SKKN Áp dụng định lý Vi - Et trong việc khảo sát các bài toán biến thiên lặp mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp

MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài 
	Qua thực tế giảng dạy bộ môn Vật lý tại trường THPT Tĩnh Gia 2, tác giả nhận thấy rằng: Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi THPT Quốc gia do Bộ GD&ĐT tổ chức, thì phần lớn các em học sinh ghi nhớ một cách máy móc các công thức, rồi sau đó vận dụng vào giải các bài tập. Với cách học như vậy thì các em cũng chỉ giải được các bài tập ở mức độ nhận biết, thông hiểu và may chăng một số câu ở dạng vận dụng trong đề thi THPT Quốc Gia của Bộ. Để đạt được điểm cao thì ngoài những kĩ năng trên các em còn cần trang bị cho mình các phương pháp giải toán cơ bản, để khi đứng trước một bài toán mới, khó và lạ các em có những suy luận; những hướng đi đúng đắn trong việc tìm lời giải của bài toán. Thiết nghỉ rằng, với hàng ngàn công thức khác nhau thì việc nhớ được chúng là một vấn đề hết sức khó khăn. Trong khoảng thời gian 50 phút cho một đề thi trắc nghiệm 40 câu, liệu các em có đủ sự bình tĩnh để nhớ chính xác được một công thức hay không. Nếu thay vì việc học máy móc để nhớ một công thức bằng việc tìm ra công thức đó chỉ bằng vài phép biến đổi đơn giản, có đường lối rõ ràng thì có lẽ sẽ tốt hơn cho các em; vì công thức thức tìm ra được thì chính xác tuyệt đối, còn công thức mà các em nhớ thì chưa chắc đã chính xác.
	Mặt khác, khi các em có đường lối, phương pháp rõ ràng để giải các bài toán thì sẽ tạo động lực để các em có những tư duy sáng tạo, kích thích việc học tập của các em đạt kết quả cao. Trên tinh thần đó, tác giả lựa chọn đề tài nghiên cứu “Áp dụng định lý Vi-et trong việc khảo sát các bài toán biến thiên lặp mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp”, với mục tiêu:
	- Xây dựng được một hệ thống các bài tập tổng quát về biến thiên lặp của các đại lượng đặc trưng mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. Giải một cách chi tiết, tường minh từng câu và kèm theo những nhận xét, bình luận để giúp các em hiểu sâu thêm vấn đề. 
	 - Trang bị cho các em hệ thống kiến thức lí thuyết cơ bản và phương pháp áp dụng kiến thức toán học về định lý Vi-et trong việc khảo sát các bài toán biến thiên lặp mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp. Qua đó, các em học sinh không cần phải ghi nhớ một cách máy móc các công thức, mà có thể tự mình với bất kì thời điểm nào cũng thiết lập được các công thức một cách dễ dàng để giải các bài tập Vật lý.
II. Mục đích nghiên cứu
-Nâng cao chất lượng chất lượng giảng dạy chương “Dòng điện xoay chiều” nói chung, bài toán về “Biến thiên lặp của các đại đại lượng R, L, C và ω"nói riêng.
	- Xây dựng các bài toán lí thuyết tổng quát về biến thiên lặp của các đại lượng đặc trương mạch điện xoay chiều RLC mắ nối tiếp.
	- Cung cấp các em học sinh lớp 12 một phương pháp khảo sát mạch điện xoay chiều về bài toán biến thiên lặp, bằng cách sử dụng định lý Vi-et trong toán học để giải các bài toán Vật lý.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Định lý Vi-et.
- Các bài toán biến thiên lặp mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp.
IV. Phương pháp nghiên cứu
	- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về các bài toán biến thiên lặp mạch điện xoay RLC mắc nối tiếp.
- Phương pháp thực nghiệm: trực tiếp giảng dạy ở các lớp thực nghiệm, tổ chức cho các em thảo luận, hội thảo tìm ra các dạng bài tập vận dụng vv,
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm sư phạm: tổ chức kiểm tra, đánh giá kết quả ở các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng.
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. Cơ sở lí thuyết
1.1. Định lý Vi-et [3]
	Trong toán học, định lý Viète hay công thức Viète (có khi viết theo phiên âm tiếng Việt là Vi-ét), do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó. Với những bài toán Vật lý trong chương trình THPT thì phần lớn chỉ áp dụng hệ thức của định lý Viet đối với phương trình bậc 2 hoặc cao hơn một chút là phương trình bậc 3. Chính vì vậy, tác giả chỉ đề cập đến việc áp dụng định lý Vi-et đối với phương trình bậc 2 và bậc 3.
1.1.1. Phương trình bậc hai
a) Định lý Vi-et thuận
	Cho phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0 (1), với a≠0 và ∆=b2-4ac≥0. Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 và theo định lý Viet ta có: 
S=x1+x2=-ba P=x1x2=ca (2)
Hệ quả: Cho phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (3)
	- Nếu a+b+c=0 thì phương trình (3) có một nghiệm là x1=1 và nghiệm kia là x2=ca.
	- Nếu a-b+c=0thì phương trình (3) có một nghiệm là x1=-1 và nghiệm kia là x2=-ca.
b) Định lý Vi-et đảo
	Nếu có 2 số x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1+x2=Sx1x2=P thì chúng là nghiệm của phương trình bậc hai x2-Sx+P=0, với điều kiện ∃ 2 số x1, x2 là S2-4P≥0.
1.1.2. Phương trình bậc 3
	Nếu x1,x2,x3là nghiệm của phương trình ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0), thì công thức của đinh lý Viet là:
x1+x2+x3=-ba x1x2+x1x3+x2x3=cax1x2x3=-da (4)
Hệ quả: Chophương trình ax3+bx2+cx+d=0 (a≠0);
- Nếu a+b+c+d=0 thì phương trình bậc ba sẽ có một nghiệm x1=1.
- Nếu a-b+c-d=0 thì phương trình bậc ba sẽ có một nghiệm x1=-1.
1.2. Các bài toán cơ bản về biên thiên các đại lượng mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp
- Bài toán điện trở thuần R biến thiên:
Pmax⟺R0=ZL-ZC
- Bài toán độ tự cảm L của cuộn cảmbiến thiên:
+ Công suất P (hoặc I, UR, UC, URC, cosφ) đạt cực đại khi:
ZL0=ZC⟺ωL0=1ωC⟺L0=1ω2C
	+ULmax⟺ZL=R2+ZC2ZC⟺L=R2+ZC2ωZC
- Bài toán điện dung C của tụ biến thiên:
+ Công suất P (hoặc I, UR, UL, URL, cosφ) đạt cực đại khi:
ZC0=ZL⟺ωC0=1ωC⟺C0=1ω2L
	+ UCmax⟺ZC=R2+ZL2ZL⟺C=R2+ZL2ωZL
- Bài toán ω biên thiên: 
	+ Công suất P (hoặc I, UR, cosφ) đạt cực đại khi:
ZL=ZC⟺ω0L=1ω0C⟺ω02=1LC
+ Tìm ω để ULmax, UCmax [3]
Với bài toán ω thì điều kiện của bài toán luôn cho là CR2<2L, nên ta đặt: Zτ=LC-R22 (đọc là dét tô). 
* ULmax⟺ZC=Zτ⟺1ωLC=Zτ⟹ωL=1CZτ
* UCmax⟺ZL=Zτ⟺ωCL=Zτ⟹ωC=ZτL
	* ULmax=UCmax=U1-ωC2ωL2=U1-fC2fL2
Bình luận: 
- Với cách tiếp cận bài toán biên thiên của ω có liên quan đến UL, UC như trên thì học sinh rất dễ tiếp thu và dễ nhớ. Trước hết các em học sinh phải nhớ biểu thức của Zτ; còn tìm điều kiện để ULmax; UCmax thì nhớ “chéo cánh” (ULmax⟺ZC=Zτ; UCmax⟺ZL=Zτ).
- Biểu thức tính ULmax; UCmax cũng rất dễ nhớ; nếu đề bài không cho ωL, ωC thì ta nhớ cách rút ra công thức ωL, ωC, sau đó bằng một vài phép biến đổi ta sẽ đi đến công thức quên thuộc như trong nhiều cuốn sách tham khảo viết, đó là công thức: ULmax=UCmax=2ULR4LC-C2R2 (đây là công thức mà học sinh thường chọn cách ghi nhớ).
- Khi khảo sát các bài toán biến thiên lặp thì các bài toán cơ bản trên đây yêu cầu học sinh phải hiểu một cách sâu sắc và xem nó là những kiến thức nền tảng.
1.3. Một số điểm cần lưu ý khi áp dụng định lý Vi-et vào giải các bài tập vật lý
Khi áp dụng định lý Vi-et để khảo sát các bài toán biến thiên lặp các đại lượng đặc trưng mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp thì giáo viên cần lưu ý học sinh một số điểm sau đây:
- Quy về phương trình bậc 2 (hoặc bậc 3) và tham số thì nên để ở hệ số c của phương trình bậc 2, để cho cách biến đổi toán học là đơn giản nhất.
Ví dụ: 
Xét hàm số sau đây: y=αax2+bx+c (1)
Từ biểu thức (1) ta không nên thực hiện phép tính như sau: 
	1⟺yax2+ybx+yc-α=0 (2)
Cách biến đổi này rất phức tạp, không phù hợp với việc làm một bài tập trắc nghiệm khác quan; hệ số a của phương trình bậc 2 lúc đó là ya; hệ số b là yb; hệ số c là (yc-α). Như vậy, tham số y cần khảo sát có mặt ở tất cả các hệ số, nên việc tính toán rất phức tạp sẽ gây rối cho học sinh.
Từ biểu thức (1) ta nên thực hiện phép tính như sau:
1⟺ ax2+bx+c-αy=0 (3)
Cách biến đổi này rất đơn giản, tham số y của phương trình chỉ chứa trong hệ số c của phương trình bậc 2: hệ số a là a; hệ số b là b; và hệ số c là (c-αy).
- Khi viết biểu thức của định lý Vi-et nên viết cả biểu thức “tổng” và “tích”. Thông thường thì chỉ cần áp dụng một trong hai biểu thức, nhưng cũng có những bài toán thì cần sử dụng cả hai. Để tạo ra một phản xạ tốt cho phần lớn các em học sinh thì giáo viên nên hướng các em đến thói quen viết cả hai biểu thức.
Để cụ thể hóa những vấn đề này, sau đây tác giả xin đưa ra các bài toán tổng quát về biến thiên lặp của các đại lượng đặc trưng mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp; cùng với lời giải tường minh, chi tiết và kèm theo đó là những nhận xét, bình luận giúp thây cô và các em học sinh hiểu sâu thêm vấn đề.
1.4. Bài toán tổng quát về biến thiên lặp của điện trở thuần R 
	Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm, trong đó điện trở R thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là U. [1]
1. Tìm điều kiện để khi thay đổi điện trở R, tồn tại hai giá trị R1, R2 mạch có cùng công suất.
2. Bài toán thỏa mãn điều kiện câu 1.
a) Tìm hệ thức liên hệ thức liên hệ giữa R1, R2 và ZL, ZC.
b) Tìm R để Pmax.
c) Tính công suất của mạch theo R1, R2.
d) Khi bài toán thỏa mãn điều kiện câu a) thì độ lệch pha giữa điện áp hai đầu đoạn mạch và cường độ dòng điện trong mạch trong hai trường hợp tương ứng R1, R2 là φ1,φ2. Tìm hệ thức liên hệ giữa φ1,φ2.
Hướng dẫn giải:
1. Tìm điều kiện để khi thay đổi điện trở R, tồn tại hai giá trị R1, R2 mạch có cùng công suất
	Với bài toán R thay đổi thì:
Pmax⟺R0=ZL-ZC và Pmax=U22R0=U22ZL-ZC (1)
P=I2R=U2RR2+(ZL-ZC)2⟺PR2-U2R+ZL-ZC2P=0 (2)
Phương trình (2) là một phương trình bậc 2 ẩn R và tham số P. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt R1, R2 thì: 
∆=b2-4ac=U4-4ZL-ZC2P2>0 (3)
Từ (1) và (3) ta suy ra:
∆=U4-4ZL-ZC2P2=4ZL-ZC2Pmax2-4ZL-ZC2P2
=4ZL-ZC2(Pmax2-P2)>0⟺P<Pmax (4)
Như vậy, điều kiện bài toán cần tìm là điều kiện (4).
2. Bài toán thõa mãn điều kiện câu 1.
a) Tìm hệ thức liên hệ thức liên hệ giữa R1, R2 và ZL, ZC
	Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (2), ta có:
R1+R2=-ba=U2P R1R2=ca=ZL-ZC2PP=ZL-ZC2 (5)
Từ (5) ta suy ra: R1R2=ZL-ZC2 (6)
	Vậy, hệ thức liên hệ thức liên hệ giữa R1, R2 và ZL, ZC là biểu thức (6).
b) Tìm R để Pmax
	Với bài toán R thay đổi thì Pmax⟺R0=ZL-ZC (7)
So sánh (5) và (7), ta có: R1R2=R02 hay R0=R1R2 (8)
	Như vậy, Pmax khi R thõa mãn điều kiện (8).
c) Tính công suất của mạch theo R1, R2
Từ (5) ta suy ra: P=U2R1+R2 (9)
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa φ1,φ2
	Ta có:
tanφ1=ZL-ZCR1 và tanφ2=ZL-ZCR2
 ⟹tanφ1tanφ2=ZL-ZC2R1R2=1⟹φ1+φ1=±π2 (10)
Như vậy, hệ thức cần tìm là hệ thức (10).
1.5. Bài toán tổng quát về biến thiên lặp của độ tự cảm L
Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm, trong đó độ tự cảm L của cuộn dây thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là U. [1]
1. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì công suất P (hoặc cường độ dòng điện hiệu dụng I; điện áp hiệu dụng UR; điện áp hiệu dụng UC; URC; hệ số công suất cosφ) của mạch có giá trị bằng nhau. 
a) Tìm L để công suất P (hoặc I; UR; UC;URC;cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại.
b) Tìm L để ULmax.
2. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm UL có giá trị bằng nhau. 
a) Tìm L để điện áp hiệu dụng UL đạt giá trị cực đại.
b) Tìm L để công suất Pmax (hoặc Imax; URmax; UCmax; URCmax; cosφ(max)).
Hướng dẫn giải:
1. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì P1 = P2
a) Tìm L để công suất P (hoặc I; UR; UC; URC;cosφ)
Vì ZL=ωL nên thay vì việc khảo sát theo L, ta khảo sát theo ZL.
Công suất của mạch được xác định:
P=I2R=U2RR2+ZL-ZC2⟺ZL2-2ZCZL+ZC2+R2-U2RP=0 (1)
Phương trình (1) là một phương trình bậc 2 ẩn ZL và tham số P. Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1), ta có:
ZL1+ZL2=ba=2ZC (2)ZL1ZL2=ca=ZC2+R2-U2RP (3)
	Mặt khác, Pmax⟺ZL=ZC (4)
So sánh (4) và (2), ta có: 2ZL=ZL1+ZL2⟺L=L1+L22 (5)
Như vậy, để công suất của mạch đạt giá trị cực đại thì: L=L1+L22
b) Tìm L để ULmax
Khi L thay đổi thì: UL(max)⟺ZL=R2+ZC2ZC (6)
Từ (2) suy ra: ZC=ZL1+ZL22 thế vào phương trình (6): 
 ZL=R2+ZC2ZC=R2+(ZL1+ZL22)2ZL1+ZL22 (7)
Như vậy, từ biểu thức (7) tìm được ZL ta sẽ tìm được L để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn dây đạt giá trị cực đại.
Nhận xét: Với bài toán này giá trị của L không những phụ thuộc vào L1, L2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trương khác của mạch như R và ω.
2. Khi L = L1 hoặc L = L2 thì UL1 = UL2
a) Tìm L để ULmax
	 Khi L thay đổi thì ULmax khi: ZL=R2+ZC2ZC (8)
Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm được xác định:
UL=IZL=UZLR2+(ZL-ZC)2⟺1-U2UL2ZL2-2ZCZL+R2+ZC2=0 (9)
Phương trình (8) là một phương trình bậc 2 ẩn ZL, tham số UL. Áp dụng định lý Viet ta có:
ZL1+ZL2=-ba=2ZC1-U2UL2 ZL1ZL2=ca=R2+ZC21-U2UL2⇒ZL1ZL2ZL1+ZL2=R2+ZC22ZC (10)
	So sánh (8) và (10), ta có: ZL=2.ZL1ZL2ZL1+ZL2⟺L=2L1L2L1+L2 (11)
Bình luận: Như vậy ở bài toán này ta phải áp dụng cả biểu thức “tổng” và “tích” của định lý Viet.
b) Tìm L để công suất Pmax (hoặc Imax; URmax; UCmax; cosφ(max))
Bài toán L thay đổi thì Pmax⟺ZL=ZC (12)
Thay (12) vào (10), ta có: Z1Z2Z1+Z2=R2+ZL22ZL⟺ZL2-2ZLZ1Z2Z1+Z2+R2=0 (13)
Giải phương trình bậc hai (13) ta sẽ tìm được ZL, từ đó ta sẽ tìm được L thõa mãn điều kiện bài toán.
Nhận xét: Với bài toán này giá trị của L không những phụ thuộc vào L1, L2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trương khác của mạch như R, ω.
1.6. Bài toán tổng quát về biến thiên lặp của điện dung C
Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, trong đó điện dung C của tụ điện thay đổi được. Điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch là U. [1]
1. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì công suất P (hoặc cường độ dòng điện hiệu dụng I; điện áp hiệu dụng UR; điện áp hiệu dụng UL; URL hệ số công suất cosφ) của mạch có giá trị bằng nhau. 
a) Tìm C để công suất P (hoặc I; UR; UL; URLmax; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại.
b) Tìm C để UCmax.
2. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện UC có giá trị bằng nhau. 
a) Tìm C để điện áp hiệu dụng UC đạt giá trị cực đại.
b) Tìm C để Pmax (hoặc Imax; URmax; ULmax; cosφ(max)).
Hướng dẫn giải:
1. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì P1 = P2
a) Tìm C để Pmax
Khi C thay đổi thì: Pmax⟺ZC=ZL (1)
P=I2R=U2RR2+ZL-ZC2⟺ZC2-2ZLZC+ZL2+R2-U2RP=0 (2)
Phương trình (1) là một phương trình bậc 2 ẩn ZC và tham số P. Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1), ta có:
ZC1+ZC2=ba=2ZL (3)ZC1ZC2=ca=ZL2+R2-U2RP (4)
	So sánh (1) và (3), ta có: ZC=ZC1+ZC22⟺C=2C1C2C1+C2 (5)
Như vậy, để công suất cực đại thì C=2C1C2C1+C2
b) Tìm C để UCmax
Khi C thay đổi thì UCmax khi: ZC=R2+ZL2ZL (6)
Từ (2) ta suy ra: ZL=ZC1+ZC22 thế vào phương trình (6): 
 ZC=R2+ZL2ZL=R2+(ZC1+ZC22)2ZC1+ZC22 (7)
Như vậy, từ biểu thức (7) tìm được ZC ta sẽ tìm được C để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. 
Nhận xét: Với bài toán này giá trị của C không những phụ thuộc vào C1, C2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trương khác của mạch như R và ω.
2. Khi C = C1 hoặc C = C2 thì UC1 = UC2
a) Tìm C để UCmax
Khi C thay đổi thì UCmax khi: ZC=R2+ZL2ZL (8)
UC=IZL=UZCR2+(ZL-ZC)2⟺1-U2UC2ZC2-2ZLZC+R2+ZL2=0 (9)
Phương trình (8) là một phương trình bậc 2 ẩn ZC, tham số UC. Áp dụng định lý Viet ta có:
ZC1+ZC2=-ba=2ZL1-U2UL2 ZC1ZC2=ca=R2+ZL21-U2UL2⇒ZC1ZC2ZC1+ZC2=R2+ZL22ZL (10)
So sánh (8) và (10) ta có: ZC=2.ZC1ZC2ZC1+ZC2⟺C=C1+C22 (11)
Như vậy, điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện cực đại khi C=C1+C22.
b) Tìm C để Pmax
Khi C thay đổi thì: Pmax⟺ZC=ZLthế vào (10) ta có:
ZC1ZC2ZC1+ZC2=R2+ZC22ZC⟺ZC2-2ZCZC1ZC2ZC1+ZC2+R2=0 (12)
Giải phương trình (12) ta tìm được ZC, từ đó sẽ tìm được C để Pmax.
1.7. Bài toán tổng quát về biến thiên lặp của tần số góc ω (hoặc tần số f)
Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, cuộn dây thuần cảm. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch có giá trị hiệu dụng U không đổi và có tần số góc ω thay đổi được. 
Với điều kiện CR2<2L.
1. Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2thì công suất P (hoặc cường độ dòng điện hiệu dụng I; điện áp hiệu dụng UR; hệ số công suất cosφ) của mạch có giá trị bằng nhau. 
a) Tìm ω để công suất P (hoặc I; UR; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại.
b) Tìm ω để UCmax.
c) Tìm ωđể ULmax.
2. Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ UC có cùng giá trị. 
a) Tìm ωđể UCmax.
b) Tìm ω để ULmax.
c) Tìm ω để công suất P (hoặc I; UR; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại.
3. Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm UL có cùng giá trị. 
a) Tìm ωđể ULmax.
b) Tìm ω để UCmax.
c) Tìm ω để công suất P (hoặc I; UR; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại.
Hướng dẫn giải:
1.Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2thì P1(ω1) = P2(ω2)
a) Tìm ω để Pmax
Khi ω thay đổi thì Pmax khi ZL=ZC hay ω02=1LC (1)
Ta có: P=I2R=U2RR2+ZL-ZC2=U2RR2+ωL-1ωC2
⟺R2+ω2L2-2LC+1ω2C2-U2RP=0
⟺L2ω4+(R2-2LC+-U2RP)ω2+1C2=0 (2)
Phương trình (2) là phương trình trùng phương, nên ta có thể quy được về phương trình bậc 2 và áp dụng định lý Viet, ta có:
ω12+ω22=-ba=-(R2-2LC+-U2RP)L2 (3)ω12ω22=ca=1L2C2 (4)
So sánh (2) và (3) ta suy ra: ω02=ω1ω2 (5)
Như vậy, để Pmax thì ω02=ω1ω2 hay: ω0=ω1ω2
b) Tìm ω để UCmax
Với bài toán ω thay đổi để UCmax thì: 
 UCmax⟺ZL=Zτ=LC-R22⟺ωC2=LC-R22L2=1LC-R22L2 (6)
Từ (4) và (6), ta có: ωC2=ω1ω2-R22L2⟺ωC=ω1ω2-R22L2 (7)
Vậy, để UCmax thì ω được xác định bởi biểu thức (7).
Nhận xét: Kết quả thu được ở biểu thức (7) của ω không những phụ thuộc vào ω1, ω2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của mạch đó là R, L. Do vậy bài toán cần phải cho biết thêm giá trị cụ thể của R và L.
c) Tìm ω để ULmax
Với bài toán ω thay đổi để ULmax thì: 
 ULmax⟺ZC=Zτ=LC-R22⟺1ωLC=LC-R22⟺ωL=1LC-C2R22 (8)
Từ (3) và (7) ta suy ra: ωL=1ω1ω2-C2R22 (9)
Vậy, để ULmax thì ω được xác định bởi biểu thức (9).
Nhận xét: 
+ Kết quả thu được ở biểu thức (9) của ω không những phụ thuộc vào ω1, ω2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của mạch đó là R, C. Do vậy bài toán cần phải cho biết thêm giá trị cụ thể của R và C.
+ Qua hai biểu thức (7) và biểu thức (9), ta lại thấy được tính đối xứng của bài toán khảo sát UL và UC khi ω thay đổi. UCmax thì ω xác định bởi biểu thức (7) cần phải cho biết giá trị của R và L; còn ULmax thì ω được xác định bởi thức (9) cần phải cho biêt thêm giá trị R và C. Nghĩa là UCmax thì cần biết giá trị của L và ULmax thì cần biết giá trị của C (giống như bài toán tìm ω để UL và UC đạt cực đại: ULmax⟺ZC=Zτ; còn UCmax⟺ZL=Zτ).
2. Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2 thì UCω1=UCω2
a)Tìm ω để UCmax
UC=IZC=UωCR2+(ωL-1ωC)2=UCω2R2+ω2(ωL-1ωC)2
⟺L2ω4-2LC-R22ω2+1C21-U2UC2=0 (10)
Phương trình (10) là một phương trình trùng phương nên ta có thể quy về phương trình bậc 2. Áp dụng định lý Vi-et ta có:
ω12+ω22=-ba=2LC-R22L2 (11)ω12ω22=ca=1C21-U2UC2L2 (12)
Mặt khác, với bài toán ω thay đổi để UCmax thì:
 UCmax⟺ZL=Zτ=LC-R22⟺ωC2=LC-R22L2 (13)
So sánh (11) và (13), suy ra: ωC2=ω12+ω222⟺ωC=ω12+ω222 (14)
Vậy, UCmax thì ω được xác định bởi biểu thức (14).
b) Tìm ω để ULmax
Với bài toán ω thay đổi để ULmax thì: 
 ULmax⟺ZC=Zτ=LC-R22⟺1ωLC=LC-R22 (15)
Từ (11) và (15), ta có:
ωL2=2C2L2(ω12+ω22) hay: ωL=2C2L2(ω12+ω22)=1CL2ω12+ω22 (16)
Như vậy, ULmax thì ω được xác định bởi biểu thức (16).
Nhận xét:
+ Kết quả thu được ở biểu thức (16) của ω không những phụ thuộc vào ω1, ω2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của mạch đó là L, C. Do vậy bài toán cần phải cho biết thêm giá trị cụ thể của L và C.
+ Nếu bài toán không cho biết giá trị của L và C mà cho biết ω0 để P (hoặc I; UR; UL; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại, thì ω02=1LC. Do vậy từ (16) ta có thể viết lại: ωL=1CL2ω12+ω22=ω022ω12+ω22 . Đây là một biểu thức “quá đẹp”.
c) Tìm ω đểPmax
Tìm ω để công suất P (hoặc I; UR; UL; cosφ) của mạch đạt giá trị cực đại
Pmax khi ω02=1LC kết hợp với (11), ta có: 
ω12+ω22=2LC-R22L2=21CL-R22L2=2ω02-R22L2
⟹ω0=ω12+ω222+R22L2 (17)
Như vậy, để Pmaxthì ω được xác định bởi biểu thức (17).
Nhận xét:Kết quả thu được ở biểu thức (17) của ω không những phụ thuộc vào ω1, ω2 mà còn phụ thuộc vào các đại lượng đặc trưng của mạch đó là L, R. Do vậy bài toán cần phải cho biết thêm giá trị cụ thể của L và R.
3. Khi ω=ω1 hoặc ω=ω2 thì ULω1=ULω2
a) Tìm ωđể ULmax
UL=IZL=UZLR2+(ZL-ZC)2=UωLR2+(ωL-1ωC)2
⟺R2+ω2L2-2LC+1ω2C2-U2L2UL2ω2=0
 ⟺1-U2UL2L2ω4-2LC-R22ω2+1C2=0 (18)
Phương trình (18) là phương trình trùng phương ẩn ω tham số UL. Vì vậy, ta có thể quy được về phương trình bậc 2 và âp dụng định lý Viet ta có:
ω12+ω22=-ba=2LC-R221-U2UL2L2 (19)ω12ω22=ca=1C21-U2UL2L2 (20)
 Mặt khác, khi ω thay đổi thì:
ULmax⟺ZC=Zτ=LC-R22⟺1ωLC=LC-R22⟺ωL2=1C2LC-R22 (21)
Lấy (19) chia cho (20) ta có: ω12+ω22ω12ω22=2C2LC-R22 (22)
So sánh (21) và (22), ta có: ωL2=2ω12ω22ω12+ω22 hay ωL=2ω1ω2ω12+ω22 (23)
Như vậy, ULmax khi ω được xác đ