SKKN Vận dụng khai triển nhị thức Niutơn chứng minh đẳng thức và phát triển hệ thống bài tập

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 6
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 ĐỀ TÀI:
 VẬN DỤNG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN 
 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ PHÁT TRIỂN HỆ THỐNG BÀI TẬP
 Người thực hiện: Trần Công Tuấn
 Chức vụ: Giáo viên Toán
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán.
 THANH HÓA, NĂM 2018
MỤC LỤC
Mục
Nội dung
Trang
Bìa
1
Mục lục 
2
I
Mở đầu
3
1
Lí do chọn đề tài. 
3
2
Mục đích.
3
3
Đối tượng nghiên cứu.
4
4
Phương pháp nghiên cứu 
4
II
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
4
1
Cơ sở lý luận
4
2
Thực trạng của vấn đề
4-5
3
Giải pháp và tổ chức thực hiện
5-11
4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
11-12
III
Kết luận và kiến nghị
12
1
Kết luận
12-13
2
Kiến nghị
13
Phụ lục.
14
 I.MỞ ĐẦU.
 1.Lí do chọn đề tài.
 Toán học là một môn khoa học mở rộng vốn tri thức của học sinh, phát huy tính tích cực tự giác chủ động và sáng tạo trong học tập của học sinh. Đó là con đường để thực hiện đổi mới phương pháp dạy học.
 Trong thực tế học tập và giảng dạy học sinh và giáo viên trong nhà trường đứng trước bài toán chứng minh các đẳng thức xuất phát từ các khai triển nhị thức Niutơn ,việc đưa ra phương hướng giải quyết bài toán là còn lúng túng , có ảnh hưởng đến chất lượng dạy và học nói riêng trong tổ chuyên môn và ảnh hưởng đến phần nào chất lượng giáo dục chung trong nhà trường. Mục tiêu của tổ chuyên môn xây dựng chuyên đề giảng dạy bồi dưỡng thêm kiến thức chứng minh các đẳng thức dựa trên khai triển nhị thức Niutơn cho học sinh và giáo viên. Từ đó tôi luôn đặt vấn đề các bài toán đó từ đâu ra, dựa vào cơ sở nào để định hướng được phương hướng giải toán ? Có xây dựng được một lớp bài toán tương tự không? 
 Vì những vấn đề nêu trên cùng với thực tế giảng dạy trong nhà trường là yêu cầu cần thiết, với các kiến thức tích luỹ của bản thân tôi đã chọn đề tài “Vận dụng khai triển nhị thức Niutơn chứng minh đẳng thức và phát triển hệ thống bài tập” thú vị. Qua đó giúp người dạy định hướng được phương pháp giải cụ thể lô gic, giúp người học rễ tiếp thu và có cơ hội sáng tạo của bản thân xây dựng bổ sung lớp các bài toán trên cùng cơ sở phương phải giải toán .
 2.Mục đích.
 Trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm giảng dạy các bài toán chứng minh đẳng thức xuất phát từ khai thác khai triển nhị thức Niutơn , chủ động xây dựng hệ thống thành các dạng bài tập giảng dạy cho học sinh. 
 Hướng dẫn học sinh định hướng và giải các bài tập chứng minh dựa trên cơ sở suy luận số hạng tổng quát trong các tổng khai triển nhị thức Niutơn, và tư duy lô gic chủ động phát triển thành chuỗi các bài tập cùng dạng, cùng cơ sở lí luận, tự tin trong học tập bộ môn toán.
 Qua thực tế giảng dạy các bài tập về công thức nhị thức Niutơn. Đề tài này giúp giáo viên và học sinh tự tin hơn khi đứng trước một bài toán chứng minh đẳng thức trong tổng chứa tổ hợp ,có số hạng tổng quát. Người dạy và người học định hướng được phương pháp giải toán, biết khai thác kiến thức một cách chủ động làm tăng cường hứng thú học tập cho học sinh và giáo viên trong bộ môn toán . 
3. Đối tượng nghiên cứu.
 Vận dụng khai triển công thức nhị thức Niutơn, tính đạo hàm,lấy tích phân trong khai triển nhị thức Niu tơn, qua đó định hướng xây dựng phương pháp giải toán và xây dựng hệ thống bài tập. 
4. Phương pháp nghiên cứu.
 Xây dựng cơ sở lý luận, ghi nhận kiến thức cơ bản, chuẩn bị hệ thống bài tập và tổ chức triển khai thực hiện: 
*Năm học : 2015- 2016 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11C1 và 11C2.
*Năm học : 2016- 2017 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11A1 và 11A2.
 *Năm học : 2017- 2018 thử nghiệm trên 1 lớp 11B1
 Kiểm tra, đánh giá ,rút các kinh nghiệm thu được từ thực tiễn giảng dạy và học tập, báo cáo kết quả chuyên môn ở tổ, tranh thủ các ý kiến đóng góp của tổ viên để hoàn thiện đề tài và tổ chức thực hiện.
II-NỘI DUNG SÁNG KIẾN. KINH NGHIỆM.
1. Cơ sở lý luận .
 Trên cơ sở sử dụng công thức nhị thức Niutơn : (n)
SGK đại số & giải tích 11 đã trình bày và thực hiện một số phép toán tính đạo hàm, lấy tích phân mà “khai triển” nên hệ thống các bài tập, từ đó giúp học sinh định hướng được phương pháp giải toán. 
 Bằng kinh nghiệm và hệ thông câu hỏi thích hợp giáo viên có thể dẫn dắt học sinh phát triển một hệ thống bài tập với cùng cơ sở lí luận và cùng phương pháp giải toán.
 Giáo dục phải lấy người học làm trung tâm, phải khơi dậy được lòng đam mê, hứng thú và khát vọng của học sinh. Giáo dục toàn diện học sinh là phải đào tạo những con người lao động tự chủ, tư duy sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp.
 Thay đổi phương pháp giảng dạy, khắc phục lối truyền thụ một chiều. Rèn luyện học sinh phát triển năng lực tự tư duy, sáng tạo là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên bộ môn , đó là nội dung đổi mới phương pháp giảng dạy.
 Để làm được những mục tiêu trên đó là trách nhiệm của người giáo viên là vô cùng quan trọng. Vì vậy mỗi thầy cô phải không ngừng học tập ,nâng cao trình độ chuyên môn ,yêu nghề thực sự tận tụy và tâm huyết với nghề ,với học trò và không ngừng đổi mới phương pháp và tìm tòi các phương pháp mới, cách tiếp cận mới sao cho đơn giản và hiệu quả tạo tinh thần phấn khởi và hứng thú ở người học.
2. Thực trạng của vấn đề.
 Học sinh trong nhà trường phần lớn là học sinh có học lực trung bình, tỉ lệ học sinh có học lực khá giỏi là không nhiều. Nhiệm vụ của tổ nhóm chuyên môn phải tổ chức đánh giá xếp loại năng lực học sinh ,nhóm chuyên môn phải xây dựng kế hoạch bồi dưỡng phụ đạo theo nhóm học sinh có học lực khác nhau.
 Trong các buổi thảo luận về chuyên môn xây dựng phương pháp dạy học cho nhóm đối tượng học sinh khá giỏi, đã có nhiều ý kiến trao đổi giảng dạy cho học sinh phần chứng minh đẳng thức trong khai triển nhị thức Niutơn, đây là nội dung khó đối với học sinh trong nhà trường và cũng không đơn giản đối với giáo viên.
 Là một nội dung khó và thời lượng trong chương trình không nhiều, học sinh và giáo viên ít va chạm, giáo viên không biết cách tổng hợp, khái quát bản chất của các dạng toán sẽ khó định hướng được phương pháp giải toán cho học sinh. Tuy nhiên nếu giáo viên nắm bắt chắc công thức nhị thức Niu tơn, phương án triển khai nhị thức Niu tơn thì việc giải quyết các bài toán chứng minh đẳng thức trong khai triển nhị thức Niutơn sẽ đơn giản và dễ hiểu đối với học sinh.
 * Năm học : 2015- 2016 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11C1 và 11C2.
Kết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài:
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2015-2016
C1= 37
1
2,7%
4
10,8%
25
67,6%
7
18,9%
C2= 41
2
4,9%
6
14,6%
28
68,3%
5
12,2%
Kết quả kiểm tra kiến thức khi triển khai đề tài đến cả hai đơn vị lớp 11C1, 11C2:
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2015-2016
C1= 37
5
13,5%
14
37,8%
15
40,5%
3
8,2%
C2= 41
8
19,5%
16
39,0%
14
34,1%
3
7,4%
So sánh hai bảng tổng hợp kết quả kiểm tra , ta thấy khi triển khai đề tài thì kết quả học tập của học sinh có tiến bộ .
 *Năm học : 2016- 2017 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11A1 và 11A2.
Kết quả kiểm tra kiến thức khi chưa triển khai đề tài:
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2016-2017
11A1=38
0
0%
7
18,4%
24
63,2%
7
18,4%
11A2=40
0
0%
6
15,0%
29
72,5%
5
12,5%
Kết quả kiểm tra kiến thức khi triển khai đề tài đến cả hai đơn vị lớp 11A1, 11A2:
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2016-2017
11A1=38
8
21,1%
20
53,9%
10
25,0%
0%
11A2=40
7
17,5%
20
50,0%
13
32,5%
0%
So sánh hai bảng tổng hợp kết quả kiểm tra , ta thấy khi triển khai đề tài thì kết quả học tập của học sinh có tiến bộ .
Năm học : 2017- 2018 tôi thử nghiệm trên 2 đơn vị lớp 11B1, 11B2.
 Khi chưa triển khai đề tài, kiểm tra kiến thức chứng minh các đẳng thức có vận dụng công thức nhị thức Niutơn vào giải toán ,kết quả như sau: 
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2017-2018
B1= 33
0
0%
5
13,2%
24
71,0%
4
15,8%
B2= 42
0
0%
7
16,6%
29
69,1%
6
14,3%
 Từ thực trạng đó, trên cơ sở sử dụng công thức nhị thức Niutơn SGK đại số & giải tích 11 đã trình bày và thực hiện một số phép toán mà “khai triển” nên hệ thống các bài tập, Từ đó giúp người dạy định hướng được phương pháp giải cụ thể lô gic, giúp người học phát triển tư duy sáng tạo, rễ tiếp thu khắc sâu được kiến thức trọng tâm .Hiệu quả hơn trong kết quả học tập và giảng dạy. 
3.Giải pháp và tổ chức thực hiện .
3.1Dạng 1: Sử dụng trực tiếp khai triển nhị thức Niu tơn: (1)
Nhận xét: 
-Số hạng tổng quát (SHTQ) theo công thức (CT) (1) là: 
Bài toán 1.Chứng minh: với (*)
Giải: 
*)Theo công thức nhị thức Niutơn : (1)
+SHTQ theo khai triển (1): 
*) với (*)
+SHTQ theo khai triển (*): 
Suy ra : a = 1, b = 1, thay vào CT(1): 
Vậy(*) được chứng minh.
Kết luận: 
-Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 1, bằng cách từ công thức (1) cho a, b các giá trị cụ thể .
Chẳng hạn từ công thức (1) cho a, b các giá trị cụ thể ta có lớp các bài toán sau:
+ Với a=1, b=1 ta có:
 Bài toán1. CMR : , 
+ Với a=1, b=-1 ta có :
Bài toán 2. CMR : , .
+ Với a=1, b= ta có:
 Bài toán 3. CMR : , .
+Với a=1, b= ta có:
 Bài toán 4. CMR :,.
+Với a=2, b=ta có :
 Bài toán 5. CMR : , . 
+Với a=2, b=1 ,ta có: Vì (a+b)n =(2+1)n = (1+2)n = 3n . => Bài toán 6. CMR : , 
 (hoặc CMR:, ).
-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên. 
 Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát (SHTQ) thì ta áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để giải toán ,cụ thể như sau: Bước 1. Tìm SHTQ của khai triển cần chứng minh( Các thông số thay đổi ta viết theo bk.)
Bước 2. So sánh SHTQ của khai triển cần chứng minh với SHTQ theo CT(1) là: 
 Ta tìm được a là: số hạng có mũ là (n-k) , (Lưu ý:Khả năng ngụy trang khi a=1) và tìm được b là:số hạng có mũ là (k) .
Giải bài toán 4. CMR : , (**) 
*)Theo công thức nhị thức Niutơn : (1)
+SHTQ theo khai triển (1): 
*) với (**)
+SHTQ theo khai triển (**): 
So sánh SHTQ suy ra : a = 1, b = , thay vào CT(1): 
Vậy(**) được chứng minh.
Lưu ý: Các bài toán 2,3,5,6 giải tương tự.
3.2Dạng 2: Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn với a = a, b = x.
, (2)
3.2.1.H­íng 1:
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) (mét hoÆc nhiÒu lÇn) råi cho a, x c¸c gi¸ trÞ cô thÓ.
+Lấy đạo hàm cấp 1 công thức (2) ta có kết quả là công thức: , (2/)
+ Lấy đạo hàm cấp 2 công thức (2) ta có kết quản là công thức: , (2//) 
Bài toán 7.Chứng minh: với (*)
Giải: 
*)Công thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x , (2)
Lấy đạo hàm cấp 1 công thức (2) ta có kết quả là công thức: , (2/)
+SHTQ theo CT(2/) 
*) với (*) +SHTQ theo CT(*): 
So sánh SHTQ suy ra : a = 1, x = -1, thay vào CT(2/) : = . Vậy (*) được chứng minh.
Kết luận: 
 -Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 7, bằng cách từ công thức (2/) ,(2//) cho a, x các giá trị cụ thể .
 Chẳng hạn từ công thức (2/) ,(2//) cho a, x các giá trị cụ thể ta có lớp các bài toán sau:
+ Với a = 1, x=-1 thay vào (2’), (2’’) lần lượt ta có bài toán:
Bài toán 7.CMR: , 
Bài toán 8.CMR: , 
+ Với a= 1,x=2 thay vào (2’) (2’’) lần lượt ta có bài toán:
Bài toán 9.CMR: , 
Bài toán 10.CMR: 
 , 
-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên. 
 Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát (SHTQ) là hoặc ( hệ số của tổ hợp là tích của các số tự nhiên,..)thì ta tính đạo hàm cấp 1, hoặc cấp 2 công thức nhị thức Niu tơn với a= a, b= x áp dụng SHTQ trong CT (2/) ,CT(2//) để giải toán ,cụ thể như sau: Bước 1. Tìm SHTQ của khai triển cần chứng minh( Các thông số thay đổi ta viết theo bk.)
Bước 2. So sánh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(2/) hoặc(2//).
+Nếu SHTQ ( trong SHTQ có k ) thì lấy đạo hàm cấp 1 CT(2) 
 Ta tìm được a là số hạng có số mũ ( n- k) và x là số hạng có số mũ là ( k-1)
+Nếu SHTQ ( trong SHTQ có k(k-1) ) thì lấy đạo hàm cấp 2 CT(2) 
 Ta tìm được a là số hạng có số mũ ( n- k) và x là số hạng có số mũ là ( k-2)
Giải bài toán 10: CMR: 
 , (*)
*)Công thức nhị thức Niu tơn với a = a, b = x là: : (2)
Lấy đạo hàm cấp 2 công thức (2) ta có kết quả là công thức: , (2//) 
+SHTQ theo CT(2//) 
*), (*)
+SHTQ: 
So sánh SHTQ suy ra : a = 1, x = 2, thay vào CT(2//) chính là đẳng thức(*) Vậy (*) được chứng minh.
Lưu ý: Các bài toán 7,8,9 giải tương tự.
3.2.2.Hướng 2: Lấy tích phân 2 vế của CT(2) cận từ 0 đến x: 
, (2)
 (3) 
Bài toán 11: CMR : (*)
Giải: 
*) Lấy tích phân 2 vế của CT(2) cận từ 0 đến x, ta có CT(3) 
+SHTQ theo CT(3) 
*): (*)
+SHTQ theo CT(*) 
 So sánh SHTQ suy ra : a = 1, x = 1, thay vào CT(3) chính là đẳng thức(*) Vậy (*) được chứng minh.
 Kết luận: -Giáo viên không phụ thuộc vào việc tìm bài tập tương tự trong các tài liệu,mà chủ động xây dựng hệ thống bài tập tương tự bài toán 11, bằng cách từ công thức (3) cho a, x các giá trị cụ thể .
Chẳng hạn từ công thức (3) cho a, x các giá trị cụ thể ta có lớp các bài toán sau:
+ Với a =1, x= 1 ta có:
 Bài toán 11: CMR : (*)
+ Với a =1, x= -1 ta có:
 Bài toán 12: CMR : 
 =	
+ Với a =2, x= 1 ta có:
 Bài toán 13: CMR : 
Lưu ý: Các bài toán 12,13 giải tương tự.
-Đề xuất phương pháp giải hệ thống các bài tập nói trên.
 Căn cứ vào dạng bài tập, có tổng các số hạng mà có số hạng tổng quát (SHTQ) theo CT(3) là , ( trong SHTQ thường có chứa )thì ta lấy tích phân công thức ( 2) với cận từ 0 đến x, áp dụng SHTQ trong CT (3) để giải toán ,cụ thể như sau: Bước 1. Tìm SHTQ của tổng cần chứng minh
Bước 2. So sánh SHTQ của khai triển với SHTQ theo CT(3) ta tìm được a và x.
3.3.Một số bài tập tham khảo.
Bài toán 14: CMR ,
Bài toán 15: CMR : ,.
Bài toán16. CMR : , .
Bài toán17. CMR : , 
Bài toán18. CMR : , 
Bài toán19. CMR : , 
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
 Trong năm học 2017 -2018 tôi đã áp dụng đề tài giảng dạy bồi dưỡng ở đơn vị lớp 11B1 trường THPT Triệu Sơn 6, tôi nhận thấy trong giờ học lớp 11B1 học sôi nổi ,hứng thú hơn giờ học của đơn vị lớp 11B2 ( lớp 11B2 chỉ chữa các bài tập SGK11, SBT 11) .Trong giờ học lớp 11B1 chủ động hơn khi làm bài tập, nắm bắt được công thức, định hướng được lời giải ,có tư duy sáng tạo, biết đề xuất xây dựng hệ thống các bài tập tương tự , hiệu quả giờ học được nâng lên. Kết quả kiểm tra học kì 2 thi tập trung theo số báo danh, kết quả tổng hợp đa số học sinh lớp 11B1 làm được câu 2) bài toán chứng minh các đẳng thức có vận dụng công thức nhị thức Niutơn trong đề thi, số lượng học sinh lớp 11B1 làm được câu 2) nhiều hơn hẳn so với số học sinh 11B2 làm được câu 2). 
 Năm học : 2017- 2018 khảo sát trên 2 đơn vị lớp 11B1, 11B2,( trong đó lớp 11B1 được triển khai đề tài; Lớp 11B2 không triển khai đề tài).Kết quả khảo sát làm bài kiểm tra trên 2 đơn vị lớp 11B1 ,11B2 với thời lượng 90 phút, số liệu tổng hợp như sau:
Năm học
 Lớp/
 Sĩ số
 Giỏi
 Khá
 Trung bình
 Yếu
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
2017-2018
B1= 33
10
0%
13
39,4%
10
30,3%
0
0%
B2= 42
0
0%
4
9,5%
27
64,3%
11
26.2%
 So sánh kết quả trong hai lần khảo sát ,kết quả phản ánh việc triển khai đề tài đến lớp học kết quả học tập tốt hơn, học sinh chủ động và nghiêm túc làm bài tập hơn, bài làm trình bày rõ ràng khoa học. Đó là những kết quả bước đầu rất khả quan của SKKN.
 Sáng kiến kinh nghiệm được xây dựng dưới dạng chuyên đề ,nên trong sinh hoạt chuyên môn của tổ được nhiều thầy cô giáo góp ý cũng như đánh giá cao tính hiệu quả của đề tài. Qua đề tài giúp bản thân và giáo viên trong tổ chuyên môn chủ động hơn trong việc dạy học sinh tiếp cận, giúp giáo viên phán đoán định hướng phương pháp giải dựa trên cơ sở khoa học, dễ nhận biết và cụ thể hơn, bên cạnh đó giúp giáo viên xây dựng hệ thống bài tập từ mức độ khó đến dễ tuỳ vào năng lực học sinh mà có thể không cần dùng đến tài liệu tham khảo. 
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
1. Kết luận.
 Đề tài đã đi vào thực tiễn dạy và học trong nhà trường, kết quả khảo sát phản ánh đạt hiệu quả tốt trong việc áp dụng đề tài, góp phần nâng chuyên môn nghiệp vụ cho cán bộ giáo viên , đồng thời nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường . Đề tài cũng là nội dung đổi mới phương pháp dạy học tích cực được tổ chuyên môn và hội đồng khoa học nhà trường đánh giá cao trong thực tiễn dạy và học của thầy và trò. 
 Nội dung trong đề tài, quá trình chứng minh luôn thông qua việc phân tích và so sánh các số hạng tổng quát trong các khai triển để giải quyết bài toán. Đây là một vấn đề rất thú vị xin bạn đọc hãy nghiên cứu, so sánh nhận dạng đó là chìa khóa để giải các bài toán dạng này.
 Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm không thể triển khai hết các vấn đề liên quan đến công thức nhị thức Niutơn. Vì vậy tôi xin đề xuất hướng phát triển thêm trong đề tài, khi chúng ta thay các giá trị của a, b,x trong các khai triển hoặc cộng trừ các khai triển với nhau ta sẽ có một lớp các bài tập sinh động và khó hơn. Trong mục 3.2.2, nếu ta thay cận là a,b thì ta có lớp bài toán mới trông có vẻ phức tạp hơn song phương án giải quyết vẫn đơn giản như trên. Đó là một trong những lí do của đề tài mà tôi không nêu thêm một lớp các bài tập, hy vọng các bạn sẽ tự nêu các bài tập theo phương án đề xuất
 Trên đây là kinh nghiệm thực tế mà bản thân đã giảng dạy nhiều năm tôi rút ra cho bản thân và bước đầu được áp dụng có kết quả khả quan. Tri thức là một tập hợp vô hạn, truyền thụ kiến thức và lĩnh hội tri thức là một việc không hề đơn giản. Điều quan trọng là người thầy phải luôn trăn trở làm thế nào để kích thích tư duy tính sáng tạo tinh thần tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi để nâng cao kiến thức cho học sinh qua đó nâng cao nghiệp vụ chuyên môn cho bản thân. Do kinh nghiệm chưa nhiều nên đề tài không tránh được những hạn chế, tôi tiếp tục bổ sung và hoàn thiện dần .Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý vị và các bạn đồng nghiệp để đề tài đi vào thực tiễn được áp dụng nhiều hơn và đạt hiệu quả cao hơn trong giảng dạy.
2. Kiến nghị.
2.1) Đối với sở GD&ĐT Thanh Hóa.
 Tổng hợp các sáng kiến có chất lượng, hiệu quả trong thực tiễn,. Đánh giá xây dựng thành chuyên đề triển khai đến các tổ chuyên môn trong nhà trường học tập , nghiên cứu ,rút kinh nghiệm thành tài liệu chung trong công tác giảng dạy và học tập.
2.2) Đối với các trường phổ thông.
 Ban giám hiệu nhà trường cần thành lập hội đồng khoa học nhà trường ,có hội thảo khoa học ,đánh giá xếp loại các đề tài chính xác ,khách quan ,động viên khen thưởng kịp thời .Tạo điều kiện để các thầy các cô có điều kiện tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ, kiên trì, tích cực đổi mới phương pháp trong giảng dạy nhằm phát huy tốt năng lực tự học của trò và năng lực dạy học của người thầy.
 Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2018
 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG 
 Hiệu trưởng Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
 mình viết không sao chép nội dung
 của người khác
 Người viết
 ĐOÀN NGỌC THANH TRẦN CÔNG TUẤN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
	1. Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 chuẩn và nâng cao của Bộ giáo dục và đào tạo.
	2. Đề thi đại học, cao đẳng môn Toán của Bộ giáo dục và đào tạo.
 3. Đề thi thử đại học của một số trường THPT Triệu Sơn 1- Triệu Sơn 4- Triệu Sơn 5- Triệu Sơn 6 và một số trường trên toàn quốc năm trong các năm 2014 - 2015 , 2015 – 2016, 2016-2017,2017-2018. 
 4. Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của một số trường trong tỉnh, ngoài tỉnh năm 2015 - 2016.,2016-2017,2017-2018
	5. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.