SKKN Sử dụng công thức thay thế đạo hàm, tích phân để giải các bài toán Đại số tổ hợp

1. Mở đầu
	1.1. Lý do chọn đề tài 
Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Đặc biệt hiện nay Tỉnh ta và một số tỉnh trong nước tổ chứa thi học sinh giỏi văn hóa cho học sinh khối 11 thì các bài toán Tổ hợp lại được chú trọng hơn nữa. Trong nội dung này có một số bài toán ứng dụng dạo hàm và tích phân để giải quyết. Nhưng vấn đề dặt ra là nội dung đạo hàm học cuối chương trình 11 và tích phân được học ở chương trình 12. Vì vậy học sinh lớp 11 chưa có kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán Tổ hợp dạng này. Vậy làm sao có thể đưa các dạng đề này vào đề thi học sinh giỏi văn hóa mà thầy cô và học sinh có thể giải quyết triệt để được ?
Để giúp thầy cô giáo có thêm chuyên đề Tổ hợp trong ôn luyện học sinh giỏi và giúp các em học sinh có công cụ làm bài tập, tôi chọn đề tài " Sử dụng công thức thay thế đạo hàm, tích phân để giải các bài toán Đại số tổ hợp" làm đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm của mình. 
	1.2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
	- Xây dựng được chuyên đề ôn thi học sinh giỏi môn Toán THPT rất thiết thực và có hiệu quả. 
	- Góp phần nâng cao kỹ năng giải các bài toán tổ hợp cho giáo viên và học sinh
	- Góp phần gây hứng thú học tập môn Toán cho học sinh, và cũng giúp các em thấy được sự đa dạng trong các lời giải của một bài toán.
	1.3. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu :
1. Nhiệm vụ :
- Hệ thống lại các công thức của khai triển nhị thức niu tơn
2. Phạm vi nghiên cứu :
- Đối tượng: Học sinh lớp 11
- Tài liệu : Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 1 nâng cao – cơ bản, Sách bài tâp, Sách giáo viên và các đề thi đại học, học sinh giỏi môn Toán.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu :
1.4.1. Nghiên cứu tài liệu :
- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục ....có liên quan đến nội dung đề tài.
- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo.
1.4.2. Nghiên cứu thực tế :
- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp 
- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học.
- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông qua các tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài.
2. Nội dung sáng kiến	
	2.1 Cơ sở lý luận
2.1.1. Vị trí của môn Toán trong nhà trường :
	Môn Toán cũng như những môn học khác cung cấp những tri thức khoa học, những nhận thức về thế giới xung quanh nhằm phát triển năng lực nhận thức, hoạt động tư duy và bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp của con người.
	Môn Toán có tầm quan trọng to lớn. Nó là bộ môn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên của con người.
2.1.2. Đặc điểm tâm sinh lý của học sinh THPT.
	- Học sinh THPT nghe giảng rất dễ hiểu nhưng cũng sẽ quên ngay khi các em không tập trung cao độ. Vì vậy người giáo viên phải tạo ra hứng thú trong học tập và phải thường xuyên được luyện tập.
- Hiếu động, ham hiểu biết cái mới, thích tự mình tìm tòi, sáng tạo nên trong dạy học giáo viên phải chắt lọc từng đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh.
2.1.3. Nhu cầu về đổi mới phương pháp dạy học :
	Học sinh THPT có trí thông minh, khá nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú. Đó là tiền đề tốt cho việc phát triển tư duy toán học nhưng rất dễ bị phân tán, rối trí nếu bị áp đặt, căng thẳng, quá tải. Chính vì thế nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt của người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi là điều không thể xem nhẹ
	Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương pháp dạy học tức là kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, trên cơ sở hoạt động của các em. Muốn các em học được thì trước hết giáo viên phải nắm chắc nội dung của mỗi bài và lựa chọn, vận dụng các phương pháp sao cho phù hợp.
	Hiển nhiên, một người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua quá trình tự rèn luyện, phấn đấu không ngừng mới có được. Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm của bản thân mỗi người qua từng tiết dạy, những ngày tháng miệt mài cũng không kém quan trọng, nó vừa giúp cho mình càng có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho những thế hệ giáo viên sau này có cơ sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào sự nghiệp giáo dục của nước nhà.
	2.2 Thực trạng vấn đề :	
	Hiện nay phần Đại số tổ hợp có sử dụng Đạo hàm và Tích phân chưa được viết theo chuyên đề một cách hệ thống và bài bản, vì thế rất khó cho giáo viên lẫn học sinh khi giảng dạy và học tập nội dung này.
	Mặt khác nội dung Đại số tổ hợp lại học trước nội dung Đạo hàm và Tích phân nên học sinh chưa có kỹ năng vận dụng các kiến thức một cách khéo léo. Vì thế xây dựng hệ thống công thức thay thế Đạo hàm và Tích phân là vấn đề cần thiết và có nhiều ứng dụng.	
2.3. Nội dung lý thuyết :
	CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON
Với mọi cặp số a, b và mọi số n nguyên dương, ta có : 
	với : 
+ Số các số hạng ở bên phải của khai triển bằng n+1 số hạng
+ Tổng các số mũ của a và b trong khai triển là n
+ Các hệ số của khai triển lần lượt là: 
	 với chú ý : 
+ 
	CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: Sử dụng công thức : (I) trong tính tổng 
	 Chứng minh công thức (I) 
Bài toán áp dụng : 
Bài toán 1: 
	Tính tổng: 
Hướng dẫn: 
	Áp dụng công thức (I) ta được: 
+ Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được : 
+ Xét khai triển : (1)
+ Thay x = 1 vào khai triển (1) được : 
+ Thay vào tổng 
Vậy : 
Bài toán 2: 
	Tính tổng : 
Hướng dẫn:
	Áp dụng công thức (I) ta được: 
+ Xét khai triển : (1) 
+ Thay x = 2 vào khai triển (1) ta được: 
+ Thay vào tổng B được: 
	Vậy 
Bài toán tổng quát	 : 
	Tính tổng: 
	Đáp án : 
Bài toán 3: 
	Tính tổng : 
Hướng dẫn:
	Ta có : 
+ Tính : = ( bài toán 1)
+ Xét khai triển : (2)
+ Thay x = 1 vào khai triển (2) được :
	ta được : 
	Vậy: 
Bài toán tổng quát : Tính tổng: 
	Đáp số 
Bài toán 4:
	Tính tổng : 
Hướng dẫn:
+ Tính tổng : 
 + Áp dụng công thức (I), ta được:
nên : 
+ Xét khai triển : (1)
+ Thay x = - 2 vào khai triển (1) được :
	tìm được: 
+ Tính tổng : 
+ Xét khai triển : (2)
+ Thay x = -2 vào khai triển (2) được:
	tìm được: 
+ Tính được: 
 Sau khi tính tổng này giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát bài toán.
Bài toán 5:
Tính tổng: 
Hướng dẫn: 
	Ta có : 
+ Tính tổng: 
 Dựa vào công thức (I), tính được :
+ Tính tổng:
	Tìm được : 
Bài toán tổng quát: Tính tổng: 
Hướng dẫn:
Bài toán 6:
	Tính tổng: 
Hướng dẫn:
+ Ta có:	 
+ Tính tổng: 
+ Tính tổng :
+ Tìm được: 
Vậy: 
 Sau khi tính tổng này giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát bài toán.
Bài toán 7: 
	Tính tổng: 
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức (I) ta được:
+ Tính được:
+ Tính tổng:
+ Tính tổng:
Áp dụng công thức: , ta được:
+ Tính được: 
Bài toán 8:
	Tính tổng 
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức (I) ta được: 
	. . .	 
+ Tính tổng	
 	Tính được: 
Bài toán 9: 
 	Tính tổng: 
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức : 	
+ Áp dụng công thức (I) ta được:
	Tính được 
Bài toán 10: 
	Tìm số tự nhiên n sao cho:
 (1)
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức (I) được:
 + Thay vào (1') được : , tìm được n = 1008
Bài tập vận dụng:	 Tính các tổng sau: 
1/ 
2/ 
3/ 
Dạng 2: Sử dụng công thức : (II) trong tính tổng 
 	Chứng minh công thức (II) 
	Ta có : 
Bài toán áp dụng : 
Bài toán 1: 
	Tính tổng: 
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức (II), ta được: 
+ Tìm được :	 	Vậy 
Bài toán 2:
	Tính tổng: 
Hướng dẫn: 
+ Tính : 
+ Áp dụng công thức (I) 
+ Tìm được : 
	Vậy : 
Bài toán 3:
	Tính tổng: 
Hướng dẫn: 
+ Áp dụng công thức (II) : 
tính được:
+ Áp dụng công thức (II), được:
+ Tính tổng:
+ Áp dụng công thức (I): 
+ Tính tổng:
	Vậy 
 Bài toán 4: 
	Tìm n thỏa mãn: 
Hướng dẫn:
+Áp dụng công thức (II) được:
+ 
+ Có :	 
+ Đẳng thức đã cho trở thành: 
	Vậy n = 6
Bài toán 5:
	Tìm a và n nguyên dương thỏa mãn: 
Hướng dẫn:
+	 
+ Áp dụng công thức (II), được:
+ Đẳng thức đã cho trở thành: 
+ Thay n = 6 vào đẳng thức trên được: 
	Vậy n= 6 và a = 1
Bài toán 6:
	Tìm hệ số của x20 trong khai triển: , biết :
Hướng dẫn:
+ Áp dụng công thức (II) được:
+ Thay n = 12 vào khai triển: 
 có số hạng tổng quát là: 
+ Theo giả thiết : . Vậy hệ số là: 
Bài toán 7: 
Hướng dẫn: 
+ Áp dụng công thức: 
+ Tổng trở thành: 
+ Áp dụng công thức (II) 
+ Áp dụng công thức (I) 
+ Xét khai triển : 	 (1)
	 (2)	
+ Lấy vế nhân vế của (1) và 92) được hệ số của số hạng chứa là:
+ Trong khai triển: có hệ số của số hạng chứa là: 
 nên ta được: = 
	Vậy 
Bài toán 8: 
	Tính tổng: 
Hướng dẫn: 
+ Áp dụng công thức (II) 
+ Xét khai triển 
 (1)
+ Thay x = 2 vào khai triển (1):
+ Thay x = -2 vào khai triển (1) được:
+ Cộng vế với vế được:
	 (2)
+ Thay x = 1 vào khai triển (1) được:
+ Thay x = -1 vào khai triển (1) được: 
Cộng vế với vế được:
	 	 (3)
+ Từ (2) và (3) 
Bài toán 9: 
	Tính tổng: 
Hướng dẫn:
	+ Áp dụng công thức(II) 
+ Áp dụng công thức(II), được:	
	Vậy 
Bài toán 10: 
	Tính tổng: 	
Hướng dẫn
+ Áp dụng công thức 
+ Áp dụng công thức (II) 
+ Xét khai triển:
+ Thay x = 2 vào khai triển trên được :
	Vậy : 
	2.4. Kết quả đạt được
Sau khi dạy xong bài này tôi cho học sinh lớp 11A3 làm bài kiểm tra để kiểm tra tính khả thi của đề tài và đối chiếu với kết quả kiểm tra trước khi học bài này, tôi thu được kết quả như sau :
	Đề kiểm tra
Bài 1: Tính tổng 
a/ 
b/ 
Bài 2: 
a/ Tìm số tự nhiên n biết:
b/ Tìm hệ số của x20 trong khai triển biết:
Trước khi học bài này 
Tổng số
 học sinh
Điểm Giỏi
(8-10)
Điểm Khá
(6,5-dưới 8)
Điểm TB
(5- dưới 6)
Điểm Yếu
(3,5- dưới 5)
Điểm Kém
(<3,5)
45
8(17,8%)
15(33,3%)
15(33,3%)
5(11,1%)
2(4,5%)
 Sau khi học bài này
Tổng số
 học sinh
Điểm Giỏi
(8-10)
Điểm Khá
(6,5-dưới 8)
Điểm TB
(5- dưới 6)
Điểm Yếu
(3,5- dưới 5)
Điểm Kém
(<3,5)
45
15(33,3%)
21(46,7%)
8(17,8%)
1(2,2%)
0(0%)
3. Kết luận	
	3.1 . Hạn chế 
Do khuôn khổ của đề tài có hạn, nên còn một số dạng tổng tôi vẫn chưa tìm được công thức thay thế để giải. 
	Do thời gian có hạn và tính chủ quan của tác giả, bài viết còn nhiều thiếu sót. Rất mong quý thầy cô, các em học sinh và các độc giả góp ý chân thành để bài viết của tôi hoàn thiện và ứng dụng rộng rãi hơn.
	3.2. Kiến nghị 
Tôi xin được kiến nghị với, Lãnh đạo các Ban ngành Sở GD và ĐT Thanh Hóa,Ban Giám Hiệu các trường THPT tạo điều kiện về mặt thời gian,
cơ sở vật chất để chúng tôi có các buổi ngoại khóa Liên môn. Mặt khác cũng cho phép chúng tôi được co, giãn bài giảng để phù hợp với trình độ của từng đối tượng học sinh, đáp ứng nhu cầu và nguyện vọng học tập của các em.
Tôi xin chân thành cám ơn.
Xác nhận của Ban giám hiệu	
 Hoằng Hóa, ngày 26/5/2018	
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến của tôi viết, không sao chép của người khác.
 Người viết sáng kiến
 Nguyễn Lan Phương 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 nâng cao - NXB Giáo dục
Lê Hồng Đức - Lê Bích Ngọc - Lê Hữu Trí , Phương pháp giải Toán Tổ hợp , NXB Hà Nội.
Đề minh họa, đề thử nghiệm môn Toán THPT Quốc Gia của Bộ giáo dục; các đề thi thử của các Sở giáo dục, các trường THPT trên toàn quốc.
Các tài liệu tham khảo trên Internet.
	Danh mục các SKKN đã được xếp loại
N¨mhọc
Tên sáng kiến kinh nghiệm
Số quyết định.
2005– 2006
Sử dụng tam thức bậc hai trong chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tam giác
Xếp loại : C
2007– 2008
Một số đề xuất trong lời giải các bài toán hình học không gian lớp 11
932/ QĐ- SGD 
ngày 11/9/2008
Xếp loại : C
2013– 2014
Một số ứng dụng của modun số phức trong giải toán về số phức
753/ QĐ- SGD&ĐT 
 ngày 03/11/2014
Xếp loại : B
2015–2016
Sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đẻ giải các bài toán sinh học, y học, thể thao, kinh tế, khoa học kỹ thuật và các môn khoa học khác 
972/QĐ- SGD&ĐT ngày24/11/2016
Xếp loại : C