SKKN Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số y = f'(x)

MỤC LỤC
Trang
1. Phần mở đầu........................................................................................... 
1
1.1 Lý do chọn đề tài............... 
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................ 
1.3. Đối tượng nghiên cứu..............................................................
1.4.Phương pháp nghiên cứu........................................................... 
1
1
1
2
2. Nội dung.................................................................................................. 
2
2.1. Cơ sở lí luận của skkn................................................................ 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.......................................................................................................... 
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề......................... 
2
2
2
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.....
16
3. Kết luận, kiến nghị. ............................................................................... 
17
3.1. Kết luận................................................................................ .....
3.2 Kiến nghị................................................................................. ...
17
17
1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo Nghị quyết Số 29-NQ/TW “Về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường’’ của Bộ GD&ĐT. Kể từ năm học 2016 – 2017 học sinh thi theo hình thức trắc nghiệm gồm 50 câu thời gian 90 phút. Vì vậy học sinh cần tư duy nhanh chóng và liên hệ kiến thức để hoàn thiện bài làm.
Môn toán học THPT là môn học với lượng lý thuyết và bài tập tương đối nhiều, thời lượng học trên lớp có giới hạn. Vì vậy, việc hướng dẫn cho học sinh các kỹ năng và phương pháp giải bài tập là vô cùng cần thiết. 
Những bài tập mà từ đồ thị hàm số tìm ra hàm số , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một đoạn, vv.. là phần bài tập có tính liên hệ cao cả lý thuyết lẫn thực hành, các dạng bài tập đa dạng phức tạp và đã xuất hiện trong các đề thi THPT quốc gia năm 2017, đề thi mẫu năm 2018 trong khi khả năng phân tích và xử lý các dạng bài tập này của học sinh còn yếu. Trước thực trạng trên tôi đã mạnh dạn chọn đề tài “Phương pháp giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên quan đến đồ thị hàm số . 
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc nghiệm phần đồ thị hàm số .
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT, đặc biệt phần đồ thị hàm số .
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức: 
+ Lý thuyết phần đạo hàm, khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và đồ thị của hàm số.
+ đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị hàm số.
- Học sinh: lớp 12A5, 12A6 của trường THPT Đông Sơn 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến đồ hàm số .
- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực tiễn.
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập được.
2. Nội dung.
2.1. Cơ sở lí luận của SKKN.
* Từ đồ thị sẵn có của một hàm số nào đó ta làm được 
+ Tìm giao điểm của nó với trục Ox
 + Xét dấu của hàm số khi đi qua các giao điểm đó
* Hàm số xác định và có đạo hàm là trên tập K
+ Nếu có nghiệm và đổi dấu khi đi qua nghiệm đó thì hàm số đạt cực trị tại các điểm đó. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Sau nhiều năm giảng dạy học sinh lớp 12 tôi nhận ra rằng:
- Phần lớn học sinh khả năng phân tích nhận dạng các dạng bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số còn tương đối yếu. 
- Rất nhiều học sinh lúng túng khi giải các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi mẫu năm 2018, đề thi thử TNTHPT các trường,....
2.3. Các giải pháp đã sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để giúp học sinh hình thành kỹ năng giải quyết các bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số tôi nghiên cứu hình thành SKKN theo các bước sau:
- Đầu tiên tôi nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số 
- Sau đó tôi tiến hành khảo sát học sinh lớp 12 để nắm được khả năng tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên quan đến đồ thị hàm số .
* Dạng 1: Từ đồ thị hàm số tìm ra hàm số hay đồ thị của hàm số 
- Phương pháp: Từ đồ thị hàm số và các giả thiết của bài toán ta lập hệ phương trình để tìm ra các hệ số của hàm số 
- Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số với có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng đồng thời đi qua điểm . Giá trị của biểu thức là? 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải : Từ hình vẽ của đồ thị hàm số đã cho ta nhận thấy rằng:
Hơn thế nữa, ta có và đồ thị hàm số chỉ có duy nhất 1 điểm cực đại do vậy để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng thì .
Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm nên 
Do vậy ta tìm được nên 
Chọn đáp án A
Ví dụ 2: Cho với có đồ thị (C). Biết rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên. Giá trị là?
	A. 0	B. 2	C. 3	D. 4
Giải : 
Tìm a, b, c ta tính sau đó giải hệ sau:
Vậy . Để tìm d ta chú ý rằng (C) tiếp xúc với đường thẳng tức là tại các điểm cực trị là hoặc (Được suy ra bởi đây là nghiệm của phương trình và là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành - Xem hình ban đầu).
Mặt khác (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương như vậy ta chỉ cần giải phương trình là sẽ tìm được . 
Chọn đáp án D
Ví dụ 3: Cho với có đồ (C). Biết rằng đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên và điểm cực đại của đồ thị (C) nằm trên trục tung và có tung độ bằng 2. Xác định giá trị của 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải : 
Tương tự như bài trên, ta giải hệ: Chọn đáp án A
Ví dụ 4: (trích trong mã đề 102 thi TNTHPT năm 2017)
 Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. 
Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
	A. 
	B. 
	C. 
	D. 
Giải:
có
xét hàm số
dựa vào công thức tính thể tích
Tương tự ta sẽ có Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Biết hỏi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?
	A. điểm.	B. điểm.
	C. điểm.	D. điểm.
Giải:
Dựa vào đồ thị hàm số ta có BBT của hàm số có dạng như hình vẽ
-
+
-
+
Do nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm khi 
Chọn đáp án D
Ví dụ 6: Các hàm số và xác định và có đạo hàm trên . Các hàm số đó có đồ thị tương ứng trong các hình (1), (2), (3) đồng thời các hàm số có đồ thị là một trong số các hình (a), (b), (c) dưới đây. Hãy chỉ ra sự tương ứng của đồ thị hàm số và đạo hàm của nó.
	A. 	B. 	C. 	D. 
Đáp án D
* Dạng 2: Từ đồ thị hàm số tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số .
- Phương pháp:
Bước 1: Từ đồ thị hàm số ta chỉ ra các khoảng mà 
Bước 2: Từ đó ta tìm ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 
- Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào sau đây đúng ? 
	A. đồng biến trên khoảng
	B. nghịch biến trên khoảng
	C. đồng biến trên khoảng
	D. nghịch biến trên khoảng
Giải: 
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy và . Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng 
Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ sau. Kết luận nào sau đây là đúng?
	A. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị
	B. Hàm số đồng biến trên khoảng 
	C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
	D. Đồ thị của hàm số chỉ có 2 điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành
Giải: 
Vì có 3 nghiệm phân biệt nên hàm số có 3 điểm cực trị.
Do đó loại hai phương án A, D
Vì trên thì có thể nhận cả dấu âm và dương nên loại C
Vì trên thì chỉ mang dấu dương nên đồng biến trên khoảng . Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định và liên tục trên đồng thời có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên 	
B. Hàm số đồng biến trên 
C. Hàm số nghịch biến trên 	
D. Hàm số đồng biến trên 
Giải tương tự hai ví dụ trên ta chọn được đáp án D
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm trên . Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số ( liên tục trên). Xét hàm số Mệnh đề nào dưới đây sai ? 
	A. Hàm số nghịch biến trên 
	B. Hàm số đồng biến trên 
	C. Hàm số nghịch biến trên 
	D. Hàm số nghịch biến trên 
Giải: 
Xét hàm số trên , có 
Phương trình 
Với mà suy ra 
Bảng biến thiên
 0 1 2 
+ 0 0 0 0 0 +
 + + +
Chọn đáp án C
Ví dụ 5 (trích trong đề minh họa thi TNTHPT quốc gia 2018). Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên. Hỏi hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây?
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Giải:.
Ta có 
Dựa vào đồ thị ta có: 
Vậy hàm số đồng biến trên 
Chọn đáp án C
* Dạng 3 : Từ đồ thị hàm số tìm điểm cực trị của hàm số 
hay của hàm số g(x) nào đó có liên quan đến hàm 
+ Phương pháp: 
Bước 1: Từ đồ thị hàm số ta chỉ ra các nghiệm của phương trình 
Bước 2: nhận xét: + Nếu qua các nghiệm đó mà đổi dấu từ âm sang dương thì tại đó hàm số đạt cực tiểu
	+ Nếu qua các nghiệm đó mà đổi dấu từ dương sang âm thì tại đó hàm số đạt cực đại
+ Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số xác định và có đạo hàm Biết rằng hình bên là đồ thị của hàm số Khẳng định nào sau đây là đúng về cực trị của hàm số 
	A. Hàm số đạt cực đại tại 
	B. Hàm số đạt cực tiểu tại 
	C. Hàm số đạt cực tiểu tại 
	D. Hàm số đạt cực đại tại 
Giải: 
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm nên là điểm cực tiểu của hàm số 
không đổi dấu khi đi qua điểm nên không phải điểm cực trị
Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng K như hình vẽ bên. Khi đó trên K, hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
	A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Giải: 
Phương trình có 3 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm kép do tiếp xúc. Dạng phương trình Do đó hàm số có duy nhất một điểm cực trị.
Chọn đáp án A
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên . Biết rằng đồ thị của hàm số được cho bởi hình vẽ bên. Vậy khi đó hàm số có bao nhiêu điểm cực đại ?
	A. 0	 B. 1	 C. 2	 D. 3
Giải : 
Trước tiên ta nhắc lại kiến thức: Điểm cực đại của hàm số là điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến thành nghịch biến . 
Mặt khác do đó ta vẽ thêm đường thẳng như ở hình vẽ bên và xét dấu của biểu thức như ở vẽ dưới đây
Ta nhận xét rằng hàm số có duy nhất 1 cực đại. Chọn đáp án B
Ví dụ 4: Cho hàm số liên tục và có đạo hàm trên Đồ thị của hàm số trên đoạn được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số có tối đa bao nhiêu cực trị R
	 A. 3	B. 6	C. 7	D. 4
.
.
.
.
1
x
1
y
-1
2
O
-1
2
-2
Giải: Đáp án C
Ví dụ 5: (trích trong đề khảo sát lần 1 của trường THPT Đông Sơn 2 năm 2018). Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Đặt . Hàm số đạt cực đại tại điểm nào sau đây? 
	 A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: 
Ta có: 
Ta có BBT:
+
-
-
+
Ta thấy qua thì đổi dấu từ dương sang âm, qua thì không đổi dấu (luôn mang dấu âm) và qua đổi dấu từ âm sang dương. Vậy là điểm cực đại của hàm số , là điểm cực tiểu của hàm số . 
Chọn đáp án D
	* Dạng 4: Từ đồ thị hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].
	+ Phương pháp:
	Bước 1: Từ đồ thị hàm số ta lập bảng biến thiên của hàm số trên [a;b].
Bước 2: Từ BBT này ta đưa ra kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b].
+ Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn lần lượt là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Giải: 
Từ đồ thị trên đoạn , ta có bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ bên 
x
0
2
5
 -
0 +
CT
Suy ra 
Từ giả thiết, ta có 
Hàm số đồng biến trên 
Suy ra .
Chọn đáp án D
Ví dụ 2: Cho hàm số xác định và liên tục trên có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Hỏi hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn tại điểm nào dưới đây?
	A. 	B. C. 	D. 
Giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy.
Khi hàm số nghịch biến trên khoảng 
Khi hàm số đồng biến trên khoảng 
Từ đó suy ra Chọn đáp án D
O
Ví dụ 3: (trích trong đề khảo sát chất lượng lớp 12 THPT của tỉnh Thanh Hóa năm học 2017- 2018). Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Đặt Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 	
B. 
C. 	
D. 
	Đáp án B.
Ví dụ 4: Cho hàm số xác định và liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên ?
 A. 	 B. 	
 C. D. 
Giải:
Ta có bảng biến thiên như hình vẽ sau: 
x
a
b
c
d
e
 -
0 
+ -
0 +
Giá trị nhỏ nhất chắc chắn là nhưng giá trị lớn nhất ta chú ý vào và ; 
Vậy Chọn đáp án C
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 	Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thử nghiệm với hai lớp: 12A5, 12A6. Kết quả kiểm tra phần bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số như sau:
	Trước khi tiến hành thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được
12 A5
42
2 ( = 4,8%) 
12 A6
40
5 ( = 12,5%)
	Sau khi thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số
Số học sinh giải được
12 A5
42
10 (= 23,8%)
12 A6
40
15 (= 37,5%)
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy : số lượng học sinh giải được dạng bài tập này đã tăng lên, mặc dù chưa nhiều và số học sinh có tư duy về dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng) nhưng đối với tôi điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ 
môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết dạy của tôi.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
+ Để áp dụng có hiệu quả đề tài việc đầu tiên cần làm là phải giúp các em nắm vững lí thuyết chương 1 sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản. Sau đó tôi hướng dẫn các em:
- Xác định rõ từng bước làm các dạng bài tập.
- Xây dựng hệ thống công thức tổng quát, nhận dạng nhanh các dạng bài tập.
+ Căn cứ vào mục tiêu của bài học xây dựng giáo án chi tiết cho từng nội dung kiến thức.
+ Vận dụng linh hoạt hệ thống các phương pháp giảng dạy. Chú trọng việc tạo tình huống có vấn đề và cách giải quyết các bài tập tình huống. 
3.2. Kiến nghị.
Thời gian tiến hành làm đề tài không nhiều, còn hạn chế về trình độ chuyên môn và số lượng tài liệu tham khảo nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn. Mặt khác tôi cũng mong muốn các bạn đồng nghiệp tiếp tục viết thêm các skkn liên quan đến chuyên đề này của tôi để hoàn thiện bổ sung thêm các phương pháp dạy học giúp các em lĩnh hội tốt chuyên đề này. 
	 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Nguyễn Thị Thu Thủy
 Thanh Hóa, ngày 26 tháng 4 năm 2018 
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Thị Hà
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao.
2. Sách bài tập Giải tích 12 cơ bản và nâng cao.
3. Báo toán học tuổi trẻ số 483-T9/2017
4. Các đề thi TNTHPT năm 2017, các đề thi mẫu của Bộ giáo dục và đào tạo.