SKKN Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế giúp học sinh trường Trung học Phổ thông Ngô Lê Tân hứng thú hơn khi học môn Toán

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài :
Trong Chương trình giáo dục THPT hiện nay, Tích phân góp phần quan trọng trong môn Giải tích Toán học, là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Tuy nhiên, trong chương trình sách giáo khoa lớp 12 hiện nay chỉ thiên về những bài tính toán khô khan, học sinh chỉ biết tính toán một cách máy móc mà không thấy được những ứng dụng thực tế của nó.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, liên hệ được môn Toán với các bài toán thực tế . Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế, và liên hệ với các môn học khác. Thông qua kiến thức mà người giáo viên đã tinh lọc, qua ứng dụng, thực hành các em sẽ lĩnh hội những tri thức toán học một cách dễ dàng, các em sẽ thấy mối quan hệ không thể tách rời giữa lý thuyết với thực tế. Khi chúng ta chỉ ra được tầm quan trọng của môn toán trong các ứng dụng thực tế một cách thường xuyên, khoa học thì chất lượng dạy học môn toán sẽ ngày một nâng cao. 
Trong đề thi môn Toán THPT Quốc gia những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo có xu hướng đưa vào các bài toán thực thế. Vì vậy những bài toán ứng dụng thực tế của tích phân đang là chủ đề nóng và rất cần thiết cho những học sinh đang chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia.
	Chính vì những lý do nêu trên mà tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng tích phân giải các bài toán thực tế giúp học sinh trường THPT Ngô Lê Tân hứng thú hơn khi học môn Toán”.
II. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
	- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán nói chung và môn Giải tích 12 nói riêng theo hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, liên môn, giúp học sinh có phương pháp học tập thích ứng với xu hướng hiện nay.
	- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, và cũng giúp các em thấy được tầm quan trọng của môn Toán đối với tất cả các lĩnh vực khác của cuộc sống.
III. Đối tượng nghiên cứu :
- Tìm hiểu khái niệm tích phân trong Giải tích 12.
 - Một số bài toán liên quan trong các đề thi THPTQG. 
- Đề tài này áp dụng rộng rãi cho các em học sinh THPT, học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG, các em học sinh giỏi và tất cả giáo viên dạy Toán ở trường THPT tham khảo.
IV. Phương pháp nghiên cứu :
1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ....có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung : Ứng dụng tích phân.
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
	Môn Toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
	Môn Toán ở trường THPT là một môn độc lập, chiếm phần lớn thời gian trong chương trình học của học sinh.
	Môn Toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
	Môn Toán có khả năng giáo dục rất lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận lôgíc, thao tác tư duy cần thiết để con người phát triển toàn diện, hình thành nhân cách tốt đẹp cho con người lao động trong thời đại mới.
2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
	Ở lứa tuổi THPT cơ thể của các em đang trong thời kỳ phát triển hay nói cụ thể là các hệ cơ quan gần như hoàn thiện, vì thế sức dẻo dai của cơ thể rất cao nên các em rất hiếu động, thích hoạt động để chứng tỏ mình.
	Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi các em không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập.
Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
	Học sinh THPT có trí thông minh, khá nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tải. Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ. Đặc biệt đối với học sinh lớp 12, các em đã có định hướng nghề nghiệp tương lai, sẽ rất khó khăn khi có một bộ phận học sinh không học Đại học khối A, B, D mà theo các hướng rẽ khác. Do vậy giờ học sẽ trở nên nặng nề, không duy trì được khả năng chú ý của các em nếu người giáo viên chỉ cho các em nghe và làm theo những gì đã có trong sách giáo khoa.
	Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp, phải chỉ ra được ứng dụng của môn Toán đối với tất cả các lĩnh vực của cuộc sống.
 Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN:	
	Ở trường THPT Ngô Lê Tân, phần lớn học sinh chỉ giải được các bài toán tích phân như: tính tích phân, tính diện tích hình phẳng, thể tích. Do đó, khi gặp các bài bài toán ứng dụng thực tế của tích phân các em thường lúng túng và không biết cách làm, số lượng học sinh giải được các bài toán thực tế là chưa nhiều. 
	Nguồn tài liệu chủ yếu được thu thập từ các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước; chưa có tài liệu đúc kết, phân loại và nêu rõ phương pháp giải các bài toán thực tế sát thực với mức độ đề thi THPT Quốc gia nên nhiều giáo viên chưa có hứng thú trong giảng dạy, nghiên cứu, phân loại các bài tập dạng này để phục vụ cho công tác giảng dạy và kiểm tra đánh giá. 
	 Nhắc đến Tích phân, học sinh thường nghĩ ngay đến bài toán khô khan, khó hiểu, làm bài tập theo nhiệm vụ, chưa thật sự hứng thú với mảng kiến thức này. Do đó, khi dạy đối tượng học sinh đại trà như hiện nay, người giáo viên phải thật cô đọng lý thuyết, sắp xếp lại bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề và phù hợp với từng đối tượng học sinh. Ngoài ra, người giáo viên cũng phải tăng cường các bài toán thực tế để tất cả các đối tượng học sinh đều thấy được tầm quan trọng và ứng dụng rộng rãi của Tích phân vào các lĩnh vực đời sống từ đó tạo hứng thú học tập hơn cho các em. 
III . NỘI DUNG LÝ THUYẾT :
1. Nguyên hàm
Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số xác định trên K. Hàm số được gọi là nguyên hàm của trên K nếu
.
Nếu là một nguyên hàm của trên K thì họ tất cả các nguyên hàm của trên K là
.
Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Tính chất
Cho các hằng số .
.
.
.
c. Nguyên hàm của một số hàm thường gặp
Cho là hằng số 
2. Tích phân
a. Khái niệm tích phân
Cho hàm số liên tục trên K và . Nếu là một nguyên hàm của trên K thì giá trị F(b) – F(a) gọi là tích phân của hàm từ a đến b, kí hiệu 
Đối với biến số, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho , tức là 
b. Tính chất của tích phân
 Cho hàm số liên tục trên và , .
.
.
.
.
3. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
a. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi một đường cong (C) và trục hoành
.
 Diện tích được tính theo công thức
b. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi 2 đường cong
Diện tích được tính theo công thức
4. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay
a. Cho hàm liên tục trên đoạn . Gọi (H) là hình thang cong giới hạn bởi các đường sau:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình (H) xoay quanh trục Ox. 
b. Cho 2 hàm số và cùng liên tục trên đoạn và thỏa điều kiện . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra do hình phẳng (H) quay quanh trục Ox:
IV. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
DẠNG 1: BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG
Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là
Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.
Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi 
 được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ 
 giữa s(t) và v(t)
 Đạo hàm của quãng đường là vận tốc
 Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường
Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là:
Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa v(t) và a(t)
 Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc
 Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc
Qua đó có thể giải thích cho học sinh các công thức thường sử dụng trong các bài toán chuyển động của bộ môn Vật lý.
, trong đó là vận tốc ban đầu của vật (hay vận tốc của vật 
tại thời điểm ).
 , trong đó là quãng đường ban đầu của vật (hay quãng đường tại thời điểm ).
Bài toán 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc thì người người đạp phanh (còn gọi là “thắng”). Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
(SGK 12 NC)
Hướng dẫn giải:
 Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm , ô tô có vận tốc . Suy ra .
 Khi ô tô dừng lại tại thời điểm thì vận tốc . Suy ra .
 Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm khi thời gian t từ 0s đến 0,5s là
 .
Bài toán 2: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị . Biết tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là . Hỏi tại thời điểm thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
 Ta có quãng đường của vật tại thời điểm là 
Mà 
Tại thời điểm vật đi được quãng đường là 
Bài toán 3: Một vật chuyển động với vận tốc có gia tốc . Vận tốc ban đầu của vật là . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). 
(SBT 12 NC)
Hướng dẫn giải:
Ta có vận tốc của vật tại thời điểm là
 .
Mà .
Tại thời điểm vận tốc của vật là 
Bài toán 4: Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình trong đó tính bằng giây , tính bằng mét . Gia tốc của xe máy lúc bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Vận tại thời điểm giây là
 .
Gia tốc tại thời điểm giây là
 .
Suy ra gia tốc tại thời điểm giây là 
Bài toán 5: Một vật di chuyển với gia tốc . Khi thì vận tốc của vật là . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hướng dẫn giải :
Ta có vận tốc của vật tại thời điểm là 
Theo đề ta có .
Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là : 
Bài toán 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc sau khi đi được một khoảng thời gian thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc và đi thêm một khoảng thời gian nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s. Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải:
Đến lúc phanh vận tốc của xe là : đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường
 đạp phanh ; sau khi đi thêm một khoảng với thời gian thì vận tốc là 0 nên ta có
 .
Theo đề bài ra ta lập hệ được 
Tổng quãng đường đi được là: .
Bài toán 7: Một vật xuất phát từ A chuyển động thẳng và nhanh dần đều với vận tốc . Tính vận tốc tại thời điểm mà vật đó cách A ? (Giả thiết thời điểm vật xuất phát từ A tương ứng với )
Hướng dẫn giải:
Ta có quãng đường của vật tại thời điểm là : .
Vật xuất phát từ A tương ứng với thời gian nên .
Suy ra : .
Vật cách A ta có : . Nhận .
Vậy sau 4s thì vật cách A và vận tốc tại thời điểm đó là :
Bài toán 8: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m / s) thì người đạp phanh, từ thời điểm đó , ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m / s), trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển được 40m thì vận tốc ban đầu bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Thời điểm vật dừng lại khi vận tốc bằng 0:.
Ô tô di chuyển được 40 mét nên ta có
Bài toán 9: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên dưới. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.
C. KẾT LUẬN
Hướng dẫn giải
 Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(15;90) nên suy ra
.
Vận tốc của máy bay tại thời điểm là
Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như và vận tốc lúc đó là .
Suy ra .
Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là
(m/s).
Bài toán 10: Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong Parabol có hình bên dưới. Biết rằng sau 15s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Hàm vận tốc có dạng là đường Parabol có đỉnh , đồng thời đi 
qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra
.
Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc và đạt vận tốc cao nhất lúc s nên 
quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất
.
Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được một quãng đường dài 600m.
. Bài toán 11: Một chất điểm xuất phát từ , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật , trong đó (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm cũng xuất phát từ , chuyển động thẳng cùng hướng với , nhưng chậm hơn giây so với và có gia tốc bằng ( là hằng số) . Sau khi xuất phát được giây thì đuổi kịp . Tìm vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp .
 (Đề thi THPTQG – 2018)
Hướng dẫn giải
Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất 
điểm B bắt kịp thì A đi được 15 giây, B đi được 10 giây. 
Biểu thức vận tốc của chất điểm B có dạng .
Mặt khác ta lại có nên 
Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động cho đến khi bị chất điểm B bắt kịp thì quãng 
đường hai chất điểm đi được là bằng nhau. Do đó 
Từ đó, vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng 
Bài toán 12: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây sau nó đạt đến vận tốc . Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A.
(SGK 12 NC)
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn giải
Thời điểm và gặp nhau là 20 giây kể từ lúc 
 xuất phát. Đồ thị vận tốc của là đường gấp khúc Quãng đường đã đi được là diện tích hình thang . Diện tích của nó là , do đó lúc gặp đi được . 
Đồ thị vận tốc của là đường thẳng . Vì 
 xuất phát cùng vị trí với nên quãng đường đi được là .
Mặt khác, quãng đường đã đi được bằng diện tích hình tam giác với và 
 chính là vận tốc của tại thời điểm đuổi kịp . 
Suy ra nên . 
Vậy vận tốc của tại thời điểm nó đuổi kịp là .
Bài toán 13: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó. 
 (Đề thi THPTQG – 2017)
Hướng dẫn giải
Giả sử phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đường parabol là 
Dựa vào đồ thị vận tốc bài cho ta có:
Ta có , suy ra phương trình vận tốc của vật chuyển động theo đường thẳng 
là Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
Bài toán 14: Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là 72 m/s bắt đầu từ độ cao 2m. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn.
Hướng dẫn giải
Ta biết rằng trong chuyển động ném đứng từ dưới lên thì gia tốc trọng trường có giá trị 
âm tại mọi thời điểm t, nghĩa là . Do đó vận tốc của viên đạn tại thời điểm t là 
Do nên .
Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là
.
Vì nên .
Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao 
.
Bài toán 15: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu . Gia tốc trọng trường là .
Sau bao lâu thì viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?
Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất
 (tính chính xác đến hàng phần trăm).
(SGK 12 NC)
Hướng dẫn giải
a) Gọi là vận tốc của viên đạn. Ta có .
Suy ra . Vì nên . Vậy 
 Gọi là thời điểm đạn đạt tới độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng .
Vậy . Suy ra (giây).
b) Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là .
Vì nên do đó.
Độ cao cực đại của viên đạn được là 
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống là 
DẠNG 2: BÀI TOÁN VỀ TĂNG TRƯỞNG, PHÁT TRIỂN
Cho hàm số biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng nào đó (số người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy,...).
Giá trị là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm .
Đạo hàm chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm .
Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng là:
Bài toán 1: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ có số lượng là . Biết rằng và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con. Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có:
 .
Mặt khác theo bài ra
 .
Ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn bằng: (con).
Bài toán 2: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh. Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân có cứu chữa được không ?
Hướng dẫn giải
Vi khuẩn HP gây đau dạ dày tại ngày thứ với số lượng là .
Do ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn nên 
Suy ra số vi khuẩn trong dạ dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị bệnh là
. Vậy bệnh nhân cứu chữa được.
Bài toán 4: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số , trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi?
Hướng dẫn giải
Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của 
B’(t).
.
Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên
.
Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là
.
Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toà