SKKN Hướng dẫn học sinh giỏi trường THCS Nam Ngạn – Thành phố Thanh Hóa giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NAM NGẠN – THÀNH PHỐ THANH HÓA GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT
 Người thực hiện: Mai Thị Tâm
 Chức vụ : Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Nam Ngạn
 SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
STT
Nội dung
Trang
1
Mở đầu 
3
2
Lí do chọn đề tài
3
3
2. Mục đích nghiên cứu 
3
4
3. Đói tượng nghiên cứu
4
5
4. Phương pháp nghiên cứu
4
6
II. Nội dung
4
7
1. Cơ sở lí luận
4
8
2. Thực trạng vấn đề
5
9
3. Các giải pháp đã sử dụng
6
10
4. Hiệu quả của sáng kiến kimh nghiệm
17
11
III. Kết luận và kiến nghị
18
12
1. Kết luận
18
13
2 Kiến nghị
18
14
Tài liệu tham khảo
19
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài 
Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường gặp những bài toán yêu cần tìm Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một đại lượng nào đó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán cực trị. Đây là bài toán khó gây cản trở tâm lí dẫn đến nhiều học sinh ngại học còn giáo viên dạy chưa tập hợp được phương pháp giải ảnh hưởng không tốt đến chất lượng giáo dục học sinh.
 Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán. Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất... trong một bài toán. Để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh. ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này.
Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện tư duy cho học sinh. 
Nhưng hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề này danh cho học sinh lớp 8 và lớp 9, đồng nghiệp, nhà trường chưa có kinh nghiệm để giải quyết, khắc phục.
Với ý nghĩa như vậy, Tôi mạnh dạn chọn sáng kiến “Hướng đẫn học sinh giỏi trường THCS Nam Ngạn – Thành phố Thanh Hóa giải các bài toán tìm GTLN – GTNN"
2. Mục đích nghiên cứu
 Mục tiêu giáo dục xã hội đang đặt ra là những học sinh cần thiết làm được các bài toán tìm GTLN và GTNN để cho học sinh có kiến thức tổng hợp và kĩ năng giải toán đó là yêu cầu cấp thiết cần phải giải quyết.
	3. Đối tượng nghiên cứu
 Dành cho học sinh lớp 8 lớp 9 và những học sinh thi vào lớp 10 trường THCS Nam Ngạn
4. Phương pháp nghiên cứu
 - Thống kê thu tập các bài tập toán cực trị thông qua các sách tham khảo và nâng cao lớp 8 và lớp 9, các đề thi học sinh giỏi lớp 8 và lớp 9 , các nguồn tài liêu trên mạng internet để tạo được các cách giải và cách suy luận bài toán trên.
 - Cùng tham khảo và bàn luận với đồng nghiệp về vấn đề giải quyết bài toán cực trị để tạo cho minh một phương pháp đầy đủ để truyền đạt cách giải bài toán trên một cách tốt nhất cho học sinh. 
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận:
Để góp phần vào sự nghiệp phát triển, công nghiệp hoá,hiện đại hoá đất nước, Đảng và nhà nước ta đã đặt ra “ Giáo dục là quốc sách hàng đầu”. Chính vì thế nghị quyết trung ương II khoá 8 đã chỉ ra: “ Phát triển giáo dục nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài. Đào tạo những con người có kiến thức văn hoá, khoa học, có kĩ năng nghề nghiệp lao động, tự chủ, sáng tạo và có kỹ luật, giàu lòng nhân ái, yêu nước, sống lành mạnh, đáp ứng những nhu cầu phát triển của đất nước và cuộc sống của cộng đồng”.
Xuất phát từ tình hình trên, song song với việc đổi mới phương pháp dạy học được đặt ra như một tất yếu trên cơ sở đã và đang thực hiện phương pháp dạy và học theo tinh thần đổi mới nhằm giúp học sinh rèn luyện kĩ năng tự học tự, nghiên cứu, tư duy và sáng tạo. Trong đó dạng toán tìm GTNNvà GTLN là vấn đề của ngành toán học nhằm giúp các em THCS có khả năng tư duy và lập luận và các em có khả năng áp dụng vào cuộc sống và có ứng dụng trong nhiều ngành khoa học khác. Nhằm đào tạo các em dần dần trở thành những con người giàu tri thức, hoàn thiện về nhân cách để đáp ứng nhu cầu nền giáo dục hiện đại cũng như đạt được mục tiêu mà Đảng và Nhà nước đặt ra.
2. Thực trạng vấn đề:
2.1. Đối với nhà trường. 
Hiện nay thực tế việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong trường phần kiến thức này có nhiều vấn đề cần quan tâm. Đó là trong sách giáo khoa toán 8; toán 9 chỉ đưa ra một phần nhỏ phương pháp giải bài toán. Vì vậy trong khi ôn tập giáo viên chưa có đủ thời gian để hệ thống phương pháp giải một cách lôgic đầy đủ và khoa học cho học sinh và tài liệu tham khảo cho học sinh về GTNN và GTLN khi viết và đưa ra các ví dụ hoặc bài toán còn liên quan đến nhiều kiến thức mà học sinh trong trường chưa tiếp cận đến vì vậy khi gặp dạng toán này học sinh trong trường thường không làm được hoặc làm được thì giải thích chưa được cặn kẽ.
- Thời lượng chương trình dành cho học dạng toán này hầu như không có mà chỉ thông qua các bài tập 
2.2. Đối với giáo viên và bản thân:
 - Giáo viên đầu tư thời gian nghiên cứu còn ít, việc dạy tự chọn phần này đôi khi bỏ qua vì cho là khó với học sinh và trong sách giáo khoa nói đến còn rất ít. Vì vậy khi ôn tập cho học sinh lớp 9 thi học sinh giỏi và thi vào phổ thông trung học giáo viên nhặt nhạnh vài bài thấy hay là dạy dẫn đến học sinh ngơ ngác chẳng hiểu gì. Trong quá trình lên lớp “GTLN và GTNN” không đơn giản chút nào . Ngoài ra phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ năng 
- Nhưng dạng toán tìm GTNN và GTLN là một trong những bài toán khó của THCS mà trong những năm gần đây được các thầy cô quan tâm đến nhiều hơn về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh và khả năng làm toán tìm GTNN và GTLN, không những thế mà đây là một dạng toán thường hay thi HSG và thi vào lớp 10
- Qua những năm tôi đã dạy học thì thấy học sinh tiếp thu bài toán tìm “GTLN và GTNN” là khó khăn và tiếp thu một cách thụ động, giáo viên chữa bài nào biết bài đó không vận dụng linh hoạt sáng tạo được dạng toán để làm bài tập tương tự. Do vậy khi gặp bài toán dạng này học sinh rất lúng túng. Sỡ dĩ như vậy là trong các đề toán ra những bài toán của “ GTLN và GTNN” trong việc giải toán đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học sự uyển chuyển trong phương pháp giải
2.3. Đối với học sinh:
- Học sinh thấy phần kiến thức này ít và khó nên không đầu tư học nhiều.
- Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đã hoc vào vận dụng vào giải bài toán GTNN và GTLN nên gặp loại bài toán này học sinh bí tắc trong cách giải
- Tài liệu tham khảo cho học còn ít và chưa đưa ra các phương pháp cụ thể để cho học sinh trung học cơ sở dễ tiếp cận.
- Cụ thể khi khảo sát dạy HS lớp 8A và 8B trường THCS Nam Ngạn năm học 2014 - 2015 sau khi học xong bài “GTLN và GTNN”.
 Số em vận dụng kiến thức đã học vào làm đúng và làm tốt đạt 25 % .
 Số em biết vận dụng vào làm bài tập đạt 55% .
 Số em chưa vận dụng kiến thức thành thạo vào làm bài tập giảm còn 20%. 
Từ thực trạng trên để học sinh hiểu và vận dụng làm tốt hơn tôi đã mạnh dạn đưa vào chủ đề tự chọn để giảng dạy: “Phần GTNN và GTLN ”
3. Các giải pháp đã sử dụng:
3.1.Giải pháp đã và đang thực hiện là
3.1.1.Giáo viên:
 - Giáo viên phải đầu tư thời gian nghiên cứu tài liệu để trang bị đầy đủ phần kiến thức này để giảng dạy cho HS.
-Tìm hiểu khả năng lĩnh hội kiến thức của HS về phần kiến thức này để có những biện pháp cụ thể .
- Hình thành cho HS kỹ năng dự đoán bài toán, phương pháp chứng minh bài toán .
- Khi giảng dạy phải rèn cho học sinh các đức tính kiên trì cần cù sáng tạo, cẩn thận điều này bắt đầu từ giáo viên từ những việc như tư duy bài toán, lập luận bài toán, trình bày lời giải.
- Đổi mới phương pháp một cách thực sự và phù hợp với đặc điểm học sinh 
- Tổ chức sinh hoạt chuyên đề này cho giáo viên trong tổ toán để trao đổi rút kinh nghiệm.
 	- Tham mưu với ban giám hiệu tăng cường mua thêm tài liệu tham khảo 
- Phòng đọc thư viện liên tục mở để GV và HS đọc tài liệu bồi bổ thêm kiến thức.
3.1.2. Học sinh:
- Nắm vững kiến thức trong sgk và vận dụng làm bài tập từ dễ đến khó.
- Mỗi học sinh nên có sổ tích lũy ghi chép từng dạng toán ôn tập .
- Học sinh nên mượn hay mua tài liệu để học thêm,ôn thêm phần kiến thức này 
3.2.Các phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là:
3.2.1. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) 0 (hoặc A(x) 0).
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2.
Giải: 
 A(x) = (x-1)2 +( x-3)2 = x2 - 2x+1+ x2 - 6x+ 9=2(x2 - 4x +5)=2(x-2) 2+2 2
Vì (x-2)2 0 với x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x+1
Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= - 5(x2+x)+1
= 
Vì với nên 
Max B(x) = 
3.2.2. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng hoặc .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số 
Giải: Từ 
Ta có A(x) = 
Vì (x+1)2 0 với x nên (x+1)2 + 2 2 với x.
Do đó: 
Vậy A(x) =
Max A(x) = khi (x+1)2 = 0 x= -1
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) = với 
Giải: Từ B(x) = 
Vì (x- 4)2 0 với nên (x- 4)2+6 6.
Nên 
Min B(x) = khi (x - 4)2 = 0 x = 4
3.2.3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức CôSi.
- Bất đẳng thức CôSi cho 2 số.
Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
- Bất đẳng thức CôSi cho n số:
Cho n số a1, a2, ....an không âm, ta có bất đẳng thức:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
+ Bài toán:
a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Giải:
a. Ta cần chứng minh rằng với x >0; y> 0 và xy=k (không đổi) thì x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ta có:
 mà xy = k (không đổi)
Nên ta có: x+y (1)
Vậy tổng P =x+y lấy giá trị nhỏ nhất x+ y =2 khi x=y
b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x+ y = k (hằng số).
Từ (x+y)2 4xy xy 
Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng khi x=y
Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài toán cực trị đại số.
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của A(x) = (x2 - 3x+1) (21+ 3x - x2)
Giải:Các biểu thức x2-3x+1và 21+3x-x2 có tổng không đổi (bằng 22) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 
x2 - 3x + 1 = 21+ 3x - x2 x2 - 3x - 10 = 0 x1= 5; x2 = -2. 
Khi đó A=11.11=121
Vậy Max A=121 x = 5 hoặc x = - 2
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của
B(x) = với x > 0
Giải: Từ B(x) = Ta có B(x) = 8x+2+. Hai số 8x và là hai số dương, có tích không đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x= 16x2 =1x= (x >0)
Vậy Min B = 
3.2.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số:
Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:
A= m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Giải: 
A = (m2 - 4mp + 4p2 ) + (p2 - 2p + 1) + 27 + 10m - 20p
 = (m - 2p)2 + (p -1)2 + 27 + 10( m -2p)
Đặt X = m- 2p. Ta có A=X2 + 10X + 27 + (p - 1)2
 = (X2 + 10X + 25) + ( p - 1)2 + 2 = (X+5)2 + (p - 1)2 + 2
Ta thấy: (X + 5)2 0 với m, p; ( p - 1)2 0 p
Do đó: A đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Vậy Min A = 2 khi m = - 3; p = 1.
Ví dụ 8 : Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất P(x, y, z) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5
Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm. 
Ta có: P(x, y, z) = (9x2 + 36xy + 36y2) + (18y2 - 24yz + 8z2) +(8x2 - 16xz + 8z2) 
+ 2x2 + 5 = 9(x+2y)2 + 2(3y - 2z)2 + 8(x - z)2 + 2x2 + 5.
Ta thấy: (x +2y)2 0 với x, y.
(3y - 2z)2 0 với y,z
(x - z)2 0 với x, z
x2 0 với x.
 Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2 đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.
Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y = 0, z = 0.
- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ ...+
Với A k12, B k22, C k32, ...... thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất khi A, B, C ..... đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó 
P(min) = k12 + k22 + k32 +...
Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=.
Trong đó x;y;z;t là các số hữu tỉ
Giải: 
Ta có : A=
Vì và nên A
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Từ (1) ta có: y=. Từ (2) ta có: 
Thay vào (3) ta được:
 x2 =400 x= 20
- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30
- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30
Ngoài ra, từ (4) ta có: t=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2004, đạt được khi 
(x;y;z;t) = (20;28;30; ); Hoặc (x;y;z;t) = (-20;-28;-30; )
3.2.5. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
a. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
Cho 2n số a1, a2...., an; b1, b2, ....bn ta luôn có: (a1b1 + a2b2+....+ anbn) (a12 + a22 + .... + an2)(b12 + b22 + ....+ bn2).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 
 b. Các ví dụ:
Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất P = x2 + y2 + z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995
Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z
Ta có: (x.1 + y.1 + z.1)2 (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)
Hay: (x + y + z)2 3(x2 + y2 + z2)
Từ đó ta có P = x2 + y2 + z2 mà x+ y + z = 1995 => Ta có:
P= x2 + y2 + z2 với x, y, z
Pmin = khi hay x = y = z
Mà x + y + z = 1995 x = y = z = = 665
Ví dụ 11: Cho x2 + y2 =52. Tìm giá trị lớn nhất của A = 
Giải: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki cho các bộ số 2, 3; x,y, ta có:
(2.x+3.y)2 (22 + 32 (x2 + y2)
(2x+3y)2 13.52262
 26
Max A = 26 
Thay vào x2 + y2 = 52 ta có x2 + 
Vậy Max A = 26 x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
3.2.6. Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó:
Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện 
Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0 
=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 4.6x.4y=96.xy
Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]296.216=20736 
Min P(x,y) = 144 khi x= 12; y = 18
Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của A(x,y,z) = xyz (x+y)(y+z)(z+x) 
biết x, y, z 0 và x+ y + z=1.
Giải: áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 3 số không âm x, y, z ta có:
1 = x+ y+ z 3	(1)
2 = (x+y) + (y+z) + (z+x) 3	(2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm)
Ta có: 2 
Max A = khi và chỉ khi x=y=z=
3.2.7. Phương pháp dùng tam thức bậc hai:
a. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.
Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x+ 
Giải: Điều kiện x 2
Đặt = y 0. Ta có y2 = 2-x
A = 2-y2 + y = 
Max A = 
b. Đổi biến để đưa về bất phương trình bậc hai đối với biến mới.
Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x2 + y2. 
Biết rằng x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1
Giải: Từ x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 0
Do đó: A2 - 4A + 30 (A-1)(A-3) 0 1A3
Min A=1 x= 0 khi đó y =1
Min A=3 x= 0 khi đó y =
c. Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của A=
Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có nghiệm a = 	(1)
Do x2 +x+1 = 
Nên (1) ax2 + ax+a=x2 -x+1
 (a-1)x2 + (a+1)x+a-1=0	(2)
Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2: Nếu a 1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là 0
=> = (a+1)2 - 4(a-1)20 
 (3a-1) (a-3) 0 
Với a = hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x=
Với a = thì x = 1; với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có
Min A = khi và chỉ khi x = 1; Max A = 3 khi và chỉ khi x = -1
3.2.8. Một vài phương pháp đăc biệt :
(Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức biết quan hệ giữa các biến -
 Tìm cực trị có điều kiện)
 Ở dạng này thường dùng đó là biểu thị ẩn nọ qua ẩn kia (qua việc giải hệ phương trình bằng phương pháp thế) .Trên cơ sở điều kiện của bài để biến đổi đưa về biểu thức về dạng 1. 
	Ví dụ 3: Tìm cực trị của biểu thức
 biết rằng 
	và thảo mãn hệ phương trình : 
Theo phương trình (1) và (2), tìm được:
	khi đó thay vào (*) ta được:
 ( x, y, z có vai trò như nhau)
+ Dựa vào điều kiện: để lập luận và tìm ra yêu cầu của bài.
 suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi x = 0
	+ Sử dụng điều kiện: 
	Do đó: ( kết hợp với điều kiện) nên khi đó học sinh tìm được: suy ra C đạt giá trị lớn nhất bằng khi x = 2.
 Sau khi học xong các phương pháp toán tìm cực trị này giáo viên chốt lại cho học sinh kiến thức tổng hợp cần thiết khi gặp giải bài toán tìm cực trị của một biểu thức bằng cách tìm hiểu đề toán và lựa chọn các phương pháp trên một cách thích hợp.
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 a) Kết quả đạt được so với các năm học trước.
Năm học
Điểm
Tỉ lệ %
Ghi chú
Năm học
2014 - 2015
Từ 0 - 2,5
40
Từ 3 - 4,5
35
Từ 5 - 7,5
20
Từ 8 – 10
5
 Năm học
2015 - 2016
Từ 0 - 2,5
12
Từ 3 - 4,5
20
Từ 5 - 7,5
43
Từ 8 - 10
25
b. Hiệu quả sau khi học sinh đã học.
Trong các năm học trước tôi chưa áp dụng phương pháp dạy học theo đề tài này thì kết quả chất lượng mũi nhọn ở trường THCS chúng tôi rất thấp. Sau khi áp dụng phương pháp giảng dạy giải bài toán theo đề tài đã nêu trong năm học 2014- 2015 và đặc biệt là từ đầu năm học 2015 - 2016 này thì chất lượng học sinh ở trường THCS chúng tôi nâng lên rõ rệt vì lí do sau: 
Mức độ yêu thích môn toán nói chung nâng lên, các em không còn thấy ngại dạng toán tìm GTLN và GTNN của môn đại số nữa mà trở nên hứng thú học và tìm hiểu nhiều hơn.
Đa số các em nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN, biết sủ dụng các pháp này vào giải từng bài toán cụ thể .
Học sinh đã từng bước khai thác các bài toán khó dựa vào kiến thức đã học để mở rộng kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán tìm GTLN và GTNN .
III . KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Phương pháp tìm cực trị trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau.Nghiên cứu đề tài “ứng dụng GTLN và GTNN trong việc giải toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn.
2. Kiến nghị:
 Trong khi thực hiện đề tài này tôi có gặp một số khó khăn vì vậy tôi có một số kiến nghị sau:
- Cần phối hợp giữa GVBM , GVCN, nhà trường ,hội cha mẹ học sinh để kịp thời nắm bắt tình hình học tập của học sinh.
-Không chỉ bộ môn toán mà các môn học khác các giáo viên nên chú trọng sâu hơn vấn đề nội dung ,phương pháp và hình thức phụ đạo cho học sinh khơi gợi cho học sinh sự hứng thú học tập.
- Đề nghị Phòng giáo dục và Đào tạo m