[6] 
buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài.
	Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến) hoặc thiết lập phương trình, tích phân
	Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công thức, giải phương trình, tính tích phânvà giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
 3.1. Một số kiến thức cơ sở: 
3.1.1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Phương pháp GTLN – GTNN của bằng đạo hàm trên đoạn 
Bước 1: Tính đạo hàm 
Bước 2: Tìm các điểm tới hạn (nếu có) sao cho (hoặc không có đạo hàm)
Bước 3: Tính 
Bước 4: So sánh và kết luận[4]
Lưu ý: Trường hợp tập (hoặc ) thì ta làm tương tự như bước 1 và bước 2. Đến bước 3 thì ta “lập bảng biến thiên” để từ đó đưa ra kết luận.
 Ngoài cách sử dụng đạo hàm như đã trình bày ở trên, đôi khi để giải quyết nhanh bài toán ta có thể sử dụng thêm các kiến thức về cực trị của hàm số bậc hai hay các bất đẳng thức đã học như Cauchy hay bất đẳng thức trong tam giác.
3.1.2. Bài toán về lãi suất, số dân:
* Công thức tính lãi kép. 
 Vốn gốc ban đầu với mong muốn đạt được lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tínhtổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
Sau n kì, tổng giá trị đạt được là 
3Trong trang này: Mục 3.1 có tham khảo TLTK[4]
 Trong đó là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
	 là vốn gốc.
	 là lãi suất mỗi kì. 
Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : 
*Bài toán về dân số.
Gọi: là dân số của năm lấy làm mốc tính. 
là dân số sau năm.
là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng năm.
Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau
Công thức 1:dùng công thức tăng trưởng(suy giảm ) mũ.
Công thức 2: dùng công thức tính lãi kép.
3.1.3. Thể tích một số hình không gian thường gặp.
a. Khối chóp: Thể tích 
Diện tích xung quanh của một khối chóp bằng tổng diện tích các mặt bên 
Diện tích toàn phần của một khối chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy.
 b. Khối lăng trụ: Thể tích 
Diện tích xung quanh của một khối lăng trụ bằng tổng diện tích các mặt bên.
Diện tích toàn phần của một khối lăng trụ bằngtổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
c. Khối hộp chữ nhật: Thể tích với là kích thước hình hộp.
 Khối lập phương: Thể tích 
d. Khối nón: 
Cho hình nón có bán kính đáy , đường cao , đường sinh 
Thể tích V của khối nón: 
Diện tích xung quanh của hình nón: 
Diện tích toàn phần của một hình nón bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy: 
e. Khối trụ
Thể tích V của khối trụ: .
Diện tích xung quanh của hình trụ: .
 với C là chu vi hình tròn đáy. 
Diện tích toàn phần: 
f. Khối cầu: Cho một khối cầu có bán kính r.
Thể tích V của khối cầu: 
 Diện tích của mặt cầu: 
3.1.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
* Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường cong (C) và trục hoành
. 
 Diện tích được tính theo công thức
 Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox. 
 3.2. Sau đây tôi xin trình bày một số ví dụ minh họa
 Từ ví dụ 1 đến ví dụ 7, là các bài toán thực tế có sử dụng đạo hàm vào các bài toán kinh tế, hình học.
 Từ ví dụ 8 đến ví dụ 11, là các bài toán thực tế sử dụng công thức mũ và logarit.
 Ví dụ 12, là bài toán thực tế sử dụng công thức tích phân.
Ví dụ 1: Công ty du lịch Tây Nguyên dự định tổ chức tua du lịch “Thăm lại chiến trường xưa” lộ trình Thanh Hóa- Nghệ An- Hà Tĩnh- Quảng Bình- Quảng Trị. Công ty dự tính nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Lợi nhuận càng lớn khi càng nhiều người tham gia. Do đó để thu hút mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải định giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua du lịch là lớn nhất ?
	A. (đồng) .	B. (đồng) .	
	C. (đồng) .	D. (đồng) .
 Phân tích: Đây là một chiến lược kinh doanh, giảm giá để hút khách, nhưng giảm đến mức nào mà vẫn đem lại lợi nhuận cao nhất. 
 Như vậy ta sẽ gọi giá tua là x, biểu diễn doanh thu theo x, coi đây là 1 hàm số và ta phải đi tìm giá trị lớn nhất của nó.
Lời giải:
Gọi (triệu đồng) là giá tua ( )
Giá đã giảm so với ban đầu là 
Số người tham gia tăng thêm nếu giá bán là 
Số người sẽ tham gia nếu bán giá là 
4Trong trang này: Ví dụ 1 là “của” tác giả.
Tổng doanh thu là 
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số với 
.
Lập bảng biến thiên ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 
Vậy công ty cần đặt giá tua là (đồng) thì tổng doanh thu sẽ cao nhất là (đồng). Đáp án B.
 Nhận xét: Để tìm giá trị lớn nhất của , ta cũng có thể làm theo cách lớp 10( hàm số bậc hai), tuy nhiên trong nhiều trường hợp hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số bậc 2 không thõa mãn điều kiện, sẽ gây lúng túng cho các em.
Ví dụ 2: Tìm chiều dài bé nhất( lấy gần đúng sau dấu “,’’ 4 chữ số) của cái thang để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua giá đỡ cao 4 m, song song và cách tường 0,5m kể từ gốc của cột đỡ( hình vẽ dưới).
	A. . 	 B.. 
	C. . 	 C.. 
Phân tích: ● Trước tiên, ta có thể minh họa mô hình trên bằng hình vẽ sau. Để xác định được độ dài ngắn nhất của thì ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng nào ? Để từ đó định hướng cách đặt ẩn thích hợp. Đối với hình vẽ trên và các quan hệ về cạnh , ta nhận thấy có 2 hướng phân tích tốt là: hướng thứ nhất là phân tích và hướng thứ hai là 
5Trong trang này: Ví dụ 2 được trích dẫn trong TLTK[5]
● Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta có thể thử đặt , đến đây chỉ cần tính được theo là đã có thể lập được hàm số biểu diễn độ dài . Nhưng bằng cách nào đây ? Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ trong định lý Thales thuận () nên ta có: . Bài toán trở thành tìm 
● Nếu phân tích theo hướng thứ hai, nếu ta đặt thì khi đó ta sẽ biểu diễn độ dài (việc khảo sát hàm này không đơn giản chút nào). Do đó ta chuyển hướng sang tìm quan hệ giữa góc và cạnh tam giác và nhận thấy . Đến đây ta thấy hướng phân tích tiếp là hoàn toàn thuận lợi vì khi đó và . Khi đó bài toán trở thành tìm 
Hướng dẫn giải.
● Đặt . Theo định lý Thales ta có 
Do đó ta có .
Do vuông tại 
● Hay Đặt . 
Bài toán trở thành tìm với .
Ta có 
. 
Cho 
Lập bảng biến thiên ta có:
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
Do đó ta có . Đáp án C
Nhận xét: Trong quá trình giải ta gặp khó khăn khi giải phương trình , nhưng ta có thể sử dụng MTBT để tìm nghiệm. 
 Với cách thi trắc nghiệm ta có thể thử 4 phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức năng CALC của máy tính cầm tay) sau đó kiểm tra qua .
 - Có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Đơn giá xây là đồng/m2. Hãy tính chi phí thấp nhất để xây hồ.
	A. 74 triệu đồng. B. 75 triệu đồng.	
 C. 76 triệu đồng. 	 D. 77 triệu đồng.
Phân tích: Với thể tích V cho trước và quan hệ giữa chiều rộng của đáy và chiều cao của hình hộp ta hoàn toàn có thể biểu diễn được độ dài chiều dài theo 1 biến.
● Như vậy ta cần hiểu yêu cầu bài toán “tiết kiệm nguyên vật liệu nhất là gì ?” 
Đó chính là làm sao cho phần bao phủ bên ngoài hình hộp có diện tích nhỏ nhất 
Lời giải:
Gọi là chiều rộng của đáy hình chữ nhật và là chiều cao của khối hộp chữ nhật.Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế sao cho diện tích toàn phần của khối hộp là nhỏ nhất.
Ta có 
Do 
6Trong trang này: ví dụ 3 là “của” tác giả.
Do phải luôn dương nên ta tìm giá trị nhỏ nhất của trên .
Ta có : 
Lại có . Do đó 
Và khi đó chiều cao là 
Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với chiều rộng đáy hình hộp là 5m, chiều dài là 10 m, chiều cao hình hộp là m và khi đó diện tích toàn phần nhỏ nhất sẽ là .
Do đó chi phí thấp nhất sẽ là (đồng). Đáp án B 
Nhận xét: Ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức Cauchy: 
Ví dụ 4: Huyện X muốn làm con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm theo đường gấp khúc AMNB. Biết rằng chi phí xây dựng 1 km đường bên bờ có điểm B gấp 1,3 lần chi phí xây dựng 1 km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau. Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ nhất ?
	A. km.	B. km.	C. km.	D. km.
Phân tích: ● Ta thấy rằng đây không phải bài toán tìm vị trí điểm M để tổng khoách cách giữa 2 thành phố là nhỏ nhất.Mà nó còn liên quan đến chi phí xây dựng, liên quan đến độ dài của AM và NB, sao cho chi phí là thấp nhất. Như vậy ta cũng phải tính chiều dài AM và NB, rồi biểu thị chi phí trên từng quãng đường, từ đó tìm ra giá trị nhỏ nhất.	
Lời giải.
Đặt 
7Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo trong TLTK[6]
Gọi a là số tiền để làm 1 km đường bên bờ có điểm A. Khi đó chi phí để làm hai đoạn AM và BN là: .
Bài toán trở thành tìm 
Ta có 
Cho 
(Dùng chức năng của MTCT giải được )
Lập bảng biến thiên ta suy ra . Chọn đáp án A
Nhận xét: Nếu chi phí làm đường 2 bên bờ là như nhau, thì ta có thể dùng cách hình học để tìm ra vị trí xây cầu( giao điểm của AB và dòng sông, coi dòng sông như đường thẳng)
 Trên thực tế, nhiều khi cung đường làm không như trong tính toán lý thuyết, vì nó còn phụ thuộc địa hình, chi phí giải phóng mặt bằng.. 
Ví dụ 5: Màn hình Ti vi đặt thẳng đứng tại một sân vận động cao 2,4m; cạnh thấp nhất nằm phía trên tầm mặt khán giả A ngồi dưới nó là 8,5m. Một khán giả B có góc quan sát 
Ti vi là thuận lợi nhất khi góc đối diện với màn hình Ti vi là lớn nhất, khi đó khoảng cách giữa khán giả A và B là bao nhiêu( lấy gần đúng sau dấu “,” một chữ số) ?
 A. 10m B. 8,5m C. 10,9m D. 9,6m
Phân tích: ● Do đề bài yêu cầu góc quan sát thuận lợi nhất (tức lớn nhất) nên ta tìm cách biểu thị khoảng cách x theo góc .
● Một nhận xét quan trọng là , lại có nên ta thử tính 
● Đến đây, bài toán trở thành tìm 
8Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo trong TLTK[6]
Lời giải.
Gọi là khoảng cách từ khán giả đến khán giá . Ta thấy rằng yêu cầu bài toán chính là xác định để từ đó suy ra khoảng cách 
Ta có 
Ta thấy rằng . 
Đặt . Bài toán trở thành tìm 
Ta có: 
Lập bảng biến thiên 
 min
 ta suy ra thỏa yêu cầu bài toán. Chọn đáp án D
Nhận xét: Trong các tỉ số lượng giác thì với . 
 Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị maxg(x) như sau:
. 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 6: Công ty mỹ phẩm chuẩn bị cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da như hình vẽ (hình ảnh chỉ mang tính chất minh họa). Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính là cm. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục đích thu hút khách hàng).
A.. 	B.. 	C.. 	D.. 
Phân tích: 
● Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa quả cầu như hình vẽ bên. Gọi h, r lần lượt là chiều cao và bán kính của hình trụ. 
● Ta thấy rằng thể tích của khối trụ sẽ là:
 (phụ thuộc theo 2 biến r và h).
● Ta lại có mối liên hệ giữa chúng là . Để thuận tiện ta sẽ tính r theo h. 
Lời giải: Ta có . Lại có 
Suy ra . Xét 
Bài toán trở thành tìm 
Khi đó , .
Lập bảng biến thiên ta có:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: 
Khi đó: 
	Chọn đáp án D
Ví dụ 7: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản phẩm sữa nhận đơn đặt hàng sản xuất hộp đựng sữa có thể tích . Các nhân viên thiết kế phân vân giữa làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty sẽ làm hộp hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất.
A.Hình trụ B.Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông C.Cả hai như nhau. D.Hình lập phương.
Phân tích: Để chi phí nhỏ nhất thì diện tích sản phẩm phải nhỏ nhất
TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là và chiều cao là 
Ta có 
TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh và cao 
TH3: Nếu làm hình lập phương thì cạnh bằng thì diện tích toàn phần bằng 
Như vậy ta thấy làm theo hình trụ có diện tích ít nhất.
 Chọn đáp án A
Nhận xét: Thực tế các loại thực phẩm, nước uống có loại dùng hình trụ (các loại nước giải khát như coca, pepsi) có loại hình hộp (như sữa). Nếu tính toán chi tiết ta thấy cùng 1 đơn vị thể tích, nếu làm hình hộp thì đó sẽ là hình lập phương, nhưng đa số chúng ta thấy các hộp đựng sữa là dạng hình hộp thường (là do đặc tính riêng về chi tiết quảng cáo trên sản phẩm,do cách bảo quản sữa trong tủ lạnh và đôi khi do tính tiện dụng cầm nắm) vì thế các bài toán về chi phí sản xuất vật liệu cần phải đi sâu sát hơn vào đời sống, tìm hiểu kĩ nhu cầu tiêu dùng, sự hài lòng khách hàng. Do đó nhiều khi cần phải “tốn tiền cho vật liệu”. 
Ví dụ 8: Lãi suất của một ngân hàng là / năm và / quý. Ông A gửi 100 triệu với lãi suất tính theo năm, ông B gửi 100 triệu với lãi suất tính theo quý. Hỏi sau 2 năm, số tiền nhận được của ông A và ông B chênh lệch gần với số nào nhất sau đây biết rằng trong khoảng thời gian đó, lãi suất không thay đổi, người gửi không rút lãi tiền lãi sau mỗi kỳ được nhập vào vốn ban đầu?
A. ngàn đồng.	B. ngàn đồng.
C. ngàn đồng.	D. ngàn đồng.
 Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức .
Ta phải xác định rõ: , từ đó thay vào công thức (2) tìm được .
Lời giải: 2 năm = 8 quý.
Sau 2 năm, số tiền ông A nhận được là triệu đồng
Sau 2 năm, số tiền ông B nhận được là triệu đồng
Vậy, sau 2 năm số tiền ông A nhận được hơn ông B là
nghìn đồng
Vậy, chọn đáp án A.
Nhận xét: Đây cũng là một bài toán rất thực tế, gửi theo năm tiền lãi có thể nhiều hơn, xong nó có điều bất tiện là sự mất giá của đồng tiền và sự xoay vòng của tiền lâu hơn so với gửi theo quý.
Ví dụ 9: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng.
A. 21.	B. 22.	C. 23.	D. 24.
9Trong trang này: Ví dụ 8 là của tác giả; ví dụ 9 trích dẫn TLTK[5]
Phân tích: Đối với bài này ta cũng sử dụng công thức lãi kép, nhưng được trừ dần sau từng tháng, đến khi nào số dư bằng không, coi như là trả xong.
 Lời giải: Gọi là số tiền người vay còn nợ sau n tháng, là lãi suất hàng tháng, là số tiền trả hàng tháng, là số tiền vay ban đầu. 
..............................
 Khi trả hết nợ nghĩa là 
Thay số ta được: . Do đó số tháng để trả hết nợ là 22 tháng. 
 Đáp án B
Nhận xét: Đây là một bài toán rất thực tế, nhiều giáo viên đã áp dụng hình