SKKN Rèn luyện tư duy tổng quát cho học sinh khá, giỏi lớp 7 thông qua một số bài toán đại số

PHÒNG GD & ĐT HUYỆN YÊN ĐỊNH
TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN
********************************
Sáng kiến kinh nghiệm:
“RÈN LUYỆN TƯ DUY TỔNG QUÁT CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 7 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ”
 Người thực hiện: Trịnh Văn Kiện.
 Đơn vị: Trường thcs Lê Đình Kiên, 
 huyện Yên Định, tỉnh Thanh Hóa.
 SKKN thuộc môn: Toán
THÁNG 4 NĂM 2019
MỤC LỤC
STT
NỘI DUNG
TRANG
1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
3
2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ:
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
4
4
4
5-19
20
3
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
21-22
4
TÀI LIỆU THAM KHẢO
23
5
DANH SÁCH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI
24
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông, việc đổi mới phương pháp dạy học là vô cùng quan trọng. Sự phát triển của xã hội đòi hỏi ở người thầy ngày càng cao hơn, chất lượng của dạy và học phải có nhiều tiến bộ hơn. Đặc biệt đối với môn toán là môn học cơ bản, rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi học sinh phải rất chủ động và tích cực trong việc tìm tòi các phần kiến thức mới dưới sự định hướng và tổ chức dạy học của các thầy cô.
 Chính vì vậy trong quá trình dạy học mà đặc biệt là cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã cố gắng dạy cho học sinh cách định hướng phương pháp giải cho các dạng bài, đồng thời khai thác mở rộng bài tập trên nhiều hướng khác nhau giúp các em phát triển tư duy sáng tạo, tu duy tổng quát, có cách nhìn đa chiều về một bài toán. Các em có thể tìm thấy được mối liên hệ giữa những kiến thức mà mình có với những bài tập có vẻ xa lạ mà các em sẽ gặp.
Trong một số mảng kiến thức của bộ môn toán gây cho học sinh không ít khó khăn khi tiếp cận về lí thuyết cũng như vận dụng để giải bài tập, đặc biệt là các bài tập được cho ở dạng tổng quát, đây là mảng kiến thức giúp hình thành và phát triển tư duy tổng quát, tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 cũng như kì thi học sinh giỏi cấp huyện các lớp 6, 7, 8, 9, cấp tỉnh và đặc biệt là thi vào lớp 10 các trường chuyên học sinh rất hay gặp các bài tập dạng này. Đây là loại bài tập khá khó đối với học sinh, hầu như các em đều mất rất nhiều thời gian để làm loại bài tập này và thậm chí là không giải được. Vì thế tôi đã nghiên cứu chọn lọc và đưa ra một số bài tập ví dụ, các bài tập phát triển và các bài tập áp dụng có tính tiêu biểu, giúp học sinh có định hướng và dễ tiếp cận với dạng toán này. Việc làm này được tiến hành một cách bài bản và thông suốt từ lớp 6 cho đến lớp 9 với nhiều loại bài tập khác nhau cả đại số và hình học, số học trong việc bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi đã giúp tôi có nhiều thành công trong nhiều khóa học khác nhau khi có nhiều học sinh đạt giải cấp huyện, cấp tỉnh. Nhiều học sinh đậu vào trường chuyên Lam sơn và trở thành học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ
Trong quá trình dạy học trên cơ sở các nội dung lí thuyết đã học và các bài tập cụ thể giáo viên cần hướng dẫn học sinh vận dụng được các ứng dụng của lí thuyết vào các dạng bài tập khác nhau có sử dụng phần lí thuyết đã học đồng thời hướng dẫn học sinh nhìn ra bài toán tổng quát và các bài tập có thể khai thác từ bài tập đó. 
Trong chương trình chính khóa thì hầu như sách giáo khoa, sách bài tập không đề cập đến hoặc đưa rất hạn chế các dạng bài tập có tính tổng quát vì đây là dạng bài tập cũng rất khó nên gây cho học sinh không ít khó khăn khi tiếp cận. Nhưng loại bài tập này lại giúp phát triển rất tốt về tư duy, khả năng tổng quát hóa, trừu tượng cho học sinh khá giỏi, các em sẽ có cách học sâu hơn, cách nhìn rộng hơn và bao quát hơn.
Trong đề tài này tôi đã nghiên cứu, tổng hợp và chọn ra một số bài tập tiêu biểu để làm ví dụ, đưa ra những gợi ý cách giải và đưa ra các bài tập phát triển đi kèm với các ví dụ cho từng bài để học sinh rễ hiểu, có thể làm được và có định hướng cho việc giải cũng như cách sáng tạo ra một số bài tập thông qua đó có định hướng chung cho các loại bài tập khác.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Đối với học sinh
Đây là phần kiến thức khó tiếp cận với đa số học sinh khá giỏi vì thế các em thấy ngại học khi các thầy cô đề cập tới lí thuyết cũng như những bài tập loại này, hầu hết học sinh đều thấy khó khăn và thậm chí là không giải được các bài tập này trong các đề thi. Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 43 học sinh khá, giỏi trường THCS Lê Đình Kiên tôi thấy kết quả như sau:
Điểm dưới 5
Điểm từ 5 đến
dưới 7
Điểm từ 7 đến
dưới 9
Điểm từ 9 đến
dưới 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8
18,6
24
55,81
11
25,59
0
0
2. Đối với giáo viên
Đây là vấn đề gây nhiều khó khăn cho các thầy cô vì không biết nói thế nào cho học sinh hiểu các yêu cầu có tính tổng quát, trừu tượng, cũng không biết nên xuất phát từ đâu.
Nhiều thầy cô cũng chưa chú trọng đến việc hình thành và phát triển tư duy tổng quát, tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi mà chỉ dạy theo thói quen, theo mô tiếp có sẵn, chưa thực sự đào sâu suy nghĩ về cách làm mà còn dạy theo kiểu lướt qua coi trọng số lượng dạng – bài mà không chú trọng đến việc hình thành lối mòn tư duy sáng tạo tổng quát cho các em. Một số thấy cô năng lực còn hạn chế nhưng chưa chịu khó tìm tòi học hỏi, ngại thay đổi bản thân và chưa thực sự tâm huyết với nghề, áp lực về thời gian và lượng kiến thức cần dạy cũng là một nguyên nhân khiến thầy cô không thể thực hiện được.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Trước tình hình thực tế như trên, tôi đã nghiên cứu tài liệu cùng với kinh nghiệm giảng dạy của mình hệ thống lại một số bài tập ví dụ nhằm giúp học sinh có định hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng với loại bài tập này. Do thời gian chính khóa có hạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đề này vào các buổi học phụ đạo, bồi dưỡng với cách thức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh thảo luận tìm lời giải, gợi ý sau đó nêu lời giải và rút ra các bài toán tổng quát, nhận xét cho từng ví dụ.
*) Xuất phát từ bài toán:
Bài 1: Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn .
 Chứng minh rằng năm số a, b, c, d bằng nhau.
Nhận xét: Để giải bài toán này cần củng cố lại cho học sinh một số kiến thức về lũy thừa: với 2 lũy thừa bằng nhau cơ số của lũy thừa nào lớn hơn thì số mũ của lũy thừa đó phải nhỏ hơn. Tiếp đó cần giới thiệu với học sinh phương pháp chứng minh phản chứng đó là: ta giả sử các khả năng đi ngược lại với những gì đề yêu cầu, sau đó dùng những suy luận logic kết hợp với những gì đề đã cho để dẫn tới những điều trái với giả sử, từ đó dẫn tới điều giả sử là sai.
Hướng dẫn học sinh từng bước:
Giả sử kết hợp với .
- với kết hợp với 
- với kết hợp với 
 - với d <e kết hợp với 
- với kết hợp với vô lí, (trái với điều giả sử).
Ngược lại, giả sử bằng các lập luận tương tự ta lại dẫn tới vô lí, trái với điều giả sử.
Suy ra: 
Bằng cách lập luận tương tự như trên ta cũng dẫn đến ; ; ; . Vậy năm số a, b, c, d, e bằng nhau.
 	Nhận xét: Sau khi giải song bài toán trên tôi đã yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và trình bày lời giải cho bài toán tổng quát. Để nêu được bài toán tổng quát cần xác định rõ đặc điểm của bài toán đó là: số lượng các số đã cho trong bài gồm 5 số a, b, c, d, e ( là số lẻ các số), các lũy thừa được cho ở dạng "lặp vòng tròn" theo nguyên tắc "số mũ của lũy thừa tiếp theo là cơ số của lũy thừa liền trước nó".
Từ bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh làm tương tự cho một số bài tập tổng quát sau: 
1. Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng n số tự nhiên (n là số lẻ) bằng nhau.
Hoặc bài toán sau:
2. Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) thỏa mãn điều kiện:
 . 
 Tính giá trị biểu thức: 
Hoặc bài toán sau: 
3. Cho n số tự nhiên (n là số lẻ) thỏa mãn điều kiện:
 . Chứng minh giá trị biểu thức:
 không phải là số tự nhiên.
*) Xuất phát từ bài toán: 
Bài 2: Tính tổng 
Hướng dẫn học sinh từng bước:
Ta thấy A là tích của 99 số âm nên ta có:
Nhận xét: Từ bài toán trên ta xét bài toán tổng quát sau đây:
 	Tính tổng: . Với 
Nhiều học sinh sẽ mắc phải sai lầm là không để ý đến sự khác nhau về dấu của tích trên khi n là số chẵn thì tích A là số âm, Khi n là số lẻ thì tích A là số dương. Vì vậy ta cần xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu n chẵn 
Ta thấy A là tích của n-1 số âm, là số lẻ các số âm nên ta có:
- Trường hợp 2: Nếu n lẻ 
 Ta thấy A vẫn là tích của n-1 số âm nhưng là số chẵn các số âm nên ta có:
 Từ bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh làm một số bài tập sau: 
1. Chứng minh rằng:
 a) (, n là số lẻ).
 b) ( , n là số chẵn).
2. Cho (, n là số lẻ).
 Tìm giá trị lớn nhất của .
*) Xuất phát từ bài toán: Chứng minh: . Ta xét bài toán tổng quát: 
 Bài 3: Tính 
 với 
Nhận xét: Ta nhận thấy mỗi mẫu số là tích của 2 thừa số, mà hiệu của thừa số lớn hơn với thừa số nhỏ hơn lại là tử số của mỗi phân số tương ứng vì vậy ta sẽ tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số khi đó trong tổng sẽ xuất hiện các số đối nhau. 
Hướng dẫn học sinh theo hướng gợi mở từng bước:
Ta có 
Từ đây ta dễ dàng có lời giải cho bài toán. 
Chứng minh: .
Từ bài toán trên ta có thể yêu cầu học sinh làm một số bài tập sau: 
1. Cho với 
 Chứng minh rằng: .
2. Cho với 
 Tìm n để 
*) Xuất phát từ bài toán: 
Chứng minh rằng: 
Giáo viên lại nêu bài toán tổng quát:
Bài 4: Tính
Hướng dẫn học sinh từng bước theo cách biến đổi thông thường đối với tổng dãy số các lũy thừa có cùng cơ số và quy luật đó là nhân cả 2 vế với cơ số của các lũy thừa có mặt trong biểu thức:
Ta có: 
Ta đặt: 
Do đó 
Từ đây ta dễ dàng có lời giải cho bài toán 
Chứng minh rằng: 
*) Xuất phát từ một bài toán tôi gặp trong một tài liệu trên mạng:
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn học sinh dùng phương pháp làm trội, biến đổi mỗi phân số ở vế trái thành phân số lớn hơn có mẫu thuận lợi cho việc tách thành hiệu 2 phân số làm xuất hiện các số đối nhau trong tổng mới.
Hướng dẫn , từ đay học sinh dễ dàng biến đổi:
 .......................
Do đó: 	Vậy, 
Ta có thể yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và hướng dẫn học sinh thực hiện tương tự như bài toán trên:
Bài 5: Chứng minh: với .
Hướng dẫn học sinh từng bước, để làm bài tập này trước hết ta chứng minh:
 với .
Thật vậy, ta có với : 
 (*)
Áp dụng bất đẳng thức (*) lần lượt với k = 2; 3; 4; ...; n. 
Ta có: 
 .......................
Do đó: 	Vậy, với ta có 
Như vậy từ bài toán trên học sinh sẽ dễ dàng làm được các bài toán sau:
Chứng minh: với 
Chứng minh: với 
 *) Xuất phát từ bài toán tính giá trị biểu thức: tôi gặp trong một tài liệu trên mạng. Tôi đã yêu cầu học sinh phát biểu và làm bài toán tổng quát sau: 
Bài 6: Thực hiện phép tính: 
 Hướng dẫn học sinh từng bước: Mẫu của các phân số trong biểu thức A là tổng của các số tự nhiên liên tiếp, học sinh biết công thức tính: . Áp dụng trong từng ngoặc ta có:
 Vậy, với 
Và như vậy học sinh dễ dàng làm được bài tập tính:
Từ bài toán tổng quát trên ta có thể yêu cầu học sinh làm các bài tập khác:
Cho với 
 Tìm n để .
Cho với 
Tìm n để nhận giá trị là số nguyên?
*) Xuất phát từ bài toán:
Bài 7: Tính 
Hướng dẫn học sinh từng bước: Vấn đề đặt ra cho học sinh lúc này là làm thế nào để giải được bài toán này. Với cách tư duy quen thuộc học sinh phải chọn một số nhân thêm vào 2 vế để biến đổi tổng mới làm xuất hiện các số đối nhau có tổng bằng 0 từ đó sẽ tính được tổng ban đầu. ta nhân 2 vế với 3( số số hạng + 1) và thực hiện tách 1 thừa số trong tích ta được:
Từ ví dụ trên yêu cầu học sinh phát biểu bài toán tổng quát và chứng minh:
Lúc này câu hỏi đặt ra là có thể phát triển bài toán bằng cách tăng các thừa số trong mỗi tích của tổng là 3, 4, 5, , m số tự nhiên liên tiếp ta sẽ có bài toán tổng tổng quát mạnh hơn.
 	Hướng dẫn cho học sinh thực hiện tương tự bằng cách nhân 2 vế với m+1 và tách 1 thừa số trong mỗi tích làm xuất hiện các số đối nhau trong tổng ta tính được
Từ việc tính tổng trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh tổng 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3. 
*) Xuất phát từ bài toán rất quen thuộc sau: 
Bài 8: Tính tổng : 
Hướng dẫn học sinh từng bước: Giáo viên hướng dẫn học sinh tách các tử số thành hiệu 2 số dưới mẫu và tách mỗi phân số thành hiệu 2 phân số mới nhằm làm xuất hiện các số đối nhau
Từ bài toán này giáo viên đưa ra bài toán :
1. Tìm x thuộc N biết:
Từ các so sánh , ta có bài toán:
2. Chứng minh rằng: tổng không phải là số nguyên.
Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1; a2; ... ; an-1 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì:	 
Giúp giáo viên đưa đến bài toán rất hay và khó sau: 
3. Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; ... ; an-1 sao cho:
 . 
Hoặc bài toán: 
4. Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a2020 thỏa mãn: a1 < a2 <a3 < ... < a2019 < a2020 và .
Các bài này giáo viên gợi mở cách suy nghĩ dựa vào bài tập đã được hướng dẫn ở trên và học sinh thực hiện ở nhà, chữa bài sau.
*) Xuất phát từ các bài tập rất cơ bản:
Bài 9: Tìm các số x, y, z biết
a) và ;	 b) và ;
c) và 
Hướng dẫn học sinh từng bước:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
Từ đây hướng dẫn học sinh nêu bài toán tổng quát:
 Tìm x, y, z biết và 
Với a, b, c, d là các số cho trước và m, n, p khác 0.
Phương pháp giải là chon các số m, n, p để nhân thêm vào tử và mẫu của các tỉ số rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tạo ra tỉ số là một hằng số.
*) Xuất phát từ các bài tập rất cơ bản về dãy tỉ số bằng nhau:
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết
a) và 
b) và 
Hướng dẫn học sinh từng bước, dựa vào điều kiện đi kèm là biểu thức liên hệ giữa các biến ; để bình phương các tỉ số bằng nhau ban đầu thành các tỉ số bằng nhau mới có mũ của biến là 2, cụ thể:
a) 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Kết hợp với (1) hoặc 
b) 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: 
Kết hợp với (1) hoặc 
Từ đây yêu cầu và hướng dẫn học sinh nêu bài toán tổng quát rồi tìm cách biến đổi chung:
 Tìm x, y, z biết và 
Với a, b, c, d, m, n, p, k là các số khác 0, *
Với cách suy luận quen thuộc học sinh chỉ ra được 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tạo ra tỉ số là một hằng số ta được:
 .
Hoặc một bài tập khai thác tính chất của lũy thừa bậc chẵn kết hợp với tính chất dãy tỉ số bằng nhau như sau :
Bài 11: Cho với mọi m, n . Chứng minh rằng .
Cho học sinh suy nghĩ, nháp bài và hướng dẫn học sinh từng bước, ở đây vế trái là tổng các lũy thừa bậc chẵn nên đánh giá từng hạng tử, từ đó rút ra dãy tỉ số bằng nhau và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để được kết quả. 
Cụ thể :
 Nhận thấy: ( với )
 Nên từ giả thiết , ta có: 
 Suy ra: ; ;  ; (1)
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 
 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).
BÀI TẬP VẬN DỤNG CHUNG
Bài 1: Cho . Chứng minh: S < 1
Bài 2: So sánh: 
 	 và 
Bài 3: Tính các tổng sau: 
 a) 
 b) 
c) .
 d) D = 
Bài 4: a) So sánh: với 2.
 b) Cho .
 So sánh B với 2.
 c) Cho . So sánh C với 3
Bài 5: Chứng minh rằng:
	n - với 
Bài 6: Tính biết: A = 
và 
Bài 7: Tìm x, biết: 
Bài 8: Cho 2019 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:
 Tính tổng .
Bài 9: Cho và . Tính .
Bài 10: Cho B = 1+ 	
 Tìm số nguyên dương x để B = 115.
Bài 11: Cho ; . 
 So sánh với .
Bài 12: a) Cho (với và n >1)
Chứng minh rằng không là số nguyên.
b) Cho B = . 
 Chứng tỏ B không phải là số nguyên.
 c) Cho A = 
	 Chứng minh A .
Bài 13: Cho dãy tỉ số: . 
 Chứng minh rằng: .
Bài 14: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thỏa mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
 Chứng minh rằng: .
Bài 15: Cho biểu thức: . Tính giá trị của biểu thức P biết rằng: 
Bài 16: Cho 2020 số thoả mãn a1+a2+...+a2020 ¹ 0 
và 
 Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Bài 17: Cho Chứng minh rằng nếu 
	 Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x.
Bài 18: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 19: Biết và . Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = 0	
Bài 20: Cho . C¸c sè x, y, z, t tháa m·n: vµ 
 Chứng minh rằng: 
Bài 21: Cho các số a, b, c, d khác 0 và x, y, z, t thỏa mãn:
 Tính 
Bài 22: Chứng minh rằng : Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1)
	Trong đó a ; b ; c là các số khác nhau và khác 0 thì:
IV. KẾT QUẢ THỰC HIỆN
Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đối với 43 học sinh này đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh đạt điểm khá giỏi đã tăng lên khá nhiều.
Điểm dưới 5
Điểm từ 5
đến dưới 7
Điểm từ 7
đến dưới 9
Điểm từ 9
đến dưới 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
0
0
7
16,28
21
48,84
15
34,88
Trong thời gian giảng dạy đã qua, với cách làm như vậy được tiến hành từ lớp 6 cho đến lớp 9 với nhiều loại bài tập khác nhau cả đại số, hình học, số học, toán suy luận logic phù hợp cho từng khối lớp, tôi nhận thấy khả năng tư duy của học sinh phát triển rất tốt qua từng chương – từng lớp, học sinh đã không còn sợ những bài toán khó, những bài toán tổng quát nữa. học sinh đã hứng thú hơn và chủ động hơn trong việc học của mình, có tư duy tổng quát, tư duy sáng tạo tìm tòi khám phá các bài tập nhiều hơn, chủ động hỏi thầy và trao đổi với bạn phát triển năng lực học toán nói riêng và các vấn đề khác nói chung qua từng năm học.
Tôi đã gặt hái được rất nhiều thành công trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, từ cấp huyện-cấp tỉnh và thi vào chuyên toán, tin Lam Sơn. Năm học 2018-2019 học sinh giỏi do tôi bồi dưỡng đã đạt được 12 giải học sinh giỏi môn toán khối 7 - đồng đội xếp thứ nhất, khối 8 có 7 em đậu vào vòng I đội tuyển toán của huyện chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh năm học 2019-2020 (nhiều nhất huyện). Qua các năm học đều được cấp trên, nhà trường, học sinh và phụ huynh ghi nhận, điều đó càng làm cho tôi vững tin vào những gì mà mình đang hướng dẫn cho các lứa học trò tiếp theo.
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. Kết luận
Trên đây là một số bài tập tiêu biểu mà tôi đã giảng dạy cho học sinh khá giỏi nơi mình đang công tác trong quá trình ôn luyện, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong nhiều năm của nhiều khóa học khác nhau trong phần kiến thức chương I đại số lớp 7, hàng năm tôi đều có sự nghiên cứu trao đổi với đồng nghiệp, tổng kết và bổ sung. Với cách làm như vậy ở nhiều loại bài tập khác nhau cả đại số, hình học, toán suy luận logic cũng như số học, tôi nhận thấy khả năng nhận dạng cũng như giải quyết các bài tập khó có sự tiến bộ rõ rệt, các em đã hoàn thành tốt các bài tập mà tôi đã đưa ra và cách vận dụng cho từng bài cụ thể, các bài toán con, bài toán tổng quát, hình thành tư duy logic sáng tạo, tư duy tổng quát cho học sinh giúp tôi có rất nhiều học sinh giỏi đạt giải nhất, nhì,.. cấp huyện, cấp tỉnh. Trong các học sinh của tôi khi học tại Lam Sơn phát triển rất tốt ví dụ em: Trịnh Hoàng Đức đạt giải ba quốc gia môn toán năm học 2013-2014(lớp 11), giải nhì quốc gia môn toán năm học 2014-2015(lớp 12); em Trịnh Hữu Gia Phúc đạt giải nhì quốc gia môn tin năm học 2016-2017(lớp 10), đạt giải nhất quốc gia môn tin năm học 2017-2018(lớp 11), Huy chương bạc châu á thái bình dương môn tin năm 2018, năm 2019 em là một trong số các học sinh của Việt nam sẽ tham dự Olympic tin học quốc tế. Để đạt được kết quả tốt giáo viên cần phải hệ thống lại và hướng dẫn gợi ý để học sinh dễ tiếp cận, đồng thời dễ nhớ cách làm với từng dạng bài tập khác nhau, phải đi từ dễ đến khó, từ trường hợp riêng rồi mới đến trường hợp tổng quát, xem xét bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau. Người thầy cần khơi dậy sự chủ động tìm tòi, tính tích cực và sáng tạo của học sinh thông qua các bài giảng của mình góp phần nâng cao hiệu quả chất lượng giáo dục trong nhà trường. 
II. Đề xuất 
Việc giảng dạy các loại bài tập này cần bố trí vào các buổi học bồi dưỡng học sinh khá giỏi với thời gian thích hợp, cả học ở trường với sự hướng dẫn của thầy cùng với việc tự học ở nhà để học sinh có thể nắm bắt tốt. 
Thầy cô giáo nên có sự nghiên cứu, tìm tòi nhiều hơn tâm huyết hơn cho các công tác giảng dạy nhất là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, cần có cái nhìn sâu rộng xuyên suốt nội dung chương trình môn toán để có cách hình thành tư duy cho học sinh từ thấp đến cao – từ trường hợp riêng đến tổng quát giúp nâng tầm tư duy học sinh qua các năm học để các em học tập sáng tạo đạt kết quả cao.
Nhà trường, Phòng giáo dục và đào tạo, Sở giáo dục và đào tạo cần có nhiều biện pháp hơn nữa trong ghi nhận và khuyến khích gi