SKKN Giúp học sinh tiếp cận và vận dụng phương pháp quy nạp tốt hơn

MỤC LỤC
 Trang
1. Phần mở đầu.............................................................................. 2
1.1 Lý do chọn đề tài............. 2
1.2. Mục đích nghiên cứu............................................................. 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu........................................................... 3
1.4.Phương pháp nghiên cứu....................................................... 4
2. Nội dung.................................................................................... 4
2.1. Cơ sở lí luận của skkn............................................................ 4
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 6
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...................... 8
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.. 17
3. Kết luận, kiến nghị. .................................................................. 18
3.1. Kết luận................................................................................ .. 18
3.2 Kiến nghị............................................................................. 19
 Phụ lục  20
 Đề số 1. 20
 Đề số 2.. 22
 Tài liệu tham khảo .. 25
I- PHẦN MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài :
 	Phương pháp qui nạp toán học là một phương pháp đặc biệt, rất hiệu lực và là công cụ hữu hiệu để chứng minh các mệnh đề có liên quan đến một số tự nhiên *. Sự phát huy hiệu lực của nó thể hiện rõ nét ở các bài toán liên quan đến dãy số (hay nói chung là các bài toán liên quan đến một số tự nhiên). Đặc biệt trong chương trình toán lớp 11, phương pháp qui nạp toán học được áp dụng để chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức; tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng, cấp số nhân; ứng dụng trong hình học; đối với nhiều bài toán chia hết phương pháp qui nạp cũng cho ta cách giải hữu hiệu. 
 	 Tuy nhiên, thực tế trong quá trình giảng dạy toán 11 đặc biệt là bài “Phương pháp qui nạp toán học” tôi thấy trong quá trình vận dụng học sinh thực sự lúng túng và mơ hồ và có thể còn mắc sai lầm khi thực hiện các bước chứng minh bằng phương pháp qui nạp thậm chí còn không kiểm tra bước 1. 
Với bài toán chứng minh đẳng thức học sinh không biết phân biệt đâu là giả thiết qui nạp, đâu là kết luận và trong quá trình chứng minh thì hầu như các em không biết bắt đầu từ đâu, làm thế nào để vận dụng được giả thiết qui nạp. Còn ở bài toán chứng minh bất đẳng thức và chứng minh chia hết càng gặp nhiều khó khăn hơn, khi đã viết được giả thiết qui nạp học sinh không biết làm cách nào để thấy được mối liên quan với kết luận. Trong chương trình toán lớp 11 còn có một dạng toán đó là tìm số hạng tổng quát của dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân bắt buộc học sinh phải dự đoán công thức tổng quát rồi chứng minh bằng phương pháp qui nạp, đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải nắm vững phương pháp qui nạp toán học và được rèn kĩ năng chứng minh nhiều hơn mới có thể giải được bài toán này một cách thành thạo. 
 	Ngoài ra có vô số các ví dụ trong các môn học ở chương trình phổ thông dùng phương pháp qui nạp để diễn giải và mô tả. Nhưng để hiểu thấu đáo về kĩ thuật áp dụng trong học tập, sáng tạo còn gặp nhiều khó khăn.
Hơn nữa, trong chương trình cũng như sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 học sinh mới chỉ được tiếp cận và hiểu biết phương pháp qui nạp ở mức độ nhất định; chưa hiểu sâu về nguyên lí qui nạp; chưa được rèn luyện nhiều về kĩ năng giải toán bằng phương pháp qui nạp. Chính vì vậy tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm về “phương pháp qui nạp toán học” với mong muốn giúp học sinh hiểu sâu hơn vể phương pháp này và được rèn kĩ năng nhiều hơn, vận dụng vào giải toán thành thạo hơn, đó là lí do tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Giúp học sinh tiếp cận và vận dụng phương pháp quy nạp tốt hơn”
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết, tiếp cận và vận dụng phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức và giải toán chia hết
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập về chứng minh mệnh đề phụ thuộc biến. 
- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán THPT, đặc biệt phần Phương pháp quy nạp toán học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu các dạng toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, và giải các bài toán chia hết bằng phương pháp quy nạp toán học.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 11 để nắm được khả năng tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập phần phương pháp quy nạp toán học. 
- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét lại những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực tiễn .
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử lí số liệu thu thập được.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1 Cơ sở lí luận:
 2.1.1 Khái quát chung về tập hợp số tự nhiên N 
Các số 0, 1, 2, 3,... là các số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên kí hiệu là N
Các số 0, 1, 2, 3, ...là các phần tử của tập hợp
Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là N*
*
Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia.
Mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất. 
Hai số tự nhiên liên tiếp thì hơn kém nhau một đơn vị
Số 0 là số tự nhiên nhỏ nhất. không có số tự nhiên lớn nhất
Số 1 là số tự nhiên khác không nhỏ nhất
Tập hợp các số tự nhiên có vô số phần tử
 2.1.2 Nguyên lí qui nạp
 Định lí 2.1
 Cho là một số nguyên dương và P(n) là mệnh đề có nghĩa với một số tự nhiên . Nếu
 	a) P() là đúng
b) Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng với mỗi số tự nhiên , khi đó mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên 
 2.1.3 Giai đoạn qui nạp và giả thiết qui nạp
 Để hiểu cách áp dụng phương pháp qui nạp cho đầy đủ, ta xem xét một số ví dụ sau đây như một phép « suy luận có lí » mà G. Polya đã đề cập.
 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với * ta có
 (2.1)
Giải : 
Bước 1 : Với n =1, vế trái bằng 1.2 = 2, vế phải bằng . Hệ thức (2.1) đúng.
Bước 2 : Đặt vế trái bằng . 
Giả sử hệ thức (2.1) đúng với , tức là :
 (giả thiết qui nạp).
Ta phải chứng minh rằng (2.1) cũng đúng với , tức là :
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có
Vậy hệ thức (2.1) đúng với mọi *
 Ví dụ 2: Chứng minh với mọi , ta có bất đẳng thức:
 (2.2)
Giải : 
Bước 1 :Với n = 2 vế trái bằng 9, vế phải bằng 7. Bất đẳng thức (2.2) đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là 
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với , tức là
Thật vậy, nhân hai vế của bất đẳng thức với 3 ta có
 (vì ) 
Vậy bất đẳng thức (2.2) với mọi số tự nhiên 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi* ta có 
 chia hết cho 3 (2.3) 
Giải : 
Đặt 
Bước 1 :Với n = 1, ta có .
Bước 2 : Giả sử với ta đã có 
Ta phải chứng minh 
Thật vậy, ta có
Theo giả thiết qui nạp thì , do đó 
Vậy chia hết cho 3 với mọi *
Ví dụ 4: Cho trước một số tự nhiên n. Hãy tìm tổng các số tự nhiên 1, 2, ..., n
 Giải: 
 Kí hiệu là tổng phải tìm, nghĩa là (2.4)
 Ta hi vọng tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên, công thức đó giúp ta tính nhanh, gọn hơn là phải thực hiện lần lượt các phép cộng trong tổng. Ta minh hoạ quá trình áp dụng nguyên lí qui nạp vào tính tổng này.
 Ta tính tổng từ đẳng thức (2.4) với một vài số tự nhiên liên tiếp, chẳng hạn bắt đầu bằng 1. Những kết quả tính toán các trường hợp riêng được xếp vào bảng 
n
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
 Mục đích của ta là tìm được qui luật chung, với bảng trên ta dễ thấy qui luật : Tích của hai số tự nhiên ở hàng trên bằng hai lần số đầu tiên tương ứng ở hàng dưới. Thật vậy, 1.2=2.1 ; 2.3=2.3 ; 3.4=2.6 ;4.5=2.10 ; 5.6=2.15. Như vậy giai đoạn qui nạp 
của chúng ta đã thành công với các trường hợp n= 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Tiếp tục một cách tự nhiên là mở rộng qui luật trên cho bảng số với các số tự nhiên bất kì. Ta đưa giả thiết thích hợp với qui luật vừa tìm được. 
 Đặt (2.4) 
 Một giả thiết ta đã làm như vậy gọi là giả thiết qui nạp. Nhưng câu hỏi đặt ra là đẳng thức (2.4) có đúng với mọi n = 1, 2,... hay không ? Rõ ràng nếu (2.4) đúng với mọi số tự nhiên thì bằng cách thay n bằng n+1 ta sẽ có đẳng thức
 (2.4)
 Trái lại, giả thiết (2.4) là đúng với mọi n = 1, 2 ..., nếu
1) nó đúng với n= 1 và 
2) nó đúng với mỗi số k suy ra cũng đúng với cả k+1.
Điều này không có cách nào khác là phải áp dụng nguyên lí qui nạp toán học, nghĩa là ta phải kiểm tra những điều kiện a) và b) của định lí 2.1
 Bước cơ sở : Với n = 1, công thức (2.4) đúng
 Bước qui nạp: Bây giờ chúng ta chứng minh công thức (2.4)đúng cho cả điều kiện b). 
Với mục đích đó ta giả thiết công thức (2.4) đúng với nào đó và sẽ chứng minh nó cũng đúng với , ta biến đổi
 kết quả là (2.4) đúng với .Theo nguyên lí qui nạp toán học công thức (2.4) đúng với mọi n = 1, 2, ...
 Tóm lại qua ví dụ đơn giản trên ta thấy các bước quá trình tìm tòi và chứng minh nguyên lí qui nạp toán học.
 Ví dụ 5 : Tính tổng của n số lẻ tự nhiên đầu tiên.
 Giải :
 Kí hiệu tổng phải tìm là với 
 Để xây dựng giả thiết qui nạp ta tính tổng của một số giá trị được liệt kê trong bảng sau
n
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
 Bây giờ phụ thuộc vào sự quan sát của ta và kinh nghiệm trên kết quả riêng để dự đoán mệnh đề tổng quát chung. Dễ thấy các số ở hàng đều là số chính phương : 
Như vậy ta có thể đưa ra giả thiết chung là : (2.5)
 Bước cơ sở : Với n = 1, tổng chỉ có một số hạng =1 ; biểu thức với n = 1, như vậy (2.5) đúng.
 Bước qui nạp : Giả sử (2.5) đúng với n = k, tức là. Ta sẽ chứng minh (2.4) đúng với n = k+1, nghĩa là 
Thật vậy, theo giả thiết qui nạp ta có 
Như vậy bài toán đã giải xong.
 2.1.4 Phương pháp qui nạp toán học trên N*
 Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên *là đúng với 
mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :
Bước 1 : Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1
Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiết qui nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với 
Khẳng định mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên *
*) Chú ý : 
 Trong trường hợp phải chứng minh một mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên (p là số tự nhiên) thì :
Ở bước 1, ta kiểm tra mệnh đề đúng với 
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì
và chứng minh rằng nó cũng đúng với 
 2.2. Thực trạng của vấn đề
 2.2.1 Không thực hiện đầy đủ hai bước qui nạp
 Trong quá trình vận dụng qui nạp đôi khi học sinh chưa hiểu kĩ về nguyên lí qui nạp, hoặc có thể cho là bước 1 đơn giản nên có thể bỏ qua, dẫn đến kết luận sai lầm. Đối với học sinh phương pháp qui nạp là mới và khó khi vận dụng vào giải nhiều loại toán, tuy nhiên trong chương trình của cấp học tôi chỉ đưa ra một số ví dụ cho thấy rõ những sai lầm mắc phải như đã trình bày ở trên. 
 Ví dụ 1: Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau
 Lời giải:
 Giả thiết rằng mệnh đề khẳng định đúng với số tự nhiên n = k nào đó, nghĩa là 
 (2.1)
 Chúng ta sẽ chứng minh đẳng thức sau đúng
 (2.2)
Thật vậy, theo giả thiết qui nạp (2.1) cộng hai vế đẳng thức với 1, ta nhận được
 Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó đúng với n = k+1, do đó mệnh đề bài toán đúng với mọi n, nghĩa là mọi số tự nhiên đều bằng nhau, điều này vô lí. Vậy cách chứng minh sai ở đâu ?. Dễ dàng thấy ngay trong chứng minh áp dụng nguyên lí qui nạp toán học nhưng bỏ qua bước 1 kiểm tra n =1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng
 (2.3)
Lời giải. Giả thiết bất đẳng thức (1.8) đúng với n = k, với k là một số tự nhiên nào đó, nghĩa là ta có:
 (2.4)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1.8) đúng với 
 (2.5)
 Thật vậy, ta có: với mọi * (*)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.4) và (*) ta nhận được
Bài toán đã giải xong. 
 Tuy nhiên ví dụ này cũng mắc sai lầm như ví dụ trước không qua bước cơ sở.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng những giá trị của hàm số với n = 0,1,2, ... là những số nguyên tố.
 Lời giải. Ta tính
 Ta có thể tính toán tiếp tục giá trị của f(n) cho tới n = 40, tất cả giá trị này đều là số nguyên tố. Nhưng với n = 41 ta có kết quả không phải là số nguyên tố, nên kết luận của bài toán là không đúng. Như vậy ta thấy một mệnh đề có thể đúng với 40 trường hợp nói riêng nhưng không đúng với mọi trường hợp nói chung.
 Còn rất nhiều khẳng định sai nếu vận dụng qui nạp theo cách như các ví dụ trên.
2.2. 2 Chưa biết vận dụng giả thiết qui nạp
 - Một thực trạng nữa cho thấy học sinh rất lúng túng trong việc vận dụng giả thiết qui nạp 
Ví dụ 4 : 
Chứng minh rằng với * ta có đẳng thức :
 (2.6)
Lời giải: Ở bước 2, giả sử đẳng thức đúng với , học sinh biết viết giả thiết qui nạp , nhưng khi viết đẳng thức kết luận ở vế trái học sinh chỉ viết , nên khi chứng minh gặp khó khăn, không thấy được sự hơn kém giữa vế trái của đẳng thức giả thiết và vế trái của đẳng thức kết luận vì học sinh viết thiếu số hạng thứ k là 
 2.2.3 Chưa biết phân tích kết luận để sử dụng giả thiết qui nạp 
 Ngoài ra khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp qui nạp học sinh cũng gặp nhiều khó khăn khi tìm ra mối liên quan giữa hai bất đẳng thức giả thiết và kết luận
 Ví dụ 5 : Chứng minh với mọi số tự nhiên , ta có bất đẳng thức :
Lời giải: Ở bước 2 ta có bất đẳng thức giả thiết còn bất đẳng thức 
kết luận là học sinh không biết tìm ra mối liên quan giữa giả thiết và kết luận
- Việc vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết đối với học sinh cũng là một lĩnh vực mới còn bỡ ngỡ rất nhiều
 Ví dụ 6 : Chứng minh rằng với * ta có 
 Học sinh thực hiện đầy đủ cả hai bước nhưng ở bước 2 học sinh rất lúng túng khi phân tích biểu thức của kết luận làm xuất hiện biểu thức để áp dụng tính chất chia hết của một tổng.
2.3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
 2.3.1 Vận dụng qui nạp chứng minh đẳng thức 
*) Chú ý: 
 - Nắm chắc và thực hiện bắt buộc trình tự hai bước của phương pháp qui nạp
 - Ở bước 2 phải đặt ra được bài toán, trong đó : 
Giả thiết (qui nạp) là mệnh đề đúng và kết luận là mệnh đề đúng  ;  cần làm rõ được sự hơn kém giữa vế trái của đẳng thức giả thiết và vế trái của đẳng thức kết luận 
 - Hoàn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối cùng.
Bài toán 1 : Chứng minh rằng với *ta có 
 (1)
Lời giải :
Bước 1 : Với n = 1, ta có VT = 2, VP = 2. Vậy đẳng thức đúng với n = 1
Bước 2 : Đặt vế trái bằng 
Giả sử đẳng thức (1) đúng với , nghĩa là :
 (giả thiết qui nạp)
Ta phải chứng minh (1) cũng đúng với , nghĩa là 
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có :
	 (đpcm).
Bài toán 2 : Chứng minh rằng với * ta có
 (2)
Lời giải : 
Bước 1 : Ta có . Vậy đẳng thức đúng với n = 1
Bước 2 : Giả sử đẳng thức (2) đúng với , tức là ta có: 
Ta chứng minh đẳng thức (2) đúng với , nghĩa là
. 
Thật vậy, 
Vậy đẳng thức (2) đúng với mọi * 
Bài toán 3 : Chứng minh rằng với * ta có
 (3)
Lời giải : Đặt vế trái bằng 
Bước 1 : Khi n = 1, VT = VP = 1, hệ thức (3) đúng khi n = 1
Bước 2 : Giả sử hệ thức (3) đúng với , tức là
Ta phải chứng minh
Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có
Vậy hệ thức (3) đã được chứng minh.
2.3.2 Vận dụng qui nạp chứng minh bất đẳng thức 
 *) Chú ý: 
 - Nắm chắc và thực hiện bắt buộc trình tự hai bước của phương pháp qui nạp
 - Ở bước 2 phải đặt ra được bài toán, trong đó : 
Giả thiết (qui nạp) là mệnh đề đúng và kết luận là mệnh đề đúng  ;  cần vận dụng tốt tính chất của bất đẳng thức.
 - Hoàn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối cùng.
Bài toán 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có 
 (4)
Lời giải : 
 Bước 1 :Với n = 3, vế trái bằng 27, vế phải bằng 26. Bất đẳng thức (4) đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là 
 (4’)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với , tức là
Thật vậy, nhân hai vế của bất đẳng thức (4’) với 3 ta có
Vì nên 
Bất đẳng thức (4) đã được chứng minh
Bài toán 5 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có:
 (5)
Lời giải : 
Bước 1 :Với n = 2, vế trái bằng 9, vế phải bằng 7. Bất đẳng thức (5) đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là 
 (5’)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với , tức là
Thật vậy, 
Với , khi đó nên 
Vậy với mọi số tự nhiên ,*
Bài toán 6 : Với giá trị nào của số nguyên dương , ta có: (6)
Lời giải  
Ta thử với : (sai), : (sai), : (sai), 
 : (đúng), : (đúng),
Dự đoán: ,. Chứng minh bằng quy nạp toán học.
Bước 1 : Kiểm tra với : ( đúng)
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là (6’)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với , tức là 
Thật vậy (1)
Xét (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
Vậy: , 
Bài toán 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có :
	 (7)
Lời giải : 
Bước 1 : Kiểm tra (7)với : ( đúng)
Bước 2 : Giả sử (7) đúng với , tức là 
Cần c/m (7) đúng với , tức là c/m 
Thật vậy 
 =
	 =
Vậy đúng với mọi 
Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có: 
Bài 2: Chứng minh rằng với *ta có: Bài 3: Cho số thực. Chứng minh rằng: , * 
 2.3.3 Vận dụng qui nạp vào giải toán chia hết
 *) Chú ý: 
 - Nắm chắc và thực hiện bắt buộc trình tự hai bước của phương pháp qui nạp.
 - Ở bước 2 phải đặt ra được bài toán, trong đó : 
Giả thiết (qui nạp) là mệnh đề đúng và kết luận là mệnh đề đúng  ; cần vận dụng tốt hằng đẳng thức đáng nhớ, tính chất chia hết của một tổng.
 - Hoàn thành xong hai bước phải nêu kết luận cuối cùng.
Bài toán 8 : Chứng minh rằng với * ta có: chia hết cho 6 
Lời giải: 
Đặt 
Bước 1 :Với , ta có .
Bước 2 : Giả sử với ta đã có 
Ta phải chứng minh , tức là 
Thật vậy, ta có: 
Vì và ( vì tích hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2) 
 nên . Vậy *
Bài toán 9 : Chứng minh rằng với mọi * ta có: chia hết cho 3 
Lời giải : 
Đặt 
Bước 1 :Với n = 1, ta có (đúng).
Bước 2 : Giả sử mệnh đề với ta đã có 
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với , tức là
Thật vậy, ta có
 Vậy với mọi * 
Bài toán 10 : Chứng minh rằng với mọi * ta có : 
Lời giải : 
Đặt 
Bước 1 :Với n = 1, ta có .
Bước 2 : Giả sử với ta đã có 
Ta phải chứng minh , tức là 
Thật vậy, ta có 
Theo giả thiết qui nạp thì, do đó 
Vậy chia hết cho 9 với mọi *
Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi * ta có: chia hết cho 6 
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi * ta có: chia hết cho 7 
Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi * ta có: chia hết cho 133 
 2.3.4 Một vài ứng dụng khác
Bài toán 11 : Cho tổng 
a) Tính 
b) Hãy dự đoán công thức tính và chứng minh bằng phương pháp qui nạp
Lời giải : a) Ta có 
, , , 
b) Từ kết quả câu a) ta dự đoán (8)
Ta sẽ chứng minh công thức (8) bằng phương pháp qui nạp
Bước 1 : với : (đúng)
Bước 2 : Giả sử (8) đúng với , tức là 
Ta cần chứng minh (8) cũng đúng với , tức là cần chứng minh:
Thật vậy, ta có 
 Vậy , *
Bài toán 12: Xác định công thức tổng quát của dãy () sau: 
Lời giải: Ta có: , , ,...
Dự đoán: 
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học
Bước 1 : Với (đúng )
Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với 
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với , tức là cần chứng minh 
Thật vậy, ta có: 
Vậy , 
Bài toán 13: Chứng minh:với:* (9)
Lời giải: 
Bước 1 : với : (9) đúng
Bước 2 : Giả sử (9) đúng với , tức là (*) 
Ta cần chứng minh (9) đúng với , tức là 
Thật vậy, ta nhân hai vế của (*) với , ta có
 (*)
	 (**)
Nhưng với thì 
Suy ra (***)
So sánh (**) và (***) ta được điều phải chứng minh.
Bài toán 14 : Chứng minh số đường chéo của đa giác lồi n cạnh là 
 Lời giải : 
Với n = 4 số đường chéo của tứ giác là 
 Mệnh đề đúng với n = 4
Giả sử mệnh đề đúng với đa giác n = k cạnh ( k>4), nghĩa là số đường
chéo của đa giác lồi k cạnh là . Với đa giác lồi (k+1) cạnh : Nối . Theo giả thiết qui nạp đa giác có đường chéo. Số 
đường chéo của bằng số đường chéo của cộng với đường chéo và k – 1 đường chéo tạo bởi với k -2 là đỉnh từ đến .
Vậy số đường chéo của đa giác k+1 cạnh là :
Vậy mệnh đề đúng với do đó đướng với mọi .
Bài toán 15 : 
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên , ta có bất đẳng thức 
 (8)
Lời g