Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp Trung học Cơ sở

PHẦN I: MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng. Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách giải bài toán để phát huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thành phố... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, trong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến. Trong khi đó nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang.
Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi_ét để giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậc hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển. Bản thân tôi đã mạnh dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi-et trong thực hành giải toán cấp THCS” từ năm học 2014-2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục & đào tạo của thành phố công nhận đạt giải C. Trong năm học 2016-2017 tôi tiếp tục vận dụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn vị. Tuy nhiên đối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng học sinh để đạt được hiệu quả cao nhất. Đó là lý do tôi tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”.
Mục đích nghiên cứu:
Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ của giáo viên phải làm cho học sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi-ét , tìm phương pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để các em biết cách tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
Điều tra học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở rộng kiến thức về các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể tiếp thu, nâng cao kiến thức.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu học sinh đang học lớp 9 ở trường của trường tôi đang công tác. Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìm hiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét.
Phương pháp nghiên cứu:	
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu: 
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có ứng dụng hê thức Vi-ét, sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) 	.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.	
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.	
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.	
Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Phương pháp phỏng vấn, điều tra: 
Tôi hỏi điều tra học sinh trong lớp sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau:
Câu 1: Em có muốn củng cố và nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?
Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi-ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
	a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
	b/ x2 + 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 , x2 (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức theo m.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: 
	Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. 
PHẦN II: NỘI DUNG
	Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
Cơ sở lý luận và thực tiễn:
	Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực hành bảo đảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạt động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:
1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không có nhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
Thực trạng :
Thuận lợi:
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 nhiều năm, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề tài: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”.
Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Đa số học sinh đều mong muốn được củng cố và nâng cao kiến thức. 
Khó khăn:
Thời lượng phân bố tiết cho phần này còn hạn chế, cụ thể ở chương trình lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác hết các ứng dụng của hệ thức Vi-ét.
Hầu hết số học sinh của trường đều có đầu vào cấp THCS thấp so với mặt bằng chung của cả quận, bố mẹ là dân lao động thuần túy phổ thông. Do đó các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
Thực trạng của giáo viên và học sinh của trường:
Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở trường còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:
Những mặt đã đạt được:
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ kiến thức trong chương trình. Học sinh nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinh tham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụ đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ. 
Những mặt chưa đạt:
Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ; 7 ; mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9
Số học sinh tự học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu, để nâng cao kiến thức chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
	Chương II: Giải pháp sư phạm cần thực hiện để giúp học sinh ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải phương trình bậc hai:
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết ở trong chương trình cho học sinh nắm được định lý Vi-ét:
 Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 có 2 nghiệm :
 Suy ra : 
Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
 Vậy: 	 
Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải. Trong đề tài này tôi trình bày 9 nhóm ứng dụng sau:
Cụ thể như sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2) 	.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.	
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.	
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hệ thức giữa hai nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.	
Ứng dụng 8: Định lý Vi-ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn. Phân tích tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x-x1) ( x-x2)
Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 
b/ Nếu cho x = -1 thay vào (*) , ta có : a.(-1)2 +b.(-1)+c = 0 hay a - b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = 
Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0 (1)
b/ 3x2 + 8x - 11 = 0 (2)
Giải: 
 Ta thấy:
Phương trình (1) có dạng a - b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = -1 và nghiệm kia là x2 = 
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 - 37x + 2 = 0 
b/ 7x2 + 500x - 507 = 0 
c/ x2 - 49x - 50 = 0 
d/ 4321x2 + 21x - 4300 = 0 
Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ: 
 a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
 b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
 c/ Phương trình x2 – 7x + q = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 –qx +50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.
Giải: 
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
 4 – 4p + 5 = 0 
Theo hệ thức Vi-ét : x1. x2 = 5 suy ra: x2 = 
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x2 + 5x + q = 0 , ta được:
 25+ 25 + q = 0 
Theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = -50 suy ra: x2 = 
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 - x2 =11 và theo hệ thức Vi-ét: x1+ x2 = 7 ta có hệ phương trình sau: 
Suy ra: q = x1. x2 = 9.(-2)= -18 
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2 và theo hệ thức Vi-ét: x1. x2 = 50 ta có hệ phương trình sau: 
	Với thì Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15 
Với thì Suy ra: S = q = x1 + x2 = (- 5) + (-10) = -15 
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phương trình bậc hai một ẩn số - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2	
Ví dụ: 
	Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: 
 x2 – Sx + P = 0 x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
	a/ x1= 8 và x2= - 3
b/ x1= 3a và x2= a
c/ x1= 36 và x2= - 104
d/ x1= 1+ và x2= 1 - 
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ: 
	Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 
Vậy phương trình cần lập có dạng: 
 hay 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
(Đáp số: )
2/ Cho phương trình: x2 - 5x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
 và 
(Đáp số: )
3/ Cho biết phương trình x2 - px + q = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 mà x1 < x2 . Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là : và 
(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai, năm học: 200-2009)
4/ Cho phương trình: x2 - 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho: 
a/ và 
b/ và 
 (Đáp số: a/ ; b/ )
3/Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – Sx + P = 0 (đk: S2 - 4P ≥ 0)
Ví dụ: 
	Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4.
Giải: 
Vì: S = a + b = - 3 và tích P = a.b = - 4 
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
 giải phương trình trên ta được x1= 1 và x2= - 4
	Vậy	nếu a = 1 thì b = - 4
	nếu a = - 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: 
 Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
	a/ S = 3 và P = 2
	b/ S = -3 và P = 6
	c/ S = 9 và P = 20
	d/ S = 2x và P = x2 – y2
Bài tập nâng cao: 
 Tìm hai số a, b biết:
	a/ a + b = 9 và a2 + b2 = 41 
	b/ a - b = 5 và a.b = 36
	c/ a2 + b2 =61 và a.b = 30
 Hướng dẫn: 
	 a/ Theo đề bài ta dã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
 Từ 
 Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: 
 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
	 Nếu a = 5 thì b = 4
 b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = -b ta có: a + c = 5 và a.c = -36
 Suy ra: a, c là nghiệm của phương trình có dạng: 
 Do đó: Nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = -9
	 Nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
- Với a + b = -13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = - 4 thì b = - 9
- Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 4 thì b = 9
	c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
 Từ 
- Nếu a + b = -11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = - 5 thì b = - 6 hay a = - 6 thì b = - 5
- Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 5 thì b = 6 hay a = 6 thì b = 5
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai.	
	Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rồi tính giá trị của biểu thức. 
 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện: x1 + x2 và x1. x2
Ví dụ 1: 
a/ 
b/ 
c/ 
d/ 
Ví dụ 2: 
Ta biến đổi 
Bài tập áp dụng: 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
	a/ 
 ( HD )
b/
 (HD )
c/ 
 ( HD )
d/ 
 ( HD )
e/ 
f/ 
g/ 
h/ 
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ : 
Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 
b/ 
Giải: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
a/ 
b/ 
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 - 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp án: 46)
b/ 	(Đáp án: )
2/ Cho phương trình: 8x2 - 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp án: 65)
b/ 	(Đáp án: )
3/ Cho phương trình: x2 - 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp án: 138)
b/ 	(Đáp án: )
4/ Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/ 	(Đáp án: 1)
b/ 	(Đáp án: )
c/ 	(Đáp án: 3)
d/ 	(Đáp án: 1)
5/ Cho phương trình: x2 - 4x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải phương trình, hãy tính:
(HD: )
6/ Cho phương trình: x2 - 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x1, x2 (x1> x2 ). Tính giá trị biểu thức : theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
3/ Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
S = x1 + x2
P = x1 x2
r
Điều kiện chung
trái dấu
P < 0
r 0
r 0 ; P< 0
cùng dấu
P > 0
r 0
r 0 ; P > 0
cùng dương
+
+
S > 0
P > 0
r 0
r 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
-
-
S < 0
P > 0
r 0
r 0 ; P > 0 ; S < 0
Ví dụ : 
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì: 
Vậy với thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng: 
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu.
2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2 nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m - 1)x2 +2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.	
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 độc lập với tham số.
	Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và r≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1. x2 theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 : 
Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Rút m từ (1), ta có: 
Rút m từ (2), ta có: 
Từ (3) và (4), ta có: 
Ví dụ 2 : 
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m - 1)x2 – 2mx + m - 4 = 0. chứng minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 - 8 không phụ thuộc giá trị của m.
Giải: 
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
Theo hệ thức Vi-ét,Ta có: 
Thay vào biểu thức A, ta có: 
A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 = 
Vậy A = 0 với mọi và . 
Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.
Bài tập áp dụng: 
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m - 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc lập đối với m.
Hướng dẫn:
- Tính r ta được: r= (m - 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét, ta biến đổi được : độc lập đối với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m - 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 không phụ thuộc giá trị của m. 
Hướng dẫn:
- Tính r ta được: r= 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
- Vận dụng hệ thức Vi-ét ta biến đổi được : không phụ thuộc giá trị c