SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia tại trường THPT Như Thanh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GÓP PHẦN 
NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ÔN TẬP THI THPT 
QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH
Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm
Tổ: Toán - Tin
Trường: THPT Như Thanh
SKKN thuộc môn Toán.
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
	Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
	Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán. Giữa hàm số và đạo hàm của nó có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Đạo hàm của hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng công thức nó còn được thể hiện qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị của hàm số để tìm ra được các tính chất của hàm số giúp ta giải quyết được rất nhiều bài toán khó.
Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT đã thay đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, thì xuất hiện trong đề thi rất nhiều bài toán có giả thiết là cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số và yêu cầu chỉ ra các tính chất của hàm số . Đây là một yêu cầu khá mới mẻ đối với học sinh, để giải quyết được các dạng bài toán này thì học sinh cần phải nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của nó. Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu. 
	Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vận dụng, vận dụng cao về hàm số khi biết đồ thị hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK lớp 12 để giải quyết các bài toán đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN.... của hàm khi biết đồ thị của hàm số .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: 
	-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm,  phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học.
	- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Nghị quyết Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực...."
	Mọi người đều cần phải học toán và dùng toán trong cuộc sống hàng ngày. Vì thế mà Toán học có vị trí quan trọng đối với tất cả các lĩnh vực trong đời sống xã hội. Hiểu biết về Toán học giúp cho người ta có thể tính toán, suy nghĩ, ước lượng,...và nhất là có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận lôgic,...trong giải quyết các vấn đề nảy sinh, trong học tập cũng như trong cuộc sống hàng ngày.
	Ở trường phổ thông, học toán về cơ bản là hoạt động giải toán. Giải toán liên quan đến việc lựa chọn và áp dụng chính xác các kiến thức, kỹ năng cơ bản, khám phá về các con số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi các ý tưởng liên quan,... Giải toán đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống. Học toán và giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp. Kiến thức môn Toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học các môn học khác như Vật lí, Hóa học, Sinh học,...
	Do đó, ở trường phổ thông nói chung, việc dạy học môn Toán để đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong giai đoạn hiện nay phải tập trung vào việc hình thành và phát triển các năng lực chung cũng như các năng lực chuyên biệt của môn Toán như: Năng lực tư duy (gồm: tư duy lôgic; tư duy phê phán; tư duy sáng tạo; khả năng suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính toán (gồm: năng lực sử dụng các phép tính; năng lực sử dụng ngôn ngữ toán; năng lực mô hình hóa; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán).
2.2. Thực trạng.
	Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôi nhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là các bài toán về hàm số khi biết đồ thị của hàm số . Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào. Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không có hứng thú trong việc học môn Toán.
	Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập về hàm số khi biết đồ thị của hàm số , các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chủ động trong việc giải các bài toán dạng này. Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với các dạng bài toán này.
2.3. Giải quyết vấn đề.
Năm học 2017-2018 là năm học thứ hai môn Toán được thi dưới hình thức trắc nghiệm, thì ở mã đề 101 có bài toán sau:
	Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	 B. .	 C. .	 D. . 
(Trích câu 50 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2018).
Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi. Cái khó khăn của bái toán trên chính là việc tìm ra mối liên hệ giữa hai điều kiện đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm . Sau đây là một số cách giải bài toán này.
Cách 1: Đặt , . Ta có .
Để hàm số đồng biến thì 
với .
.Vì . Vậy, chọn B.
Cách 2: Kẻ đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại , . Khi đó ta có: 
 .
Do đó khi . Vậy, chọn B.
Cách 3: Ta có .
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
, do đó .
Suy ra . Do đó hàm số đồng biến trên . Vậy, chọn B.
Rõ ràng bài toán trên có nhiều hướng để giải quyết, tuy nhiên nếu học sinh không có kỹ năng đọc đồ thị của hàm số đạo hàm thì sẽ rất khó khăn.
	Trong năm học 2016-2017 năm đầu tiên tổ chức thi dưới hình thức trắc nghiệm với môn Toán, trong đề thi chính thức mã đề 101 cũng có bài toán sau:
	 Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
(Trích câu 49 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2017).
Giải
+ Tính đạo hàm: Ta có: 
+ Vẽ thêm đường thẳng vào đồ thị như hình bên dưới
(tại các giao điểm của đường cong và đường thẳng trên hình)
+ Bảng biến thiên
+ Từ bảng biến thiên ta nhận thấy lớn nhất trong 3 giá trị cực trị
+ Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu còn lại.
Ta có: 
+ Vậy thứ tự đúng là: . Vậy, chọn đáp án C.
	Như vây, các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số luôn xuất hiện nhiều trong đề thi chính thức ở 2 năm học qua cũng như đề minh hoạ của Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019. Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung vào giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số khi biết đồ thị của hàm số .
2.3.1 . Cơ sở lý thuyết.
Các kiến thức cơ bản:
Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học.
2.3.1.1. Các định nghĩa.
Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định trên K.
Hàm số được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu 
Hàm số được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu 
Định nghĩa 2: Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể a là ; b là ) và điểm .
a. Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
b. Nếu tồn tại số sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại . 
Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D.
a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho . Kí hiệu 
b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D nếu với mọi x thuộc D và tồn tại sao cho . Kí hiệu . 
2.3.1.2. Các tính chất.
Định lý 1: Cho hàm số có đạo hàm trên 
+ Nếu thì hàm số đồng biến trên 
+ Nếu thì hàm số nghịch biến trên 
Định lý mở rộng: Cho hàm số có đạo hàm trên . Nếu (hoặc ) và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên 
Định lý 2:: Giả sử hàm số có cực trị tại điểm . Khi đó, nếu có đạo hàm tại thì 
Định lý 3: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc trên , với .
a. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số .
b. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số .
2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số.
- Cho hàm số có đồ thị . Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị theo phương trục hoành một đoạn bằng . Nếu tịnh tiến đồ thị qua phải đơn vị và nếu tịnh tiến đồ thị qua trái đơn vị.
- Cho hàm số có đồ thị . Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị bằng cách tịnh tiến đồ thị theo phương của trục tung một đoạn bằng . Nếu tịnh tiến đồ thị xuống dưới đơn vị và nếu tịnh tiến đồ thị lên trên đơn vị.
- Cho hàm số có đồ thị . Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục và bỏ phần nằm bên trái .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm bên phải trục qua .
- Cho hàm số có đồ thị . Đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới qua và bỏ phần đồ thị nằm dưới trục Ox.
2.3.1.4. Một số ứng dụng của tích phân.
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức: .
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn . Khi đó diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , và hai đường thẳng là .
2.3.2. Một số dạng bài toán về hàm số khi biết đồ thị của hàm số .
Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị của hàm số khi biết đồ thị của hàm số .
Với dạng này thì ta thường gặp dạng bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị của đạo hàm như hình vẽ cho trước. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số .
Để giải bài toán trên ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Từ đồ thị hàm số tìm nghiệm của phương trình (hoành độ giao điểm của đồ thị hàm với trục ). Giả sử có các nghiệm là: 
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình 
 nghiệm 
Bước 3: Tìm các khoảng . Giả sử khi đó . Giải bất phương trình .
Bước 4: Lập bảng biến thiên và kết luận.
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình vẽ sau. 
Tìm khoảng đồng biến của hàm số . 
	(Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT) 
Giải
+) Dựa vào đồ thị hàm ta có:
	; 
+) Đặt . Ta có: 
+) Để hàm đồng biến thì: 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư duy tương tự cho bài toán cơ bản về việc xét tính đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , hàm số có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số trên 
Để tìm được khoảng nghịch biến của hàm số ta phải dựa vào việc xét dấu của đạo hàm cấp 1. 
+) Ta tính đạo hàm của hàm số .Ta có: , sự biến thiên của hàm số phụ thuộc vào dấu của . 
+) Ta có: 
+) Nhận thấy và các nghiệm của phương trình là các nghiệm đơn nên ta có bảng xét dấu như sau:
	0	0	0	
Dựa vào bảng biến thiên ta dễ dàng suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên các khoảng và , hàm số đạt cực trị tại các điểm .
Ngoài cách xét dấu như trên ta cũng có thể xét dấu như sau: 
.
Từ đó ta cũng có bảng xét dấu như trên. 
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị như hình vẽ bên và . 
Tìm khoảng nghịch biến của hàm số .
Giải
Ta có: .
Từ đồ thị của ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta suy ra .
Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi 
 .
Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số như hình bên. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số trên 
Giải
Ta có Hàm số nghịch biến 
Giải (1): hệ vô nghiệm.
Giải (2): Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng 
Tuy nhiên ta cũng có thể giải bằng cách khác như sau: 
Ta có 
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên khoảng 
Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm là hàm số trên . Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số .
Giải:
Nhận xét: Với yêu cầu của bài toán thì ta cần xác định được dấu của hàm số . Từ giả thiết ta thấy rằng, đồ thị của hàm số đã thực hiện một số phép biến đổi đồ thị để được đồ thị như hình vẽ. Từ đó ta có thể giải như sau: 
Từ đồ thị hàm số tịnh tiến xuống dưới đơn vị, ta được đồ thị hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái đơn vị, ta được đồ thị hàm số (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Từ đồ thị hàm số , ta thấy khi Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng . 
Tuy nhiên ngoài cách giải trên ta cũng có thể giải bằng cách sau:
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có: .
Đặt thì .Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng .
Ví dụ 6: Cho hàm số có đạo hàm trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số . 
Lời giải
Ta có Khi đó (1).
Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .
Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đồ thị hàm số và đường thẳng có ba điểm chung có hoành độ là . Do đó 
Suy ra 
Trên đường thẳng tiếp xúc hoặc nằm trên đồ thị hàm số .
Trên đường thẳng nằm dưới đồ thị hàm số .
Trên đường thẳng nằm trên đồ thị hàm số .
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
Ví dụ 7: Cho hàm số biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên dưới. 
Tìm tất cả các giá trị để hàm số có 3 cực trị
Giải
+ Hàm số có đạo hàm 
+ Vì đồ thị tiếp xúc trục tại điểm có hoành độ nên là nghiệm bội chẵn. Do đó ta chỉ cần xét số nghiệm hai phương trình: 
+ Để hàm số có 3 cực trị khi hai phương trìnhcó thêm đúng hai nghiệm đơn khác 0
TH 1: phương trình (1) vô nghiệm hoặc nghiệm kép , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác không khi đó có 3 nghiệm đơn nên có 3 cực trị
TH 2: không có thỏa yêu cầu bài toán
Vậy, thì hàm số có 3 cực trị.
Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm trên và đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Giải
+ Ta có có 3 nghiệm thực 
	 trên khoảng 
	 trên khoảng 
+ Bảng biến thiên: 
+ Vì vậy hàm số có 3 cực trị trong đó có 2 cực trị có hoành độ dương 
+ Thực hiện biến đổi đồ thị hàm số dạng . Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đôi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ dưới đây) được đồ thị hàm số 
+ Ta thấy đồ thị hàm số có 5 cực trị, suy ra đồ thì hàm số có 5 cực trị với mọi giá trị m. 
Vậy, hàm số có 5 cực trị.
Ví dụ 9: Cho hàm số có đạo hàm trên , đồ thị hàm số như trong hình vẽ bên, . Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ?
 Giải.:
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
 - 0 + 0 - 0 + 
Đề suy ra được đồ thị của hàm số ta cần phải so sánh được hai giá trị và dấu của chúng. 
Ta có: 
Do đó, đồ thị hàm số nằm phía trên trục ox với mọi x đồ thị cũng chính là đồ thị . Vậy, đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 10: Cho hàm số xác định trên có ; ; . Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số .
Giải
Nhận xét: Số cực trị của hàm số bằng số cực trị của hàm số cộng với số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Đặt và .
Ta có: (*) 
Dự vào đồ thị, nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng , ta có: 
Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Ta có: 
 vì 
 vì 
 vì 
Suy ra có đúng hai nghiệm phân biệt và .
Vậy, hàm số có đúng 5 điểm cực trị.
Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh các giá trị của hàm khi biết đồ thị của hàm số .
Cơ sở phương pháp của bài toán dạng này cũng là bài toán đã trình bày trong dạng 1. Sau đây ta xét một số ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ dưới đây: 
Biết rằng . Tìm giá trị đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
Giải
 Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn như sau:
 Nhận thấy: 
 Để tìm ta so sánh và .
Theo giả thiết, .
Từ bảng biến thiên , ta có . Do đó . Hay . Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và giá trị lớn nhất tại 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . 
Giải
+ Từ đồ thị ta có bảng biến thiên trên của hàm số trên .
+ Từ bảng biến thiên ta thấy .
+ Để tìm ta so sánh và .
+ Ta có: .
Hay . Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và giá trị lớn nhất tại 
Ví dụ 3 : Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , đồ thị hàm số như trong hình vẽ bên dưới. Tìm giá trị đề hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .
Giải:
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy. Để tìm giá trị nhỏ nhất ta so sánh hai giá trị .Tuy nhiên cái khó của bài toán này so với 2 ví dụ trước là không có dữ kiện để ta so sánh, vì vậy ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình phẳng. Bằng trực quan ta thấy và diện tích hình phẳng giới hạn trên lớn hơn hình phẳng giới hạn trên nên 
Ta có
Hay . Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại và giá trị lớn nhất tại 
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . So sánh giá trị 
Giải:
Từ đồ thị trên suy ra bảng biến thiên trên 
Dựa vào BBT ta có lớn nhất trong ba giá trị cần so sánh
Ta lại có: 
Theo giả thiết:
Vậy, . 
Ví dụ 5: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . So sánh các giá trị .
(Trích câu 48 MĐ 102 đề chính thức thi THPT Quốc gia 2018).
	Giải: 
+) Ta có: 
+) Vẽ đường thẳng . (Như hình vẽ)
Từ đồ thị ta có: 
Vậy, ta có: .
Dạng 3: Tìm số giao điểm, số nghiệm của phương trình liên quan đến hàm khi biết đồ thị của hàm số .
Ví dụ 1: Cho hàm sốcó đạo hàm trên , đồ thị hàm số như hình vẽ. Biết , tìm số giao điểm của đồ thị hàm sốvới trục hoành.
Giải.
+) Từ đồ thị ta thấy và đi qua các nghiệm trên, đạo hàm đổi dấu nên hàm sốcó 3 điểm cực trị.
+) Ta có bảng biến thiên:
Nhận thấy, hoặc là giá trị nhỏ nhất của hàm số. (1)
Do đó, để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ta cần phải so sánh được và biết được dấu của chúng. 
Ta có: 
Ta thấy, vì . (2)
Từ (1) và (2) suy ra đồ thị hàm sốnằm hoàn toàn phía trên trục hoành hay đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị hàm số như hình bên. Biết . Phương trình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
Giải:
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
 - 0 + 0 - 0 + 
. 
Do nên ta có: 
Nếu thì phương trình vô nghiệm.
Nếu thì phương trình có 1 nghiệm.
Nếu thì phương trình có 2 nghiệm.
Vậy, phương trình có nhiều nhất là 2 nghiệm.
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ
Tìm để bất phương trình nghiệm đúng với mọi .
Đối với dạng bài toán này thì khá mới lạ với học sinh, các em sẽ lúng túng và không biết định hướng để giải nếu không biết quy lạ về quen.
Giải:
Xét bất phương trình: 
Ta có: . Đặt ta được bất phương trình: . Nhận xét: bất pt đúng với mọi khi và chỉ khi bất pt đúng với mọi .
Xét với . Ta có: .
Từ đồ thị của hàm số và (hình vẽ) ta có BBT của như sau:
Vậy, yêu cầu bài toán tương đương với .
Ví dụ 4: Cho hàm số . Hàm số có bảng biến thiên như sau: 
Tìm để bất phương trình ng