SKKN Kinh nghiệm giải bài tập Quang hình học bằng nhiều lời giải khác nhau nhằm nâng cao mức độ nhận biết các vấn đề và linh hoạt hơn trong giải toán vật lý - Vật lý 11 Nâng cao

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Quang hình trong vật lý 11 là vấn đề rất thú vị, có thể giúp học sinh đào sâu suy nghĩ, rèn luyện tư duy, tính kiên trì và cẩn thận. Bên cạnh đó, còn giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn, nhạy bén hơn khi nghiên cứu các quá trình vật lý cũng như các môn học khác. 
Thông thường, khi giải một bài toán quang hệ, chúng ta viết sơ đồ tạo ảnh cho quá trình ánh sáng (các tia sáng) “đi qua” các “quang cụ” liên tiếp đặt trong một môi trường trong suốt đồng tính. Khi đó, các kiến thức cơ sở như bản mặt song song, thấu kínhđược áp dụng cho mỗi lần tạo ảnh. Tuy nhiên, trong thực tế, các bài toán quang hình, đặc biệt là các bài toán về quang hệ, nảy sinh rất nhiều vấn đề, đòi hỏi người giải phải có cách nhìn nhận và những lập luận thích hợp. Nếu các quang cụ đặt trong môi trường không đồng nhất (các môi trường trong suốt trước và sau quang cụ không cùng chiết suất) thì các kiến thức về thấu kính mỏng, bản mặt song song trong chương trình giáo khoa không thể áp dụng ngay được. Để giải quyết được vấn đề, chúng ta phải coi quang hệ đã cho như một quang hệ khác tương đương mà không hề làm thay đổi các kết quả tính toán. Muốn vậy, người giải phải có cách nhìn nhạy bén, sâu sắc vấn đề.
Xuất phát từ những vấn đề trên tôi chọn đề tài: “Kinh nghiệm giải bài tập Quang hình học bằng nhiều lời giải khác nhau nhằm nâng cao mức độ nhận biết các vấn đề và linh hoạt hơn trong giải toán vật lý - Vật lý 11 Nâng cao”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu vận dụng các cách giải khác nhau đối với bài tập Quang hình – Vật lý 11 Nâng cao, nhằm mục đích giúp các em học sinh có cái nhìn mềm dẻo hơn khi gặp các vấn đề mới lạ, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Lý thuyết về bài tập vật lý, ý nghĩa của bài tập vận dụng vào dạy học vật lý. 
- Quá trình dạy học bài tập vật lý THPT. 
- Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp giải bài tập trong dạy học vật lý. 
- Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa vật lý 11 nâng cao. 
- Xây dựng một số bài bài tập mẫu phần Quang hình học thuộc chương trình vật lý 11 nâng cao. 
- Thực nghiệm sư phạm, đánh giá kết quả nghiên cứu. 
1. 4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận về các vấn đề liên quan đến việc giải quyết các nhiệm vụ của đề tài. 
- Nghiên cứu thực tiễn: Điều tra khảo sát dạy học các bài tập liên quan đến phần Quang hình tại trường THPT, tiến hành thực nghiệm sư phạm, thăm dò, lấy ý kiến từ giáo viên, học sinh để đánh giá lý luận đã nêu. 
1.5. Những điểm mới của SKKN
Nội dung chính của đề tài có thể không thực hiện các yêu cầu về dạy học đại trà tuy nhiên có thể mở rộng vấn đề cho chương trình nâng cao để các em học sinh có cái nhìn sâu và nhạy bén trong phần quang hình nói riêng và trong vật lý nói chung, giúp các em học sinh có cái nhìn mềm dẻo hơn khi gặp các vấn đề mới lạ
Trong quá trình thực nghiệm, ban đầu, các học sinh còn lúng túng trong việc tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, qua một số ví dụ cụ thể, phần lớn các em đã biết cách phân tích quá trình và có thể tìm ra các hướng đi riêng, lời giải riêng của mình cho mỗi bài toán.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
	a. Bài tập vật lý.
	Bài tập vật lý là một phương tiện, phương pháp thuộc nhóm các phương pháp dạy học tích cực.
	Trong thực tiễn dạy học có 2 quan điểm đối lập nhau về dạy học Bài tập vật lý. 
	Dạy Bài tập vật lý là hoạt động không mấy phức tạp.
	Dạy Bài tập vật lý là hoạt động rất khó khăn, để khai thác hết chức năng lý luận dạy học của phương tiện dạy học đặc biệt quan trọng này.
Tuy nhiên, theo quan điểm của dạy học hiện đại. Tác dụng của bài tập trong dạy học Vật lý là một trong những đặc trưng của phương pháp dạy học (PPDH) mới, hiện đại là phát huy tính tích cực, chủ động, tôn trọng vai trò của người học, kích thích tính độc lập sáng tạo, trau dồi khả năng tự giáo dục cho mỗi người. Trong quá trình dạy học theo phương pháp này, học sinh là chủ thể nhận thức. Học sinh không học thụ động bằng cách nghe thầy giảng mà học tích cực bằng hành động của chính mình, giáo viên không phải là người duy nhất để dạy hay truyền bá kiến thức mà chỉ đóng vai trò tổ chức, định hướng quá trình học tập nhằm phát huy vai trò chủ động trong học tập của học sinh. Giáo viên giúp học sinh nắm được phương pháp chiếm lĩnh kiến thức, phương pháp hoạt động học tập (nhận thức) cũng như phương pháp hoạt động trong cuộc sống xã hội. Qua việc tự giành lấy kiến thức, ở học sinh hình thành và phát triển năng lực hoạt động trí tuệ, năng lực giải quyết vấn đề. Nói cách khác, học sinh phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động. Chính vì lẽ đó, học sinh cần phải được huấn luyện ngay từ khâu xây dựng kiến thức cho đến khâu vận dụng nó vào thực tế. Giải BTVL là một trong những hình thức tập luyện chủ yếu và được tiến hành nhiều nhất. Trong mỗi tiết học hoạt động giải BTVL tham gia vào quá trình:
- Hình thành và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
- Hình thành kiến thức mới .
- Phát triển tư duy vật lí.
- Kiểm tra đánh giá kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo, đặc biệt là giúp phát hiện trình độ phát triển trí tuệ, làm bộc lộ những khó khăn, sai lầm của học sinh trong học tập đồng thời giúp họ vượt qua những khó khăn và khắc phục các sai lầm đó.
- Giáo dục tư tưởng đạo đức, kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp. Vật lí là một môn học liên quan đến nhiều hiện tượng trong đời sống. Những kiến thức vật lí cũng được ứng dụng trong kĩ thuật và cuộc sống hàng ngày. Học sinh khi giải BTVL là tìm đến bản chất của các vấn đề đó và áp dụng nó giải quyết các vấn đề của cuộc sống.
Rõ ràng dạy Bài tập vật lý sao cho tăng cường hoạt động tích cực, tự lực rèn luyện kỹ năng của học sinh là việc làm rất khó khăn.
	b. Bài tập Quang hình
Bài tập Qung hình là bài tập cho dưới dạng các dữ kiện hình học mà khi giải quyết, yêu cầu phải huy động kiến thức tổng hợp Vật lý, Toán học (hình học).
Một số bài toán quang hệ đặc biệt gồm các quang cụ đặt trong môi trường không đồng tính, nên các công thức trong chương trình giáo khoa như: bản mặt song song, thấu kính, gươngchưa thể áp dụng ngay được, bởi các công thức này đều được xây dựng cho trường hợp môi trường chứa quang cụ là hoàn toàn đồng tính. Vì thế, ban đầu khi gặp các vấn đề như vậy, học sinh rất bỡ ngỡ và khó khăn trong việc tìm ra hướng giải.
Ở đây tác giả không phải đưa ra một phương pháp mới, hiệu quả, ngắn gọn hơn, mà đưa ra các lời giải khác nhau với các cách nhìn khác nhau của cùng một vấn đề, nhằm nâng cao mức độ nhận biết các vấn đề, linh hoạt hơn trong giải toán vật lý và có cái nhìn mềm dẻo hơn khi gặp các vấn đề mới lạ.
2.2. Thực trạng giảng dạy tiết bài tập vật lí ở trường THPT.
a. Thực trạng giảng dạy tiết bài tập vật lí ở trường THPT.
Thực tế, tiết bài tập rất khó dạy, ở chỗ không có một thiết kế nào cụ thể, tuỳ thuộc vào khả năng tiếp thu của học sinh, của chương trình và phương pháp của thầy cô. Nếu không xác định đúng mục tiêu rất dễ đi vào sự đơn điệu.
- Một số giáo viên còn xem nhẹ tiết bài tập, chỉ dừng lại khi giải xong các bài tập ở sách giáo khoa.
- Thiết kế tiết dạy thường không có sự khái quát, kết luận về từng vấn đề nên học sinh khó có thể nêu lên được phương pháp giải bài tập liên quan.
- Đa số bài tập ở sách giáo khoa chỉ dừng lại ở mức độ củng cố, và còn thiếu so với lượng kiến thức đã nêu trong lý thuyết. Do đó dẫn đến tình trạng: học sinh khá giỏi khó phát huy hết khả năng, học sinh ở mức độ trung bình trở xuống thì bế tắc khi gặp dạng bài tập khác.
- Kĩ năng vận dụng kiến thức Toán cho việc giải bài tập còn hạn chế đối với một bộ phận không nhỏ học sinh.
- Trong bộ sách ban cơ bản, cũng như nâng cao một số đơn vị kiến thức không trình bày nhưng lại cho bài tập trong sách bài tập, nếu giáo viên không chịu tìm hiểu thì học sinh không có cơ sở lý thuyết để giải khi gặp loại bài tập như vậy.
b. Thực trạng giảng dạy tiết bài tập Quang hình ở trường THPT. 
Ngoài những bài tập mang tính chất củng cố, trong chương trình Nâng cao hệ thống bài tập quang hình học có những trường hợp xét trong môi trường không đồng tính, đặc biệt hệ gồm các quang cụ, nên các công thức trong chương trình giáo khoa như: bản mặt song song, thấu kính, gươngchưa thể áp dụng ngay được, bởi các công thức này đều được xây dựng cho trường hợp môi trường chứa quang cụ là hoàn toàn đồng tính. Vì thế, ban đầu khi gặp các vấn đề như vậy, học sinh rất bỡ ngỡ và khó khăn trong việc tìm ra hướng giải, dẫn tới tâm lý chán nản, thụ động.
2.3. Giải bài tập Quang hình học bằng nhiều lời giải khác nhau nhằm nâng cao mức độ nhận biết các vấn đề và linh hoạt hơn trong giải toán vật lý - Vật lý 11 Nâng cao.
	1. Lý thuyết.	
a. Bản mặt song song (BMSS)
Bản mặt song song bề dày e, chiết suất n được đặt trong môi trường trong suốt chiết suất n', độ dời (độ dịch chuyển của ảnh so với vật) được xác định: 
b. Công thức lưỡng chất phẳng (LCP)
Gọi d, d' lần lượt là khoảng cách từ vật đến bề mặt lưỡng chất, khi đó:
; Nếu chỉ để ý về độ lớn: ;
Trong đó n, n': chiết suất môi trường chứa tia tới, tia ló.
c. Công thức lưỡng chất cầu (LCC)
S C O S' 
n n'
;
Trong đó, R là Bán kính chính khúc của mặt cầu khúc xạ. R > 0 nếu tâm chính khúc ở phía bên kia so với tia tới và ngược lại.
d. Thấu kính mỏng (TK)
Thấu kính mỏng chiết suất n, giới hạn bởi hai mặt cầu bán kính R1, R2 được đặt trong môi trường trong suốt chiết suất n', khi đó:
* Độ tụ của thấu kính: ;
* Công thức thấu kính: ;
n1 n n2
e. Chú ý: Trường hợp môi trường trong suốt trước và sau các quang cụ trên không giống nhau:
n1 n n2
n1
Có thể coi giữa quang cụ (n) và môi trường n2 có một lớp rất mỏng môi trường n1 mà không ảnh hưởng tới kết quả bài toán:
Khi đó, quang hệ mới tương đương gồm quang cụ (n) đặt trong môi trường n1 ghép sát với bề mặt khúc xạ giữa n1 và n2.
2. Một số ví dụ về bài tập Quang hình học với nhiều lời giải khác nhau nhằm nâng cao mức độ nhận biết các vấn đề và linh hoạt hơn trong giải toán vật lý.
Ví dụ 1: Người ta đổ vào ly hai lớp chất lỏng khác nhau có chiết suất n1 = 1,3, n2 = 1,5. Chất lỏng chiết suất n1 có chiều cao h1 = 3cm ở trên, chất lỏng chiết suất n2 có chiều cao h2 = 5cm. Xác định ảnh của đáy cốc qua hai chất lỏng trên. 
Lời giải 1: Thông thường, dựa vào đường đi của tia sáng từ vật lần lượt qua các quang cụ (trong bài là các bề mặt khúc xạ).
1
n1
n2
S2
S1
S
Sơ đồ tạo ảnh: 	; 
Trong đó, 
Theo công thức Lưỡng chất phảng: 
; với d1 = h2 = 5cm, n = n2, n' = n1.
→ → d2 = h1 - d1' = cm
Tương tự, → d2' = = -5,65cm.
Kết luận:
Ảnh (ảo) của đáy cốc cách mặt thoáng chất lỏng 5,65cm.
Lời giải 2: 
Coi giữa đáy cốc và chất lỏng chiết suất n2, giữa hai lớp chất lỏng có một lớp không khí rất mỏng, khi đó ta có sơ đồ tạo ảnh:
Độ dời: ; Và ;
Kết luận: Ảnh (ảo) của đáy cốc cách mặt thoáng chất lỏng một khoảng:
l = h1 + h2 - SS2 = 5,65 cm.
Ví dụ 2: Chậu nước có đáy phẳng tráng bạc nằm ngang cách mặt thoáng 120cm. Một điểm A nằm phía trên, cách mặt thoáng 120cm. Xác định khoảng cách từ A đến ảnh của A cho bởi hệ thống? 
Lời giải 1: 
Các tia sáng lần lượt qua các bề mặt khúc xạ, phản xạ, ta có sơ đồ tạo ảnh:
;
Công thức lưỡng chất phẳng: 
 → d1' = -160cm 
1
n
A1
A
G
A3
A2
→ d2 = h - d1' = 120 + 160 cm = 280cm. 
→ d2' = -280cm.
→ d3 = h - d2' = 120 + 280 = 400 cm.
→ d3' = - 300 cm.
Vậy khoảng cách AA3 là: l = 120 + 300 = 420 cm.
Lời giải 2:
Sẽ không ảnh hưởng tới kết quả bài toán nếu coi
giữa nước và đáy chậu có một lớp không khí rất mỏng,
khi đó sơ đồ tạo ảnh được viết:
;
Độ dời: = 30 cm, 
Khoảng cách từ A1 tới gương G: 
d2 = d1 +h - AA1 = 210 cm → d2' = -210 cm.
Tương tự trên, tính được: A2A3 = 30 cm.
Vậy, khoảng cách AA3 bằng: l = d1 + h -d2' - A2A3 = 420 cm.
Ví dụ 3: Gương cầu lõm G, bán kính mặt lõm R = 40cm (Được đặt sao cho mặt lõm hướng lên, trục chính thẳng đứng). Điểm A trên trục chính cách gương 60cm.
	a) Xác định ảnh A1 của A?
	b) Đổ lớp nước mỏng, chiết suất n = 4/3 vào gương, xác định ảnh A' tạo bởi hệ?
	c) A ở vị trí nào để mọi tia sáng phát ra từ A truyền qua hệ lại trở về A?
Lời giải:
a) = 30 cm; 
Ảnh thật, ngược chiều với vật, bằng lần vật.
Cách 1: Tương tự ví dụ trước, ta có sơ đồ tạo ảnh:
;
Với: LCP 1: Không khí – Nước
 LCP 2: Nước – Không khí 
Công thức lưỡng chất phẳng: → d1' = -n.d1 = -80 cm. 
→ d2 = 80 cm → = (cm)
→ d3 = cm; 
Lại có: → d3' = 20 cm.
Kết luận: A' là ảnh thật, cách mặt thoáng 20cm.
Cách 2: 
Có thể coi hệ của chúng ta gồm thấu kính mỏng ghép sát với gương cầu.
Sơ đồ tạo ảnh:
;
Lớp nước đổ vào gương có dạng một thấu kính mỏng, có tiêu cự được xác định: 
 (cm) → f' = 120cm
→d1 = 60cm → d1' = -120cm
A1: Ảnh ảo của A qua thấu kính sẽ lã vật thật đối với gương:
d2 = 0 - d1' = 120 cm; → d2' = 24cm.
d3 = 0 - d2' = -24 cm → d3' = 20cm.
Kết luận: A' là ảnh thật, cách mặt thoáng 20cm.
c) Mọi tia sáng phát ra từ A lại trở về A: Ảnh A3 của A sẽ trùng với A.
Áp dụng nguyên lý thuận nghịch chiều truyền ánh sáng, suy ra A1 cũng trùng với A2:
d2 = d2' → → d2 = 2.f = 40cm.
Với mỗi cách làm như câu b, chúng ta đều tìm được d1 = 30cm.
Ví dụ 4: Một thấu kính hai mặt lồi, bán kính các mặt là R1 và R2, được làm bằng chất trong suốt chiết suất n. Thấu kính được đặt tiếp giáp với hai môi trường có chiết suất khác nhau n1 và n2. Vật là một điểm trên trục chính của thấu kính và trong môi trường n1. Hãy xác định ảnh A’ của A tạo bởi thấu kính?
Lời giải 1:
 n1
 n2
A
n
Sơ đồ tạo ảnh: ; 
Trong đó ;
Theo công thức lưỡng chất cầu:
→ 	(1)
Mặt khác, vì thấu kính mỏng nên có thể coi hai mặt cầu khúc xạ đặt sát nhau: 
d1’ = -d2 (2)
Đối với mặt cầu hai: 
→ 	 (3)
Từ (1), (2) và (3): 
→ (4)
* Nếu R = R’, (4) trở thành: 
	* Nếu n1 = n2 = n’, (4) trở thành:
→
↔ (5)
(5) chính là “công thức thấu kính mỏng”:
Lời giải 2:
Có thể coi thấu kính đã cho (L1) ghép sát với một thấu kính phẳng - lõm (L2) làm bằng chất trong suốt chiết suất n2, và giữa L2 với môi trường trong suốt n2 có một lớp (phẳng) vô cùng mỏng n1 
Lúc này, sơ đồ tạo ảnh được viết:
n2
n1
n
n1
n2
A
	;
Trong đó, L là hệ gồm hai thấu kính ghép sát L1, L2 đặt trong môi trường chiết suất n1.
Với cách lập luận như vậy, chúng ta hoàn toàn có thể đi đến đáp số như những lời giải trên.
Ví dụ 5: Một kính lúp có dạng thấu kính phẳng - lồi bằng thủy tinh, chiết suất n = 1,5, bán kính mặt cong R = 2 cm; khoảng cách giữa mặt phẳng và đỉnh S của mặt cong là 3cm. Khi sử dụng, vật AB được đặt trước mặt phẳng, mắt người quan sát đặt sát S. Người quan sát có giới hạn nhìn rõ từ điểm cách mắt 26cm tới vô cực.
a. Để nhìn rõ ảnh, vật phải đặt trong khoảng nào?
b. Vật được đặt cách mặt phẳng của thấu kính 1,6cm. Tính độ bội giác thu được?
A
B
S
Lời giải 1:
A
B
S
B1
A1
B2
A2
a. Có thể coi hệ gồm một bản mặt song song ghép sát với một thấu kính phẳng - lồi:
;
Độ dời: = 1 cm.
Tiêu cự thấu kính được xác định: → f = 4cm.
Để nhìn rõ ảnh, ảnh phải hiện lên trong giới hạn nhìn rõ của mắt.
Khi ảnh hiện lên tại CC: d’ = -26cm → = 3,47cm.
Khi ảnh hiện lên ở CV (vô cực): d = f = 4cm.
Gọi l là khoảng cách từ vật AB tới mặt phẳng, thì:
	l = d – e + AA1 = d – 2cm
Vậy, 1,47 cm ≤ l ≤ 2cm.
b. Độ bội giác: 
Vật cách mặt phẳng l = 1,6cm nên d = 1,6 + 2 =3,6cm.
Vậy, G = 7,2.
Lời giải 2:
Có sơ đồ tạo ảnh: ;
Công thức lưỡng chất phẳng: 	→ 	; 
d2 = e – d1’ = e + n.d 	→ 	
Công thức lưỡng chất cầu: 
Khi ảnh hiện lên tại CC: d2’ = -26cm → d2 = 5,2cm → = 1,47cm.
Khi ảnh hiện lên tại CV: 
→ d2 = 6cm.→ = 2cm.
Đáp số: 1,47cm ≤ d ≤ 2cm.
Ví dụ 6: Bán kính của một quả cầu thủy tinh là R = 4cm, chiết suất thủy tinh là n = 1,5. Tính khoảng cách x’ từ tâm quả cầu tới ảnh của vật đặt cách quả cầu 6cm tính từ mặt cầu?
Lời giải 1:
A O R
Có sơ đồ tạo ảnh: ;
Công thức LCC1: 	
Thay R = 4 cm, d1 = 6 cm, tìm được: d1’ = - 36cm.
→ d2 = 2R – d1’ = 8 + 36 = 44 cm
Công thức LCC2:	 → d2’ = 11cm
Ảnh cuối cùng cách tâm quả cầu 15cm.
Lời giải 2:
A
Coi quả cầu gồm hệ hai thấu kính mỏng phẳng – lồi ghép sát với bản mặt song song, sơ đồ tạo ảnh:
Tiêu cự thấu kính được xác định: 
 → f = 8cm.
Với d1 = 6 cm	→ d1’ = -24 cm → d2 = 24cm
Độ dời: →	d2’ = 24 – = cm
→ d3 = + 8 = →	d3’ = 11cm.
Đáp số: x’ = 15cm.
2.4. Hiệu quả của giải bài tập Quang hình học bằng nhiều lời giải khác nhau.
Qua các bài toán ví dụ trên, ta thấy có thể giải bài toán theo hai hướng cơ bản:
- Các tia sáng lần lượt qua các bề mặt khúc xạ (phản xạ), mỗi lần như vậy cho ta một ảnh tương ứng.
- Có thể chèn vào trước hoặc sau quang cụ một lớp môi trường trong suốt rất mỏng để đưa hệ đã cho về một hệ mới tương đương.
Hai hướng đi trên, thực sự chưa thể kết luận được hướng đi nào ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn. Nhưng qua đó, có thể giúp cho học sinh lập luận và nhìn nhận vấn đề sâu sắc hơn góp phần hình thành và nâng cao, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Qua việc giải bài toán bằng nhiều phương pháp, nhiều cách giải khác nhau giúp các em huy động nhiều kiến thức của nhiều môn, nhiều lĩnh vực liên quan, qua đó góp phần nâng quá trình tư duy, sáng tạo, linh hoạt, mềm dẻo hơn đối với những vấn đề, bài tập liên quan.
Với một số ví dụ trên chưa thể đánh giá hoàn chỉnh vai trò của việc giải bài tập bằng nhiều lời giải khác nhau trong quá trình phát triển tư duy Vật lý. Nhưng, một phần góp phần vào quá trình hình thành kiến thức mới, kiểm tra đánh giá kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo, đặc biệt là giúp phát hiện trình độ phát triển trí tuệ, làm bộc lộ những khó khăn, sai lầm của học sinh trong học tập đồng thời giúp họ vượt qua những khó khăn và khắc phục các sai lầm đó và giáo dục tư tưởng đạo đức, kĩ thuật tổng hợp và hướng nghiệp. 
3. KẾT LUẬN
Trong đề tài, tác giả không chú trọng tới việc giải chi tiết, hay đi tìm một phương pháp tối ưu hơn nào đó, mà chủ yếu đưa ra các cách giải, các cách nhìn nhận một vấn đề trong một số ví dụ cụ thể. 
Với mỗi cách lập luận riêng, mỗi cách nhìn riêng sẽ cho một lời giải tương ứng, và thật thú vị nếu đi đến cùng một đáp số. Qua đó, có thể giúp các em học sinh rèn luyện khả năng lập luận, sự mềm dẻo, nhạy bén trong tư duy và tự tin khi giải các bài tập phức tạp cũng như kích thích khả năng tìm tòi khám phá tri thức.
Tuy nhiên, với nội dung ngắn gọn của đề tài mà có thể giải quyết được mong muốn của tác giả thì quả thực là điều kỳ diệu! Vì vậy, kính mong các đồng nghiệp, các thầy cô giáo góp ý để đề tài được hoàn thiện và phát triển hơn nữa nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2017
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Hà Việt Phương