SKKN Vận dụng tam thức bậc hai vào giải một số dạng toán ở bậc THCS

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn học có vai trò khá quan trọng trong trường THCS. Qua toán học giúp người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận và việc vận dụng các kiến thức đó vào các môn học khác. Qua đó giúp người học phát triển và hoàn thiện nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu môn Toán là cả một vấn đề mà không người giáo viên dạy Toán nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động dạy và học môn Toán đòi hỏi người dạy cũng như người học phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo, tích lũy kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh hội phù hợp nhất. Giúp người học nắm vững được kiến thức môn học có tính hệ thống là vấn đề quan trọng được đặt ra. Nhất là vấn đề trong thực hành việc giải các bài toán mang tính vận dụng đòi hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng linh hoạt các công cụ toán học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.
Trong chương trình toán học phổ thông tam thức bậc hai đóng một vai trò khá quan trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là việc làm vô cùng cần thiết. Nó còn làm tiền đề về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong chương trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với phương trình và hàm số bậc 2; các công thức tính nghiệm, định lí Vi ét và đồ thị của hàm bậc hai, trong việc giải các loại toán khác nhau như thế nào chưa được quan tâm nhiều. Chính vì lẻ đó trong quá trình giảng dạy cho các em, để giúp các em hiểu sâu hơn về tam thức bậc hai và vận dụng nó vào việc giải các loại toán khác, đặc biệt lúc các em chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi vào lớp 10, tôi mạnh dặn nêu lên vấn đề: “VẬN DỤNG TAM THỨC BẬC HAI VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở BẬC THCS”.
Tôi hi vọng sẽ giúp các em nắm vững hơn kiến thức cơ bản của môn học và có đủ tự tin khi thực hành giải toán. Từ đó phát huy được khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt, khả năng sáng tạo cũng như tư duy độc lập đặc biệt giúp các em có một hành trang tốt chuẩn bị cho một cấp học cao hơn.
Tuy vậy do khuôn khổ của đề tài cũng như kinh nghiệm còn hạn chế còn gặp những thiếu xót không mong muốn. Rất mong sự đóng góp xây dựng của quý đồng nghiệp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với sáng kiến kinh nghiệm "Vận dụng tam thức bậc hai vào giải một số dạng toán ở bậc THCS", tôi mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi Toán lớp 9 vận dụng tam thức bậc hai một cách linh hoạt và thành thạo trong việc giải các bài toán có liên quan: 
Từ đó các em giải quyết được một số bài toán trong bài thi trong các đề thi học sinh giỏi cũng như kì thi vào THPT. Cũng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn các em thấy được đằng sau những bài toán cơ bản quen thuộc tưởng chừng như đơn giản và khô khan ấy là những điều mới mẻ, những khám phá bổ ích và lý thú. Từ đó khơi dậy niềm say mê học tập, khơi dậy óc sáng tạo của mỗi học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Vận dụng tam thức bậc hai vào giải một số dạng toán ở bậc THCS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Từ thực tế giảng dạy trên lớp đặc biệt là ôn thi vào THPT.
Qua nghiên cứu nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa toán 9, sách bài tập toán 9, tạp chí toán học và tuổi trẻ, toán tuổi thơ, các loại sách nâng cao và phát triển toán cấp THCS. Trong quá trình giảng dạy, tôi luôn tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi Toán 9 của nhiều huyện, tỉnh và các đề thi vào THPT.
Qua tham khảo của đồng nghiệp bộ môn toán các trường THCS trên địa bàn huyện Thọ Xuân.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Giáo dục là con đường ngắn nhất để tiếp cận tri thức nhân loài vậy vấn đề đặt ra làm thế nào để tiếp thu tri thức đó một cách khao học có hệ thống. Từ chỗ tiếp thu đó và vận dụng vào thực tiễn cuộc sống như thế nào đây là xu thế giáo dục của thế giới hiện nay.
Việc cải cách giáo dục và đổi mới SGK hiện nay cũng đã phần nào nói lên vấn đề đó. Với cách tiếp cận tri thức hiện nay của người học đặc biệt là học sinh phổ thông đã ít nhiều mang tính tự học và vận dụng tri thức đó vào cuộc sống, đặc biệt là môn toán đã có sự thay đổi rõ rệt.
Với yêu cầu cuộc sống đặt ra hiện nay đặc biệt là công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất bước Đảng và nhà nước ta đã có những chủ trương chính sách nhằm đưa giáo dục trở thành mục tiêu phát triển hàng đầu. Giáo dục phải tạo ra cho xã hội, những tiềm năng về trí tuệ những con người mới làm chủ được tri thức, làm chủ được khoa học công nghệ. Chính giáo dục là động lực thúc đẩy là điều kiện cơ bản để phát triển kinh tế xã hội để đưa nhân loại lên tầm cao mới,
Chính vì lẽ đó giáo dục có mục tiêu và nhiệm vụ vô cùng quan trọng đặc biệt đối với nước ta trong giai đoạn hiện nay. Giáo dục còn có nhiệm vụ nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Như vậy giáo dục phải đáp ứng được yêu cầu của xã hội đặt ra đó là tạo ra những con người mới phù hợp với giai đoạn hiện nay. Đó là những con người sẽ làm chủ đất nước, những con người có tri thức có khoa học những con người năng động sáng tạo có năng lực giải quyết vấn đề mà thực tiễn đặt ra.
Với những cơ sở đó việc giảng dạy và học môn toán là vô cũng cần thiết và quan trọng đặc biệt ở bậc THCS. Ngoài việc nâng cao chất lượng đại trà bồi dưỡng và phát triển “Toán học” cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi là cần thiết đây là việc làm thường xuyên liên tục của bậc học đặt ra.
Để đạt dược điều đó đòi hỏi người giáo viên phải luôn sáng tạo tìm tòi học hỏi không ngừng để có một phương pháp tốt, với kĩ năng thành thạo và linh hoạt. Nắm bắt được điều đó mà giai đoạn hiện nay đòi hỏi người giáo viên phải có một kĩ năng thực hành giải toán tốt việc đó đã được thể hiện qua các kỳ thi giáo viên giỏi các cấp. Trong quá trình giảng dạy môn toán để có một phương pháp hay trước hết người giáo viên phải có kĩ năng giải toán tốt. Tôi cho rằng từ các kĩ năng đó mới hình thành nên phương pháp dạy toán một cách tối ưu. Tôi tin rằng với phương pháp hay sẽ giúp học sinh có năng lực giải quyết vấn đề đặt ra.
Đúc kết tài năng kinh nghiệm giảng dạy và qua việc nghiên cứu tham khảo các tài liệu có liên quan tôi mạnh dạn trình bày một số dạng toán có vận dụng tam thức bậc hai để giải quyết việc vận dụng đó vào việc giải toán, tôi hy vọng sẽ tạo ra thêm một kỹ năng cho các em học sinh cũng như cho đồng nghiệp cần quan tâm vấn đề này.
Với hi vọng các em có khả năng vận dụng những kiến thức cơ bản vào giải toán các dạng toán nâng cao cũng như có thêm kỹ năng giải toán đã thôi thúc tôi tìm tòi nghiên cứu để có được đề tài này.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng
Trong chương trình toán học ở bậc THCS việc HS nắm được nội dung kiến thức và vận dụng nó một cách linh hoạt vào thực hành giải bài tập có ý nghĩa lớn và quan trọng. Việc vận dụng kiến thức đó như thế nào để làm bài tập đây là việc làm mà không ít học sinh quan tâm, đặc biệt là học sinh khá, giỏi. Nhưng đôi khi các em vẫn tỏ ra lúng túng, bối rối trước một số bài tập ở dạng nâng cao hoặc phát triển toán học. Các em không biết nên bắt đầu từ đâu và làm như thế nào mặc dù đây là những bài tập mang tính vận dụng kiến thức cơ bản. Đây là một thực trạng chung mà trong quá trình giảng dạy người giáo viên dễ nhận thấy nơi học sinh. Trước vấn đề đặt ra đó đòi hỏi người giáo viên phải làm như thế nào để giải quyết được vấn đề đó.
Việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán đòi hỏi không cao xa, chỉ với kiến thức toán học cơ bản là đủ. Quan trọng là yêu cầu học sinh phải nắm vững kiến thức cơ bản, phải có sự lập luận chặt chẽ, phải biết xét đầy đủ các khía cạnh, các trường hợp cụ thể của từng vấn đề. Đặc biệt là yêu cầu đối với những kiến thức cần sự sáng tạo, linh hoạt, biết đặc biệt hoá và tổng quát hoá những vấn đề cần thiết.
Là một cán bộ quản lí luôn quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, cũng như trong quá trình giảng dạy việc định hướng kiến thức cho học sinh phải thực sự đúng quy trình các bước biến đổi, phải đảm bảo lôgíc, có hệ thống, 
không tự tiện cắt bỏ kiến thức để rèn cho các em học sinh thói quen cẩn thận, kỹ năng giải bài tập hợp lôgíc toán học. 
Trên cơ sở đó tôi nhận thấy thực trạng sau: 
Đối với giáo viên: 
	Chưa quan tâm nhiều đến các dạng toán vận dụng tam thức bậc hai.
	Có tìm hiểu đến nhưng chưa quan tâm nhiều đến cách cách vận dụng tam thức bậc hai để tìm các cách giải khác nhau.
	Chưa mạnh dạn tìm tòi tài liệu tham khảo, nghiên cứu nhiều cách giải mới.
Đối với học sinh: 
	Tâm lí e ngại khi gặp những bài toán không theo lối mòn trong chương trình SGK.
	Sự truyền thụ của giáo viên chỉ mang tính thụ động, không phát huy được khả năng tư duy, sáng tạo nơi các em.	
	Kĩ năng vận dụng kiến thức cơ bản của các em chưa linh hoạt.
	Tài liệu tham khảo của các em còn hạn chế, tinh thần tự giác học tập của các em chưa cao.
 Trong chương trình toán học lớp 9 chúng ta đã làm quen với các dạng toán về đa thức bậc hai, phương trình bậc hai và cách giải. Nhưng hiểu, nắm và vận dụng kiến thức cơ bản để giải một bài toán có liên quan là vấn đề toán học khá hay trong chương trình toán THCS. Song việc vận dụng các kĩ năng cơ bản đó vào giải toán như thế nào chưa được quan tâm nhiều mặc dù việc vận dụng đó khá đơn giản và đạt hiệu quả cao trong quá trình dạy - học toán.
 2.2.2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên. 
Từ những thực trạng trên vì vậy trong việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán có liên quan trong quá trình giảng dạy cũng như qua các kì thi chọn giáo viên giỏi các cấp kết quả của giáo viên và học sinh vẫn chưa đạt hiệu quả cao.
Đối với giáo viên
	Từ năm học 2005 – 2006 đến nay kì thi chọn giáo viên giỏi các cấp có thêm yêu cầu kĩ năng vận dụng kiến thức bộ môn đây là vấn đề mà mỗi giáo viên phải không ngừng “tự học”, “tự sáng tạo” . Vân dụng kiến thức cơ bản để giải toán là một trong những kĩ năng thường có trong những đề thi nếu mỗi giáo viên không “tự học”, “tự sáng tạo” thì việc thực hiện giải được đã là khó khăn chứ chưa nói đến hình thành kĩ năng giải.
Qua việc chấm bài vận dụng kĩ năng vận dụng trong kì thi chọn giáo viên giỏi, thật đáng tiếc khi khá nhiều giáo viên còn bỏ trống, mất điểm một cách đáng tiếc, với yêu cầu đề bài có dạng toán này mà thực chất ta chỉ cần vận dụng tam thức bậc hai để thực hiện. Đây là một vấn đề trăn trở đối với một cán bộ quản lí luôn quan tâm đến công tác chuyên môn trong nhà trường đặc biệt đối với giáo viên môn toán.
Đối với học sinh
Khi giảng dạy cho các em học sinh khá, giỏi cũng như trong quá trình bổ sung hệ thống kiến thức cho học sinh chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi, kì thi vượt cấp tôi nhận thấy vẫn còn một số nhầm lẫn và sai sót đáng tiếc sảy ra trong lời giải cũng như khi chấm bài cho các em mà đề bài đề cập tới các dạng toán nêu trên. 
Đặc biệt trong quá trình chấm thi học sinh giỏi tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh còn hạn chế kĩ năng vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải các bài tập có liên quan. Nguyên nhân ở đây do trong quá trình học tập các em chưa hình thành được cách vận dụng tam thức bậc hai một cách có khoa học, hệ thống.
Qua khảo sát những năm trước đây khi chưa triển khai đề tài này tôi nhận thấy: Học sinh chưa làm tốt được các bài tập có liên quan cụ thể kết quả như sau: 
Tổng số HS tham gia khảo sát
Điểm < 3
Điểm 3 - < 5
Điểm 5- < 6,5
Điểm 6,5- < 8
Điểm 8->10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
15
0
0
1
7
9
60
3
20
2
13
Trên đây là kết quả khảo sát, kiểm tra đánh giá đề bài có nội dung trước khi triển khai đề tài này.
	 Đúc kết những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy với việc nghiên cứu tài liệu tôi mạnh dạn trình bày vấn đề này thành đề tài nghiên cứu. Với việc hình thành kĩ năng vận dụng tôi hi vọng sẽ giúp các em có thêm một kĩ năng giải toán cũng như các đồng nghiệp quan tâm nắm vững các kĩ năng đó một cách có hệ thống và khoa học nhất.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng
Ở bậc THCS chúng ta chưa có thói quen vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán. Tuy nhiên trên cơ sở đưa cácbài toán về dạng tam thức bậc hai mà ta đã quen thuộc. Việc đưa các bài toán về những bài toán có dạng tam thức bậc hai thông qua cách đặt ẩn phụ hoặc biến đổi các phép toán đòi hỏi không ít kĩ năng, khi nắm và làm chủ được các kĩ năng này thì việc thực hiện khá đơn giản.
Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy trong chương trình. Trong quá trình giảng dạy, bản thân tôi đã nghiên cứu, áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phương pháp phù hợp với đặc trưng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đưa các bài toán về dạng quen thuộc.
Để giải được các bài toán có thể đưa về việc vận dụng tam thức bậc hai tôi mạnh dạn nêu một số vấn đề có trong chương trình toán bậc THCS  tuy vậy trong khuôn khổ đề tài tôi chỉ đề cập đến một số kĩ năng vận dụng tam thức bậc hai vào giải một số dạng toán cơ giải phương trình và bất phương trình và các bài toán cực trị.
2.3.1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
Kiến thức cơ bản.
Để vận dụng tam thức bậc hai vào giải các phương trình không có dạng phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0)
Ta có ∆= b2 - 4ac
- Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
x1 = -b+∆2a và x2=-b-∆2a
- Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = - b2a
- Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.
Một số dạng toán cơ bản:	
1. Phương trình trùng phương:
1.1. Kiến thức cơ bản: 
Phương trình trùng phương có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)
Phương trình trên không có dạng phương trình bậc 2 song có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ:
Ta đặt x2 = t (t ≥ 0) ta được phương trình bậc 2: at2 + bt + c = 0
1.2. Ví dụ:
Giải phương trình 2x4 - 3x2 – 2 = 0
Giải:
Đặt x2 = t điều kiện t ≥ 0 ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn t:
	2t2 – 3t – 2 = 0
	∆ = 9 + 16 = 25 => ∆ = 5	
	 t1= 3-54 = - 12; t2= 3+54 = 2
t2 = 2 thõa mãn điều kiện t≥0
Với t= t2 = 2 ta có x2 = 2 => x1 = 2 ; x2 = - 2 ;
Vậy phương có 2 nghiệm x1 = 2 ; x2 = - 2
2. Phương trình đối xứng bậc chẳn:
2.2. Kiến thức cơ bản:
Ta xét phương trình bậc 4 dạng: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a≠0)
Các hệ số của ẩn số cách đều số hạng chính giữa
Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho x2 ta có:
ax4x2+bx3x2+cx2x2+ax2 = 0
 ax2 + bx + c + bx + ax2 = 0
a(x2 +1x2) + b(x + 1x ) + c = 0 (1)
Đặt (x + 1x ) = y Ta có: x2 + 1x2 = (x + 1x )2 - 2 = y2 – 2
Đo đó phương trình (1) có dạng phương trình bậc 2:
ay2 + by + c – 2a = 0 (2)
Giải phương trình bậc hai với ẩn y ta tìm được y từ đó suy ra x.
2.3. Ví dụ:
Giải phương trình: 2x4 + 3x3 - x2+3x+2 = 0
Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Với x≠0 chia cả hai về của phương trình cho x2 ta được phương trình tương đương: 
	2x2 + 3x - 1 +3 1x + 2 1x = 0
 	2(x2 +2+1x2) + 3(x + 1x ) -5 = 0 
 	2(x + 1x )2 + 3(x + 1x ) -5 = 0
Tới đây ta nhận thấy phương trình trên có dạng bậc hai nếu đặt
 (x + 1x ) = y Ta đưa phương trình về dạng 2y2 + 3y -5 =0
Giải phương trình ta được y1 = 1; y2 = - 52
Với x + 1x = 1 ta có x2 + 1 – x =0 Vô nghiệm (Vì x≠0)
Với x + 1x = - 52 2x2 + 5x +2 = 0
Giải phương trình ta được hai nghiệm: x1 = -2; x2= - 12.
2.4. Nhận xét:
- Phương trình đối xứng bậc chẵn nếu m là nghiệm thì 1m cũng là nghiệm của phương trình.
- Nếu phương trình có dạng ax5 + bx4 +cx3 + cx2 + dx + k = 0 (a≠0)
Được gọi là phương trình đối xứng bậc lẻ, phương trình này bao giờ cũng nhận -1 làm nghiệm. Do đó có thể hạ bậc để đưa về phương trình đối xứng bậc chẳn mà ta vừa mới trình bày cách giải trên.
3. Phương trình hồi quy
3.1. Phương trình có dạng ax4 + bx3 + cx2 + bx +k = 0 (a≠0)
Vì x = 0 không phải nghiệm là nghiệm nên ta chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương: a(x2 + kax2) + b(x + dbx ) + c = 0
Trong đó: ka = (d b)2 . Đặt x + dbx = t => x2 + d2b2x = t2 - 2 db
Hay x2 + kax2 = t2 - 2 db
Vậy phương trình đã cho được đưa về dạng phương trình hai ẩn với t
	at2 + bt +c - 2adb = 0
3.2. Ví dụ:
	Giải phương trình 2x4 - 21x3 + 74x2 -105 x +50 = 0
Giải: x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho x2 ta được phương trình tương đương: 2(x2 + 25x2) - 21(x + 5x ) + 74 = 0
Đặt x +5x = t => x2 + 25x2 = t2 – 10
Khi đó phương trình trên có dạng phương trình bậc hai một ẩn:
	2t2 – 21t +54 = 0
Giải phương trình bậc hai này ta được hai nghiệm: t1 = 6 và t2 = 4,5
Với t1 = 6 Ta có x + 5x = 6 hay x2 - 6x + 5 = 0 hay x1= 1 và x2 =5
Với t2 = 4,5 Ta có x + 5x = 4,5 hay x2 – 4,5x + 5 = 0 hay x3= 2 và x4 =2,5
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x1= 1; x2 =5; 
x3= 2; x4 =2,5
3.3. Nhận xét:
Phương trình hồi quy trong đó ka = (d b)2 ; k≠0 có ẩn phụ dạng 
t= x + dbx .
4. Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m
Hay (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2
Đối với những dạng phương trình ta thường dùng phương pháp đặt để đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2.
4.1.Ví dụ: 
Ví dụ 1: Giải phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
Giải: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=3
 (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=3
 (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x +6)=3
Đặt x2 + 5x + 4=t ta được phương trình bậc hai ẩn t: 
t(t+2)=3t2 + 2t -3 =0
Giải phương trình bậc hai đối với ẩn t ta được t1 = 1 và t2 = -3
Với t1 = 1 ta có x2 + 5x + 4=1 hay x2 + 5x + 3=0
Giải ta được x1,2= -5±132
Với t2 = - 3 ta có	x2 + 5x + 4=-3 hay x2 + 5x + 7=0 Phương trình này vô nghiệm (vì ∆ = 25- 28 = -3<0)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x1,2= -5±132
Ví dụ 2: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12)=3x2 (1)
Giải: (1)	 4(x2 + 17x +60)( x2 + 16x +60)=3x2
4(x+17+60x2) (x+16+ 60x)=3(vì x≠0 )
Đặt x+16+ 60x = y
Ta được phương trình bậc hai: 4y2 + 4y – 3 = 0
Phương trình có 2 nghiệm vì ∆’ = 4+12=16
Giải phương trình ta được: y1= 12; y2=- 32
Với y1= 12 ta có 2x2 + 31x+120 = 0 x1= -8; x2= - 152
Với y2=- 32 ta có 2x2 + 35x+120 = 0 x3,4=-35±2654
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1= -8; x2= - 152; 
x3,4=-35±2654
4.2. Nhận xét:
- Đối với phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m 
Trong đó: a+d=b+c Ta nhóm [(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)]=m 
Từ đó đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai một ẩn.
Đối với phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=mx2 trong đó ad=bc
Ta nhóm[(x+a)(x+d)][(x+b)(x+c)]=mx2 ẩn phụ có thể đặt là y=x+ adx hoặc y=(x+a)(x+d).
- Đối với phương trình dạng d((x+a)(x+b)(x+c)=mx trong đó d=a+b+c2
m=(d-a)(d-b)(d-c) ta đặt ẩn phụ y=x+d. Một nghiệm của phương trình là y=0.
5. Phương trình vô tỉ:
5.1. Cơ sở lí thuyết:
 Trong quá trình giải phương trình vô tỉ đôi khi ta gặp những phương trình nếu ta dùng phương pháp bình phương hai vế để phá căn thức bậc hai thì dẫn đến một phương trình bậc cao mà việc giải những phương trình đó không đơn giãn. Song nếu khéo léo đặt ẩn phụ ta có thể quy phương trình đó về phương trình bậc hai. Sau đây ta sẽ xét một vài ví dụ.
5.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2-8x-3x2-4x-5 =12 (2)
Giải:
(2) 2(x2-4x-5)- 3x2-4x-5=2=0
Đặt x2-4x-5=t(t≥0) Ta quy về phương trình bậc hai với ẩn t
	2t2-3t-2=0
Giải phương trình ta được 2 nghiệm t1=2; t2=- 12
Với t2=- 12 loại (vì t≥0)
Với t1=2 Ta giải được phương trình x2-4x-5 =2. Hai vế không âm, phương trình tương đương với x2-4x-5=4
 x2-4x-9=0
 Phương trình có 2 nghiệm: x1,2=2±13
Ví dụ 2: Giải phương trình (4x+1)x2+1=2x2+2x+1
Giải: Nếu bình phương hai vế để phá căn thức thì ta quy về phương trình bậc 4 đầy đủ việc giải gặp khó khăn hơn.
Nếu ta đặt t=x2+1≥1=> x2=t2-1 phương trình trên trở thành:
 (4x-1)t=2(t2-1)+2x+1
Ta quy phương trình bậc hai đối với ẩn t:
 2t2-(4x-1)t+2x-1=0
∆=(4x-1)2-8(2x-1)=(4x-3)2
t1,2=4x-1±(4x-3)4
t1= 2x-1 và t2= 12 <1 (loại)
Với t=2x-1 Thay t=x2+1 ta được phương trình: 
4x2-4x+1=x2+1(x≥1)
 3x2-4x=0
Giải phương trình ta được: x1=43; x2= 0 (loại vì x≥1)
Vậy x = 43 là nghiệm của phương trình đã cho.
5.3. Nhận xét: Đây là những phương trình vô tỉ với cách đặt như trên làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. Phương trình đặt ẩn phụ này nhằm quy phương trình về dạng phương trình bậc hai.
6. Giải và biện luận phương trình:
6.1. Kiến thức cơ bản: 
Đối với những phương trình bậc cao với những tham số đây không phải là những phương trình đặc biệt nên việc giải đôi khi rất khó khă