SKKN Ứng dụng hình học giải nhanh một số bài toán về mô đun số phức ở mức độ vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Người thực hiện: LÊ MẠNH HÙNG
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2018
THANH HOÁ, NĂM 2018
MỤC LỤC
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình SGK và đề thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh đại học trước đây thì các dạng toán về số phức được đưa ra dạng cơ bản, đa phần chỉ
ở mức độ nhận biết, hoặc thông hiểu. Các câu hỏi mang tính vận dụng gần như
không xuất hiện. Vì thế, khi Bộ giáo dục và Đào tạo lần lượt đưa ra đề minh họa môn Toán cho kì thi THPT Quốc gia 2017-2018 , thì nhiều giáo viên và đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải của các bài số phức ở mức độ vận dụng. Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ. Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi chọn đề tài 
“ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO”
nhằm giúp các em hiểu và vận dụng kiến thức hình học giải quyết tốt các bài toán vận dụng cao để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Thông qua việc vận dụng các kiến thức về đường tròn , elíp giải quyết các bài toán về mô đun số phức giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, giải quyết một số bài toán số phức mức độ vận dụng cao một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương số phức trong chương trình toán THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải các bài toán tìm về modun số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản :
Định nghĩa elíp: Cho hai điểm cố định với độ dài . Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn: ( với a> c >0 ) được gọi là e líp
Hình dạng
Mối quan hệ: 
Định nghĩa mô đun số phức và ý nghĩa hình học
. Cho số phức mô đun của ký hiệu là được tính bởi 
. Mỗi số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) 
. Mỗi số phức có thể coi là một vecto 
. Tổng (hiệu) hai số phức bằng tổng (hiệu) hai vecto.
. 
. ; ; 
. ; ; 
. Cho M, N lần lượt biểu diễn hai số phức thì là các véc tơ biểu diễn . Khi đó :
* là véc tơ biểu diễn và 
* là véc tơ biểu diễn và 
Bất đẳng thức modun 
* dấu “ = ” xảy ra khi (k>0) hay ngược hướng
* dấu “ = ” xảy ra khi (k>0) hay cùng hướng
. M biểu diễn và I biểu diễn thì thuộc đường tròn tâm O bán kính R
. M biểu diễn , biểu diễn và biểu diễn thì thuộc đường trung trực .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
	- Trước đây số phức trong chương trình thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản( nhận biết, thông hiểu). Vì vậy việc giảng dạy và nghiên cứu của giáo viên chỉ dừng lại ở một mức độ cụ thể là giúp các em làm tốt phần kiến thức cơ bản.
 - Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục. Thông qua các đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 , đề minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần số phức đã xuất hiện nhiều hơn. Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ ( mức độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều. Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế.
- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán số phức khó.
2.2.2. Đối với học sinh
- Với lớp bài toán vận dụng , vận dụng cao các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán.
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít.
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa. 
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán mô đun số phức bằng việc chuyển sang bài toán hình học quen thuộc , giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Sử dụng kiến thức về e líp tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức 
Bài toán số phức : Cho số phức z thoả mãn với . 
Tìm GTLN, GTNN của .
 Sự tương ứng ở đây gồm:
* M là điểm biểu diễn z , tương ứng là điểm biểu diễn . Khi đó 
*A là điểm biểu diễn . Ta có 
Chuyển hóa thành bài toán hình học 
Bài toán hình học: Cho M chuyển động trên Elip (E) và một điểm A cố định. 
Tìm GTLN, GTNN của AM
Ta xét bài toán này trong các trường hợp đặc biệt 
Bài toán 1: Phương trình (E) dạng chính tắc 
Cho số phức z thoả mãn (Elíp ngang) hoặc (Elip đứng).Tìm GTLN, GTNN của .
Giải
- Tính 
- Lập phương trình dạng chính tắc (E) với . Hoặc với .
- Rút y theo dạng: đối với tương tự đối với 
- Thay vào P ta được với 
- Dùng chức năng TABLE của máy tính Casio và các phương án trắc nghiệm tìm GTLN, GTNN của hàm P2 từ đó có P.
Ví dụ 1
Cho số phức z thoả mãn .Tìm GTLN, GTNN của .
Giải
- Có a = 3, c = 2 
-Phương trình chính tắc Elip 
- Vậy 
- Bấm TABLE các hàm vơi được GTLN, GTNN của hàm P2 
Bài toán 2. Elip không ở dạng chính tắc nhưng A là trung điểm của tức A là tâm của Elip.
Cho số phức z thoả mãn với . Tìm GTLN, GTNN của . Với đặc điểm nhận dạng 
Phương pháp
- Tính 
- Tính 
- Vì A là tâm của Elip và M di chuyển trên Elip nên:
+ AM lớn nhất bằng a hay max P = a.
+ AM nhỏ nhất bằng b hay min P= b.
Ví dụ 2:
Cho số phức z thoả mãn .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải
- Ta có . Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của 
- Ta thấy và . Do đó 
- Tính . Vậy 
- Vậy max P’= 4; min P’= , do đó max P= 8; min P= .
Bài toán 3. Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của nhưng A nằm trên các trục của Elip.
Bài toán 3.1: A nằm trên trục Elip lớn và ngoài.
- Dấu hiệu nhận biết: 
- Thì max P= ; min P= 
Bài toán 3.2: A nằm trên trục lớn và ở phía trong Elip.
- Dấu hiệu nhận biết: 
- Thì max P= . Còn GTNN không xác định nhanh được.
Bài toán 3.3: A nằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip.
- Dấu hiệu nhận biết: 
- Thì min P= . Còn GTLN không xác định nhanh được.
Ví dụ 3
Cho số phức z thoả mãn .Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của .
Giải
. I là trung điểm của thì 
Có . Vậy A thuộc .
Mặt khác . Vậy A nằm ngoài Elip.
Vậy max P= AI+ a = ; min P= AI- a = 
Tổng kết bài toán 
Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc với và . Tìm Min, Max của : Tính và 
+) Nếu thấy thì max P= a; min P= b
+) Nếu thấy thì max P= ; min P= 
+) Nếu thấy thì max P= 
+) Nếu thấy thì min P= 
2.3.2 Sử dụng kiến thức về véc tơ tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức 
Bài toán Cho và . Tính .
Phương pháp
Gọi là các véc tơ biểu diễn thì và , 
Khai triển:
Bây giờ khử là xong.
Nhân (1) với ab và nhân (2) với cd rồi trừ đi, được:
Đặc biệt khi a = b =1 và c = - d =1, ta có công thức hình bình hành
 (Tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh )
Ví dụ 1: Cho các số phức thỏa mãn và tính .
Giải
Coi các số phức , là vector ta có 
Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) được: 
Ví dụ 2: Cho hai số phức ,thỏa mãnvà . 
Tìm GTLN của 
Giải
Các số phức ,có các vec tơ đại diện là 
Ta có 
Cộng (1) với (2) được: 
Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có . Vậy 
Ví dụ 3: : Cho hai số phức ,thỏa mãnvà . Tìm GTLN của .
Giải
Hướng dẫn
Coi các số phức , là các vector ta có 
nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 rồi cộng lại ta có: 
Áp dụng bất đẳng thức BNC, ta có 
Đáp số: 
Ví dụ 4 Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn và Gọi . Tính môđun của số phức 
*) Gọi là hai nghiệm của phương trình 
 là các vector đại diện . Từ (1) 
vậy 
Ví dụ 5: Cho số phức thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Giải:
Gọi là các véc tơ đại diện . 
Khi đó gọi là véc tơ đại diện và cùng phương với 
 gọi là véc tơ đại diện và cùng phương với 
Mà 
Vậy .
Ví dụ 6: Cho ba số phức thoả mãn Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Gọi A, B, C là các số phức biểu diễn 
. 
Vậy hay tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính R = 1.
2.3.3 Sử dụng kiến thức về đường tròn , đường thẳng tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức 
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn . 
Tìm GTLN, GTNN của 
Bài toán hình học:
Gọi M là điểm biểu diễn z, có
Với I biểu diễn và R là . Vậy M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R. Gọi A là điểm biểu diễn thì, bài toán trở thành: “ ChoM di chuyển trên đường tròn tâm I và A là điểm cố định. Tìm GTLN, GTNN của AM ” 
Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy ngay
Chú ý: Không phải phương trình đường tròn nào cũng là dạng mà đôi khi ở dạng với . Do đó để kiểm tra điều kiện giả thiết là phương trình đường tròn hay phương trình đường thẳng trong trường hợp là cách tốt nhất là gọi z = x +yi rồi thay vào giả thiết để biết (x; y) thỏa mãn phương trình nào.
 Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN của . 
Giải:
Viết T dạng thì thay vào phương trình ta được
 = AI .
Vậy và 
Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN của . 
Giải:
Viết T dạng thì thay vào ta được
 .
Vậy và 
Ví dụ 3: Cho số phức z thoả mãn Tìm GTLN, GTNN của . 
Giải:
Gọi z = x +yi , () và M(x;y) biểu diễn z thì 
Vậy M trên đường tròn tâm I bán kính R
Có với A(-1;-2).
Vậy và .
Bài toán 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm GTLN của biết rằng .
Bài toán hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R. Cho A, B là 2 điểm cố định thỏa mãn I nằm trên đoạn thẳng AB. Tìm giá trị lớn nhất của
P = aMA+bMB (khi I là trung điểm của AB hay I nằm trên đường trung trực của AB)
Ta có với J là trung điểm AB
Do đó (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất khi MJ lớn nhất hay 
Ví dụ 1:(Đề minh hoạ BGD- 2018): Xét các số phức thoả mãn 
 Tính P = a+ b khi đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Gọi M(a;b), A(-1;3), B(1;-1) tâm I(4;3). Gọi J là trung điểm AB J(0;1) IJ là trung trực của AB.
Bài toán trở thành: 
Tìm (1). Sao cho (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất. 
Ta có 
Do đó (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất khi MJ lớn nhất hay 
Phương trình (IJ): x -2y +2 = 0 (2)
Từ (1) và (2) 
 M(4;6) hoặc M(2;2) (kiểm tra loại bỏ) .Vậy P = a+ b=10.
Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn .Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải
Ta có tâm I(1;0) của đường tròn , bán kính . Điểm A và B ứng với 2 số phức I là trung điểm của AB 
max T = MA + MB = 4
Ví dụ 3: ( Sở GD và ĐT Bắc Ninh)
Cho số phức thỏa mãn diều kiện . Giá trị lớn nhất của biểu thức là
Giải:
Ta có: , 
. 
Chú ý : Trong trường hợp I không phải là trung điểm của AB hay I không nằm trên đường trung trực của AB ta sẽ dùng các tính chất về mô đun của số phức để giải quyết bài toán.
Ta có:
Với là véc tơ biểu diễn và là véc tơ biểu diễn với lưu ý 
Nhân (2) với k rồi cộng với (1) ta được:
 (không đổi)
Áp dụng bất đẳng thức BNC cho ta có
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 4: Cho số phức z thoả mãn .Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải: Ta có tâm I đường tròn trong giả thiết bán kính . Điểm A và B ứng với 2 số phức . Dễ thấy rằng . Vậy thậm chí I là trung điểm của AB. Ta có 
Với là véc tơ biểu diễn và là véc tơ biểu diễn 
 cộng (1) với (2) ta được:
 (không đổi)
Áp dụng bất đẳng thức BNC 
Ví dụ 5: 
Cho số phức z thoả mãn .Tìm giá trị lớn nhất của 
Giải:Ta có 
Với là véc tơ biểu diễn và là véc tơ biểu diễn 
 Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được:
 (không đổi)
Áp dụng bất đẳng thức BNC 
Bài toán 3:Cho hai số phức thỏa mãn và với cho trước. Tìm GTNN của 
Bài toán hình học: Gọi M, N là điểm biểu diễn . Giả thiết tương đương với M thuộc đường tròn tâm I bán kính R ( gọi là đường tròn (C)). Giả thiết tương đương N thuộc đường thẳng (d). Bài toán trở thành tìm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho T=MN ngắn nhất. Từ hình vẽ ta thấy ngay GTNN của MN bằng. Vậy.
Ví dụ 1: Cho hai số phức thỏa mãn và .Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Giải: 
Gọi M, N là điểm biểu diễn . Giả thiết tương đương với M thuộc đường tròn tâm I(-4;3) bán kính R=2. Giả thiết tương đương N thuộc đường thẳng (d): 3x-5y+4=0. 
Vậy 
Ví dụ 2 Đề thi THPT Quốc Gia 2017-2018
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thoả mãn và Tìm số phần tử của S.
Giải:
Gọi z = x+yi
Từ (C1)
Từ (C2)
Để tồn tại duy nhất một số phức thì (C1) (C2) tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong
. Vậy .
Bài toán 4Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTLN, GTNN của 
Bài toán hình học: Điều kiện thực chất là phương trình đường thẳng. Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z, A là điểm biểu diễn z1 và B là điểm biểu diễn z2 thì giả thiết tương đương với MA=MB hay M nằm trên đường trung trực của AB. Gọi I là điểm biểu diễn của z0 thì T= IM 
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I trên d. Giá trị nhỏ nhất bằng minT= d(I,d).
Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng , cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi z = x +yi rồi thay vào phương trình.
Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn . Tìm GTNN của . 
Giải
Gọi z = x +yi , () và M(x;y) biểu diễn z. Từ 
Vậy M di chuyển trên (d). Có =OM do đó nhỏ nhất bằng .
Ví dụ 2: Cho số phức z thoả mãn là một số thực. Tìm GTNN của
 .
Giải
Gọi z = x +yi , () . Ta có 
 Tích này có phần ảo là . Phần ảo bằng không
 (d). Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn z thì M chạy trên đường thẳng (d).
Gọi A(1;-1) là điểm biểu diễn -1+i thì T = AM . Giá trị T nhỏ nhất bằng khoảng cách từ A đến (d). Vậy .
Bài tập vận dụng cao
Câu 1:Cho số phức z thoả mãn . Tìm môđun lớn nhất của w biết rằng w = z+1+i.
A. B. C. 2 D. 
Câu 2: Cho số phức z thoả mãn thỏa mãn điều kiện . Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z+1- i.
A. B. C. D. 
Câu 3: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Khi đó M+m bằng
A. B. C. 7 D. Câu 4: Cho số phức z thoả mãn . Giá trị lớn nhất của là 
A. B. C. 6 D. 
Câu 5: Cho số phức z thoả mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. B. C. D. 
Câu 6: Cho số phức z thoả mãn . Tìm tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A. B. C. D. 
 Câu 7: Cho số phức z thoả mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức z - 2i. 
A. B. C. D. 
Câu 8: Cho số phức z thoả mãn . Giá trị lớn nhất của là 
A. B. C. D. 
Câu 9: Cho số phức z thoả mãn .Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z - 1+i.
A. 4 B. C. 2 D. 
Câu10: Cho số phức z thoả mãn Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z+2i
A. B. C. D. 
Câu11: Cho số phức z thoả mãn và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm môđun của số phức z+i 
A. B. C. D. 
Câu 12: Gọi điểm A, B lần lượt biểu diễn các số phức () trên mặt phẳng tọa độ (A, B, C và A’, B’, C’ đều không thẳng hàng) và . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều B. Tam giác OAB vuông cân tại O
C. Tam giác OAB vuông cân tại B D. Diện tích tam giác OAB không đổi.
Câu13:Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn và Gọi . Tính môđun của số phức 
A. B. C. D. 
Câu14: Gọi S là tập hợp các số phức z thoả mãn và . Kí hiệu là hai số phức thuộc S và là những số phức có mô đun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. tính giá trị của biểu thức .
A. B. C. D. 
Câu15: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thoả mãn . Sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ. Tìm phần thực của số phức z đó 
A. B. C. D. 
Câu16: Cho số phức z thoả mãn Tổng giá trị lớn nhất của z và giá trị nhỏ nhất của số phức z là:
A. 3 B. C. D. 
Câu17: Cho số phức z thoả mãn Kí hiệu . Tính môđun của số phức 
A. B. C. D. 
Câu18: Trong các số phức z thoả mãn Tìm số phức z môđun nhỏ nhất.
A. B. C. D. 
Câu19: Cho số phức z thoả mãn Giá trị nhỏ nhất của là .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6.
Câu 20: Cho số phức z thoả mãn Giá trị lớn nhất của là .
A. B. C. D. 
Câu 21: Tìm giá trị lớn nhất của biết 
A. B. 2 C. D. 
Câu 22: Cho số phức z thoả mãnTìm giá trị lớn nhất của là .
A. B. C. D. 
Câu 23: Xác định số phức z thoả mãn mà đạt giá trị lớn nhất .
A. B. C. D. 
Câu 24: Cho số phức z thoả mãn là .
A. B. 4 C. 6 D. 
Câu 25: Cho số phức z thoả mãn Biểu thức có giá trị lớn nhất là: 
A. B. 2 C. D. 
Câu 26: Cho số phức z thoả mãn Đặt .Tìm giá trị lớn nhất của m là: 
A. B. 1 C. D. 
Câu 27: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M+m ?
A. 2 B. C. D. 
Câu 28: Cho số phức z thoả mãn. Tìm giá trị lớn nhất của 
A. B. C. D. .
Câu 29: Cho số phức z thoả mãn. Tìm giá trị lớn nhất của 
A. B. C. D. . 
Câu 30: Cho số phức z thoả mãn. Tìm giá trị lớn nhất của 
A. B. C. D. .
Câu 31: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Tính môđun số phức w = M + mi.
 A. B. C. D. 
Câu 32: Cho số phức z thoả mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức z . 
A. B. C. D. 
Câu 33: Cho số phức z, w thoả mãn Giá trị nhỏ nhất của là .
A. B. C. D. 
Câu 34: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M.m 
A. 2 B. 1 C. D. 
Câu 35: Cho số phức z thoả mãn Biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại z = a +bi (). Tính P = a-4b
 A. P= - 2 B. C. P = - 1 D. 
Câu 36: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M+m ?
A. B. C. D. 
Câu 37: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M+m ?
A. B. C. D. 
Câu 38: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M + m ?
A. 4034 B. 2017 C. D. 
Câu 39: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M2+m2 ?
A. 11 B. 15 C. D. 
Câu 40: Cho số phức z thoả mãn Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của . Tính M+m ?
A. B. C. D. 7
2.4. Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm
Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào quá trình nghiên cứu và giảng dạy đã mang lại những kết quả tích cực.
- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần số phức, vận dụng hình học vào giải quyết các bài toán số phức mức độ vận dụng cao , giúp tôi có những kiến thức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em. Từ đó định hướng cho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụng cao.
- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo và hướng dẫn cho học sinh khi làm toán.
- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúp học sinh phát triển tư duy hơn. Học sinh có khả năng định hướng được cách làm với những dạng bài tập khó khác. Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạo hứng thú cho các em trong quá trình học tập. Việc làm các bài tập số phức nói chung và số phức ở mức độ vận dụng cao ở các em trở nên nhanh chóng và chính xác. Cụ thể. tôi cho các em một số bài ki