SKKN Sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp để giải nhanh một số bài toán về dao động điều hòa

1 – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
“Dao động cơ” là một phần rất quan trọng trong chương trình vật lí lớp 12, có mặt trong tất cả các đề thi THPT Quốc gia. Môn vật lí được sử dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Để có thể đạt kết quả cao với hình thức thi này thì thí sinh phải giải nhanh được những câu hỏi trong đề thi. Vì vậy đòi hỏi thí sinh phải có nhiều kĩ năng, nhất là những kĩ năng biểu diễn những đối tượng vật lí bằng những mô hình trực quan.
Để giúp học sinh biểu diễn về một đại lượng biến thiên điều hòa, sách giáo khoa đã đưa ra một mô hình trực quan đó chính là véc tơ quay. Tuy nhiên trong phạm vi bài học, các tác giả chỉ giới thiệu cách biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa trên một giản đồ véc tơ. Chính vì vậy học sinh đã gặp phải không ít khó khăn khi giải bài toán có nhiều đại lượng biến thiên điều hòa. 
Mặt khác trong thực tế giảng dạy tôi thấy khi đưa ra phương pháp giản đồ véc tơ để giải bài toán thì ban đầu học sinh thường "ngại" dùng hoặc với một số thì hiệu quả không cao. Thực ra nếu biết khai thác triệt để những tính chất hình học (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoicác hệ thức lượng trong tam giác) trong các giản đồ véc tơ thì việc tính toán thường ngắn gọn và không phức tạp, giảm bớt được sự nhầm lẫn vì tránh được việc phải giải các phương trình hoặc hệ phương trình phức tạp, cồng kềnh.
	Đặc biệt với các bài toán đại lượng biến thiên điều hoà, nhiều độ lệch pha giữa các đại lượng, thì việc giải bằng phương pháp giản đồ véc tơ thường đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp đại số và tránh được sự nhầm lẫn về sự nhanh pha hay chậm pha giữa chúng.
	Sở dĩ học sinh còn chưa "mặn mà" với phương pháp này vì:
	 + Ngày nay việc sử dụng máy tính với nhiều chức năng tính toán, có thể giải được cả phương trình bậc hai, hệ phương trình hỗ trợ nhiều cho việc học của các em. Tuy nhiên cũng dẫn đến một hệ quả không tốt là các em "lười" tính toán, suy luận logíc bị hạn chế. Vì vậy nếu phải chọn lựa giữa việc lập các phương trình để giải và một bên là vẽ hình và khai thác triệt để hình để tính toán thì cách thứ nhất vẫn sẽ được ưu tiên hơn.
	 + Kiến thức hình học đối với các hình có thể xuất hiện trong giản đồ véc 
tơ của các em nhiều chỗ bị "hổng" hoặc do không dùng thường xuyên nên quên, vì vậy việc học sinh lớp 12 không biết tính đường chéo hình thoi hoặc phải dùng đến định lý Pitago để tính đường chéo hình vuông là không ít. Cùng với đó là sự mai một về hệ thức lượng trong tam giác, các kiến thức về véc tơ khiến các em gặp khó khăn.
	+ Với thời lượng dành cho giờ bài tập về dao động điều hòa như hiện nay nếu giáo viên không có sự chuẩn bị, định hướng trước cho các em nắm vững phương pháp véc tơ quay thì đến giờ bài tập dù không muốn giáo vên cũng đành ưu tiên hơn cho phương pháp đại số vì nó cũng gắn liền với các biểu thức đã rút ra được từ bài lí thuyết (mà thực chất cũng được xây dựng trên chính giản đồ véc tơ), hơn nữa lại được nhiều học sinh hưởng ứng hơn.
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên “Sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp để giải nhanh một số bài toán về dao động điều hòa” để giới thiệu đến đồng nghiệp cách biểu diễn các đại lượng biến thiên điều hòa trên cùng một giản đồ véc tơ và cách thức sử dụng giản đồ véc tơ này trong việc giảng dạy nhằm bồi dưỡng kĩ năng cho học sinh, giúp các em có thể thành công hơn trong kì thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
	Đề tài này giúp học sinh có kĩ năng giải nhanh được những bài toán về dao động điều hòa liên quan đến sự biến thiên đồng thời của các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Đề tài nghiên cứu cách biểu diễn đồng thời sự biến của li độ, vận tốc và gia tốc trên cùng một giản đồ véc tơ (gọi là giản đồ véc tơ kết hợp), qua đó so sánh hiệu quả của nó với cách giải theo phương pháp thông thường (biến đổi đại số kết hợp với sử dụng giản đồ véc tơ biểu diễn một đại lượng).
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Tìm đọc, nghiên cứu, phân tích các tài liệu liên quan. Rút kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy. Từ đó xây dựng cơ sở lí luận của đề tài.
- Phương pháp điều tra thực tế, thu thập thông tin: Khảo sát kiến thức, thu thập kết quả khảo sát trước và sau khi áp dụng đề tài cho nhóm đối chứng và nhóm thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Sử dụng phương pháp thống kê để xử lí số liệu, so sánh kết quả thu thập được ở nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.
2 – NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lí luận:
Việc biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa bằng một véc tơ quay là một việc làm cần thiết và sáng tạo bởi những lí do sau:
Thứ nhất: Biến thiên điều hòa là một biến thiên không đều, lúc tăng lúc giảm về độ lớn, lúc có chiều (dấu) này, lúc có chiều (dấu) khác. Người ta đã chọn vec tơ quay để biểu diễn nó, vì véc tơ quay đều theo một chiều nhất định nên chắc chắn việc giải quyết vấn đề về biến thiên điều hòa sẽ đơn giản hơn.
Thứ hai: Dùng véc tơ quay làm mô hình trực quan biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa sẽ thuận tiện hơn là chúng ta dùng phương trình biểu diễn đại lượng đó theo thời gian. Vì học sinh có thể quan sát đại lượng mà các em biểu diễn trên hình vẽ.
Để biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa ta tiến hành các bước sau:
0
x
A
-A
Hình 1
Bước 1: Chọn một trục tọa độ nằm ngang gọi là trục chuẩn, quy định là chiều dương của trục tọa độ là chiều từ trái sang phải.
Bước 2: Vẽ một véc tơ có gốc tại O, chiều dài bằng biên độ A của đại lượng x, góc tạo bởi và trục chuẩn bằng góc .
Bước 3: Cho vec tơ này quay quanh O trong mặt phẳng hình vẽ theo chiều dương với tốc độ góc không đổi (Xem H.1).
Có thể chứng minh rằng hình chiếu của véc tơ này lên trục chuẩn có biểu thức 
Như vậy có thể dùng véc tơ quay để biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa. Thông qua mô hình véc tơ này ta nhận thấy:
Thứ nhất: Hình chiếu của véc tơ quay lên trục chuẩn tại một thời điểm là giá trị của đại lượng biến thiên điều hòa mà nó biểu diễn tại thời điểm ấy.
Thứ hai: Góc tạo bởi véc tơ quay và trục chuẩn tại một thời điểm bằng pha của đại lượng biến thiên điều hòa mà nó biểu diễn tại thời điểm ấy.
Trên đây là cách biểu diễn đại lượng biến thiên điều hòa theo thời gian, cụ thể là li độ. Những đại lượng biến thiên điều hòa khác như vận tốc, gia tốc 
cũng có thể biểu diễn bằng giản đồ véc tơ quay một cách tương tự. Và bài toán liên quan đến đại lượng ấy có thể được giải nhanh trên giản đồ véc tơ đó.
Cái khó khăn của việc biểu diễn đại lượng biến thiên điều hòa bằng véc tơ quay là véc tơ phải quay mà ta chỉ có thể biểu diễn bằng mô hình tĩnh. Để giải quyết khó khăn này thì đa số các thầy cô giáo đều hướng dẫn các học sinh nhớ những vị trí quan trọng đặc biệt của véc tơ. Đó chính là những vị trí đặc biệt để pha có cosin đặc biệt.
Pha
0
Giá trị
x
=
=
=
=
 Bảng 1: Bảng các giá trị đặc biệt của đại lượng biến thiên điều hòa theo pha của nó.
Hình 2: Các vị trí đặc biệt của véc tơ quay thể hiện giá trị của đại lượng biến thiên điều hòa theo góc tạo bởi véc tơ và trục chuẩn.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng đề tài:
a. Thực trạng
 Phần lớn các thầy, cô giáo đều hướng dẫn học sinh biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa bằng véc tơ quay vì những thuận lợi của nó trong việc giải bài tập đã nêu ở trên.
 Chúng ta chỉ có thể biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa trên một giản đồ véc tơ mà thôi. Nhưng trong dao động điều hòa không chỉ có li độ mà còn nhiều đại lượng khác cũng biến thiên điều hòa với cùng tần số góc với li độ chẳng hạn như vận tốc, gia tốcĐồng ý rằng ta có thể biểu diễn vận tốc, gia tốc trên những giản đồ véc tơ của chúng và tiến hành giải toán giống như giải toán đối với li độ.
Tuy nhiên nếu gặp bài toán mang tính phối hợp giữa các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa thì đa số các thầy, cô giáo hướng dẫn học sinh làm theo các bước sau:
Trước tiên dùng các công thức đại số quy đổi về một đại lượng duy nhất thường là li độ x, cụ thể là 2 công thức và .
Sau đó biểu diễn trên giản đồ vec tơ biểu diễn li độ x để giải bài toán.
b. Hệ quả của thực trạng
Tôi thấy dùng cách trên có thể tìm được đáp án nhưng có những hạn chế đáng kể như sau:
Thứ nhất: Trong quá trình tính toán quy đổi các đại lượng cho nhau dễ bị sai sót.
Thứ hai: Quá trình đó mất nhiều thời gian và đôi khi rất phức tạp.
Điều đó khiến cho việc giải bài tập có liên quan đến sự phối hợp các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc là một sự khó khăn đối với học sinh, các em ngại làm, làm lâu, làm không đúng, thậm chí bỏ qua, ảnh hưởng xấu đến kết quả bài thi. 
2.3. Giải pháp thực hiện:
Hình 3: Giản đồ véc tơ 
rút gọn
Vì những lí do trên, tôi đã đưa ra một mô hình giản đồ véc tơ, trên đó có thể biểu diễn đồng thời các đại lượng li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa, tạm gọi là “giản đồ vec tơ kết hợp” để giải nhanh bài toán có liên quan đồng thời đến các đại lượng này.
a. Đơn giản hóa giản đồ véc tơ
Trước khi tìm hiểu về giản đồ véc tơ kết hợp thì học sinh phải nắm được giản đồ véc tơ biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa. Để rút ngắn thời gian làm bài thì học sinh phải nhớ được những vị trí đặc biệt trên giản đồ véc tơ như tôi đã trình bày ở phần cơ sở lí luận. Điều này không mấy khó khăn vì nó tương tự như khi các em học ở phần lượng giác trong môn toán học. Vì thế khi làm bài học sinh chỉ cần thể hiện giản đồ véc tơ như hình 3 gọi là giản đồ véc tơ rút gọn. Sở dĩ gọi là “giản đồ véc tơ rút gọn” vì:
- Không cần ghi các thông số lên giản đồ này.
- Trục chuẩn đã mặc định là nằm ngang nên ta cũng không cần thể hiện.
- Dùng các kí hiệu “/ ” và “=” để đánh dấu các vị trí đặc biệt.
- Nên kẻ đường thẳng đứng để “căn” các góc cho chính xác.
Khi chỉ vào một vị trí nào đó của véc tơ thì học sinh phải đọc được pha và giá trị của đại lượng mà véc tơ đó biểu diễn. Nếu làm được vậy thì học sinh đã nắm được giản đồ véc tơ rút gọn. 
b. Biểu diễn giản đồ véc tơ kết hợp 
Được trình bày như hình 4, cần chú ý các đặc điểm quan trọng sau:
- Giản đồ véc tơ này gồm ba trục tọa độ Ox; Ov; Oa. 
- Phần âm của trục Ov dùng nét đứt để dễ phân biệt các trục tọa độ (khi xoay giản đồ trình bày ở phần cách sử dụng).
Sở dĩ tôi biểu diễn được như vậy là dựa vào 2 luận điểm:
Hình 4: Giản đồ vec tơ kết hợp
Thứ nhất: Trong dao động điều hòa, li độ, vận tốc, gia tốc biến thiên điều hòa với cùng một tần số góc. Vận tốc nhanh pha hơn li độ một lượng còn gia tốc nhanh pha hơn vận tốc một lượng . 
Thứ hai: Độ dài của véc tơ quay có thể biểu diễn đồng thời biên độ của cả ba đại lượng x, v, a bởi vì chúng khác nhau về đơn vị và ba đại lượng biểu diễn trên 3 trục tọa độ khác nhau.
c. Cách sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp
Khi mô tả một đại lượng biến thiên điều hòa nào thì véc tơ biểu diễn phải được chiếu lên trục chuẩn cũng là trục tọa độ biểu diễn đại lượng ấy. Tuy nhiên ta thường vẽ trục chuẩn nằm ngang vì thế tôi đưa ra phương án sau:
Khi cần mô tả đại lượng nào thì ta xoay hình vẽ sao cho trục biểu diễn đại lượng đó nằm ngang theo trục chuẩn.
Điều này cũng thuận lợi vì học sinh có thể xoay giấy nháp một cách dễ dàng. Cụ thể được minh họa bởi hình 5: 
a) Sử dụng để biểu diễn
 li độ
b) Sử dụng để biểu diễn vận tốc
c) Sử dụng để biểu diễn 
gia tốc
Hình 5: Cách thức sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp để biểu diễn các đại lượng biến thiên điều hòa.
c. Biện pháp tổ chức thực hiện:
Tôi đã áp dụng dạy phần dao động điều hòa bằng véc tơ quay này cho học sinh lớp 12, các bước tiến hành cụ thể như sau:
Thứ nhất: Phải cho học sinh hiểu và vận dụng thành thạo giản đồ véc tơ đơn giản, tức giản đồ véc tơ biểu diễn một đại lượng biến thiên điều hòa, để các em có thể biết cách vẽ một giản đồ véc tơ và ghi nhớ được những vị trí đặc biệt.
Thứ hai: Giới thiệu cho học sinh một bài toán về dao động điều hòa có sử dụng sự phối hợp giữa hai đại lượng li độ x và vận tốc v, cụ thể là một số bài tập sau:
Bài tập 1: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A, chu kì T. Hãy xác định khoảng thời gian ngắn nhất kể từ khi li độ có giá trị bằng một nửa biên độ đến khi vận tốc có giá trị bằng một nửa vận tốc cực đại của vật.
Tôi để cho học sinh tự giải bài toán này bằng những kiến thức đã học và sử dụng véc tơ quay đã học (véc tơ biểu diễn một đại lượng) thì thấy đa số các học sinh làm theo các bước sau:
M1
O
M2
N1
N2
Hình 6: Minh họa bài tập 1 với cách giải thông thường
 Đầu tiên học sinh vẽ khung giản đồ véc tơ quay.
Sau đó biểu diễn các véc tơ ứng với khi x= A/2 là các vec tơ và .
Tiếp theo học sinh dùng công thức và tìm ra khi , tuy nhiên vận tốc đang dương nên chỉ được phép biểu diễn các véc tơ quay ứng với thời điểm này là các véc tơ phía dưới trục chuẩn chính là các véc tơ và.
Rồi các em nhìn vào giản đồ véc tơ rồi khẳng định rằng khoảng thời gian ngắn nhất mà bài toán yêu cầu là khoảng thời gian véc tơ biểu diễn li độ x quay từ vị trí đến vị trí được một góc nghĩa là khoảng thời gian là .
Thứ ba: Tôi hỏi học sinh có khó khăn gì trong quá trình giải bài toán này thì học sinh trả lời rằng khó khăn ở chỗ: việc chuyển đổi vận tốc sang li độ mất nhiều thời gian . Việc nhận ra các véc tơ quay ứng với giá trị của vận tốc âm là phía trên, dương là phía dưới dễ gây nhầm lẫn. Chính điều này làm thời gian làm bài của học sinh tăng thêm rất nhiều, khả năng nhầm lẫn tăng cao. 
Thứ tư: Tôi chỉ ra rằng để khắc phục những nhược điểm trên thì ta hãy áp dụng một giản đồ véc tơ có thể thể hiện được cả hai đại lượng li độ x và vận tốc v thậm chí cả gia tốc a rồi giới thiệu cho học sinh mô hình mà tôi đã nêu trên.
Một vấn đề học sinh đã biết vận tốc v sớm pha hơn li độ x một góc nhưng các em có thể bỡ ngỡ về vị trí các trục Ov và Ox. Lúc này hãy giới thiệu cho học sinh cách sử dụng giản đồ này bằng cách xoay cho các trục lần lượt nằm ngang như tôi đã trình bày. Sau đó biểu diễn thử một véc tơ ở vị trí nào đó rồi lần lượt xoay và vẽ các góc biểu diễn pha của x, v và a. 
 a) Góc pha b) Góc pha c) Góc pha 
 Hình 7: Minh họa cách vẽ các góc pha của li độ, vận tốc và gia tốc
 	Học sinh sẽ thấy rõ: 
 nghiệm đúng về sự lệch pha của li độ x và vận tốc v.
 nghiệm đúng về sự lệch pha của vận tốc v và gia tốc a.
Ngoài ra còn thấy rõ nghiệm đúng về sự lệch pha của li độ x và gia tốc a.
Thứ năm: Tôi hướng dẫn học sinh giải bài tập 1 ở trên bằng cách sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp như sau:
Đầu tiên vẽ khung giản đồ véc tơ kết hợp.
Xác định vị trí các véc tơ mà x = A/2 với trục Ox nằm ngang là các véc tơ và .
Sau đó xác định vị trí véc tơ mà với trục Ov nằm ngang là các véc tơ và . Từ đó thấy được góc quay nhỏ nhất là .
M1
M2
O
N1
N2
 Hình 8: Minh họa cách giải bài toán số 1 bẳng véc tơ kết hợp
Thứ sáu: Học sinh khẳng định cách giải dùng giản đồ véc tơ kết hợp nhanh hơn vì giảm được các bước chuyển đổi từ các đại lượng khác sang li độ. Tôi chỉ ra rằng dùng loại giản đồ này giải được nhiều bài toán có hiệu quả về mặt thời gian làm bài và hướng dẫn thêm cho học sinh một vài bài tập khác. Đặc biệt là bài tập sau:
Bài tập 2: Trong một dao động điều hòa có chu kì dao động là T. Hãy xác định khoảng thời gian trong một chu kì mà li độ có giá trị chưa vượt qua A/2, đồng thời vận tốc có giá trị chưa vượt qua nhưng gia tốc không bé hơn .
Ở đây tôi chỉ trình bày cách giải có sử dụng giản đồ véc tơ kết hợp.
Đầu tiên xoay trục Ox nằm ngang gạch bỏ cung tròn thể hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn li độ làm cho li độ lớn hơn A/2.
Sau đó xoay trục Ov nằm ngang gạch bỏ cung tròn thể hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn vận tốc làm vận tốc độ lớn hơn .
Sau đó xoay trục Oa nằm ngang gạch bỏ cung tròn thể hiện những vị trí của đầu vec tơ biểu diễn gia tốc làm gia tốc độ nhỏ hơn .
Cuối cùng chúng ta chỉ còn một cung tròn chưa bị gạch có giá trị nghĩa là ứng với khoảng thời gian T/4.
Hình 9: Minh họa các bước giải bài toán số 2
2.4. Hiệu quả của đề tài:
a. Phương pháp kiểm nghiệm hiệu quả:
Tôi đã vận dụng mô hình giản đồ véc tơ này cho học sinh lớp 12A1 Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2017 – 2018 và thu được các kết quả khả quan. 
Để kiểm chứng kết quả đạt được tôi đã tiến hành như sau:
Thứ nhất: Chọn hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 5 học sinh tương đương nhau về học lực.
- Nhóm thứ nhất là nhóm thực nghiệm, tôi tiến hành dạy cho các em mô hình giản đồ véc tơ kết hợp.
- Nhóm thứ hai là nhóm đối chứng, tôi chưa dạy cho các em giản đồ véc tơ kết hợp. 
Cả hai nhóm đã sử dụng thành thạo giản đồ véc tơ đơn giản (biểu diễn một đại lượng). Để có thể nhận biết hai nhóm có lực học tương tương như nhau thì tôi dựa vào điểm khảo sát chất lượng môn vật lí đầu năm và quá trình theo dõi học tập của các em.
Danh sách học sinh các nhóm:
Nhóm thực nghiệm:
STT
Họ và tên
Điểm khảo sát đầu năm
1
Trịnh Khánh Linh
9,0
2
Lê Thị Mai Hưng
8,0
3
Nguyễn Duy Kiên
8,0
4
Nguyễn Thị Thúy Hằng
7,0
5
Đỗ Văn Sơn
7,0
Nhóm đối chứng:
STT
Họ và tên
Điểm khảo sát đầu năm
1
Trần Thị Phương
9,0
2
Ngô Thị Thủy
8,5
3
Lê Minh Hoàn
8,0
4
Nguyễn Minh Quang
7,0
5
Phạm Thu Trang
7,0
Thứ hai: Tiến hành khảo sát, trước khi khảo sát phổ biến rõ mục đích khảo sát là giúp các em tìm ra phương pháp giải nhanh và hiệu quả nhất, từ đó thầy giáo sẽ định hướng dạy theo phương pháp đó giúp các em có thể đạt điểm cao hơn trong kì thi THPT Quốc gia. Phổ biến rõ quy định làm bài khảo sát, thời lượng bài tối đa là 08 phút,
Dưới đây là đề khảo sát và đáp án:
ĐỀ KHẢO SÁT NHANH CHẤT LƯỢNG MÔN VẬT LÍ
Thời gian làm bài: 08 phút (gồm 05 câu trắc nghiệm)
(Thí sinh chọn phương án đúng trực tiếp vào đề thi)
ĐỀ BÀI:
Câu 1: Một vật dao động điều hòa có biên độ là A, vận tốc cực đại là . Khi li độ của vật có độ lớn A/2 thì vận tốc của vật có độ lớn bằng bao nhiêu phần của ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2: Trong dao động điều hòa hãy tìm tốc độ trung bình trong khoảng thời gian ngắn nhất vật có li độ bằng A/2 đến khi vận tốc của vật có giá trị cực đại?
A. 	 B. 	C. 	D. 
Câu 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình . Kể từ khi t = 0 đến khi vật có li độ bằng 2cm lần thứ 2018 thì vận tốc của vật có giá trị mấy lần?
A. 2019	B. 2018	C. 2017	D. 2016
Câu 4: Trong dao động điều hòa, hãy tìm khoảng thời gian trong một chu kì mà li độ có giá trị chưa vượt qua nhưng vận tốc có giá trị không nhỏ hơn ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Trong một dao động điều hòa có biên độ là A. Tính quãng đường vật thực hiện được trong khoảng thời gian bé nhất vật đi từ vị trí có vận tốc đến vị trí mà gia tốc của vật có giá trị ?
A. 	B. 	C. 	D. 
------------
 ĐÁP ÁN
Câu
1
2
3
4
5
Đáp án
A
B
C
B
C
b. Kết quả kiểm nghiệm
Đối với nhóm thực nghiệm:
TT
Họ và tên
Thời gian làm bài
Số câu đúng
Điểm
1
Trịnh Khánh Linh
5 phút 40 giây
5
10
2
Lê Thị Mai Hưng
6 phút 00 giây
5
10
3
Nguyễn Duy Kiên
6 phút 40 giây
4
8
4
Nguyễn Thị Thúy Hằng
6 phút 50 giây
5
10
5
Đỗ Văn Sơn
7 phút 20 giây
4
8
Trung 
bình
6 phút 30 giây
4,6
9,2
Đối với nhóm đối chứng:	
TT
Họ và tên
Thời gian làm bài
Số câu đúng
Điểm
1
Trần Thị Phương
6 phút 20 giây
5
10
2
Ngô Thị Thủy
7 phút 30 giây
4
8
3
Lê Minh Hoàn
8 phút 00 giây
4
8
4
Nguyễn Minh Quang
8 phút 00 giây
3
6
5
Phạm Thu Trang
8 phút 00 giây
3
6
Trung 
bình
7 phút 34 giây
3,8
7,6
Bảng so sánh kết quả 
Nhóm
Số học sinh
Giá trị trung bình của thời gian làm bài
Giá trị trung bình của điểm
Nhóm thực nghiệm
5
6 phút 30 giây
9,2
Nhóm đối chứng
5
7 phút 34 giây
7,6
Chênh lệch
1 phút 04 giây
1,6
Như vậy, đối với nhóm thực nghiệm là nhóm học sinh được trang bị về mô hình véc tơ kết hợp thì thời gian làm bài thi của các em nhanh hơn nhóm đối chứng là 1 phút 04 giây, điểm thi đạt được cao hơn 1,6 điểm. Chứng tỏ việc sử dụng mô hình vec tơ kết hợp đã ảnh hưởng tích cực đến việc học tập của các em.
3 – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
3.1. Kết luận:
Qua theo dõi quá trình học tập và kết quả khảo sát, thì việc vận dụng giản đồ véc tơ kết hợp đã rút ngắn thời gian giải bài thi trắc nghiệm của học sinh và nâng cao hiệu quả học tập. Giúp các em có thể giải nhanh được các bài toán có liên quan đến sự biến thiên li độ, vận tốc, gia tốc