Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực

PHÒNG GD&ĐT HẬU LỘC 
TRƯỜNG THCS LÊ HỮU LẬP
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
Người thực hiện: Lê Thị Dung
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hữu Lập
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
HẬU LỘC NĂM 2018
1. MỞ ĐẦU	
1.1 Lý do chọn đề tài:
Trong quá trình học toán, các em học sinh có thể gặp đây đó những bài toán mà đầu đề có vẻ “lạ” , “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc. Những bài toán như vậy thường được gọi là “không mẫu mực” (non standard problems), giải các bài toán dạng này có tác dụng không nhỏ trong việc tư duy toán học và thường là sự thử thách đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên. lớp chọn ... Đương nhiên, quen thuộc hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vào trình độ, vào kinh nghiệm của việc giải toán. Có bài toán “lạ”, “không mẫu mực” đối với người này, nhưng lại là quen thuộc đối với người khác. Trong thực tế giảng dạy ở trường THCS việc làm cho học sinh nhận dạng và biết vận dụng các phương pháp vào giải các bài toán có liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán, thông qua đó rèn luyện tư duy logic khả năng sáng tạo cho học sinh. Để làm được điều đó, đòi hỏi người thầy giáo cần phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phương pháp suy nghĩ ban đầu về phương trình và phương trình không mẫu mực.
Qua đây, tôi cũng rất mong được sự đóng góp quý báu của quí bạn đọc nhằm xây dựng nên một nguồi tư liệu quý giá giúp học sinh cũng như các bạn đồng nghiệp khác có cái nhìn toàn diện hơn về mảng phương trình này. Vì vậy tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình không mẫu mực” . 
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Các bài toán về phương trình không mẫu mực có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh.
Nhằm rèn luyện cho học sinh các phương pháp phân tích một bài toán trước khi các em bắt tay và giải bài toán đó.
Cung cấp cho các em một vốn kiến thức cần thiết trong bộ môn toán.
Nhằm trang bị cho các em học sinh một kiến thức để các em ôn thi vào các kỳ thi học sinh giỏi các cấp và thi vào các trường chuyên lớp chọn, đặc biệt là các em có kiến thức vào học ở bậc THPT.
Góp phần không nhỏ trong việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh.
1.3- Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh khá, giỏi lớp 9A, 9D Trường THCS Lê Hữu Lập.
1.4- Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu để làm cơ sở lí luận. 
- Phương pháp phân tích: Thông qua dự giờ, đàm thoại với đồng nghiệp chủ nhiệm cùng khối để tìm hiểu phương pháp lựa chọn, bồi dưỡng đội ngũ cán bộ lớp với kinh nghiệm của bản thân để đưa ra phương pháp thích hợp.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài. 
- Phương pháp đối chiếu, thống kê, so sánh.
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lý luận:
Việc giải các bào toán về phương trình không mẫu mực được dựa trên hệ thống kiến thức trong cấp THCS. Như sử dụng các phép biến đổi tương đương, các hằng đẳng thức, các quy tắc về dấu. Các phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ). Phương pháp giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai một ẩn và phương trình quy về phương trình bậc hai. Các kiến thức trên dựa trên trình độ và khả năng tư duy của học sinh khá và giỏi.
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết có liên quan đến phương trình và phương trình dạng không mẫu mực: các khái niệm; phương pháp giải ...
Nghiên cứu cơ sở thực tiễn .
Đề xuất hệ thống bài tập nhằm nâng cao chất lượng dạy và học phương trình không mẫu mực.
2.2 Thực trạng:
Có thể nói Phương trình là một mảng kiến thức vô cùng quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Hơn thế nữa nó cũng góp phần không nhỏ để giải các bài toán liên quan trong các môn khoa học tự nhiên khác. Tuy vậy, hiện nay trong chương trình Toán THCS mới chỉ dừng lại ở một số phương trình cơ bản như phương trình bậc nhất, bậc hai hoặc phương trình vô tỉ nhưng ở dạng không phức tạo. 
	Bên cạnh đó, hiện nay hầu hết trong các kỳ thi tuyển sinh đặc biệt là các kỳ tuyển sinh vào trường chuyên, lớp chọn, ở mảng phương trình đều ra ở dạng khá phức tạp và không mẫu mực. Vì vậy đối với những học sinh chưa được tiếp cận với các dạng toán này đều tỏ ra lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn.
2.3	NỘI DUNG SÁNG KIẾN
PHẦN I : KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH 
Định nghĩa: Cho hai hàm số f(x) và g(x) lần lượt có tập xác định Df và Dg. Đặt D = Df Ç Dg. Mệnh đề chứa biến xÎD có dạng : 
f(x) = g(x) (1)
được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn số (hay biến số).
+ D = Df Ç Dg gọi là tập xác định (hay miền xác đinh) của phương trình (1).
+ Nếu tồn tại xoÎ D sao cho f(xo) = g(xo) thì xo gọi là một nghiệm của phương trình (1). Tập T = {xo Î D / f(xo) = g(xo) } gọi là tập nghiệm của phương trình (1).
+ Giải một phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
+ Nếu tập nghiệm là này tập rỗng, ta nói phương trình đó vô nghiệm.
Hai phương trình tương đương: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Phép biến đổi tương đương : Các phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là các phép biến đổi tương đương.
Một số phép biến đổi tương đương:
f(x) = g(x) Û f(x) + h(x) = g(x) + h(x).
f(x) = g(x) Û f(x) . h(x) = g(x) . h(x), h(x) ¹ 0.
f(x) = g(x) (với f(x) ≥0, g(x) ≥0 ) Û [f(x)]2k = [g(x)]2k với kÎ N.
f(x) = g(x) Û [f(x)]2k+1 = [g(x)]2k+1 với kÎ N.
4- Các phép biến đổi phương trình làm mở rộng thêm tập nghiệm gọi là các phép biến đổi hệ quả. Khi sử dụng các phép biến đổi hệ quả phải chú ý đặt thêm điều kiện để phép biến đổi trở thành phép biến đổi tương đương hoặc phải kiểm tra các nghiệm của phương trình hệ quả để phát hiện ra các nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu (nghiệm ngoại lai).
PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
 PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỶ
Kiến thức bổ sung: 
Định lí: Nếu số hữu tỷ x = trong đó p và q là nguyên tố cùng nhau, là nghiệm số của phương trình có hệ số nguyên : 
anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 (1)
thì p là ước số của hạng tử tự do a0 và q là ước số của an.
	từ định lí trên ta suy ra hệ quả sau :
Hệ qủa 1: Nếu phương trình (1) có tổng hệ số : an + an-1 + ... + a1 + a0 = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
Hệ qủa 2: Nếu phương trình (1) có tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = -1.
Các phương pháp giải phương trình hữu tỷ:
PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH :
 	Bằng cách biến đổi thích hợp để đưa phương trình ban đầu về phương trình dạng : f(x).g(x)......h(x) = 0 (gọi là phương trình tích). Từ đó suy ra : f(x) = 0; g(x) = 0; ...; h(x) = 0, là những phương trình quen thuộc. Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của phương trình f(x) = 0; g(x) = 0; ...; h(x) = 0 thuộc tập xác định.
1)Phương pháp : Dùng cách nhóm các số hạng, hoặc tách các số hạng (vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử) ... để đưa phương trình về dạng quen thuộc mà đã biết cách giải.
2) Áp dụng :
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :
	a> x4 + x3 -7x2 - x + 6 = 0	(1)
	b> 2x3 +7x2 - 28x + 12 = 0	(2)
Giải
Phân tích : Ta nhận thấy tổng các hệ số của phương trình (1) bằng 0, theo hệ qủa 1 thì phương trình sẽ có một nghiệm bằng 1. Do đó ta sẽ phân tích được vế trái của (1) về tích của một đa thức bậc ba với nhị thức (x-1) :
(1) Û x3(x-1) + 2x2(x-1) -5x(x-1) - 6(x-1) = 0
 Û (x-1)(x3 + 2x2 - 5x - 6) = 0
 Û 	
(a) Û x =1
Tương tự như nhận xét trên, phương trình (b) ta cũng sẽ phân tích được vế trái của (b) về tích của một đa thức bậc hai với nhị thức (x+1) :
 (b) Û (x+1)(x2 + x - 6 ) = 0 Û 	(x+1)(x+3)(x-2) = 0
 Û 	Û 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {±1; -3; 2}
b>Phân tích: Theo định lí trên, nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì p phải là ước của 12 còn q là ước của 2. Vậy p chỉ có thể lấy một trong các giá trị sau : ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12, còn q chỉ có thể lấy một trong các giá trị sau : ±1; ±2.
Bằng lược đồ Hoocne, hoặc thay trực tiếp các giá trị vào phương trình (2), ta thấy x = 2 là một nghiệm. Từ đó ta phân tích được phương trình (2) như sau:
	(2) Û (x-2)(2x2 + 11x - 6) = 0	 Û (x-2)(2x-1)(x+6)=0
	 Û Vậy phương trình có tập nghiệm : S = {2; ; -6 }
Ví dụ 2: Giải phương trình sau : (x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x-2)3	(3)
Giải
	Áp dụng hằng đẳng thức: (a+b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a+b) ta có :
Û [x2 +(-3x + 2)]3 - [(x2)3 + (-3x+2)3] = 0
 Û 3x2(-3x+2)(x2-3x+2)=0
 Û3x2(-3x+2)(x-1)(x-2) = 0	Þ x=0; 1; 2; 2/3
Ví dụ 3: Giải phương trình : (2x2 - 3x - 1)3 - (x2 - 2)3 - (x2 - 3x + 1)3 = 0	(4)
Hướng dẫn giải
Áp dụng hằng đẳng thức : (a+b)3 - (a3+b3) = 3ab(a+b)
Đưa phương trình (4) tương đương với phương trình :
[(x2-2) + (x2-3x+1)]3 - [(x2-2)3 + (x2-3x+1)3] = 0
Û 	3(x2-2)(x2-3x+1)(2x2 - 3x - 1) = 0	ĐS: 
Ví dụ 4: Giải phương trình : (x2 - 4x + 1)3 = (x2 -x -1)3 - ( 3x -2)3	(5)
Hướng dẫn giải
Áp dụng hằng đẳng thức : (a-b)3 - (a3-b3) = -3ab(a+b)
Đưa phương trình (5) tương đương với phương trình :
[(x2-x-1) - (3x-2)]3 - [(x2-x-1)3 - (3x-2)3] = 0
Û	3(x2 -x-1)(3x-2)(x2+2x-3) = 0	ĐS: 
Chú ý: Trong quá trình giải toán, đôi khi ta cũng gặp phương trình bậc bốn đưa về dạng .
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau :
	a> x4 - 4x2 + 12x - 9 = 0	(1)
	b> x4 + 12x3 + 32x2 - 8x - 4 = 0	(2)
Giải
(1) Û (x2)2 - (2x - 3)2 = 0 Û (x2 -2x+3)( x2 +2x-3) = 0
 Û ( x2 +2x-3) = 0 	( vì x2 -2x+3 = (x-1)2 + 2 > 0)
 Û (x-1)(x+3) = 0
 Û 
b> 	(2) Û	 x2(x2 +12x+36) - 4(x2 +2x+1) = 0
 	 Û x2(x+6)2 - 4(x+1)2 = 0	 Û (x2 +4x-2)(x2 +8x+2) = 0
	 Û	Û	
Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau :
 2x3 +7x2 + 7x + 2 = 0
x3 - 3x2 - 6x + 8 = 0
x3 - 3x2 + 2 = 0
x4 - 2x3 + 4x - 4 = 0	
x4 - 4x3 + 8x =5	
PHƯƠNG PHÁP 2 : PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Các bước giải :
	b1 : Đặt ẩn phụ hợp lý và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có).
	b2 : Giải phương trình đối với ẩn phụ.
	b3 : Thay nghiệm thích hợp của ẩn phụ vào cách đặt ban đầu để tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG :AX4 + BX2 + C = 0
Phương pháp : Đặt X2 = Y, Y ≥ 0.
 Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ  :
AY2 + BY + C = 0
Ví dụ: Giải các phương trình sau :
x4 - 8x2 + 15 = 0
x4 + 3x2 - 28 = 0
20x4 - x2 - 1 = 0
Hướng dẫn giải
Đặt y = x2, y≥0. phương trình đã cho tương đương với :
y2 - 8y + 15 = 0	Þ	 y = 3; y = 5.
Với y = 3 Þ x2 = 3 Û x = 
Với y = 5 Þ x2 = 5 Û x =
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {; }
 Đặt y = x2, y≥0. phương trình đã cho tương đương với :
y2 + 3y - 28 = 0
Þ	y1 = ;	y2 = < 0 (loại)
Với y = Þ x2 = Þ x = 
Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {}
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG :
ax4 + bx3 + cx2 + bx +a = 0, a ¹ 0.
Phương pháp: x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được phương trình :
Đặt t = ; |t| ≥ 2 Þ = t2 - 2
Chú ý : Nếu phương trình đưa về có dạng :
Thì ta đặt t = Þ = t2 + 2
Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x4 + 3x3 -16x2 +3x + 2 = 0 	(1)
	Giải	
	Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả 2 vế của (1) cho x2, ta đưa (1) về dạng sau :
Đặt y = ; |y| ≥ 2 Þ = y2 - 2. Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y :	2y2 + 3y - 20 = 0 Û y1 = -4 và y2 = .
Giải tiếp hai phương trình : = -4 và = , ta tìm được 4 nghiệm :
x1,2 =  ; x3 = ; x2 = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình : x4 - 7x3 + 10x2 +7x + 1 = 0 	(2)
Giải
(2)Û 
Đặt y = Þ = y2 + 2. Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y :
	y2 - 7y + 12 = 0 Û y1 = 3 và y2 = 4 
Giải tiếp 2 phương trình : = 3 và = 4 , ta tìm được 4 nghiệm :
x1,2 = ; x3,4 = 
Ví dụ 3: Giải phương trình : x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 	(3)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Phương trình trên còn gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ. Đối với dạng phương trình này thì luôn có nghiệm bằng -1 nên ta có thể phân tích phương trình đã cho về tích của nhị thức (x+1) và một đa thức bậc thấp hơn là dạng của phương trình đối xứng (bậc chẵn).
 Dễ thấy phương trình (3) có một nghiệm bằng -1 , nên ta có thể phân tích (3) về phương trình :
(3)Û (x+1)( x4 - 2x3 + 5x2 - 2x + 1) = 0 	
 Û 	
	(b) Û 
Đặt y = ; |y| ≥ 2 Þ = y2 - 2. Khi đó ta có phương trình bậc hai đối với y :
y2 - 2y + 3 = 0
Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. 
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -1.
Ví dụ 4 : Giải phương trình : 2x4 - 21x3 + 74x2 + 105x + 50 = 0 	(4)
Giải
(4)Û 
Đặt y = Þ = y2 + 10. Khi đó ta được phương trình :
2y2 - 21y + 94 = 0
Dễ thấy phương trình này vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e (e ¹ 0)
Nếu phương trình (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e, e ¹ 0 có a+b = c+d thì ta đặt:
 y = x2 + (a+b)x
Chú ý: Điểm mấu chốt ở đây là phát hiện được các hạng tử tương ứng nào là a, b, c, d.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x(x+1)(x+2)(x+3) = 24	(1)
Hướng dẫn giải
Û x(x+3)(x+1)(x+2)	=24	Û (x2 + 3x)( x2 + 3x + 2) = 24
Đặt y = x2 + 3x . đk : y ≥ -9/4. Khi đó (1) trở thành :
y(y+2) = 24 Û y2 + 2y -24 = 0 Þ y1 = -6 (loại )và y2 = 4.
Lần lượt giải các phương trình : x2 + 3x = -6 và x2 + 3x = 4 ta tìm được nghiệm của phương trình (1) là : 1 ; - 4.
Ví dụ 2 : Giải phương trình sau : (x+4)(x+5)(x+6)(x+7) = 4	(2)
Hướng dẫn giải
Û (x2 + 11x + 28)( x2 + 11x + 30)= 4
Đặt y = x2 + 11x + 28, đk : y ≥ -9/4
Khi đó ta được phương trình : 
y(y+2) = 4 Û y2 +2y - 4 = 0 Þ 
với y1 = ta được : x2 + 11x + 28 = 
Û x2 +11x + 29 - = 0 Þ 
Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau :
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 3
x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = 0
IV - PHƯƠNG TRÌNH DẠNG (x+a)4 + (x+b)4 = c (c ¹0)
Phương pháp giải : Đối với phương trình dạng này, nếu ta cứ để nguyên như vậy để khai triển thì sẽ đưa về phương trình bậc 4. Khi đó việc giải phương trình này là rất khó khăn. Bằng cách đặt y = ta sẽ đưa phương trình đã cho về phương trình dạng trùng phương : 
 Û Ay4 + By2 + C = 0, (A, B, C là hằng số).
Ví dụ 1: Giải phương trình sau : (x-6)4 + (x-8)4 = 16 	(1)
Hướng dẫn giải
	Đặt y = x - 7 ta được phương trình :
	(y +1)4 + (y - 1)4 = 16 Û y4 + 6y2 -7 = 0
 Û (y2 - 1)(y2 + 7) = 0 Û y2 - 1 = 0 Û y = ± 1
Suy ra : x = 6 ; 8 
Ví dụ 2 : Giải phương trình : (4-x)5 + (x-2)5 = 32
Hướng dẫn giải
	Đặt y = x - 3 ta được phương trình đối với ẩn y:
	(1-y)5 + (y+1)5 = 32 Û y4 + 2y2 - 3 = 0 	Û (y2 - 1)(y2 + 3) = 0 
Û y2 - 1 = 0 Þ y = ± 1
	Suy ra : x = 4 ; 2
Bài tập áp dụng : Giải các phương trình :
(x+3)4 + (x+5)4 = 16
(x-2)4 + (x-3)4 = 1
(x+1)4 + (x-3)4 = 82
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Nhận xét: Đối với lớp phương trình này không có phương pháp giải chung mà chủ yếu dựa vào tính chất đặc biệt của mỗi phương trình để có thể đặt ẩn phụ một cách thích hợp.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau :
(x+4)4 = 2(2x+13)3 + 50(2x+13)
(x2-2x+2)4 - 20x2(x2-2x+2)2 + 64x4 = 0
Giải
1) Đặt Þ x+4 = . Ta được phương trình :
 Û Û 
Û	(1)
Đặt thì :
Û t2 – 16yt – 80y2 = 0 Û (t+4y)(t-20y) = 0 Û 
+ Với t =-4y Þ 	(*)
	Dễ thấy (*) vô nghiệm.
+ Với t =20y Þ 
	Þ suy ra : 
Đặt y =(x2-2x+2)2 khi đó ta đưa phương trình về dạng :
y2 -20x2y + 64x4 = 0 Û (y-4x2)(y-16x2) = 0
Û Þ 
Û 
	Suy ra phương trình có 4 nghiệm :	
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải 
Nhận xét : 
Đặt : Khí đó ta đưa phương trình (2) tương đương với :
+ Với Þ ta có : (x2+x+1) (x2+x+2) = 6
	Đặt t = x2+x+1 ta được phương trình : t2 + t - 6 = 0 Þ t1 = 2 ; t2 = -3
Suy ra : 
+ Với Þ ta có : (x2+x+1) (x2+x+2) = 
	Đặt z = x2+x+1 ta được phương trình :	z2 + z + = 0 Þ Vô nghiệm.
	Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : 
Ví dụ 3 : Giải phương trình : (3)
Giải
Û 
ĐKXĐ: x ¹ -4; -5; -6; -7
Khi đó phương trình :
Û 
Û Û x2 + 11x -26 = 0
Suy ra : x =-13; x = 2 thoả mãn đkxđ. Vậy phương trình có 2 nghiệm : -13 và 2.
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
1> 
2> 
 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
I- Phương trình chứa căn bậc hai:
Đối với dạng phương trình này, chúng ta cần chú ý tới điều kiện của ẩn. Sử dụng các phép biến đổi sau để đưa về phương trình dạng quen thuộc:
1> Û a = b ≥ 0
2> Û (không cần đặt điều kiện cho a≥0)
 3> 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 	(1)
Giải
	(1) Û 	Û
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
	Điều kiện : 	(*)
Với điều kiện trên phương trình (2) :
	Û 
	Û 
	Û2x2 +7x = 0 Û 	(thoả mãn đk (*))
Bài tập áp dụng
	Giải các phương trình sau :
	1> 
	2> 
	3> 
II- Phương trình chứa căn bậc ba:
	Kiến thức cơ bản: 
	1> .
	2> 
	 Û 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 	(1)
Giải
	Lập phương hai về (1) ta được : 
	Û 
	Dễ dàng thấy phương trình vô nghiệm.
Ví ụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
	Lập phương hai vế (2) ta được :
Bài tập áp dụng :
Giải các phương trình sau :
1> 
2> 
3> 
4> 
PHƯƠNG PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Các bước giải :
	b1 : Đặt ẩn phụ hợp lý và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có).
	b2 : Giải phương trình đối với ẩn phụ.
	b3 : Thay nghiệm thích hợp của ẩn phụ vào cách đặt ban đầu để tìm nghiệm của phương trình ban đầu.
ĐƯA VỀ DẠNG ĐƠN GIẢN
Ví dụ 1: Giải phương trình : 	(1)
Giải
Điều kiện : x ≥ -2
Đặt : suy ra x = t2 - 2 ta được :
Û 
Û (3-t2) = (1-t)3 Û t3 - 4t2 + 3t + 2 =0	Û (t-2)(t2 - 2t -1) = 0
Û suy ra : 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
Đặt : t = x2 - 3x +2, suy ra x2 - 3x +2 - t = 0 	(*)
Ta có :D = 1 + 4t . Để (*) có nghiệm thì 1 + 4t ≥ 0 Þ t ≥ - 1/4.
Û 
Û (t-1)(8t2 + 20t - 1) = 0
Û 	suy ra : 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau :
	1> 
	2> 
	3> 
PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG 
Phương pháp giải:
Đặt điều kiện cho x.
Đặt : suy ra :
Ví dụ 1: Giải phương trình : 	(1)
Giải
Điều kiện : -3 ≤ x ≤ 6
Đặt : 
Khi đó ta đưa (1) về phương trình :
	Þ 
Với t = 3 ta được : -
	Û 
	Û 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
Điều kiện : x ≥ -1.
Đặt , t > 0
Khi đó ta đưa (2) về phương trình :
t + (t2 - 8 - 2x) = 4 -2x
Û t2 + t - 12 = 0 Û 
Với t = 3 suy ra : 
Û 
Û 4(1+x)(x+7) = (1-2x)2 Û 36x = -27 Þ x = - 3/4
Bài tập áp dụng : Giải các phương trình sau:
	1> 
	2> 
	3> 
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Các bước giải:
Tìm điều kiện tồn tại của phương trình.
Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung.
Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc.
Chú ý: Đối với phương trình có dạng ta thường đặt : . Khi đó ta được hệ phương trình :
	giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được u và v từ đó tìm được giá trị của x.
.Ví dụ1: Giải phương trình sau: (1)
Giải
	Đặt 
	Ta có : 
Khi đó (1) trở thành :
 Û 
Û suy ra : 
 bình phương hai vế cả hai phương trình ta được :
Û Û 	Û	
Û 	Suy ra x=3. 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
	Điều kiện : 	
Đặt 	Suy ra : 
	Khi đó ta được : Suy ra : v2 - u2 = u - v
Û	(u-v)(u+v+1) = 0	Û	
	Từ đó ta được : 
x = ± 2 Suy ra x= 2 (x= - 2 không thoả mãn điều kiện).
Ví dụ 3: Giải phương trình : 
Giải
	Điều kiện : 
	Đặt: , y ≥ 0 ta có hệ phương trình : 
Û	
Û	Vì x + y ¹ 0 nên ta có hệ phương trình :
	Suy ra :
Ví dụ 4: Giải phương trình : 	(4)
Giải
	Đặt :
 Suy ra: 
Ta được hêk phương trình :
	Lấy vế trừ đi vế của (a) cho (b) ta được:
Û	(*)
	Do 
Nên (*) Û x - y = 0 Û	x = y suy ra:
	Þ 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
	1> 
	2> 
	3> 
	4> 
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải: Sử dụng các phương pháp sau: 
Biến đổi phương trình về đạng f(x) = g(x) mà f(x) ≥ a; g(x) ≥ a (a là hằng số).
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời f(x) = a và g(x) = a.
Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số) mà ta luôn có h(x) ≥ m hoặc h(x) ≤ m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
Chú ý : Sử dụng các bất đẳng thức sau :
	- A2n ≥ 0; |A| ≥ 0 ...
- Áp dụng các bất đẳng thức như Côsi, Bunhiacopski...
Ví dụ 1: Giải phương trình :	(1)
Giải
(1) Û	 
Vì (x + 1)2 ≥ 0 nên và 5 - (x + 1)2 ≤ 5
Vậy phương trình (1) có nghiệm Û x + 1 = 0 Û x = -1
Ví dụ 2: Giải phương trình : 	(2)
Giải
(2) Û