SKKN Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải bài toán thông qua “cách nhìn”

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUAN HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
BÀI TOÁN THÔNG QUA “CÁCH NHÌN”
Người thực hiện: Nguyễn Văn Tuấn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thành Sơn
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
STT
Nội dung
Trang
1
1. Phần mở đầu
1
2
1.1. Lý do chọn đề tài
1
3
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
4
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1
5
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
6
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
7
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
8
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
9
2.3. Những bài toán cụ thể để minh hoạ
3
10
2.3.1. Bài toán 1
3
11
2.3.2. Bài toán 2
4
12
2.3.3. Bài toán 3
4
13
2.3.4. Bài toán 4
5
14
2.3.5. Bài toán 5
6
15
2.3.6. Bài toán 6
6
16
2.3.7. Bài toán 7
6
17
2.3.8.Bài toán 8
7
18
2.3.9. Bài toán 9
7
19
2.3.10. Bài toán 10
8
20
2.3.11. Một số bài tập đề nghị
8
21
2.3.12. Một số nhận xét, đánh giá
8
22
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
9
23
3. Kết luận, kiến nghị
10
24
Tài liệu tham khảo
11
1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình môn Đại số cấp THCS có những bài toán, dạng toán mà đối với học sinh luôn mới mẻ và khó quá, khi các em gặp dạng này gần như mất phương hướng giải và có cảm giác "ngợp". Song nó cũng rất đơn giản nếu như ta có cách nhìn thích hợp, khai thác các vai trò của các "chữ" có mặt trong toàn bài toán đó, lúc đó ta sẽ tìm ra được những lời giải hết sức thú vị và phong phú, và ta mới hiểu được sự đa dạng của mỗi bài toàn. Hoặc có thể chúng ta chú ý đến những trường hợp đặc biệt của một vấn đề nào đó trong chương trình học, nó cũng có thể giúp ta khai thác được cách giải hợp lý cũng như đó là đường lối làm bài toàn hết sức thú vị.
Chẳng hạn, giải và biện luận phương trình: -2x3 + (3 - 2m)x2 + 2mx + m2 - 1 = 0 (x là ẩn). Nếu ta xem x là ẩn thì phương trên là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải hết sức khó khăn với cấp học THCS. Song ta nhìn vào các chức có tham gia vào phương trình và các chức này có vai trò như nhau thì vấn đề giải hết sức đơn giản (Phần này sẽ được trình bày kĩ hơn ở phần sau).
Thực ra lời giải bài toán có phong phú hay không là do cách nhìn bài toán của chúng ta, có những nhà toán học thường nói có cái nhìn, góc nhìn "chết người" và cũng có cái nhìn "nảy lửa". Song cũng có những quan điểm khác nhau, có nhiều khi ta phải xuất phát từ những trường hợp "hẩm hưu, bất hạnh". Ví dụ như: Tìm nghiệm duy nhất của một hệ phương trình nào đó thì giả sử có nghiệm là (x, y, z) là duy nhất thì bộ nghiệm (-x, -y, -z) cũng là nghiệm, nên có x = -x, y = -y, z = -z hay x = y = z = 0.
Trong chương trình cấp học THCS để đưa đến một cách giải hay, thì theo bản thân tôi đều do bản thân có cách nhìn thích hợp, và quan niệm về các chữ có mặt trong bài toán đều có vai trò như nhau. Đây là vấn đề hết sức chú ý cho học sinh khi giải bài toán và theo tôi thiết nghĩ đó cũng có thể coi là một phương pháp. Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua "cách nhìn" để giải quyết những vướng mắc của học sinh, đồng thời tạo cho các em có một cách nhìn toàn diện và khai thác triệt để những vấn đề được coi là đặc biệt.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Căn cứ vào những yêu cầu trên thì bản thân phải có những quy trình giải một cách tổng quát, hoặc phải đưa ra được những ví dụ điển hình để minh chứng vấn đề mà bản thân đặt ra. Thực ra chúng ta phải cho học sinh nắm được trong một biểu thức (phương trình) có chứa chữ thì vai trò của các chữ hay ẩn là như nhau, tùy theo cách nghĩ của từng người, từng dạng bài toán và đây là vấn đề xem là then chốt, cũng có thể phải sử dụng vài tính chất chẵn lẻ của hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Do điều kiện về thời gian nghiên cứu, cho nên đề tài này đề cập đến đối 
tượng học sinh khá giỏi ở khối 9.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Chủ yếu sử dụng phương pháp tổng kết kinh nghiệm
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình học tập về “ giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn ở môn Đại số lớp 8 (hoặc giải và biện luận hệ phương trình ở Đại số 9) ”[1]. Chúng ta có thể tóm tắt cách giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn như sau:
Ta cho phương trình ax = b (1)
- Nếu a ¹ 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất: 
- Nếu a = 0 và b ¹ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
- Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình (1) trở thành 0x = 0 và có vô số nghiệm[2].
Ở trường hợp thứ ba này là coi nó là trường hợp "hẩm hiu và bất hạnh" nhất ví nó ít gặp và rất ít quan tâm. Nhưng cũng chính trường hợp "Hẩm hiu va bất hạnh" này nếu ta suy rộng ra một chút, nhìn sâu hơn một chút thì sự "hẩm hiu" đó, "bất hạnh" đó trở nên một kết quả tuyệt vời và hết sức thú vị đến bất ngờ.“ Thực vậy khi a = 0 và b = 0 thì giá trị của x muốn lấy bao nhiêu cũng được, hay nói cách khác đẳng thức (1) xảy ra với mọi giá trị x Î R ”[3].
Vâng! Quả vậy chúng ta đi theo trường hợp này, “nếu ta thay a và b bằng hai biểu thức chứa chữ (hay chứa ẩn) còn x ta coi như một biến sô tham gia và đẳng thức (1) thì ta sẽ thu được dạng mới là:
m.A(x,y) + B(x,y) = 0 (2)’’[4] .
Cũng như đẳng thức trên ta thấy (2) xảy ra với mọi m khi và chỉ khi 
“Đây chính là cơ sở khoa học khi ta giải bài toán tìm điểm cố định khi một đường thẳng nào đó đi qua và cũng là bài toán giải phương trình "đặc biệt" nào đó”[5].
“Cũng như vấn đề đặt ra, việc xem a, b là chữ thay bằng biểu thức chứa ẩn, còn x coi như một biến số. Đây cũng chính là việc quan niệm vai trò của các chữ, các ẩn là bình đẳng, mà ta có thể coi đây là vấn đề tế nhị và tinh tế”[6].
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Với chương trình môn Đại số cấp THCS thì những bài toán có chứa chữ số là những bài toán khó, hầu hết học sinh không làm được, sách giáo khoa không đề cập, không có những phương pháp giải cụ thể được học mà các em phải tìm hiểu trong những tài liệu khác còn trong các đề thi học sinh giỏi lại đề cập rất nhiều.
 	Thực tế trong năm 2015–2016 học sinh gặp bài toán có chứa chữ số hầu hết không giải được. Nếu có chỉ là hạn hữu, nhưng các em vẫn còn mắc những sai lầm ngộ nhận Dẫn đến kết quả cuối năm về môn toán vẫn còn kém, cụ thể:
 	Loại Giỏi 0,5%
 	Loại Khá 4,5%
 	Loại Trung bình 85,1%
 	Loại Yếu 9,9%
 	Qua thực trạng ban đầu như vậy, tôi thấy mình cần phải đưa ra một số cách nhìn thường dùng cho học sinh nắm một cách có hệ thống đối với từng dạng, biết vận dụng thành thạo vào bài tập cụ thể về phân số có liên quan đến giải bài toán có chứa chữ số.
2.3. Những bài toán cụ thể để minh hoạ
2.3.1. Bài toán 1
Tìm tât cả giá trị của a và b để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
Nếu như trong việc giải và biện luận hệ phương trình thì ta có thể sử dụng tính chẵn lẻ của hàm số. Cụ thể trong bài này, không ít học sinh lúng túng và không tìm ra hướng giải quyết. Song đây không phải là bài toán giải và biện luận hệ phương trình mà để giải bài toán này ta phải suy luận chặt chẽ và sử dụng ngay tính chẵn lẻ của hàm số. Trước hết ta cần tìm a, b để hệ có nghiệm duy nhất.
a) Điều kiện cần
Nếu (x0, y0, z0) là nghiệm của hệ thì (-x0, -y0, -z0) cũng là nghiệm của hệ. Và hệ có nghiệm duy nhất nên ta có x0 = -x0; y0 = - y0; z0 = -z0. 
Thay vào hệ ta có: 
Vậy z0 = 2 hoặc z0 =- 2 do đó (a,b) =(2,2) hoặc (a,b) = (-2,-2)
b) Thử điều kiện đủ
- Nếu a = 2, b = 2 ta có hệ: 
Hệ có nghiệm (0, 0, 2)
Từ (*) và (**) suy ra: xy (z2- z) = 0 nếu x = 0 thì từ (**) và (***) suy ra z = z và y = 0. Đây là nghiệm đã biết. Nếu y = 0 ta cũng suy ra được nghiệm đó bằng cách lập luận tương tự.
Bây giờ nếu z2 - z = 0 Û z = 0 hoặc z =1. Nhưng z =0 thì mâu thuẫn với (*) và (**).
Û a = b = 2 không có nghiệm duy nhất.
Nếu z = 1, ta có 
- Nếu a = b = - 2, ta có hệ:
Vậy lập luận tương tự ta suy ra hệ có nghiệm duy nhất (0, 0,-2) khi a = b = -2
2.3.2. Bài toán 2
Giải phương trình
	-2x3 + (3 - 2m)x2 + 2mx + m2 - 1 = 0 (1)
Nếu ta xem x là ẩn thì đây là phương trình bậc 3 đầy đủ, cách giải rất khó khăn đối với bậc học. Vậy ta nhìn vao vai trò của các chữ x, m trong phương trình và quan niệm nó có vai trò như nhau, khi đó gọi m là ẩn ta có:
m2 - 2(x2 - x)m - 2x3 - 1 = 0 (2) 
Giải phương trình này ta có:
D = (x2 - 1)2 khi đó m1,2 = x2 - x ± (x2 - 1)
Nếu m = 1 - x Û x = 1- m
Nếu m = 2x2 - x - 1 Û 2x2 - x - 1 - m Û D = 9 + 8m
vậy phương trình có nghiệm
phương trình có hai nghiệm kép
phương trình vô nghiệm
	Hai phương (1), (2) có nghiệm chung: 1 - x = 2x2 - x -1 hay x2 = 1 nên x = ± 1 suy ra m = 0 hoặc m = 2
Vậy	 phương trình có hai nghiệm nếu m = 0 hoặc m = 2; phương trình có 3 nghiệm khi m ¹ 0, m¹ 2.
Nếu	 phương trình có 2 nghiệm.
 Nếu	 phương trình có 1 nghiệm.
2.3.3. Bài toán 3
Giải và biện luận phương trình 
(x2 - a)2 - 6x2 + 4x + 2a = 0 (1)
Ta triển khai như sau: x4 - 2ax2 + a2 - 6x2 + 4x + 2a = 0 đây không phải là phương trình trùng phương, mà phương trình bậc 4 quả là cách giải hết sức khó khăn. Tương tự bài toán trên ta quan niệm ẩn của phương trình là a và x là tham số tham gia và phương trình như vậy ta viết phương trình (1) dưới dạng sau: a2 - 2(x2 - 1)a + x4 - 6x2 + 4x = 0 (2)
D = (2x - 1)2 Û a1,2 = x2 - 1 ± (2x - 1) và đưa đến giải hai phương trình bậc hai: x2 + 2x - a - 2 = 0 (3) và x2 - 2x - a = 0 (4)
Điều kiện để (3) có nghiệm là 3 + a ³ 0 Û 
Điều kiện để (4) có nghiệm là 1 + a ³ 0 Û 
Kết quả: Nếu a < - 3 (1) Vô nghiệm
Nếu a = -3 	 (1) có 1 nghiệm x = - 1
Nếu -3 < a < - 1(1) có hai nghiệm 
Nếu a = - 1	 (1) có ba nghiệm 
Nếu a > - 1	 (1) có bốn nghiệm và 
2.3.4. Bài toán 4
Chứng minh rằng các đường thẳng sau luôn đi qua một điểm cố định khi a thay đổi: (a - 1)y - (a + 1)x + a + 5 = 0 (1)
Giả sử có điểm cố định M (x0,y0) thỏa mãn yêu cầu của đề tài bài toán thì đẳng thức (a - 1)y0 - (a + 1)x0 + a + 5 = 0 (2) sẽ thỏa mãn mọi giá trị của a. Nếu coi a là ẩn của phương trình đó, ta cố gắng đưa về dạng aA(x0,y0) + B(x0,y0) = 0 phương trình này muốn có vô số nghiệm khi và chỉ khi A(x0,y0) = 0; B(x0,y0) = 0. Đó chính là hệ phương trình cho phép tìm được điểm cố định, như vậy có tìm được điểm cố định hay không là ta phải nhờ vào việc hệ phương trình có nghiệm hay không.
Quả là thú vị khi tìm điểm cố định của 1 đường thẳng lại liên quan đến nghiệm của hệ phương trình. Trở lại bài toán ta biến đổi.
(2) Û ay0 - y0 - ax0 - x0 + a+ 5 = 0 Û a (y0- x0 + 1) + (5 -y0 - x0) = 0
Như vậy ta giải hệ phương trình sau:
Vậy điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M (3,2).
Với cách làm trên thì ta xây dựng được phương pháp tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua.
Cũng như việc quan niệm trên về các chữ có mặt trong phương trình ta làm bài toán sau:
2.3.5. Bài toán 5
Phân tích đa thức thành phân tử
P = 4x4 - x2y2 + 2x2y - x2 + 2xy - 2x - 1
Nếu ta để như thế này rất khó hình dung được, vì các số hạng không có như tử chung. Ta dựa vào cách “nhìn” linh hoạt xem như bậc 2 đối với biến y nên ta nghỉ ngay đến phương pháp phân tích thành nhân tử dựa vào hằng đẳng thức. Thật vậy:
P =- x2y2 + 2x2y + 2xy - (x2 + 2x + 1) + 4x4 
 = - x2y2 + 2x(x + 1)y - (x + 1)2 + 4x4
Nhận thấy khi đó ba hạng tử đầu là hằng đẳng thức, vậy ta có thể làm như sau: 
P = - [(x2y2 - 2x(x + 1)y + (x + 1)2] + 4x4 
 = - (xy - x - 1)2 + 4x4. 
Ta lại tiếp tục dùng hằng đẳng: 
P =4x4 - (xy - x - 1)2 = (2x2 - xy + x3 + 1)(2x2 + xy - x - 1)
Đến nay ta xem như phân tích đã xong, nhưng còn vấn đề hai nhân tử đó khi phân tích thì như thế nào? Song việc hai tam thức bậc hai trên có phải là bất khả quy trên trường số R hay chứa? Việc đó trong đề tài này ta chưa đề cập tới, hẹn dịp khác.
2.3.6. Bài toán 6
Chứng minh rằng hệ phương trình
không có nghiệm (k nguyên dương)
Riêng bài này ta dùng vào tính chẵn lẻ mà biện luận. 
Thực vậy ta có 199393 là một số lẻ, do vậy xy cũng lẻ, hay x và y lẻ, cho nên xk, yk là số lẻ. 
Vì vậy xk + yk là số chẵn trong khi đó 931994 là số lẻ mâu thuẫn. 
Vậy hệ phương trình đã cho không có nghiệm.
2.3.7. Bài toán 7
Chứng minh rằng các đường parabol sau luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi: y = x2 + 2(m + 1)x + m = 5
Ta biến đổi: 
x2 + 2mx + 2x + m - 5 - y = 0 Û m (2x + 1) + x2 + 2x - 5 - y = 0
Ta có hệ phương trình sau: . 
Vậy điểm cố định mà parabol đi qua là .
2.3.8. Bài toán 8
Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình, khi đó (y,x) cũng là nghiệm của hệ phương trình đó. Do vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x = y. 
Từ đó suy ra:
x3 - 5x2 + ax = 0 Û x (x2 - 5x + a) = 0 nên ta có x = 0 hoặc x2 - 5x + a = 0.
Nếu x = 0 thì x = y = 0, muốn cho hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình x2 - 5x + a = 0 (*) hoặc vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm bằng 0.
Ta có D = 25 - 4a < 0 Û phương trình (*) vô nghiệm
Với x = 0 thì a = 0 thì phương trình (*) có dạng x2 - 5x = 0 có nghiệm x = 0; x = 5. 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi .
2.3.9. Bài toán 9
 Giải phương trình với ẩn là x:
(a - x)3 + (b - x)3 = (a + b - 2x)3
Ở bài toán này, yêu cầu chúng ta phải có cách nhìn tinh tế và sâu sắc. Nếu chúng ta chỉ nghỉ rằng phải khai triển thì chắc có lẻ rất rối rắm và khó tìm lời giải. 
Song nếu ta có nhận xét như sau, ở vế phải có dạng (a + b - 2x) có liên quan gì đến vế trái hay không? 
Mà sự liên quan đó như thế nào? 
Thật vậy ta có (a - x) + (b - x) = (a + b - 2x), đây là mấu chốt của việc giải phương trình này. 
Do đó phương trình đã cho viết thành: 
(a - x)3 + (b - x)3 = [(a - x) + (b - x)]3 = (a - x)3 + (b - x)3 + 3(a - x2)(b - x) + 3 (b - x2)(a - x) hay 3(a - x)(b - x)(a + b - 2x) = 0 
Û x1 = a; x2 = b; .
2.3.10. Bài toán 10
Cho x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + y
Đây là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất có điều kiện. 
Vậy miền giá trị của S chính là những giá trị của S thỏa mãn hệ phương trình sau có nghiệm
. 
Khi đó x,y là nghiệm của phương trình .
Hay:
. Khi đó ta tìm được x và y.
2.3.11. Một số bài tập đề nghị
Bài 1: Chứng minh các đường thẳng sau đi qua một điểm cố định:
a) y = (2m - 1)x - 4m + 1993
b) y = (2m - 1)x + n - 1 với n + m = 1
Bài 2: Giải và biện luận phương trình:
c) Giải và biện luận hệ phương trình:
	Bài 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số b, c
	x6 + (c2 - b2)x2 - bc2 = 0
2.3.12. Một số nhận xét, đánh giá
Ta nhìn lại 10 bài toán trên, ta đã đưa ra được việc hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn” và qua đó rút ra một số điều quan trọng và có ý nghĩa là:
Điều thứ nhất: Trước hết khi làm một bài toán thì ta cần xem xét thật kĩ càng và tìm ra được mối liên hệ giữa các chứ có trong bài toán.
Thứ hai là: Phải chứng tỏ mình bằng những cách nhìn, góc độ nhìn khác nhau trước các bài toán.
Thứ ba là: Cần chú ý những trường hợp đặc biệt nhất và những điều mà mọi người ít quan tâm.
Qua việc nghiên cứu ở trên khi giải bài toán tìm hiểu cố định mà đồ thị hàm số đi qua cần chú ý rằng việc tìm được hay không là do ta có đưa về dạng mA (x,y)+ B(x,y) = 0 hay không? Ngoài ra nếu đưa được thì hệ phương trình sau có nghiệm hay không? 
	- Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì không tìm được điểm cố định ấy, nghĩa là đồ thị hàm số không đi qua điểm cố định nào.
- Nếu hệ phương trình vô số nghiệm: Thì chúng ta lại càng không tìm được, như vậy việc tìm được điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua phụ thuộc vào hệ phương trình có nghiệm hay không và có nghiệm như thế nào.
Ngoài ra chúng ta hiểu rằng từ cách nhìn thích hợp với góc độ thích hợp thì cho ta cách giải thích hợp, như vậy bản thân tôi nghĩ rằng “cách nhìn này” cũng có thể xem như một phương pháp, ngược lại một phương pháp giải bài toán hay là nhờ vào “cách nhìn này”. Đồng thời ở những trường hợp đặc biệt nếu chúng ta khai thác đúng hướng và nhìn ở góc nhìn hợp lý lại cũng đưa ra một phương pháp giải bài toán thú vị.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Với sáng kiến này năm học qua, với học sinh trung bình thì được tôi hướng dẫn tìm ra kết quả, với học sinh khá giỏi khi có thể tự phát hiện hướng đi đúng đắn, nhưng không dừng lại ở đó mà khuyến khích các em khai thác tìm tòi những phương pháp, những cách nhìn khác để giải các bài toán.
Thực nghiệm cho thấy trong năm học qua, chất lượng học tập về môn toán do tôi phụ trách có nhiều chuyển biến tốt đẹp, chất lượng đại trà được nâng lên rõ rệt.
	Kết quả cuối năm về môn Toán đạt được khá khả quan , cụ thể :
 	Loại Giỏi 2,5%
 	Loại Khá 9,3%
 	Loại Trung Bình 85,1%
 	Loại Yếu 3,1%
3. Kết luận, kiến nghị
Như vậy ta có thể nói rằng: Từ cách nhìn phong phú, thích hợp thì có cách giải phong phú hay nói cách khác nó cho ta một phương pháp giải một số bài toán như đã gặp, hay chúng ta đã hướng dẫn học sinh tìm tòi phương pháp giải toán thông qua “cách nhìn”.
Tóm lại ta có thể nói được rằng nếu có cái nhìn thích hợp ở mọi góc độ thì ta sẽ có phương pháp giải bài toán thích hợp và đầy đủ là một vấn đề cần quan tâm khi giảng dạy cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng và gây được hứng thú cho học sinh để các em ham học tập và được thoải mái, không gò bó khi gặp những bài toán khó.
Mặc dù rất cố gắng nhưng sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các cấp lãnh đạo và các bạn đồng nghiệp để kinh nghiệm được hoàn thiện hơn.
	Xin trân trọng cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Quan Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Văn Tuấn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa Đại số 7, Đại số 8, Đại số 9.
[2]. Sách phát triển Đại số 7, Đại số 8, Đại số 9 (Vũ Hữu Bình)
[3]. Tài liệu chuyên toán Đại số 9 (Hoàng Chúng; Thiệu Hùng; Quang Khải)
[4]. Trọng điểm Đại số 9 (Ngô Long Hậu; Trần Luận)
[5]. Toán nâng cao Đại số 9 (Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Việt Hải; Vũ Dương Thụy)
[6]. Báo toán học và tuổi trẻ.