SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

 1. MỞ ĐẦU
1.1 .Lí do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của đất nước,sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới.Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn tới chất lượng giáo dục toàn diện .Bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn thì giáo dục đại trà cũng không thể lơ là.Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm vững kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao để các em có hứng thú,say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
 Trong các nội dung ở chương trình Toán lớp 7 THCS thì "Tỉ lệ thức" là một phần rất quan trọng. Đặc thù của toán tỉ lệ thức là khá đa dạng và phong phú, Ngoài những bài toán cơ bản về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau thì có những bài toán không có một phương pháp hay một quy tắc giải nào cụ thể. Đặc biệt như là chứng minh tỉ lệ thức khó và phức tạp ở trong các đề thi học sinh giỏi, thi lớp chọn. Chính vì thế, tuy "Tỉ lệ thức" là một phần nhỏ trong hệ thống kiến thức Toán THCS nhưng trong nó chứa đựng đầy đủ các yếu tố để tạo nên sức hấp dẫn, thú vị và kích thích năng lực tư duy sáng tạo cho các bạn học sinh.
 Tôi là một giáo viên được phân công giảng dạy môn toán 7 một số năm và khi dạy đến phần giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau các em học sinh lớp 7 vẫn còn sai lầm trong lời giải kể cả những bài toán cơ bản nhất. Ngoài ra khi gặp các dạng toán hơi phức tạp một chút là các em lại sợ làm không được. 
Các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau là một dạng toán cơ bản trong chương trình môn Toán lớp 7. Các em thường gặp dạng toán này trong các bài kiểm tra khảo sát chất lượng, các kỳ thi học sinh giỏi. Trong thực tế khi giải loại toán này không những học sinh đại trà mà nhiều em học sinh khá, giỏi cũng vấp phải những sai sót. Vì vậy tôi muốn đưa ra một số kinh nghiệm giúp học trò không còn sai sót và sợ dạng toán đó nữa nên tôi đã nghiên cứu đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau” 
1. 2. Mục đích nghiên cứu
 Với mục đích giúp học sinh đại trà cũng như học sinh giỏi khắc phục các sai lầm thường gặp,biết phát triển, mở rộng bài toán đề xuất các bài toán tương tự, từ đó phát triển tư duy lô gic, tư duy sáng tạo và tính chính xác trong giải toán, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. 
	Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức giải toán về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để vận dụng giải các dạng toán khác như : Tìm các số chưa biết của một tỉ lệ thức, tìm các số hạng chưa biết khi cho một dãy tỉ số bằng nhau, chứng minh đẳng thức,tính giá trị của biểu thức. Thông qua việc giải bài tập tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các lỗi trong biên đổi tỉ lệ thức
- Các lỗi trình bày trong những bài toán về dãy tỉ số bàng nhau
- Những nhầm lẫn về tính chất trong dãy tỉ số bàng nhau
- Những thiếu sót mà học sinh thường mắc phải khi giải những bài toán dãy tỉ số bằng nhau nâng cao 
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp thu thập số liệu qua việc khảo sát học sinh
- Thu thập số liệu bằng cách tham khảo tài liệu
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp suy luận logic
- Phương pháp vấn đáp gợ mở
- Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2. 1. Cơ sở lí luận
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán 7 với thời gian không phải là ít và một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 tại trường THCS Yên Bái tôi thấy rằng:
 	Đối với các em học sinh đại trà khi làm những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau các em rất hay nhầm lẫn về cách trình bày cũng như về bản chất của các bài toán.Cụ thể như sai lầm trong việc dùng dấu “=” thì viết là dấu “”, hay trong phép biến đổi tương đương như phép bình phương...
 Đối với học sinh khá giỏi các em hay nhầm lẫn trong các phép biến đổi tương đương về tỉ lệ thức, hoặc trình bày rườm rà thiếu sót, dẫn đến lời giải của các em 
không được hoàn hảo mặc dù kiến thức không quá khó.Ví dụ như thiếu trường hợp trong phép bình phương, thiếu trường hợp trong việc xét những trường hợp đặc biệt như tử bằng “không”, hay không để ý đến điều kiện để có thể sử dụng được dãy tỉ số bằng nhau	
Bản thân rất băn khoăn và lo lắng về điều đó. Bởi lẽ các kiến thức trong tầm tay mà các em không làm được hoặc là làm không trọn vẹn. Vì vậy tôi mạnh dạn tổng hợp lại những sai lầm thường gặp mà học sinh thường mắc phải mà mình thấy được qua những năm tháng giảng dạy, để hướng dẫn học sinh có hệ thống, nhằm giúp các em học sinh có kết quả học tập tốt hơn
2. 2, Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Kháo sát thống kê ban đầu: 
* Khảo sát 28 học sinh lớp 7 trường THCS Yên Bái vào cuối tháng 9 ( Sau khi học xong phần dãy tỉ số bằng nhau) . Kết quả như sau
Điểm 0 -1,75
 Điểm 2-4,75 
Điểm 5-6,75
Điểm 7-8,75
Điểm 9-10
2
5
13
6
1
* Điều tra học sinh giỏi: Đầu tháng 10 năm 2016
 Lần 1
 Lần 2
 HS1: 4 điểm
 HS 2: 6 điểm
 HS 1: 5 điểm
 HS 2: 6 điểm
2.2.2. Nguyên nhân: 
	- Một số học sinh chủ quan vì thấy bài toán quá dễ
- Một số học sinh còn lười học, lười suy nghĩ, thiếu tính cẩn thận. 
- Thời gian trên lớp không có nhiều, học sinh đông nên giáo viên không bao quát hết tất các em để sửa lỗi cho từng em mà chỉ có thể sửa chung cả lớp, nhiều em có tư duy chậm hoặc thiếu độ tập chung chưa hiểu thấu đáo, cặn kẽ. 
- Việc học và làm bài tập ở nhà của các em hời hợt, mang tính đối phó do phụ huynh chưa thật sự sát sao đối với con em mình.
2.3. Sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Một số lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm được:
a) Tính chất tỉ lệ thức: 
	 + (=) ad = bc (b; d 0)
	+ Từ tỉ lệ thức ta suy ra 3 tỉ lệ thức sau: 
	 ; (với a; b; c; d khác o) 
b) Tính chất dãy tỷ số bằng nhau. 
	Từ ta suy ra. 
	 (b + d 0) 
	 (b – d 0) 
	Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau ta suy ra 
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
c) Tính chất cơ bản của phân số
Với a, b,n , b, n, ta luôn có
 + 
 + ( n là ƯC của a và b) 
2.3.2.Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau:
a) Sai lầm trong biến đổi tỉ lệ thức
HS đại trà thường mắc những sai lầm này
Ví dụ 1:: Tìm các số x; y biết:
* Đặt vấn đề: Một số học sinh thường làm như sau: 
Do , rồi sau đó áp dụng tính chất dayc tỉ số bằng nhau
* Lời giải đúng: 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 Vậy (x;y)=(4;6)
* Biện pháp: Giáo viên cần nhấn mạnh học sinh nắm vững câu: “ Tích trung tỉ bằng tích ngoại tỉ” hay còn gọi tắt là “ tích chéo’ để kiểm tra xem tỉ lệ thức mà mình biến đổi có đúng không. Chẳng hạn tỉ lệ thức
 có tích chéo là x.3 = y. 2
Nếu có tỉ lệ thức mới là thì tích chéo là x.2 = y.3, điều đó nghĩa là HS đã biến đổi sai và làm lại dựa vào tích chéo
b) Sai lầm trong việc nhầm lẫn giữa dấu “=” và dấu “”
Ví dụ 2: Tìm x,y biết 
 và x+y =14
* Đặt vấn đề : học sinh thường làm như sau
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
* Lời giải đúng :
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
 Vậy (x;y)=(6;8)
* Biện pháp : Giáo viên chấm chữa bài thật cẩn thận, khoanh tròn chỗ sai và trừ điểm thật nặng khi học sinh mắc lỗi này
c) Sai lầm khi nhầm tưởng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và kết luận chưa rõ ràng
Ví dụ 3: Tìm x.y biết và x.y=24
* Đặt vấn đề: Hs thường làm như sau 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
 Nhưng tính chất dãy tỉ số bằng nhau là 
 Chứ không có tính chất 
* Lời giải đúng 
Cách 1: Đặt 
Do x.y=24 nên 
+ với k=2 
+ với k=-2
 Vậy (x;y)=(4:6):(-4;-6)
Cách 2: Ta có : 
=4 
Do x,y cùng dấu nên
 ( x,y)=(4;6) ; (-4;-6)
Nếu làm theo cách này học sinh thường kết luận 
 x= ;y=
Kết luận như trên chung chung nhưng chưa rõ ràng 
d) Sai lầm trong phép biến đổi tương đương
Ví dụ 4: Tìm x,y biết 
 3x=5y và 
* Đặt vấn đề : Học sinh thường làm như sau 
 3x=5y
* Lời giải đúng 
3x=5y
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Do 3x=5yx,y cùng dấu nên
(x;y)=(5;3);(-5;-30)
Giáo viên cần lưu ý phần kết luận,tránh sai lầm giống bài toán 2 
* Biện pháp : Lưu ý học sinh: a=b chứ không có tính chất 
 a = b = hay a=a2, b = b2 
e) Sai lầm về dấu , thiếu trường hợp
Ngoài những lưu ý về dấu ở Ví dụ 3 . Trong quá trình dạy giáo viên cần đưa ra các bài toán sau
Ví dụ 5: Tìm x , y biết 
 và 
* Đặt vấn đê: Học sinh thường mắc những sai lầm sau
Do 
Nhưng chính xác phải là 
* Lời giải đúng: Ta có 
Áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau
Do trái dấu 
(x;y)=(4;-5);(-4;5)
* Lưu ý : Giáo viên lưu ý ,so sánh phần kết luận của ví dụ 3 và ví dụ 5
Ví dụ 6: Tìm x, y biết 
 =và 2x+y=14
* Đặt vấn đề : Học sinh thương mắc sai lầm như sau
Nhưng đúng ra phải là : hoặc
* Lời giải đúng : 
Từ hoặc 
+ Nếu
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
+ Nếu 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có 
Vậy (x;y)=(4;6);(28;-42)
* Biện pháp: Giáo viên cần nhấn mạnh tính chất 
f) Sai lầm khi không xét tử số bằng 0
Ví dụ 7: Tìm x,y biết 
* Đặt vấn đề : Hs thường làm như sau
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .ta có
Hs đã sai lầm ở chỗ
 Nếu 2x+3y-1= 0 thì không thể kết luận 12= 6x nên bài toán làm đến thì xét 2 trường hợp
* Lời giải đúng
Do 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .ta có
Trường hợp 1: 2x +3y-1=0
 ; 
; 
Trường hợp 2 : 2x+ 3y-1 0
 Vậy (x;y)=
Ví dụ 8: Cho dãy tỉ số 
Tính M=
* Đặt vấn đề : Hs thường có thể làm như sau:
Ta có
 a = b = c = d 
 = 
Học sinh đã không xét đến trường hợp a+b+c+d = 0
* Lời giải đúng
Ta có
(*)
+ Nếu a+b+c+d = 0 a+b = - (c+d) 
Tương tự : 
M = (-1) + (-1)+(-1) + (-1) = -4
+ Nếu a+b+c+d 0 
Từ (*) a = b = c = d 
 = 
Vậy M = 1 hoặc M = -1
* Biện pháp chung : 
+ Nhấn mạnh tính chất: Nếu a.b =a.c thì xảy ra 2 trường hợp
TH1: a =0
TH2: a0 thì b=c
Giải thích vì sao phải xét trường hợp a=0: Vì nếu a=0 thì b và c khác nhau thì đẳng thức vẫn đúng
+ Liên hệ mở rộng để củng cố kiến thức ( Dành cho học sinh giỏi) bằng những bài toán có dạng: 
Tìm x biết: a) x(x-2) = 3(x-2)
 b) (x-1)2016 = (x-1)2017
g) Sai lầm khi không để ý đến điều kiện để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
Ví dụ 9: Tính giá trị M biết 
 M = 
* Đặt vấn để : Hs thường làm như sau
 Áp dụng dãy tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
Vậy M = 
Việc thực hiện tính chất dãy tỉ số bằng nhau chỉ được thực hiện nếu a+b+c 0
Vì vậy khi giải bài toán này phải phân thành 2 trường hợp 
+ Nếu a+b+c=0a+b=- c 
 + Nếu a+b+c 0 áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta được 
Ví dụ 10: Tìm x ,biết
* Đặt vấn đề: Học sinh thường làm như sau:
 Do (1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
Từ (1) và (2) 
Học sinh sai lầm 2 vấn đề 
- Sai lầm 1
+ Không xét trường hợp 1+4y=0
- Sai lầm 2: Nếu 3x + 9 =0 thì sao? Nếu vậy biểu thức không tồn tại ,nghĩa là không thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong trường hợp này
Vậy phải làm sao cho đúng ? Nếu vẫn đi theo hướng của học sinh thì sẽ có rất nhiều trường hợp
Trường hợp 1: 3x + 9 = 0 thay x = -3 vào (1) ta được
Dẫn đến không tồn tại giá trị y nên không nhận giá trị x= -3
Trường hợp 2: 3x + 90 chia thành 2 trường hợp nhỏ
Trường hợp 2a: 1+4y=0
Trường hợp 2b: 1+4y0
Như vậy tương đối rối với học sinh lớp 7
* Lời giải đúng và ngắn gọn
Do (1)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
 (2)
 Từ (1) và (2) mà y =
Vậy x=5
2.3.3. Một số bài tập áp dụng
Bài tập 1 :Tìm x biết 
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết và x.y.z = 648
Bài tập 3: Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
.Hãy tính giá trị của biểu thức 
Bài tập 4: Cho biểu thức 
Tính giá trị của P biết rằng
Bài tập 5: Tìm x, y biết
2. 4. Hiệu quả 
 	Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 7 và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã cố gắng để làm sao cho các em thích học môn toán.Bình tĩnh hơn , tự tin hơn khi gặp phải những bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Thay vào đó các em sẽ cảm thấy may mắn vì trong đề thi có dạng toán đó . 
* Học sinh đại trà: Kết quả khảo sát 28 học sinh lớp 7 vào cuối tháng 12 năm 2016 đợt 2 như sau: 
Điểm 0 -1,75
 Điểm 2-4,75 
Điểm 5-6,75
Điểm 7-8,75
Điểm 9-10
0
2
5
14
7
 * Khảo sát học sinh giỏi: Đầu tháng 4 năm 2017( 2 HS thi HSG cấp trường)
 Lần 1
 Lần 2
 HS1: 7 điểm
HS 2: 8 điểm
 HS 1: 9 điểm
HS 2: 10 điểm
3. KẾT LUẬN 
Dạng toán “ Tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau trong chương trình toán lớp 7” là dạng toán không thể thiếu trong các kì thi học kì, kì thi học sinh giỏi . Đặc biệt hơn dạng toán này còn được sử dụng nhiều trong chương treinhf toán các lớp trên như: Tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác của tam giác, bất đẳng thức..Vì vậy, để các em có nền tảng vững chắc về sau đòi hỏi giáo viên phải tích cực phát huy hết khả năng của học sinh còn học sinh phải nỗ lực hết mình trong mỗi dạng toán ở lớp dưới
Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập,học sinh học bồi dưỡng, cũng như bản thân tự đọc tài liệu tham khảo tôi đã tập hợp thành đề tài trên. Hy vọng đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau ” sẽ nâng cao và phát huy được năng lực tư duy, sáng tạo, kĩ năng biến đổi, cũng như niềm yêu thích môn toán nói chung của học sinh . Đặc biệt, qua đề tài này học sinh được rèn luyện tính cẩn thận, tính cách suy xét vấn đề đầy đủ mọi phương diện. 
	Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau ” trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản và chuyên sâu nhằm vận dụng nó để giải các bài tập toán nâng cao về tỉ lệ thức và các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau một cách có hiệu quả. Vì vậy, để thực hiện có hiệu quả, tôi xin đưa ra một số đề xuất: 
	+Giáo viên cần dạy kĩ kiến thức cơ bản và phần mở rộng, những phần lưu ý cần khắc sâu để học sinh không bị sai sót..
	+Trong quá trình giảng dạy chú ý rèn kĩ năng phân tích đề bài xem cho điều gì và yêu cầu chứng minh hoặc tìm gì. Bài tập sau có gì khác so với bài tập trước, rèn cho các em cách nhìn và phân tích bài toán thật nhanh.
	+Sau mỗi bài tập, giáo viên nên hệ thống lại để học sinh khắc sâu và ghi nhớ.
	+Giáo viên phải luôn tự học hỏi, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn.
	+Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dung lồng ghép những bài toán thực tế để kích thích tính tò mò, muốn khám phá những điều chưa biết trong chương trình Toán 7.
Sau khi thực hiện đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 7 khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải những bài toán về tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau ” Tôi nhận thấy học sinh có hứng thú học tập hơn, kết quả học tốt hơn. Tuy nhiên còn rất nhiều dạng toán nữa mà tôi chưa đưa ra trong đề tài này được. Bởi vậy tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm vào năm học sau.
	Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của tôi không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành của Hội đồng khoa học các cấp
Tôi xin chân thành cảm ơn! 
XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN YÊN ĐỊNH
Yên Định, ngày12 tháng 6 năm 2017
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người thực hiện
Trần Thị Yên
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH 
TRƯỜNG THCS YÊN BÁI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 7 KHẮC PHỤC NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
Người thực hiện: Trần Thị Yên.
Chức vụ: Tổ trưởng tổ tự nhiên.
Đơn vị công tác: Trường THCS Yên Bái.
SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học.
YÊN ĐỊNH NĂM 2017
MỤC LỤC
Tên đề mục
Trang
MỞ ĐẦU...
1.1. Lí do chọn đề tài..
 1.2 Mục đích nghiên cứu
 1.3. Đối tượng nghiên cứu..
 1.4 Phương pháp nghiên cứu.
1
1
2
2
2
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 3
 2.1: Cơ sở lí luận .
3
 2.2: Thực trạng vấn đề 
3
 2.2.1. Kết quả khảo sát điều tra ban đầu 
3
 2.2.2. Nguyên nhân 
3
 2.3: Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 4
 2.3.1. Một số lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm .
 4
 2.3.2. Một số sai lầm thường gặp khi giải bài toán tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau 
 4
 a) Sai lầm trong biến đổi tỉ lệ thức ...........................................
4
 b) Sai lầm trong việc nhầm lẫn giữa dấu “=” và dấu “” ........
5
 c) Sai lầm khi nhầm tưởng tính chất dãy tỉ số bằng nhau .. 
6
 d) Sai lầm trong phép biến đổi tương đương ..
7
 e) Sai lầm về dấu , thiếu trường hợp
7
 f) Sai lầm khi không xét tử số bằng 0 .
9
 g) Sai lầm khi không để ý đến điều kiện để có thể áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
11
 2.3.3. Một số bài tập áp dụng ...
13
 2.4: Hiệu quả ...
13
 3. KẾT LUẬN 
14
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
SGK toán 7 tập 1 , NXB giáo dục
Toán nâng cao và phát triển tập 1,NXB giáo dục, tác giả Vũ Hữu Bình
Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7, NXB giáo dục, tác giả Vũ Dương Thụy ( Chủ biên) 
Tài liệu tham khảo trên mạng, toán tuổi thơ
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Yên
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ Tự Nhiên- Trường THCS Yên Bái
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phòng GD &ĐT
A
2008 - 2009
Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên
Phòng GD &ĐT
 C
 2009 - 2010
Giải phương trình, bất phương trình không mẫu mực bằng phương pháp bất đẳng thức
Phòng GD &ĐT
 B
 2015 - 2016