Vận dụng định lý vi-Ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực nhằm nâng cao chất lượng ôn thi học sinh giỏi, đại học cho học sinh trường THPT Như Thanh Ii

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT SỐ THỰC, HAI SỐ THỰC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN THI HỌC SINH GIỎI, ĐẠI HỌC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II.
Người thực hiện: Hoàng Khắc Tại
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
1
1.2. Mục đích nghiên cứu.
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
1.5. Những điểm mới của SKKN.
2
2. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Vận dụng định lí Vi-ét giải các dạng toán.
2.3.1. Dạng 1: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 
4
2.3.2. Dạng 2: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số thực 
7
2.3.3. Dạng 3: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực 
14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
19
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
21
3.2. Kiến nghị.
21
Tài liệu tham khảo.
Danh mục các đề tài SKKN của tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành GD tỉnh đánh giá và xếp loại.
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình toán THPT hiện nay có rất nhiều bài toán chứa tham số mà khi giải có liên quan tới phương trình ( bất phương trình) bậc 2; biện luận, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số thực hoặc hai số thực. Khi gặp các dạng bài tập này thì có nhiều cách xử lí khác nhau có thể kể đến:
Sử dụng “ Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai - Chương trình bộ sách 
giáo khoa cũ”.
Sử dụng định lí Vi-ét.
Sử dụng phương pháp hàm số.
 Rõ ràng sử dụng định lí Vi-ét là xuyên suốt ngay từ lớp 9 cho đến khi thi THPTQG. Nếu học sinh được rèn luyện thành thạo kĩ năng sử dụng định lí Vi-ét này thì các em có thể giải quyết được hàng loạt các dạng toán mới mà bản chất vẫn quy về định lí Vi-ét và nghiệm của phương trình bậc hai. Phương pháp hàm số là một phương pháp “ mạnh” và hiện đại. Nhưng ở sáng kiến này tôi chỉ xin bàn tới cách sử dụng định lí Vi-ét như thế nào cho hiệu quả ? Theo ý kiến cá nhân thông qua giảng dạy thực tế. 
 Bởi trong các đề thi HSG các cấp ngay từ lớp 10, đề thi Đại học- Cao đẳng trước đây và bây giờ là đề thi THPTQG thường có mặt trực tiếp các bài về tìm điều kiện để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu nào đó hoặc gián tiếp len lỏi vào các bài toán khác, thậm chí cả trong Hình học. Vì vậy nếu không thành thạo kĩ năng vận dụng định lí Vi-ét thì học sinh sẽ bỏ dở đáng tiếc nhiều bài toán.
 Các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán các cấp của trường THPT Như Thanh II, các học sinh 12 chuẩn bị thi THPTQG là những đối tượng đang rất cần mảng kiến thức này. Vì qua thực tế dạy học tôi thấy, việc sử dụng định lí Vi-ét của các em còn rất “thô sơ” chưa có sự suy luận logic tìm ra bản chất, nhất là không có hệ thống nên hay thiếu sót khi giải toán.
 Các tài liệu tham khảo cũng viết nhiều xung quanh chủ đề này, nhưng để phù hợp với tình hình thực tế và đối tượng cụ thể thì chưa tài liệu nào tôi thấy phù hợp. Chính vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học, tạo hứng thú cho các em khi học Toán, học Toán cũng giống như chơi trò chơi ta sẽ làm chủ được nó khi ta hiểu rõ các quy tắc nên tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Vận dụng định lí Vi-ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực nhằm nâng cao chất lượng ôn thi học sinh giỏi, đại học cho học sinh trường THPT Như Thanh II”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Tôi viết sáng kiến này có thể làm tài liệu học tập cho bất kì học sinh nào ngay từ lớp 10, đặc biệt là các em học sinh trong đội tuyển HSG các cấp và học sinh đang ôn thi THPT QG. Nó có thể làm tài liệu dạy học của các thầy cô. Nhưng mục đích cuối cùng đều là rèn luyện cho học sinh kĩ năng biết đưa định lí Vi-ét vào áp dụng một cách linh hoạt, khéo léo trong từng trường hợp cụ thể, học sinh biết suy luận logic để giải quyết các trường hợp về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực. Từ đó làm nền tảng để áp dụng giải các dạng toán mới. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Để hoàn thành bài viết của mình tôi nghiên cứu định lí Vi-ét, các dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0, một số thực bất kì, hai số thực bất kì và làm cách nào để đưa định lí Vi-ét vào áp dụng ở các dạng đó. Đồng thời nghiên cứu một số bài toán liên quan đến hàm số bậc ba, sự tương giao của hàm số bậc ba với bậc nhất, lượng giác...Vì khi đạo hàm hoặc đặt ẩn phụ sẽ chuyển các bài toán này về bậc hai.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tôi sử dụng các phương pháp sau:
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.
Phân loại rõ ràng, cụ thể và khá đầy đủ các trường hợp về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0, với một số thực bất kì, với hai số thực bất kì.
Đã chỉ ra cách đưa định lí Vi-ét vào áp dụng trong từng trường hợp một cách khéo léo thông qua tính chất số học của các số thực.
Có sự nhận xét, phân tích về ưu điểm, hạn chế của cách dùng định lí Vi-ét so với các cách khác trong mỗi trường hợp. Điều này giúp người học hiểu vấn đề sâu sắc hơn.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 2.1.1. Phương trình bậc 2:
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn là phương trình có dạng: .
Cách giải: Tính 
- Nếu thì phương trình (1) vô nghiệm.
- Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép .
- Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
 2.1.2. Định lý Vi-ét.
Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm thì .
 2.1.3. Tính chất của số thực.
Giả sử là hai số thực tùy ý, ta luôn có:
i) 
ii) 
iii) 
Ba tính chất trên của số thực là những suy luận logic thông thường, học sinh dễ dàng thể tiếp nhận và hiểu được. Vì vậy, tôi sử dụng chúng như những kiến thức cơ sở để suy luận giải quyết các vấn đề mà tôi nêu ra.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
2.2.1. Thuận lợi: Các học sinh đa số thuộc định lí Vi-ét, tìm được điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu, cùng dương hoặc cùng âm.
2.2.2. Khó khăn: Ngoài các thuận lợi kể trên một số khó khăn gặp phải là:
Khi so sánh nghiệm với số 0 đa số học sinh mắc sai sót, tìm thiếu điều kiện khi có thêm dấu “=” trong biểu thức so sánh.
Khi tìm điều kiện để so sánh nghiệm với một số thực tùy ý khác không học sinh không biết cách để áp dụng định lí Vi-ét vào đó như thế nào. Vì chỉ quen làm việc khi so sánh với số 0.
2.3. Vận dụng định lí Vi-ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực.
 2.3.1. Dạng 1: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 
Bài toán 1.1: Cho phương trình: 
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Giải. Đây là dạng bài tập đơn giản và quen thuộc ngay cả với học sinh lớp 9, nên ta viết ngay được kết quả là:
a) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
b) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
c) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Tình huống tiếp theo là nếu ta thêm dấu “ = ” vào một trong các dấu “ < ” hoặc 
“ > ” thì điều kiện sẽ thế nào? 
Chẳng hạn: Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: . 
Thoạt nhìn, ta suy luận ngay được (1) có hai nghiệm thỏa mãn: . 
Thí dụ 1.1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .
Giải: Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn .
Ta có, . Do đó 
Thử lại với , khi đó phương trình là: . 
(Không thỏa mãn yêu cầu đề bài !). Có nghĩa là kết quả trên là sai và suy luận (1) có hai nghiệm thỏa mãn: là không đúng.
 Nhận xét: Điều tôi muốn nói ở đây là trong Bài toán 1.1 nếu ta thêm dấu “ = ” vào các dấu “ ” thì vấn đề sẽ rắc rối hơn, nếu không biết điều này thì học sinh sẽ mắc sai lầm đáng tiếc. Từ kinh nghiệm này tôi xin liệt kê các trường hợp cũng như điều kiện trong các trường hợp đó nhằm làm tư liệu trong quá trình dạy và học của thầy và trò:
TH1: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
 PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn .
TH2: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn:
 PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn .
TH3: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
TH4: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
TH5: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
TH6: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
TH7: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
TH8: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
TH9: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
Bài toán 2.1. Cho phương trình: 
 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : .
 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn: .
Giải. 
 a) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : 
 PT(1) có nghiệm thỏa mãn .
 b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : 
 PT(1) có nghiệm thỏa mãn .
Từ đó lại quay về các trường hợp của Bài toán 1.1.
 Tóm lại: Khi nghiệm phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán mà có nhiều khả năng xảy ra thì ý tưởng làm là “ Chia nhỏ để trị”. Như vậy, học sinh sẽ thấy rõ ràng, dễ hiểu hơn, tránh được những thiếu sót đáng tiếc.
 Nhận xét: Trong chương trình ôn thi HSG các cấp, thi THPTQG bài toán tìm điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai như trên có thể không ra trực tiếp, nhưng những kiến thức đó vẫn “len lỏi” trong nhiều bài toán, thậm chí đó lại là vấn đề chính cần giải quyết. Vì vậy, cần tạo một nền tảng kiến thức vững chắc cho học sinh ngay từ lớp 10 để học sinh khi tiếp cận các dạng toán mới biết “ quy lạ về quen” và xử lí nhẹ nhàng.
Thí dụ 2.1: Cho hàm số là tham số.
Tìm để hàm số có điểm cực tiểu không âm.
Giải. Ta có . Vì hàm số bậc ba chỉ có cực trị khi phương trình có hai nghiệm phân biệt. Mặt khác, hệ số nên nếu có hai nghiệm thì sẽ là điểm cực tiểu của hàm số. 
Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cần tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: hoặc .
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: , ta có: 
 + Trường hợp 1: có hai nghiệm 
 Lúc này phương trình có hai nghiệm là 
 + Trường hợp 2: có hai nghiệm 
 Vậy để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: thi giá trị cần tìm của là: 
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: , ta phải có: .
Kết luận: Giá trị cần tìm của là hoặc .
 2.3.2. Dạng 2: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số thực 
Bài toán 1.2: Cho phương trình: 
 a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
 c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Giải.
Cách 1: Đặt ẩn phụ rồi sử dụng định lí Vi-ét.
Bằng việc đặt , ta sẽ chuyển phương trình đã cho về ẩn , việc so sánh nghiệm với tương đương với việc so sánh nghiệm với số . Vấn đề này lại quay về Dạng 1. 
 Cụ thể: Đặt , thay vào phương trình (1) ta được: .
Ta có: Do đó:
Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn tương đương phương trình (2) có hai nghiệm (quay về Dạng 1).
Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn tương đương phương trình (2) có hai nghiệm . (quay về Dạng 1).
Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa tương đương phương trình (2) có hai nghiệm . (quay về Dạng 1). 
Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất của số thực.
a) Ta có: 
Ta thấy xuất hiện các biểu thức đối xứng của nên có thể áp dụng định lí Vi-ét.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:
b) Ta có: 
 .
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:
c) Ta có: 
 .
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:
Nếu ta thêm dấu “ = ” vào các dấu “ ” thì sẽ có 9 trường hợp như Bài toán 1.1. 
Cách 1: Đặt ẩn phụ rồi sử dụng định lí Vi-ét.
Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất của số thực.
TH1
Ta có : . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn:
.
TH2
Ta có : .
 Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn:
.
TH3
Ta có: 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
TH4
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
TH5
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
TH6
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
TH7
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: 
TH8
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
TH9
Ta có: . 
Do đó PT (1) có nghiệm thỏa mãn: .
Phương pháp giải như 9 trường hợp ở Dạng 1.
Các biểu thức ở hệ ĐK cuối cùng là đối xứng với nên ta hoàn toàn có thể áp dụng định lí Vi-ét vào để giải.
Bài toán 2.2: Cho phương trình: 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: .
Giải.
Cách 1: Đặt ẩn phụ rồi sử dụng định lí Vi-ét.
Cụ thể: Đặt , thay vào phương trình (1) ta được: . Do đó:
a) Phương trình (1) có nghiệm tương đương (2) có nghiệm . (quay về Bài toán 2.1).
b) Phương trình (1) có nghiệm tương đương (2) có nghiệm . (quay về Bài toán 2.1).
Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất của số thực.
a) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : 
 PT(1) có nghiệm thỏa mãn .
b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : 
 PT(1) có nghiệm thỏa mãn .
Đây lại là các trường hợp của Bài toán 1.2.
Thí dụ 1.2: Cho hàm số: , (là tham số). Tìm điều kiện của để hàm số đồng biến trên khoảng 
Giải. Ta có: . 
Ta phải tìm để . Do nên ta có hai trường hợp:
 + Trường hợp 1: 
 + Trường hợp 2: Khi đó yêu cầu có hai nghiệm thỏa mãn: 
Kết hợp hai trường hợp, giá trị cần tìm là: 
Thí dụ 2.2. Cho hàm số: , ( là tham số).
Tìm để hàm số có điểm cực đại nhỏ hơn 1.
Giải. Ta có: .	
Vì hàm số bậc ba chỉ có cực trị khi phương trình có hai nghiệm phân biệt. Mặt khác, hệ số nên nếu có hai nghiệm thì sẽ là điểm cực đại của hàm số. 
Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cần tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: hoặc .
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: , ta có: 
 + Trường hợp 1: có hai nghiệm 
 (Vô nghiệm ).
 + Trường hợp 2: có hai nghiệm 
 .
 Vậy để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: thì giá trị cần tìm của là: 
Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: , ta phải có: . 
 (vô nghiệm )
Kết luận: Giá trị cần tìm của là 
2.3.3. Dạng 3: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực 
Bài toán 1.3: Cho phương trình: và hai số thực 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
Giải.
a) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Mỗi điều kiện trong hệ trên lại là so sánh hai nghiệm của phương trình (1) với một số thực mà đã được giải quyết ở Dạng1 và Dạng 2. Tương tự ta cũng giải quyết được các câu còn lại như sau:
b) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
c) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 
d) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: .
Nhận xét: Nếu có thêm dấu “ = ” vào các dấu “ ” trong bài toán trên thì có rất nhiều các trường hợp. Tuy nhiên, cách suy luận cũng tương tự. Tức là ta tách điều kiện thành hệ điều kiện mà mỗi điều kiện trong hệ đó chỉ là so sánh nghiệm của phương trình (1) với một số thực.
Thí dụ 1.3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến trên khoảng .
Giải. Ta có . Yêu cầu bài toán tương đương với tìm để Do hệ số nên 
Giải ĐK: 
Giải ĐK: 
.
Giải ĐK: 
Kết hợp cả ba điều kiện ta có: hoặc .
Nhận xét: Nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ ta vẫn có thể giải quyết được thí dụ trên nhưng ta phải hai lần đặt ẩn phụ bởi mỗi lần đặt chỉ giúp ta so sánh được nghiệm với một số thực và để so sánh với số thực khác thì phải đặt ẩn mới. Điều này có thể gây phức tạp làm bài toán rắc rối thêm. Nên việc sử dụng định lí Vi-ét trực tiếp như trên thể hiện rõ ưu thế khi cần so sánh nghiệm với hai số thực. Tất nhiên bài toán trên cũng có thể giải bằng phương pháp hàm số.
Thí dụ 2.3. Cho hình vuông cạnh bằng 1. Gọi lần lượt là các điểm di động trên cạnh và sao cho . Chứng minh rằng:
 .
Giải.
1
 Đặt 
 Khi đó: .
 Ta có: 
Dễ thấy , suy ra :
 Khi đó là các nghiệm của phương trình bậc hai ẩn sau: .
Vì sự tồn tại của thỏa mãn là hiển nhiên nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn: .
Áp dụng TH6 của Dạng 1, TH9 của Dạng 2 ta có: 
PT có hai nghiệm thỏa mãn: .
Suy ra Dấu “=” xảy ra khi 
 Dấu “=” xảy ra khi 
Thí dụ 3.3. Cho tam giác đều cạnh bằng 1. Gọi là trọng tâm của tam giác, điểm di động trên cạnh , đoạn cắt đoạn tại . Chứng minh rằng: .
Giải.
 Đặt 
 Ta có: Suy ra 
 (4)
Mặt khác (5)
Từ (4) và (5) suy ra: Khi đó là các nghiệm của phương trình bậc hai ẩn sau: .
Vì sự tồn tại của thỏa mãn là hiển nhiên nên phương trình luôn có hai nghiệm thỏa mãn: .
Áp dụng TH6, TH9 của Dạng 2 ta có: 
PT có hai nghiệm thỏa mãn: .
 .
Suy ra Dấu “=” xảy ra khi 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Nhận xét: Như đã nêu ở lí do chọn đề tài, định lí Vi-ét còn có ứng dụng ngay cả trong Hình học. Tuy những ứng dụng của nó trong lĩnh vực này rất hiếm hoi nhưng nó lại có tác dụng rất lớn. Thí dụ 2.3, Thí dụ 3.3 ở trên là những minh họa.
Các bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho hàm số , ( là tham số).
a) Tìm để hàm số có điểm cực tiểu lớn hơn .
b) Tìm để hàm số có điểm cực đại nhỏ hơn .
c) Tìm để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của .
d) Tìm để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nhỏ hơn .
e) Tìm để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu lớn hơn .
Bài 2. Cho hàm số , ( là tham số).
a) Tìm để hàm số nghịch biến trên khoảng 
b) Tìm để hàm số đồng biến trên nửa khoảng .
Bài 3. Cho hàm số , ( là tham số).
Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -1.
Bài 4. Cho hàm số , ( là tham số).
Tìm tất cả các giá trị để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 4. 
Bài 5. Với giá trị nào của tham số hàm số 
 xác định với mọi giá trị của 
Bài 6. Với giá trị nào của tham số hệ bất phương trình sau đây có nghiệm
 .
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm.
 Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh ở trường THPT Như Thanh II, tôi nhận thấy các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều học sinh cảm thấy bất ngờ khi giải “nhẹ nhàng” một số bài toán có liên quan đến so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực bất kì hoặc hai số thực. Bởi trước đó các em gần như không có đường lối để làm hoặc cách làm rất “đơn sơ” như tìm rõ ra nghiệm theo tham số và “lao” vào giải các bất phương trình vô tỷ để dẫn đến những biểu thức cồng kềnh, từ đó làm cho người học càng chán nản. Chính vì sự hứng thú với môn học nên trong năm học tôi nhận thấy chất lượng của môn Toán được nâng lên đáng kể.
Cụ thể: Trong năm học 2018-2019 tôi có dạy 2 lớp 12A4 và 12A5. Sau khi 
dạy xong chuyên đề này cho lớp 12A4, lớp 12A5 chưa dạy, tôi cho học sinh hai lớp làm bài kiểm tra của chuyên đề này kết quả đạt được khá khả quan:
Lớp 
Sĩ số
Điểm dưới 5
Điểm 5; 6
Điểm 7; 8
Điểm 9; 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A5
41
14
34,1
18
44
09
21,9
0
0
12A4
39
04
10,3
11
28,2
20
51,2
04
10,3
Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi năm học 2018-2019, tôi đã cùng 
tổ chuyên môn ôn tập cho các em. Tôi đã dạy chuyên đề này cho các em trong đội tuyển HSG cấp tỉnh phục vụ việc ôn tập đúng theo cấu trúc đề thi. Kết quả thi HSG tỉnh năm 2018-2019 rất đáng mừng có 01 học sinh đạt giải Ba, đây là thành tích rất xuất sắc trong nhiều năm qua thể hiện sự nỗ lực hết mình của thầy và trò ở một vùng khó khăn về mọi thứ như trường chúng tôi. Nhà trường cùng với thành tích các đội tuyển khác được xếp thứ 52 toàn tỉnh, tăng 12 bậc so với năm học 2017-2018.
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
 Qua tình hình giảng dạy thực tế nhiều năm – hiểu rõ được đối tượng học sinh trường mình, kết hợp với nghiên cứu các tài liệu tham khảo và học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi mạnh dạn viết sáng kiến này và có được các kết quả:
Đã phân loại rõ ràng, cụ thể và khá đầy đủ các trường hợp về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0, với một số thực bất kì, với hai số thực bất kì.
Đã chỉ ra cách đưa định lí Vi-é