SKKN Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số trong đề thi THPT quốc gia mức độ vận dụng, vận dụng cao

A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ. 
Trong các đề thi học sinh giỏi và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây, bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số luôn nằm trong cấu trúc của đề thi ở ít nhất một trong các mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.
Như ta đã biết, nếu một hàm số, một biểu thức được cho hoặc chuyển được về dạng: hàm đại số đa thức, hữu tỷ, thì việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ trở nên đơn giản vì ở những dạng đó ta sử dụng nhiều công cụ hiệu quả: đồ thị, đạo hàm thậm trí học sinh có thể sử dụng máy tính casio để tìm ra đáp án. Tuy nhiên cũng có những hàm đại số (đặc biệt là hàm đại số nhiều ẩn) thì việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng những phương pháp đồ thị, đạo hàm, biến đổi thì không hiệu quả lắm. Hoặc những câu hỏi nhằm tránh học sinh sử dụng máy tính casio cũng vậy. Đây là nội dung mà đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi ngay từ giả thiết đầu tiên. Đối với học sinh đây là mảng kiến thức khó nên thường không làm được hoặc thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Trong những trường hợp này, nếu điều kiện cho phép ta có thể sử dụng phương pháp lượng giác để giải. Nội dung chính của phương pháp này là lượng giác hóa một số đại lượng trong bài toán ta đưa việc tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số về tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác đơn giản. 
Trong sách giáo khoa, sách bài tập cũng như sách tham khảo hầu hết chưa hình thành cho học sinh cách thức để giải quyết các dạng, loại bài tập. Vì vậy dẫn đến học sinh sẽ ngại học. Người thầy phải biết hướng dẫn học sinh nghiên cứu bài học và sắp xếp các bài tập có tính hệ thống thì sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải bài tập. 
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
 CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
MỨC ĐỘ VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây dựng, sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho học sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán, giúp học sinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
+ Khai thác và xây dựng hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa.
+ Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài chủ yếu là học sinh khối lớp 12 năm học 2018 - 2019.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Đề tài kết hợp giữa các phương pháp nghiên cứu:
+ Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu, các sách giáo khoa, sách bài tập, sách bồi dưỡng nâng cao.
+ Điều tra, quan sát:Thăm lớp, dự giờ, trao đổi với các giáo viên nhiều kinh nghiệm.
+ Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua những giờ dạy ở các lớp 12, trường THPT Yên Định 1 - Huyện Yên Định - Tỉnh Thanh Hóa.
+ Thực nghiệm giáo dục.
6. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:
Để thực hiện đề tài này tôi đã lựa chọn một số bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức trong sách giáo khoa lớp 10, 12, trong các đề thi ĐH, CĐ, đề thi HSG và trong các dề thi THPT QG những năm gần đây. Phân tích việc lượng giác hóa các biểu thức đó để đưa về biểu thức chứa các hàm số lượng giác và vận dụng các tính chất, công thức lượng giác để đưa ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất một cách đơn giản ngắn gọn nhất.
7. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI.
- Xây dựng được hệ thống bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa.
- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
	B. NỘI DUNG
PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
 Cho hàm số , xác định trên tập 
Một số thực M là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu:
Ký hiệu 	
Một số thực m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu:
Ký hiệu 
1.2. Một số biểu thức lượng giác cơ bản và giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó
(1) Hàm số Tập xác định của hàm số là 
.
Vậy đạt được khi .
 đạt được khi .
(2) Hàm số Tập xác định của hàm số là 
.
Vậy đạt được khi .
 đạt được khi .
(3) Hàm số Tập xác định của hàm số là 
Vì miền giá trị của hàm tanx là và tanx là hàm đồng biến trên tập xác định, do đó chỉ tìm được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên trên đoạn . 
Đặt .
.
Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên một đoạn.
(4) Hàm số Tập xác định của hàm số là 
Vì miền giá trị của hàm cotx là và cotx là hàm nghịch biến trên toàn tập xác định. Do đó chỉ tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn .
.
Bài toán trở thành xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc nhất trên một đoạn.
(5) Biểu thức bậc nhất đối với sinx và cosx
y = A(x) = asinx + bcosx + c.
, với .
.
Vậy .
(6) Biểu thức bậc 2 thuần nhất của sinx và cosx
.
 .
Đưa về dạng bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
(7) Biểu thức đối xứng của sinx và cosx
.
Đặt .
Ta có: .
Khi đó y là hàm bậc hai đối với t, xác định trên tùy theo giá trị cụ thể của a, b, c ta suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y.
Bài toán tương tự:
.
	1.3. Một số kỹ năng khi sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Một điểm chú ý khi sử dụng phương pháp này là cần lưu ý đến điều kiện tồn tại của ẩn phụ là các hàm số lượng giác.
* Chú ý giới hạn cung, góc và điều kiện.
* Các công thức lượng giác.
* Một số bất đẳng thức cổ điển như Côsi, Bunhiacopxki,...
* Điều kiện có nghiệm của phương trình là
+ Nếu x thỏa mãn: thì đặt với 
+ Nếu x thỏa mãn: hoặc biểu thức chứa lượng thì đặt 
+ Nếu biểu thức chứa lượng thì đặt 
+ Nếu có 
+ Nếu biểu thức có chứa thì đặt 
+ Nếu biểu thức có điều kiện thì đặt với 
+ Nếu biểu thức có điều kiện đặt
PHẦN 2. CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP
2.1. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho x > 1, giá trị nhỏ nhất của hàm số có dạng . Tính giá trị của P = a + b?
4 B. 3 C. 1 D. 2
Lời giải. Đặt ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
Chọn A.
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
 , với 
 B. C.2 D. 
Lời giải. Đặt: 
Khi đó 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta thu được:
Vậy 
Dâú “=” xảy ra 
Khi đó
Vậy
Chọn B.
Ví dụ 3. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 B. C.2 D. 
Lời giải. Vì nên đặt ta có
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
Giá trị lớn nhất của biểu thức T = a+d là :
A. B. 20 C. 9 D. 
Lời giải. Vì nên có thể đặt 
	 nên có thể đặt 
Từ đó
Từ giả thiết suy ra
Do đó	
hay . Dấu “ = ” xảy ra khi (tồn tại).
Vậy
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là a và Tính hiệu b – a?
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải. Vì nên đặt ta được
Vì nên
max y = 1 khi ; khi 
Vậy 
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A.15 B. 13 C. 26 D. 169
Lời giải. Vì nên đặt ta có
Dấu “=” xảy ra khi (tồn tại).
Vậy max P = 13. 
Chọn B.
Ví dụ 7. Cho . Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A.2 B. 10 C. 0 D. 4
Lời giải. Đặt và:
Ta có 
Nên ta được Từ đó:
* dấu “=” xảy ra khi 
* dấu “=” xảy ra khi 
Vậy chọn C.
Ví dụ 8. Với tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 bằng:
A.10 B. 20 C. 9 D. 0
Lời giải. Đặt , với ta có
Do đó: khi thì dấu “=” xảy ra.
	 khi thì dấu “=” xảy ra.
Vậy
Chọn D.
Ví dụ 9. Trong những nghiệm của hệ: 
Tìm nghiệm có tổng đạt giá trị lớn nhất.
A. B. C. D.
Lời giải. Từ 
Nên 
Vì 
Vì 
Vậy 
Vậy trong các nghiệm của hệ đã cho thì nghiệm là nghiệm mà có tổng đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất đó là 5. 
Chọn A.
Ví dụ 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 bằng:
4 B. -4 C. D. 
Lời giải. xác định 
Đặt 
ta có
Suy ra
 là biểu thức bậc nhất với và . Ta có
Vậy . 
Chọn B.
Ví dụ 11. Cho x, y > 0 với tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 B. 5 C. 6 D. 7
Lời giải. Ta đặt
Khi đó,
Hay
Như vậy,
Chọn D.
Ví dụ 12. Cho x, y, z > 0 sao cho x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của 
 có dạng . 
Giá trị a + b + c bằng:
6 B. 7 C. 8 D. 9
Lời giải. Ta thấy
1 = x + y + z = 
Do đó, với A, B, C là 3 góc của tam giác ABC. Ta đặt
Như vậy,
Vậy a = 1, b = 3, c = 4. Nên a + b + c = 8. 
Chọn C.
Ví dụ 13. Cho Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính M + m?
 B. C. D. 3
Lời giải. Từ giả thiết, ta đặt
Khi đó,
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2t = 0 
Mặt khác, 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi sin2t = 1 
Chọn B.
Ví dụ 14. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Khi đó M và m bằng:
 B. C. D. 1, -1.
Lời giải. Vì sự có mặt của và và tập xác định của hàm số là nên ta đặt: 
Do đó, Nên 
Chọn C.
Nhận xét:
Qua lời giải các bài toán này ta thấy nếu giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhận dạng và cách đặt để “lượng giác hóa” thì bài toàn trở về rất nhẹ nhàng, đây là công cụ giải toán quả thật rất hay và học sinh sẽ rất thích sử dụng.
2.2. Các bài tập đề nghị
Bài tập trắc nghiệm:
Bài 1. Cho số thực x, y, z thỏa mãn
x(x + y + z) = 3yz.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
5 B. 6 C. 7 D. 11.
Bài 2. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
7 B. 8 C. 9 D. 11.
Bài tập tự luận:
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
 với điều kiện 
Bài 3. Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
(x, y không đồng thời bằng không).
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Tổ chức thực nghiệm.
	Tổ chức thực nghiệm được tiến hành từ tháng 10 năm 2018 đến tháng 12 năm 2018 tại trường THPT Yên Định 1, huyện Yên Định gồm: 
	+ Lớp thực nghiệm 12A3 dạy theo triển khai đề tài.
 Lớp đối chứng 12A5 giảng dạy bình thường theo truyền thống.
	+ Trình độ học sinh được chọn ở các lớp tương đương nhau. Các lớp này được tiến hành kiểm tra trước và sau khi dạy và triển khai đề tài này. 
	2. Kết quả thực nghiệm
Hoạt động học tập của học sinh nhìn chung diễn ra khá sôi nổi không gây cảm giác áp đặt. Việc sử dụng các biện pháp nhận được sự hứng thú của học sinh trong giải toán và học toán. 
 Kết quả kiểm tra 
Lớp
Số bài
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12A3 Lớp thực nghiệm
40
16
40
15
37,5
9
22,5
0
0
12A5 Lớp đối chứng
38
4
10,5
10
26,3
14
36,9
10
26,3
Kết luận thực nghiệm:
- Từ bảng kết quả nêu trên cho thấy rằng lớp dạy thực nghiệm có kết quả học tập đạt được cao hơn. Trong đó tỷ lệ học sinh đạt kết quả loại khá, giỏi ở lớp thực nghiệm là cao hơn hẳn. Qua quá trình áp dụng các em học sinh hiểu bài tốt, tiếp thu nhanh, vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể, kết quả học tập của học sinh nâng lên rõ rệt so với lớp đối chứng. Các em có được tư duy tích cực, độc lập, nhất là ở các học sinh khá giỏi, làm tăng tỷ lệ học sinh khá giỏi và tạo cho các em mạnh dạn, tự tin hơn , yêu thích, ham mê với môn toán. Không còn cảm giác e ngại khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thuộc dạng này. 
- Trong giờ dạy thực nghiệm học sinh có hứng thú học tập hơn, nhiều học sinh trước đây ngại học nay đã có ý thức học tập tốt hơn, những học sinh khá càng say sưa và sáng tạo trong học tập, kết quả được nâng lên rõ rệt. Không khí lớp học sôi nổi và bài học thực sự mang lại cho các em những kiến thức bổ ích, kích thích tính sáng tạo, tìm tòi của học sinh, góp phần tạo sự cộng tác chặt chẽ giữa giáo viên và học sinh, giữa các học sinh với nhau. 
D. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Kết luận:
Sáng kiến kinh nghiệm “Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số trong đề thi THPT Quốc Gia mức độ vận dụng, vận dụng cao” của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
 - Góp phần tìm ra phương pháp dạy học thích hợp với học sinh. Xây dựng, sắp xếp các bài tập tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số giải bằng cách lượng giác hóa có tính hệ thống, thông qua đó để phát huy trí tính tích cực, tư duy sáng tạo và năng lực giải bài tập cho học sinh nhằm giúp học sinh có phương pháp để giải quyết các bài toán và tạo hứng thú cho học sinh, lôi kéo thêm số lượng các em hứng thú với môn toán, giúp học sinh không phải e sợ dạng bài tập này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán.
- Rèn luyện tư duy độc lâp, rèn luyện tính linh hoạt và phê phán trong tư duy.
Giúp các em tự tin hơn khi gặp bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức đại số trong đề thi THPT QG ở mức độ vận dụng, vận dụng cao thuộc dạng này.
2. Một số đề xuất
- Việc dạy học cần phải kiên trì, uốn nắn và kiểm tra thường xuyên liên tục.
- Mỗi bài toán thường là có nhiều cách giải, yêu cầu học sinh phải thành thạo quy trình giải của từng dạng. 
- Sở GD& ĐT Thanh Hóa cần mở nhiều hơn các chu kỳ bồi dưỡng thường xuyên để giáo viên tiếp cận nhiều phương pháp dạy học mới và đưa vào thực tế dạy học ở các trường THPT. 
- Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học để giáo viên có điều kiện thực hiện các phương pháp dạy học mới.
XÁC NHẬN 
CỦA THỦ TRƯỞNG 
 ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Lê Thị Hằng
Tài liệu tham khảo
1. Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng – Trần Văn Vuông, Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.
2. Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Nguyễn Khắc Minh – Đoàn Quỳnh – Ngô Xuân Sơn – Đặng Hùng Thắng – Lưu Xuân Tình (2007), Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.
3. Đoàn Quỳnh - Nguyễn Huy Đoan – Trần Phương Dung - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng, Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục.
4. Trần Thành Minh – Trần Quang Nghĩa – Lâm Văn Triệu – Dương Quốc Tuấn (2001), Giải toán lượng giác, Nhà xuất bản Giáo Dục.
5. Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phan Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập 1, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. 
6. Nguyễn Thái Hòe, Dùng ẩn phụ để giải toán, Nhà xuất bản Giáo dục.
7. Nguyễn Văn Quý - Nguyễn Tiến Dũng - Nguyễn Việt Hà, Phương pháp giải toán bất đẳng thức – Cực trị. 
8. Phan Huy Khải (1994), 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức, Nhà in SGK Đông Anh, Hà Nội.
9. Đề thi tuyển sinh.
10. Nguyễn Thu Hà (2002), dạy học các bài toán cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức lượng giác, luận văn tốt nghiệp, trường đại học sư phạm Hà Nội.
 11. Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, Toán học, Nhà xuất bản Giáo dục.
 12. Võ Anh Khoa – Hoàng Bá Minh (2011), Lượng giác - Một số chuyên đề và ứng dụng, tập 3, Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh.
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
....................
NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP NGÀNH
....................
DANH MỤC CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CỦA TÁC GIẢ
ĐÃ ĐƯỢC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA XẾP LOẠI
NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÂY
Tên đề tài
Sáng kiến
Năm cấp
 Xếp loại
Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ
Góp phần phát triển tư duy
 sáng tạo cho học sinh qua dạy học đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau - khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2005
 C
Quyết định số 132/QĐKH-GDCN ngày 19/4/2005. 
Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa.
Phát triển tư duy cho học 
sinh lớp 10 ban khoa học tự nhiên qua dạy học giải phương trình vô tỷ.
2008
 C
Quyết định số 462/QĐ-SGD&ĐT ngày 19/12/2007. 
Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa.
Khai thác và xây dựng các
bài tập hình học không gian có tính hệ thống để phát triển tư duy sáng tạo, tính tích cực và năng lực giải bài tập cho học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ôn thi đại học. 
2016
B
Quyết định số 972/QĐ-SGD&ĐT ngày 24/11/2016. 
Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa.
MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
A. Mở đầu 
1
Lý do chọn đề tài 
1
Mục đích nghiên cứu
2
Nhiệm vụ nghiên cứu
2
Đối tượng nghiên cứu
2
Phương pháp nghiên cứu
2
Giải pháp thực hiện
2
Đóng góp của đề tài
2
B. Nội dung
3
Phần 1. Cơ sở lý thuyết
3
Định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
Một số biểu thức lượng giác cơ bản và giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó 
3 
Một số kỹ năng
4
 Phần 2. Các ví dụ và bài tập
 6
 2.1. Các ví dụ 
6
 2.2. Bài tập đề nghị
16
C. Thực nghiệm sư phạm.
17
D. Kết luận.
18
Tài liệu tham khảo
19
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH I
-------—&–-------
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ 
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA MỨC ĐỘ 
VẬN DỤNG, VẬN DỤNG CAO”.
 Người thực hiện: Lê Thị Hằng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA, NĂM 2019