Sáng kiến kinh nghiệm Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và Parabol cấp trung học cơ sở

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
MÃ SKKN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Lĩnh vực/ Môn	: TOÁN
Cấp học	: TRUNG HỌC CƠ SỞ
Người thực hiện :	Chức vụ	: Giáo viên Đơn vị	:
NĂM HỌC 2016 - 2017
MỤC LỤC
Trang
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài
1
1
1.2 Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
2
1.3 Phạm vi của đề tài
2
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
3
2.1 Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và các vấn đề liên
quan
3
2.2.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai
3
2.1.2 Hệ thức Vi-et
3
2.1.3 Một số bài toán về dấu của nghiệm phương trình bậc hai
3
2.1.4 Qui trình chung để giải bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa hai
nghiệm của phương trình bậc hai
4
2.1.5 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
4
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
4
6
3.2 Dạng 2: Số giao điểm của đường thẳng và parabol
7
3.3 Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ giao điểm; vị trí giao điểm
7
4. Bài tập vận dụng
19
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
22
TÀI LIỆU THAM KHẢO
23
ĐẶT VẤN ĐỀ
Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Đại hội đại biểu toàn quốc của Đảng lần thứ XI đã khẳng định “Đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục Việt Nam theo huớng chuẩn hoá, hiện đại hoá, xã hội hóa , dân chủ hóa và hội nhập quốc tế... giáo dục và đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng nền văn hóa và con người Việt Nam...”
Để đạt được mục tiêu đó, ngoài việc thiết kế chương trình giáo dục phổ thông, đổi mới chương trình sách giáo khoa, đổi mới phương pháp dạy học,  thì việc giúp cho người học có được cơ hội học tập hết chương trình phổ thông, định hướng nghề nghiệp là một trong những việc làm rất quan trọng. Cấp học trung học cơ sở là một trong những cấp học quan trọng trong việc giúp học sinh có cơ hội học tập tiếp theo theo hướng học trung học phổ thông hoặc học nghề.
Từ năm học 2006 – 2007 đến nay, Sở GD&ĐT Hà Nội đã lựa chọn phương án thi vào lớp 10 theo hướng kết hợp thi tuyển với xét tuyển. Đối với phương án này thì kết quả bài thi môn Toán và Văn được nhân đôi, đóng vai trò quan trọng trong việc quyết định tổng điểm của học sinh. Chính vì vậy, giáo viên luôn trăn trở việc làm thế nào để luyện cho học sinh của mình đạt điểm cao trong bài thi vào lớp
10. Với vai trò là giáo viên dạy môn Toán ôn thi cho học sinh cuối cấp, tôi nhận thấy học sinh khá bỡ ngỡ trong bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol. Bài toán này không chỉ quan trọng trong cấp học trung học cơ sở mà còn rất quan trọng khi học sinh học toán cấp trung học phổ thông. Chính vì những lí do đó, tôi viết sáng kiến, kinh nghiệm “Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở”.
Nhiệm vụ và mục đích của đề tài
Trước khi thực hiện đề tài, học sinh gặp nhiều khó găp ở những câu hỏi từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao.
Cụ thể, số liệu khảo sát trước khi thực hiện đề tài cho 45 học sinh lớp 9G, năm học 2015-2016.
Nhận biết
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tỉ lệ làm đúng
70%
65%
60%
35%
Đề tài “Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cấp trung học cơ sở” với nhiệm vụ giúp học sinh nắm vững kiến thức, phát triển tư duy, kỹ năng giải quyết các dạng toán về giao điểm của đường thẳng và parabol cùng các câu hỏi liên quan. Từ đó, các em tự tin giải quyết các vấn đề liên quan khác.
Đề tài cũng là tài liệu giúp các em học sinh lớp 9 ôn thi vào lớp 10, định hướng tư duy về bài toán giao điểm của đường thẳng và đường cong cấp trung học phổ thông.
Phạm vi của đề tài
Đề tài được nghiên cứu và áp dụng với đối tượng là học sinh lớp 9. Đề tài là tài liệu tổng hợp, củng cố kiến thức, phát triển tư duy cho học sinh lớp 9.
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Một số kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai và các vấn đề liên quan
2.2.1 Công thức nghiệm phương trình bậc hai:
Cho phương trình
ax2 + bx + c = 0	(a ¹ 0)
Công thức nghiệm
D = b2 - 4ac
+) Nếu D>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x = -b +	D ; x = -b -	D
1	2a	2	2a
+) Nếu D=0, phương trình có nghiệm
kép: x = x = -b
1	2	2a
+) Nếu D<0, phương trình vô nghiệm.
Công thức nghiệm thu gọn
Nếu b=2b’ ta có D' = b'2 - ac
+) Nếu D’>0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x = -b '+	D' ; x = -b '-	D'
1	a	2	a
+) Nếu D’=0, phương trình có nghiệm kép: x = x = -b '
1	2	a
+) Nếu D’<0, phương trình vô nghiệm.
Hệ thức Vi-et : Phương trình ax2 + bx + c = 0	(a ¹ 0) có hai nghiệm x1 ; x2
ï
a
ìx + x = -b
1	2
í
Ta có hệ thức Vi-ét :
c
ïx .x =
îï 1	2	a
Một số bài toán về dấu của nghiệm phương trình bậc hai :
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0	(a ¹ 0)
D = b2 - 4ac ;

S = x + x
= -b ;
P = x .x = c
1	2	a	1 2	a
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu Û a.c<0
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu Û
ìD> 0
î
íP > 0
+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û
ìD > 0
í
ïP > 0
î
ïS > 0
+) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Û
ìD> 0
í
ïP > 0
î
ïS < 0
Qui trình chung để giải bài toán liên quan đến mối quan hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai :
+) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (hai nghiệm phân biệt)
+) Biến đổi biểu thức của đề bài về biểu thức mới chứa x1 + x2 và x1.x2
+) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình đã cho rồi thay thế vào biểu thức nói trên.
+) Giải phương trình (bất phương trình) chứa tham số vừa tìm được.
+) Chọn kết quả và trả lời.
Chú ý :
x2 + x2 = ( x + x )2 - 2x .x ; ( x - x )2 = ( x + x )2 - 4x .x
1	2	1	2	1 2	1	2	1	2	1 2
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số
Cho (P) :
y = ax2
(d ); y = mx + n
Để giải quyết các bài toán về số giao điểm của (P) và (d) ta thường thực hiện theo các bước sau :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) :
ax2 = mx + n Û ax2 - mx - n = 0	(*)
Số nghiệm phương trình (*) chính là số giao điểm của (P) và (d) : (*) có 2 nghiệm phân biệt Û (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. (*) có nghiệm kép Û (d) tiếp xúc với (P).
(*) vô nghiệm Û (d) và (P) không có điểm chung.
Mối quan hệ giữa hoành độ giao điểm chính là mối quan hệ giữa 2 nghiệm của phương trình (*).
Các bài toán về giao điểm của đường thẳng và parabol
Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol.
Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d): a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2
b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4
Giải:
a) (P): y = x2 và (d): y=-x+2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2=-x+2 Û x2 + x - 2=0
Giải phương trình ta có x=1; x = -2
x=1 Þ y = 1Þ A(1;1); x=-2 Þ y = 4Þ B(-2;4)
Vậy d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(1;1); B(-2;4) b) (P): y = -x2 và (d): y=4x+4
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=4x+4 Û x2 + 4x +4=0
Giải phương trình ta có nghiệm kép x1=x2=-2 x=-2 Þ y = -4Þ M(-2;-4)
Vậy d tiếp xúc với (P). Tiếp điểm là M(-2;-4)
Ví dụ 2:(Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014- 2015)
Cho d: y = - x + 6 và (P): y=x2.
Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Gọi giao điểm là A và B. Tính diện tích tam giác OAB.
Giải:
Tìm tọa độ giao điểm của d và (P).
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
êx = -3
x2 + x - 6 = 0 Û ( x - 2)( x + 3) = 0 Û éx = 2
ë
Với x = 2 , y = 4 Với x= -3, y = 9
Ta có tọa độ giao điểm của d và (P) là A(2;4); B(-3;9)
Tính diện tích tam giác OAB: Kẻ AH và BK vuông góc với Ox.
10
B
y
8
6
A
4
2
-5
K
-2
x
5
H
O 1
Ta có SAOB=SABKH-SOAH-SOBK=[(4+9).5]:2-(2.4):2-(3.9):2=15 (đvdt)
Dạng 2: Số giao điểm của đường thẳng và parabol
Ví dụ 1: Cho (P): y = -x2 và (d): y = x + m - 3
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=x+m-3 Û x2 + x + m - 3=0 (*)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û D >0 Û 1 - 4(m-3)>0 Û m<13/4
(d) tiếp xúc với (P) Û (*) có nghiệm kép
Û D =0 Û 1 - 4(m-3)=0 Û m=13/4
(*) có nghệm kép là x1=x2= -1/2 Þ y = -1/4 Tiếp điểm là M(-1/2;-1/4)
Ví dụ 2: Cho (P) y = -x2 và (d): y = 2(m-1)x - (m+4) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Giải.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
-x2=2(m-1)x - (m+4)Û x2 +2(m-1)x - (m+4)=0 (*)
ç
D = (m -1)2 + m + 4 = m2 - m + 5 = æ m -
è
1 ö2
2
÷
ø
+ 19 > 0	"m
4
Þ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Û (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ 3: Cho (P) y = x2. Viết phương trình tiếp tuyến của (P) biết:
Tiếp tuyến song song với (d) y = x - 5
Tiếp tuyến đi qua A(1;-3)
Giải
Gọi (d') y = x + m (m¹-5) song song với (d) y = x-5 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P):
x2=x +m Û x2 - x - m=0 (*)
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép
Û D =0 Û 1 + 4m=0 Û m=-1/4 (tmđk)
Vậy (d')" y = x -1/4
Gọi (d'') y = ax + b là tiếp tuyến của (P).
+) A(1;-3) Î (d") Û a+ b = -3 Û b = -3-a Þ (d"): y = ax - 3 - a.
+) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d") và (P): x2=ax -3-a Û x2 - ax +a + 3=0 (*)
(d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép
D = 0 Û a2 - 4a -12 = 0
Giải pt ta được a = 6; a = -2
Vậy qua A(1;-3) có hai tiếp tuyến với (P) là (d") y = 6x-9; (d'"): y = -2x-1
Dạng 3: Đường thẳng cắt parabol thỏa mãn các điều kiện về tọa độ giao điểm; vị trí giao điểm
Ví dụ 1. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2011- 2012)
Cho (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x- m2+9
Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung.
Giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = 2x - m2 + 9 Û x2 - 2x + m2 - 9 = 0	(1)
Với m = 1, tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
Phương trình (1):
x2 - 2x - 8 = 0 Δ' = 9
Phương trình có hai nghiệm x1=-2 Þ y1 = (-2)2 = 4 ÞA(-2;4)
x2=4 Þ y1 = 42 = 16 ÞB(4;16)
Ví dụ 2. Cho (P): y = x2 và d: y = 2(m +1)x - 2m -1
2
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung và cách đều trục tung (0,5 điểm).
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1 (0,75 điểm)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía trục tung Û (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu Û 1.(m2-9)<0 Û-3<m<3
Giải.
Phương trình hoành độ giao điểm

x2 - 2(m +1)x + 2m +1 = 0

(*)
Khi
m = 1 , ta có phương trình
2
x2 - 3x + 2 = 0
Giải phương trình tìm được x1=1; x2=2 Tìm được giao điểm A(1;1); B(2;4)
Yêu cầu bài toán Û (*) có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng 0
ì2m + 1 < 0
ìm < -1
î
Û
ï
Û í2(m + 1) = 0	í

2 Û m = -1
ïîm = -1
Ví dụ 3. (Trích trong Đề thi vào môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2014- 2015)
Cho Parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d) y = mx - 1
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Tìm giá trị của m để x .x + x .x - x .x = 3
2
2
1	2	2	1	1	2
Giải.
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Toạ độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
ìy = -x2
ì-x2 = mx - 1
ìx2 + mx - 1 = 0	(*)
í	=	Û í	Û í
îy	mx - 1
îy = -x2
îy = -x2
Xét phương trình (*):
x2 + mx -1 = 0	(*)
Ta có
D = m2 + 4
m2 ³ 0
"m Û m2 + 4 ³ 4 > 0
"m Û D > 0	"m
Þ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Þ (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Gọi x1 và x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
Tìm giá trị của m để x2 .x + x2 .x - x .x = 3
1	2	2	1	1	2
Vì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) ta có:
ìx1 + x2 = -m

(**)
íx .x = -1
î 1	2
x2 .x + x2 .x - x .x = 3 Û x .x (x + x ) - x .x = 3	(***)
1	2	2	1	1	2	1	2	1	2	1	2
Thay (**) vào (***) ta có: -1.(-m) - (-1) = 3 Û m = 2
Ví dụ 4. (Trích trong Đề thi vào 10 Hà Nội năm học 2016-2017)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m2 – 1 và parabol (P): y= x2.
Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để
( x1 +1).( x2 +1) = 1
Giải
Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = 3x + m2 -1
Û x2 - 3x - m2 + 1 = 0(*)
D = (-3)2 - 4.1.(-m2 +1) = 4m2 + 5
m2 ³ 0
Û D > 0
"m Þ 4m2 + 5 > 0	"m
"m
Û Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Û (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P). Tìm m để
( x1 +1).( x2 +1) = 1
Ta có ( x1 +1).( x2 +1) =1 Û x1x2 + ( x1 + x2 ) = 0(**)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):
ìx1 + x2 = 3
íx x = -m2 + 1
î 1 2
(**) Û -m2 +1 + 3 = 0 Û m2 = 4 Û m = ±2
Vậy
m = ±2
Ví dụ 5. Cho (P): y = x2 và d: y = 2mx - 2m +1
Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 2.
Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt H(x1; y1 );K(x2; y2 ) sao cho
y1 + y2 =10
Giải.
Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 2.
Khi m = 2, ta có phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:
x2 - 4x + 3 = 0
Gpt ta được: x1=1Þ y1=1ÞA(1;1) x2=3Þ y2=9ÞB(3;9)
Xét pt hoành độ giao điểm của d và (P):
x2 - 2mx + 2m -1 = 0 (*)
*) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt Û (*) có 2 nghiệm pbÛm¹1
*) y + y = 10 Û x2 + x2 = 10 Û (x + x )2 - 2x .x
-10 = 0
(**)
1	2	1	2	1	2	1 2
Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có
ìx1 + x2 = 2m
íx .x = 2m -1
êm = 2
(**) Û 4m2 - 4m - 8 = 0 Û ém = -1(tmdk)
ë
î 1	2
Ví dụ 6. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = 2(m - 3) x - m2 + 7 .
a) Khi m=2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) thỏa mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57
Giải
Khi m=2. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = 2(m - 3) x - m2 + 7 Û x2 - 2(m - 3) x + m2 - 7 = 0(*)
Khi m=2 pt (*) Û x2 + 2x - 3 = 0
Giải được nghiệm
x1 =1; x2 = -3.
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1)	B(-3;9)
Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt C(x1;y1); D(x2;y2) thỏa mãn: y1+ y2 = x1.x2 + 57
+) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û D' >0 Û
m < 8
3
+) y + y = x .x + 57 Û x2 + x2 = x .x + 57 Û ( x + x )2 - 3x .x = 57 (**)
1	2	1 2	1	2	1 2	1	2	1 2
Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có x1+x2=2(m-3); x1.x2=m2-7
(**) Û 4(m - 3)2 - 3(m2 - 7) = 57 Û m2 - 24m = 0
êm = 24(loai)
Û ém = 0(tmdk)
ë
Vậy m = 0
Ví dụ 7. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m +1) x - 2m.
Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt P(x1;y1); Q(x2;y2) sao cho
T = y + y - x x nhỏ nhất
1	2	1 2
Giải.
a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x2 = (2m +1) x - 2m Û x2 - (2m +1) x + 2m = 0(*)
(*) Û
x2 - (2m + 1) x + 2m = 0
Khi m=1 pt Û x2 - 3x + 2 = 0
Giải được nghiệm x1 = 1; x2 = 2 .
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1)	B(2;4)
b) +) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û D >0 Û m¹ 0,5
T = y + y - x x = x2 + x2 - x x
+) Ta có
1	2	1 2	1	2	1 2
T = ( x + x )2 - 3x x
1	2	1 2
Áp dụng hệ thức Viet cho (*)
ìx + x = 2m + 1
í 1	2
îx1 x2 = 2m
T = (2m + 1)2 - 3.2m
ç
T = 4m2 - 2m + 1 = æ 2m -
è

1 ö2	3
2
+
÷
ø	4
Lập luận dấn đến Tmin= ¾ khi m = ¼.
Ví dụ 8. (Trích trong Đề thi môn Toán vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2013-2014)
Cho parabol (P): y = 1 x2 và d: y = mx - 1 m2 + m +1
2
2
a) Với m = 1 xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P)
b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho x - x	= 2
1	2
Giải
Với m = 1 ta có d:
y = x + 3 .
2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
1 x2 = x + 3 Û x2 - 2x - 3 = 0	(1)
2	2
Giải pt (1) ta có x=-1; x= 3. Từ đó tìm được
Aæ -1; 1 ö; B æ 3; 9 ö
ç	2 ÷	ç	2 ÷
è	ø	è	ø
Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 sao cho x - x	= 2
1	2
Xét: x2 - 2mx + m2 - 2m - 2 = 0 (*)
*) d cắt (P) tại hai điểm pt khi (*) có 2 nghiệm phân biệt
Û D' > 0 Û m > -1
*) x - x = 2 Û ( x - x )2 = 4 Û ( x + x )2 - 4x x
= 4 (**)
1	2	1	2	1	2	1 2
ìx + x = 2m
Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) í 1	2
îx1 x2
= m2 - 2m - 2
(**) (2m)2 - 4(m2 - 2m - 2) = 4 Û m = -1
2

(tmđk)
1
Vậy m = -
2
Ví dụ 9. Cho (P) : y = -x2 ;(d) : y = -2(m +1)x + 2m +1 . Tìm m để (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1
Giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d') và (P):
x2 - 2(m +1)x + 2m + 1 = 0

(*)
(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm đều lớn hơn -1 Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn -1
+) Pt có 2 nghiệm pb Û D' > 0 Û m2 > 0 Û m ¹ 0
+) Vì a + b + c = 0, nên theo hệ thức Vi-et, pt đã cho có 2 nghiệm pb:
x1 =1;x2 = 2m +1
Để 2 nghiệm của pt đều lớn hơn -1
Û 2m + 1 > -1 Û m > -1
Kết hợp điều kiện:
ìm > -1
î
ím ¹ 0
Ví dụ 10. Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (2m +1) x - 2m.
Khi m=1. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Tìm m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1.
Giải
a) Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P):
Khi m=1 pt Û x2 - 3x + 2 = 0

x2 - (2m + 1) x + 2m = 0
Giải được nghiệm x1 = 1; x2 = 2 .
Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (P) là: A(1;1)	B(2;4)
b) +) (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt
Û D >0 Û m¹ 0,5
Từ (*) chỉ ra được hai nghiệm của pt là: x= 1 và x = 2m
+) Để để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt trong đó có một điểm có hoành
độ nhỏ hơn 1 Û (*) có hai nghiệm phân biệt và có một nghiệm nhỏ hơn 1 Û x =
2m <1 Û
m < 1
2
Vậy
m < 1
2
Ví dụ 11. Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng d: y = 2(m -1) x + 3 - 2m .
Tìm m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng	10 .
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
x2 - 2(m -1) x + 2m - 3 = 0 (1)
+)Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (1) phải có 2 nghiệm dương phân biệt và :
1	2	1	2
x ; x và x 2 + x 2 = 10
PT(1) có nghiệm : x1 =1;

x2 = 2m - 3
ì2m - 3 > 0
í
ï
Þ ï2m - 3 ¹ 1
î1 + (2m - 3)2

= 10

Þ 2m - 3 = 3 Þ m = 3
Ví dụ 12. (Trích trong Đề thi môn Toán vào lớp 10 – Hà Nội năm học 2015- 2016).
Cho phương trình x2 - (m + 5) x + 3m + 6 = 0 (x là ẩn số) (1)
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.
Giải.
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi số thực m.
D = éë-(m + 5)ùû2 - 4.1.(3m + 6) = m2 + 10m + 25 -12m - 24
Ta có
D = m2 - 2m + 1 = (m -1)2 ³ 0"m
Nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5.
*) Phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Û (1) có hai nghiệm dương
ìD³ 0	ì(m -1)2 ³ 0
í	3mí
Û ïP > 0 Û ï	+ 6 > 0
Û m > -2
ïS > 0	ïm + 5 > 0
î	î
*) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có
x2 + x2 = 52 Û ( x + x )2 - 2x x = 25	(2)
1	2	1	2	1 2
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1) ta có
ìx1 + x2 = m + 5
íx .x = 3m + 6
Thay vào (2) ta có:
(m + 5)2 - 2(3m + 6) = 25 Û m2 + 4m -12 = 0
î 1	2
Giải phương trình ta có m = 2 (tmđk); m = -6 (loại). Vậy m = 2
Ví dụ 13. Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y=2x-m+3
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn
x2 + x2 = x x + 5
1	2	1 2
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P). Biết hoành độ của A và B lần lượt là -2 và 3.
Tìm toạ độ điểm M trên cung AB của (P) để DMAB có diện tích lớn nhất.
Giải:
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thoả mãn
1	2	1 2
x2 + x2 = x