SKKN Sử dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12 - Thpt; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY CÁC BƯỚC ĐỂ GIẢI 
10 BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐIỂN HÌNH CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN LỚP 12-THPT; GIÚP HỌC SINH 
GIẢI NHANH VÀ ĐẠT ĐIỂM CAO TRONG KÌ THI 
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 
 Người thực hiện: Lưu Thị Huyên
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán học
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
Mục lục
Tài liệu tham khảo
Danh mục các sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp Sở GD&ĐT xếp loại C trở lên
Phụ lục
Phần 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Thực hiện chủ trương đổi mới giáo dục nước ta về mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp giảng dạy, đặc biệt là đổi mới nội dung chương trình sách giáo khoa và cách thức thi, kiểm tra, đánh giá học sinh. Trong kì thi THPT quốc gia, đề thi môn toán có 50 câu trắc nghiệm, học sinh hoàn thành bài với thời gian 90 phút. Làm thế nào để trong khoảng thời gian ngắn như thế, mà được điểm cao thật không dễ! Rõ ràng, cách dạy trình bày lí luận không còn phù hợp, thay vào đó chúng ta phải dạy thế nào để học sinh ghi nhớ tốt nhiều công thức, nhiều phương pháp, phát huy tính sáng tạo chủ động của học sinh, thì mới trả lời đúng được nhiều câu hỏi trong thời gian nhanh nhất. Chính vì thế, tôi chọn đề tài: “Sử dụng sơ đồ tư duy các bước để giải 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12 –THPT; giúp học sinh giải nhanh và đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia”.
Thực tế giảng dạy cho thấy rằng: học sinh thích học đại số hơn học hình học và sợ học môn hình học. Lí do là sao vậy? Hầu hết trong số các lí do là người học thiếu phương pháp làm bài một cách khoa học và dễ nhớ, giống như một người cần một đèn pin soi đường trong đêm tối, một người học không có phương pháp, thì không thể học tốt được. Trong phạm vi của đề tài, tôi chỉ nghiên cứu về 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT. Thiết nghĩ, nếu một bài toán hình học chỉ được trình bày đơn thuần từ đầu đến cuối, học sinh sẽ dễ nhàm chán, không nắm được phương pháp; sử dụng sơ đồ tư duy, với ưu điểm: có màu sắc, hình vẽ minh họa, đảm bảo tính khoa học – logic, học sinh dễ học - dễ nhớ; sẽ soi đường, chỉ lối cho các em tìm ra phương pháp học đạt hiệu quả cao.
Trong xu thế hội nhập vào nền cách mạng công nghiệp 4.0, học sinh của chúng ta phải đáp ứng được nhiều tiêu chí: thông minh, nhanh nhẹn, làm việc khoa học - sáng tạo. Tôi hi vọng đề tài này giúp học sinh có được các tiêu chí trên, đặc biệt nhiệm vụ trước mắt là giải quyết những câu khó dành điểm 9,10 trong đề thi THPTQG, là tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, của các em học sinh và mong nhận được sự chia sẻ, góp ý, để đề tài được ứng dụng rộng rãi hơn.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài.
Qua nghiên cứu đề tài, giáo viên phải nắm được phương pháp giải 10 bài toán điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT, qua đó giúp học sinh áp dụng giải các bài tập tương tự theo sơ đồ đã cho. Từ đó khơi nguồn và tạo cảm hứng trong việc dạy - học tập và sự tìm tòi của những ai yêu thích môn toán học này.
3. Đối tượng và phạm vi đề tài nghiên cứu.
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
  Các bài tập cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT; áp dụng dạy cho học sinh các khối, lớp mà tôi được phân công trực tiếp giảng dạy từ năm 2016 đến nay. Cụ thể như sau:	- Lớp 12A2, 12A4 năm học 2016– 2017 trường THPT Đông Sơn 1.
3.2. Phạm vi nghiên cứu:
 - Chương trình SGK Hình học lớp 12 chưa cải cách (NXB GD năm 2000)
 - Chương trình SGK Hình học , lớp 12 cải cách (NXB GD năm 2006).
4. Thời gian nghiên cứu:  Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 3 năm 2018.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:
+ Nghiên cứu tài liệu.
+ Nghiên cứu và tổng kết kinh nghiệm giảng dạy.
+ Thực nghiệm sư phạm.
+ Phân tích và tổng hợp lý thuyết.
+ Phân loại và hệ thống lý thuyết.
+ Phương pháp thực nghiệm (thông qua thực tế dạy học trên lớp, giao bài tập, củng cố bài học, hướng dẫn HS chuẩn bị bài, kết hợp với kiểm tra, đánh giá).
6. Những nét đổi mới, sáng tạo và tạo ra giá trị mới nếu áp dụng sáng kiến:
	- Sáng tạo hơn: học sinh có hướng tư duy mới khi giải bài toán hình học cùng dạng và những dạng khác có liên quan;giúp học sinh học tập chủ động tích cực, phát huy khả năng tự học ở nhà.
	- Tiết kiệm thời gian: đây là sổ tay ghi nhớ, là cẩm nang để bàn giúp học sinh chỉ cần nhìn vào sơ đồ là biết cách làm bài; giúp học sinh làm đúng và nhanh nhiều bài tập tắc nghiệm trong thời gian ngắn, đạt điểm cao 9 - 10 trong các kì thi.
- Ghi nhớ tốt hơn: sơ đồ tư duy với hình vẽ bắt mắt, chữ viết màu sắc, giúp học sinh dễ học dễ nhớ.
	- Nhìn thấy bức tranh tổng thể: học sinh nắm được các bước rõ ràng đảm bảo tính logic, hệ thống, tổng quát các bài tập từ đầu đến cuối.
	- Phát triển nhận thức tư duy: học sinh có thể áp dụng cách học này cho nhiều bài tập khác, môn học khác ; đồng thời thay đổi cách suy nghĩ cũ:“ thấy hình học là khó”, mà yêu thích học môn toán, đặc biệt là môn hình học không gian.
- Đây là tài liệu bổ ích giúp giáo viên giảng dạy và ôn tập hiệu quả cao.
Phần 2: NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của đề tài: 
1.1. Cơ sở khoa học của đề tài:
- Sơ đồ tư duy các bước giải là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi, đào sâu, mở rộng ý tưởng, hệ thống hóa một chủ đề hay một mạch kiến thức bằng cách kết hợp việc sử dụng màu sắc, chữ viết, hình vẽ minh họa với sự tư duy tích cực.
- Sơ đồ tư duy chú trọng đến màu sắc, các nhánh, các bước liên đới với nhau. Có thể sử dụng sơ đồ vào dạy học các bài mới, ôn tập chương – kì.
- Sơ đồ tư duy giúp người học phát huy tối đa tính chủ động, tích cực,tính sáng tạo của các em.
- Sơ đồ tư duy là cách ghi chép hiệu quả, sắp xếp bố cục thông tin cần thiết nhất và logic.
1.2. Cơ sở thực tiễn của đề tài:
- Học sinh chưa có phương pháp học hiệu quả.
- Thời gian học tập ở nhà còn ít.
- Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn hạn chế.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
- Phần lớn học sinh không nhớ các kiến thức hình học lớp 10,11; các kiến thức lớp 12 nhớ không chắc chắn, lúc nhớ lúc quên.
- Kĩ năng tự học, học và làm bài về nhà của học sinh còn hạn chế; các em còn bị phân tán nhiều bởi các trò chơi và mạng xã hội.
- Kĩ năng phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình học tọa độ còn nhiều lúng túng.
- Giáo viên bộ môn chưa chú trọng nhiều đến việc hướng dẫn học sinh kĩ năng tự học, kĩ năng tìm cách giải bài toán bằng sơ đồ tư duy, đây là kĩ năng được đánh giá là giúp học sinh giải những câu có nội dung kiến thức vận dụng cao 
(chống máy tính CASIO).
	Chính vì thế, việc sử dụng sơ đồ tư duy vào giải các bài toán hình học tọa độ không gian giúp học sinh ghi nhớ rất tốt, chỉ nhìn vào sơ đồ biết ngay cách làm, các thao tác lặp lại nhiều lần sẽ hình thành kĩ năng học tập và giải toán tốt hơn; đồng thời học sinh nhìn được bức tranh tổng thể, có thể tự phân tích các mối quan hệ giữa các đối tượng, từ đó khả năng tự học được phát huy. Qua đó, việc truyền thụ kiến thức đến học sinh của các thầy cô nhẹ nhàng hơn, dễ hiểu hơn; các em thích học hình học và đam mê học toán hơn.
3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN - KIỂM NGHIỆM :
3.1. Giới thiệu sơ lược nội dung chương 3-hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT:
Trong không gian Oxyz cho: và . Khi đó:
+) 
+) 
+) 	
+) 
+) 	
+) 
+) 	 
+) 
+) 
+) 
+) đồng phẳng hay 
+) không đồng phẳng hay .
+) M chia đoạn AB theo tỉ số .
Đặc biệt: M là trung điểm AB: .
+) G là trọng tâm tam giác ABC: 
+) G là trọng tâm tứ diện ABCD: 
+) Véctơ đơn vị: 
+) Điểm trên các trục tọa độ: 
+) Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: .
+) Diện tích tam giác ABC: 
+) Diện tích hình bình hành ABCD: 
+) Thể tích khối tứ diện ABCD: 
+) Thể tích khối hộp : 
3.2. Hệ thống hóa các kiến thức có liên quan:
+) Góc của hai mặt phẳng.
Cho hai mặt phẳng và 
Gọi là góc của hai mặt phẳng, ta có: 
+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho mp và điểm . Khi đó:
+) Góc giữa hai đường thẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và đường thẳng có vectơ chỉ phương . Gọi là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
+) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.
Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và mặt phẳng ta có:
+) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có vectơ chỉ phương :
Cách 1:
Viết phương trình mặt phẳng qua M1 và vuông góc với .
Tìm tọa độ giao điểm H của và mặt phẳng .
.
Cách 2: Sử dụng công thức: 
+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua và có vectơ chỉ phương và đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .
 Cách 1:
Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
Tính khoảng cách từ mặt phẳng .
.
 Cách 2: Sử dụng công thức: .
+) Áp dụng bất đẳng thức: 
đẳng thức xảy ra khi .
3.3. 10 bài toán cực trị điển hình của hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT:
Để tìm cực trị trong không gian chúng ta thường sử dụng hai cách:
Cách 1:Sử dụng phương pháp hình học.
Cách 2:Sử dụng phương pháp đại số.
 Bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho n điểm . Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng ) sao cho 
a) Nhỏ nhất khi .
b) Lớn nhất khi .
Phân tích sơ đồ: Trong sơ đồ các bước giải bài toán 1a, gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm điểm I thỏa mãn: 
Bước 2: Biến đổi 
Bước 3: Nếu thì P lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng hoặc lên mặt phẳng .
Sai lầm học sinh có thể mắc phải:
- Học sinh nắm được dữ kiện của bài toán song biểu thị biểu thức véc tơ còn lúng túng.
- Học sinh sai lầm trong cách tính véc tơ.
- Học sinh chưa biết điều kiện để MI lớn nhất hay nhỏ nhất.
Cách khắc phục: Giáo viên gợi ý, hướng dẫn học sinh biểu thị véc tơ:
- Tính các véc tơ 
- Thực hiện phép toán cộng, trừ, nhân véc tơ sao cho .
- Tìm ra điểm I.
- Biến đổi biểu thức .
- Biện luận theo .Tìm ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của.
Lưu ý:Các sơ đồ tiếp theo được hiểu thứ tự các bước giải như sơ đồ các bước giải bài toán 1a. Ngoài ra, có thể tìm thêm cách khác để giải bài toán này. Từ đó, ta lập một sơ đồ các bước giải tương ứng.
Bài tập áp dụng bài toán 1: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Tìm M thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi là điểm thỏa mãn điều kiện .
Mà 
Do đó 
Khi đó :
Do không đổi nên S nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất 
khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng .
Ta có: Phương trình đường thẳng 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 1:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Tìm M thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất.
Bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho n điểm . Tìm M thuộc đường thẳng ( hoặc mặt phẳng ) sao cho nhỏ nhất , trong đó .
Bài tập áp dụng bài toán 2: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Tìm M thuộc đường thẳng sao cho nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi là điểm thỏa mãn điều kiện .
Mà Do đó 
Khi đó :
Do đó P nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng .
Ta có: 
Vì 
Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 2:
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm . Tìm M thuộc đường thẳng sao cho lớn nhất.
Bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài tập áp dụng bài toán 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng. Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài giải:
Mặt phẳng có là véc tơ pháp tuyến.
Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của ta được 18 và 6 nên hai điểm A,B nằm về cùng một phía so với .
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua .
Khi đó A’ và B ở khác phía so với và với mọi điểm ta có: .
Do đó mà A’B không đổi và đẳng thức xảy ra khi suy ra MA +MB nhỏ nhất .
Ta có: .
Tọa độ giao điểm H của AA’ và là nghiệm của hệ: 
H là trung điểm của AA’
Suy ra , phương trình 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 
Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 3:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng
. Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài toán 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng . Tìm sao cho lớn nhất , với . 
Bài tập áp dụng bài toán 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng. Tìm sao cho lớn nhất.
Bài giải:
Mặt phẳng có là véc tơ pháp tuyến.
Thay tọa độ hai điểm A, B vào vế trái phương trình của ta được 16 và -2 nên hai điểm A,B nằm khác phía so với .
Vì A,B nằm khác phía so với nên với mọi ta luôn có , đẳng thức xảy ra khi .
Phương trình AB: 
Tọa độ M: 
Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 4:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và mặt phẳng
. Tìm sao cho lớn nhất.
Bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài tập áp dụng bài toán 5: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài giải:
Vì 
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức : 
đẳng thức xảy ra khi .
Ta có: 
Đẳng thức xảy ra .
Vậy là điểm cần tìm.
Bài tập tương tự bài toán 5:
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm và đường thẳng . Tìm sao cho nhỏ nhất .
Bài toán 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và điểm A cho trước. Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách A một khoảng lớn nhất.
Cách 1: Phương pháp hàm số:
Cách 2: Dùng hình học:
Gọi K,H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên và . Khi đó , ta có, mà AK không đổi. Do đó, lớn nhất . Hay là mặt phẳng đi qua K, nhận làm véctơ pháp tuyến.
Bài tập áp dụng bài toán 6: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng , điểm A(1;-1;0). Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách A một khoảng lớn nhất.
Bài giải:
Đường thẳng đi qua B(1;0;-1) và có là véc tơ chỉ phương.
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của , suy ra phương trình của mặt phẳng có dạng: 
Do nên .
Do đó: 
Nếu 
Nếu thì đặt , xét hàm số với 
Ta có . Ta lại có: 
Suy ra , do đó đạt được khi .
Chọn ta tìm được .
Vậy phương trình mặt phẳng .
Bài tập tương tự bài toán 6:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng , điểm A(1;-1;1). Viết phương trình mặt phẳng chứa và cách A một khoảng lớn nhất.
Bài toán 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng , mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất.
Bài tập áp dụng bài toán 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất.
Bài giải:
Mặt phẳng có là véc tơ pháp tuyến.
Đường thẳng đi qua B(1;0;-1) và có là véc tơ chỉ phương.
Giả sử là véc tơ pháp tuyến của suy ra phương trình của mặt phẳng có dạng:
Do nên .
suy ra phương trình của mặt phẳng có dạng: .
Gọi .
Ta có .
Nếu 
Nếu đặt thì ta có .
Khảo sát hàm số , có: ta tìm được .
Suy ra khi chọn .
Vậy phương trình 
Bài tập tương tự bài toán 7:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc nhỏ nhất
Bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất.
Bài tập áp dụng bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất.
Bài giải:
Đường thẳng có là véc tơ chỉ phương.
Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng: .
Do nên .
Ta có dạng phương trình của 
Suy ra là véc tơ pháp tuyến của . Gọi .
Ta có: .
Nếu 
Nếu đặt thì ta có , .
Xét hàm số , ta có: , suy ra .
Do đó chọn .
Vậy phương trình 
Bài tập tương tự bài toán 8: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng và hai điểm . Viết phương trình mặt phẳng chứa và tạo với một góc lớn nhất.
Bài toán 9: Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài tập áp dụng bài toán 9:
Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng là 
a) lớn nhất.
b) nhỏ nhất.
Bài giải:
Giả sử d cắt d’ tại điểm M thì 
 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
Ta có nên .
Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d là:
Ta có nên . Ta lại có: .
Từ đó tìm được , .
Do đó
a) đạt được khi nên phương trình đường thẳng cần tìm .
b) đạt được khi nên phương trình đường thẳng cần tìm .
Bài tập tương tự bài toán 9:
Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài toán 10: Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và là lớn nhất.
Bài tập áp dụng bài toán 10:
Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và là lớn nhất.
Bài giải:
Giả sử d cắt d’ tại điểm M thì 
 là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
 đi qua và có véctơ chỉ phương .
Ta có:, .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:
Vì nên . Ta lại có: 
Từ đó ta tìm được , khi đó 
Vậy đường thẳng d có phương trình là: .
Bài tập tương tự bài toán 10:
Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và là lớn nhất.
3.4. Hiệu quả của việc sử dụng sơ đồ tư duy trong khi giải bài toán hình học tọa độ không gian lớp 12- THPT, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:
Khi dạy theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy, bản thân và đồng nghiệp thấy rằng: phần lớn gây hứng thú cho học sinh,học sinh hoạt động tích cực hơn, tránh tình trạng lớp học thụ động của học sinh. Từ đó, chất lượng học hình học tọa độ không gian nói riêng và môn toán nói chung tăng lên, đồng thời học sinh của nhà trường làm bài được điểm cao hơn trong các kì thi, đặc biệt trong kì thi THPT quốc gia các năm.
Qua học theo kĩ thuật lập sơ đồ tư duy học sinh có thể tư duy một cách hệ thống, đồng thời so sánh được những nội dung kiến thức ở mỗi phần và một bài với nhau, qua đó học sinh khắc sâu hơn những kiến thức theo chuẩn yêu cầu.
Kết quả sau nhiều lần kiểm tra đánh giá sáng kiến được thực hiện như sau:
Lớp
Sỉ số
Điểm bài kiểm tra khi chưa dạy
 giải bài toán hình học tọa độ
 không gian lớp 12 
bằng sơ đồ tư duy
Điểm bài kiểm tra sau khi 
dạy giải bài toán hình học
 tọa độ không gian lớp 12
 bằng sơ đồ tư duy
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A2
45
6
13
20
44
19
43
0
0
11
24
29
65
5
11
0
0
12A4
44
4
9
19
43
21
48
0
0
10
22
28
64
6
14
0
0
(Giỏi: Từ 9,0 đến 10; Khá: Từ 7,0 đến 8,75; Trung bình: 5,0 đến 6,75; Yếu: nhỏ hơn 5,0).
	Qua kết quả thu được, ta thấy những học sinh học yếu kém, từ chỗ chưa biết gì, nay đã chọn được con đường đi thích hợp; những học sinh khá, giỏi đã có kĩ năng tốt, lại thêm sơ đồ hỗ trợ hướng đi thì bài làm càng có độ chính xác, đáng tin cậy hơn.
 Phần 3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
 	Như chúng ta đã biết, dạy học trên lớp song song với dạy học đồng loạt, là dạy học phân hóa, đến từng cá nhân học sinh, vì các em có trình độ lĩnh hội kiến thức khác nhau. Đề tài này cũng nhằm mục đích đó, sơ đồ tư duy các bước giải như chiếc la bàn giúp người đang lạc trong rừng biết lối đi; giúp học sinh có thể ghi nhớ nhanh, bền vững cách giải 10 bài toán cực trị hình học tọa độ không gian lớp 12-THPT; đồng thời làm học sinh chủ động, hào hứng học hình, thay đổi tư duy cũ: thấy hình là thấy khó, từ đó học sinh có tư duy mới và làm bài thi đạt điểm cao 9, 10 trong kì thi THPTQG.
Ngoài ra, nếu điều kiện cho phép, tôi mong muốn được phát triển đề tài theo hướng nghiên cứu các nội dung sau: xây dựng sơ đồ tư duy các bước giải cho các bài toán khác; tìm thêm các cách giải khác cho các bài toán trên; phát triển các bài toán thành bài toán logic, hệ thống và tổng quát với nhau; tìm những bài toán vật lí thực tế có liên quan đến tổng các véctơ và tổng hợp lực. Đề nghị nhà trường hỗ trợ tích cực về phương tiện, thiết bị dạy học cho giáo viên trong việc áp dụng phương pháp mới này vào thực tiễn.
Với thời gian nghiên cứu chưa nhiều, nên không tránh khỏi những hạn chế và bất cập. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp, Hội đồng khoa học nhà trường để đề tài này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu nhà trường, tổ Toán – Tin và các bạn đồng nghiệp, các em học sinh các khối lớp những năm qua đã luôn quan tâm, nhiệt tình hưởng ứng