SKKN Một số dạng toán về sự tương giao giữa parbol và đường thẳng

MỤC LỤC
 Trang
I. MỞ ĐẦU 
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống, một môn học không thể thiếu được với mỗi chúng ta, là môn học trừu tượng và khó cho người học cũng như người dạy. Với vai trò quan trọng của bộ môn có tính quyết định đến chất lượng học tập các bộ môn khác. Trong môn toán 9, thì dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng các em muốn giải được phải nhớ được các kiến thức đại số, hình học của các lớp đã học. Chính vì vậy, khi học dạng toán này học sinh rất lúng túng, khó tìm ra cách giải,.. dẫn tới ngại học. 
Trong dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng lại là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và bối rối khi giải các loại toán này. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, với những học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi, vào THPT thì đây là một trong những vấn đề quan trọng mà bắt buộc những học sinh này phải vượt qua.
 Là một giáo viên giảng dạy toán bậc THCS, bản thân tôi lại được Nhà trường trực tiếp giao trách nhiệm bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi toán tham dự kì thi các cấp huyện và tỉnh, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này. Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng? Và khi gặp bất cứ một dạng toán nào về vấn đề này các em cũng có thể tìm ra cách giải một cách tốt nhất? 
Hiện tại chưa có tài liệu nghiên cứu sâu về dạng toán sự tương giao của đường thẳng và parabol, cũng như chưa có đồng nghiệp nào có kinh nghiệm giảng dạy tốt phần này. Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng toán về sự tương giao giữa parbol và đường thẳng” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến thức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp giáo viên giảng dạy nâng cao chất lượng lớp mình, hạn chế những sai sót của học sinh khi giải toán, tạo được hứng thú học toán của học sinh.
- Định hướng giải một bài toán, có phương pháp thích hợp với đề bài, tổng kết được các dạng toán, có được niềm tin vững vàng khi giải toán.
- Học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh, nhận xét tương tự, trừu tượng hoá, khái quát hoá để giải các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.
- Lập kế hoạch giải một bài toán theo phương pháp tích cực.
Ngay từ khi là học sinh phổ thông các em cần thấy được vai trò to lớn của toán học, giúp học sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực nhờ kiến thức và phương pháp toán học. Các bài toán về sự tương giao của hai đồ thị đặt ra cho các em nhiều thách thức không nhỏ khi giải các dạng toán này.
Với ý nghĩa đó tôi muốn phân tích bài toán chỉ ra bản chất của vấn đề giúp học sinh hiểu và từ đó giải được các bài toán dạng này để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THCS. Đặc biệt nâng cao chất lượng thi vào THPT của trường THCS Nga An.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Sáng kiến kinh ngiệm “ Một số dạng toán về tương giao giữa parabol và đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng thi vào THPT của trường THCS Nga An”. Nghiên cứu và tổng kết các biện pháp khi giảng dạy về các dạng toán tương giao giữa parabol và đường thẳng trong chương trình toán 9.
Phạm vi nghiên cứu: Học sinh lớp 9A và 9B năm hoc 2014-2015 và 
2015 -2016 của trường THCS Nga An, Nga Sơn
 4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu và sách báo liên quan tới đồ thị hàm số, phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai một ẩn
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin
-Phương pháp nghiên cứu: Quan sát học sinh học tập. 	
 + Giáo viên chuẩn bị: Máy chiếu, bảng phụ ghi các bài tập, bài giải mẫu và cách giải của từng dạng toán.
 	+ Học sinh: Cần nắm vững lí thuyết về phần quan hệ giữa Parapol và đường thẳng.
 	+ Cho học sinh hệ thống lại kiến thức về quan hệ giữa Parapol và đường thẳng.
 	+ Giáo viên chia ra các dạng bài tập và tổ chức cho học sinh giải các bài toán mẫu.
 	+ Giáo viên tổ chức cho học sinh tự làm việc, tự kiểm tra đánh giá, sửa chữa, giáo viên chốt lại vấn đề.
II- NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 	Môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của trường THCS, đó là việc góp phần hình thành những con người có trình độ học vấn phổ thông cơ bản, đó là những con người biết rèn luyện để có tính độc lập, có tư duy sáng tạo, phẩm chất đạo đức để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước hiện nay.
 	Để thực hiện thành công nhiệm vụ đó, người giáo viên phải có phương pháp giảng dạy phù hợp, chắt lọc những kiến thức cơ bản với từng đối tượng học sinh, biết rèn cho học sinh phương pháp học tập các môn nói chung cũng như môn toán nói riêng.
 	Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức đó lại có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, do vậy khi học, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng linh hoạt vào giải các loại toán, bài toán cụ thể. 
Một trong các kiến thức cơ bản trong chương trình toán THCS là phần đồ thị, hàm số, mối tương giao giữa các đường thẳng với nhau, giữa các đường thẳng và parabol. Nhìn chung, ở phần này, học sinh có khả năng tư duy tưởng tượng chưa tốt nên giải loại toán này khá vất vả, trình bày không chặt chẽ, rõ ràng dẫn đến điểm kém nên sợ hoặc không thích học phần đồ thị, hàm số. Khi nghiên cứu việc học và giải toán của các em học sinh THCS, trao đổi với các đồng nghiệp dạy toán ở THCS mà đặc biệt là giáo viên dạy toán 9, tôi thấy loại toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và parabol vẫn thường được đề cập tới trong các đề thi vào THPT, mặt khác, đây là loại toán mà các em phải nắm vững để chuẩn bị cho môn toán lớp 10 THPT.
 	Để giúp các em học phần này có kết quả tốt, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải một số dạng toán về tương giao giữa Parabol với đường thẳng, nhằm nâng cao chất lượng học sinh thi vào THPT ở trường THCS Nga An” giúp người giáo viên không chỉ nắm chắc được kiến thức cơ bản phần này mà còn phải có phương pháp linh hoạt để truyền thụ kiến thức một cách dễ hiểu nhất tới các em học sinh.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy ở trường THCS, tôi có nhiều trăn trở về những khó khăn, lúng túng của học sinh khi giải một số bài toán về sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng đây là loại toán phổ biến trong chương trình Đại số 9 và thường xuyên xuất hiện trong các kì thi, đặc biệt là kì thi vào THPT. Bởi sự đa dạng thú vị, là sự tổng hợp của các kiến thức trong cả chương trình Đại số 9 liên quan tới nó, từ các kiến thức và kĩ năng tính toán đến việc lập luận chặt chẽ về mối quan hệ giữa hàm số và đồ thị, cho tới sự vận dụng linh hoạt các kiến thức của hệ thức Vi ét hay sự lồng ghép vào việc vận dụng các phương pháp giải phương trình, hệ phương trình. 
Kết quả - hiệu quả của thực trạng nghiên cứu trên:
Tôi được nhà trường phân công dạy 2 lớp 9, tôi đã trực tiếp giảng dạy và ôn luyện phần sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng. Tuy nhiên khi làm bài kiểm tra mới biết học sinh còn nhiều lúng túng về cách phân loại để đưa ra lời giải cho mỗi loại toán nói trên, còn nhiều nhầm lẫn giữa các dạng khác nhau dẫn tới kết quả sai đáng tiếc. 
 Bảng thống kê về học lực của học sinh năm học 2013-2014
Lớp
Phương pháp
Giải được
Có đường lối giải
Không giải được
9A
Khi chưa áp dụng
20%
40%
40%
9B
Khi chưa áp dụng
15%
40%
45%
 	Từ thực trạng trên để kết quả giảng dạy được hiệu quả hơn, tôi mạnh dạn cải tiến cho học sinh năm học 2014-2015 và 2015-2016 là phân ra: Một số dạng toán về sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng. 
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 3.1. Kiến thức cơ bản:
 	Cho Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng y = bx + c (d) khi đó: 
Ta có: Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng 
 y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
 ax2 - bx – c = 0 (1)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung phương trình (1) vô nghiệm.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc) phương trình (1) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương trình.
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
3.2. Dạng 1: Tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đường thẳng
3.2.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng 
 y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
 ax2 - bx – c = 0 (1). Giải (1) ta tìm được hoành độ giao điểm.
3.2.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: 
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): 
y = 3x - 2
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d): 
y = 3x - 2 là nghiệm của phương trình: 
x2 = 3x - 2
x2 - 3x + 2 = 0
Vì: a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 nên x1 = 1; x2 = 2
Vậy hoành độ giao điểm giữa (P): y = x2 với đường thẳng (d): y = 3x + 2 
 là :1; 2
Ví dụ 2: 
Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 với
 (d): y = - 2x+ 6
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 với đường thẳng (d): y = - 2x+ 6 là nghiệm của phương trình:
x2 - 4x + 3 = - 2x+ 6
x2 - 2x - 3 = 0
Vì: a - b + c = 1 - (-2) + (-3) = 0 nên x1 = -1; x2 = 3
Vậy hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 - 4x + 3 với đường thẳng (d): y = - 2x + 6 là: -1; 3
3.2.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
 	Mặc dù đây là dạng toán áp dụng công thức đơn giản nhưng trong quá trình làm bài tập tôi nhận thấy các em vẫn mắc phải sai lầm như sau: 
Học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm hoành độ giao điểm x tuy nhiên gặp những bài khi x không là số nguyên thì tìm hoành độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của x.
Lưu ý: GV cần khắc sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán
3.2.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Dạng toán này chỉ việc áp dụng công thức là giải được nên dạng này học sinh không gặp khó khăn khi giải. Do đó dạng này dùng cho mọi học sinh, nhưng chủ yếu là củng cố kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu.
3.2.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình:(P): y=x2 ; (d): y =2(a-1)x+5-2a ; (a là tham số)
1. Với a = 2 tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P).
2. Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
3. Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) là x1, x2. Tìm a để 
x12+x22 = 6.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parabol và đường thẳng .
a) Hãy vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm hoành độ giao điểm của và .
c) Viết phương trình đường thẳng . Biết rằng song song với và cắt tại điểm có hoành độ là .
3.3. Dạng 2:Tìm toạ độ giao điểm của Parabol và đường thẳng.
3.3.1.Phương pháp giải
Toạ độ giao điểm vừa phải thuộc (d), vừa phải thuộc (P) nên ta tìm hoành độ giao điểm bằng phương trình hoành độ (1), sau đó thay hoành độ vào một trong hai phương trình (d) hoặc (P) để tìm các tung độ giao điểm. Từ đó tìm toạ độ giao điểm. 
3.3.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
 y = 4x + 3 và (d2): y = 10x + 25
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d1):
 y = 4x + 3 là nghiệm của phương trình:
 -x2 = 4x +3 x2 + 4x + 3 = 0
Vì: a - b + c = 1 - 4 +3 = 0 nên x1 = -1; x2 = -3
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1 = -x2 = -(-1)2 = -1
y2 = -x2 = -(-3)2 = -9
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng 
(d1): y = 4x + 3 là: (-1; -1) và (-3; -9)
Tương tự ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d2): y = 10x + 25 là nghiệm của phương trình:
-x2 = 10x +25 
x2 + 10x + 25 = 0
Ta có D’ = 52- 25 = 0
 x1 = x2 = -5
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1= y2 = -x2 = -(-5)2 = -25
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = -x2 với đường thẳng (d2):
 y = 10x + 25 là: (-5; -25)
Ví dụ 2: 
Tìm toạ độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 + 3x - 2 với đường thẳng (d): y = - 2x + 4
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 + 3x - 2 với đường thẳng (d): y = - 2x + 4 là nghiệm của phương trình:
x2 + 3x - 2 = - 2x + 4
x2 + 5 x - 6 = 0
Vì: a + b + c = 1 + 5 - 6 = 0 nên x1 = 1; x2 = - 6
Từ đây ta có tung độ tương ứng là:
y1= - 2 x1 + 4= - 2.1 + 4 = 2
y2= - 2 x2 + 4= - 2.(- 6 ) + 4 = 16
Vậy tọa độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 + 3x -2 với đường thẳng 
(d): y = - 2x + 4 là: (1; 2 ) và (- 6 ; 16)
3.3.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ giao điểm (x; y), tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y. Hơn nữa các em vẽ đồ thị lại thiếu độ chính xác, thiếu thẩm mỹ.
3.3.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
	Giáo viên (GV) hướng dẫn học sinh (HS) giải như các ví dụ trên. Đối với dạng toán này, nếu là đề thi vào THPT thì phương trình hoành độ giao điểm thường là những phương trình bậc 2 có thể nhẩm được nghiệm. Giáo viên khắc sâu kỹ năng giải phương trình bậc 2 cho HS.
3.3.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-TPHCM 2013-2014)
	a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ.
	b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở câu trên bằng phép tính
Bài 2:(Thi vào THPT-Hải Phòng 2013-2014)
. Cho đường thẳng (d): và parabol (P): . Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P) bằng phép toán.
Bài 3:(Thi vào THPT-Long An 2014-2015)
Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol và đường thẳng .
a) Hãy vẽ và trên cùng một mặt phẳng tọa độ .
b) Tìm tọa độ giao điểm của và .
c) Viết phương trình đường thẳng . Biết rằng song song với và cắt tại điểm có hoành độ là .
Bài 4. :(Thi vào THPT- Khánh Hòa 2015-2016)
	Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 
	1) Vẽ parabol (P).
	2) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M.
3.4. Dạng 3:Chứng minh về vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng.
3.4.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng 
 y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
 ax2 - bx – c = 0 (1)
- Parabol (P) và đường thẳng (d) không có điểm chung phương trình (1) vô nghiệm ( giải D’<0 hoặc D <0 )
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có một điểm chung (tiếp xúc) phương trình (1) có nghiệm kép và hoành độ của tiếp điểm chính là nghiệm kép của phương trình ( giải D’=0 hoặc D = 0 )
- Parabol (P) và đường thẳng (d) có đúng hai điểm chung (cắt nhau) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ( giải D’>0 hoặc D >0 )
3.4.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Chứng tỏ Parabol (P): y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d):
 y = 4m x + m2 khi m thay đổi.
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - 4x2 với đường thẳng (d):
 y = 4m x + m2 là nghiệm của phương trình:
 - 4x2 = 4m x + m2
4x2 + 4m x +m2= 0
Vì có D’=(2m)2 - 4m2 = 0 với mọi m, nên phương trình có nghiệm kép. Do đó Parabol (P): y = - 4x2 luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 4m x + m2 khi m thay đổi.
Ví dụ 2: 
Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn có điểm chung khi m thay đổi.
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
 y = (m+1)x - m là nghiệm của phương trình:
 x2 = (m+1)x - m 
 x2 - (m+1)x + m = 0
Vì có D=2 - 4m = (m - 1)2 0 với mọi m, nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 
Do đó Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m+1)x - m luôn có điểm chung khi m thay đổi.
Ví dụ 3: 
Cho Parabol (P): y = x2 - 6x + 5 và đường thẳng (d): y = mx +1- 2m. Chứmg minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định I và cắt (P) tại hai điểm M và N
Lời giải:
Phương trình đường thẳng (d) có thể viết như sau:
y= (x - 2)m + 1
 y - 1 = (x - 2)m (2)
Để (d) luôn đi qua I(x;y) cố định, nghĩa là (d) qua I với mọi giá trị của m thì ta phải có: (2) thoả mãn m R
Vậy (d) luôn đi qua I(2;1)
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
x2 - 6x + 5 = mx +1- 2 m
 x2 - (m+6)x + 2 m +4= 0 (3)
Ta có: D = (m + 6)2 - 4(2m + 4) 
 = m2 + 4m + 20
 = (m + 2 )2 + 16 > 0 với m R
Do đó phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 
Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm M và N có hoành độ x1 và x2 
3.4.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
	Học sinh không đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình tổng quát rồi mới tính D hoặc D’. Học sinh nhầm lẫn về phương trình bậc nhất trong trường hợp có nghiệm duy nhất và vô số nghiệm.
3.4.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng lập phương trình hoành độ giao điểm, biến đổi đưa về phương trình bậc hai dạng tổng quát, Khi đó xác định vị trí tương đối giữa Parabol và đường thẳng trở thành bài toán biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kết hợp với tư duy của hình học để có lời giải cho bài toán phù hợp.
3.4.5. Bài tập tương tự dạng này:
Bài 1:(Thi vào THPT-Đà Nẵng 2015-2016) Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) 
1) Vẽ đồ thị (P)
2) Cho các hàm số y = x + 2 và y = - x + m ( với m là tham số) lần lượt có đồ thị là (d) và (dm). Tìm tất cả các giá trị của m để trên một mặt phẳng tọa độ các đồ thị của (P) , (d) và (dm) cùng đi qua một điểm
Bài 2:(Thi vào THPT-Thái Bình 2013-2014) 
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số)
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì:
	a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó.
	b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5)
Bài 3:(Thi vào THPT-BìnhThuận 2015-2016) 
Vẽ đồ thị ( P) của hàm số y = x2 
Chứng minh rằng đường thẳng (d) : y = kx + 1 luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt với mọi k .
3.5. Dạng 4: Chứng minh về tính chất, vị trí của giao điểm trong mặt toạ độ giữa Parabol và đường thẳng.
3.5.1.Phương pháp giải
Hoành độ giao điểm giữa Parabol y = ax2 (P) và đường thẳng 
 y = bx + c (d) là nghiệm của phương trình:
ax2 = bx + c
 ax2 - bx – c = 0 (1). Tính chất, vị trí của (d) và (P) phụ thuộc vào tính chất nghiệm của (1).
3.5.2.Các ví dụ:
Ví dụ 1: 
Chứng tỏ Parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng (d): y = - 5 x - 6 tại hai điểm nằm cùng phía với trục tung
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = x2 với đường thẳng (d):
 y = - 5 x - 6 là nghiệm của phương trình:
 x2 = - 5 x - 6 
x2 + 5 x + 6 = 0
Vì có D= 1 nên phương trình có hai nghiệm là:
x1= -2; x2= - 3
Ta thấy hai nghiệm này cùng âm, suy ra hoành độ giao điểm đều âm. Do đó giao điểm của chúng nằm ở cùng phía đối với bên trái của trục tung
Ví dụ 2:
 Chứng tỏ Parabol (P): y = - x2 cắt đường thẳng (d): y = 2 x - 2008 tại hai điểm thuộc hai phía đối với trục tung.
Lời giải:
Ta có hoành độ giao điểm giữa Parabol (P): y = - x2 với đường thẳng (d):
 y =2 x - 2008 là nghiệm của phương trình:
 - x2 = 2 x - 2008
x2 + 2 x – 2008 = 0
Vì có a.c = 1.(- 2008) < 0 nên phương trình trên có hai nghiệm trái dấu
Do đó giao điểm của chúng nằm ở hai phía đối với trục tung.
3.5.3. Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:
Ở dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm tọa độ giao điểm (x; y) tuy nhiên gặp những bài khi x, y không là số nguyên hoặc quá xa gốc tọa độ thì tìm hoành độ, tung độ bằng đồ thị sẽ gặp khó khăn khi tìm chính xác giá trị của (x; y).
3.5.4. Kinh nghiệm khi giảng dạy dạng toán này:
Giáo viên cần củng cố cho học sinh về kỹ năng tìm hoành độ giao điểm, tọa độ giao điểm, kỹ năng về giải phương trình bậc 2, về tính chất nghiệm của phương trình bậc 2, kết hợp với