SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Giải một bài toán là một nghệ thuật do thực hành mà có, ngay cả khi bài toán mà bạn đang giải có thể là bình thường nhưng nếu nó khêu gợi được trí tò mò và buộc bạn phải sáng tạo, đặc biệt nếu bạn tự giải lấy bài toán đó thì bạn có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.
	Đối với học sinh, sau cái mong muốn giải một bài toán cụ thể còn có một sự tò mò sâu sắc hơn, một sự mong muốn được biết đường lối, phương tiện, lập luận và qua trình dẫn tới cách giải, mà điều này không sách vở nào trình bày cho học sinh. 
	Bài tập toán rất đa dạng và phong phú, việc giải bài tập là một yêu cầu quan trọng đối với học sinh. Trong chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán nói chung và phân môn Hình học không gian nói riêng, số lượng các bài tập chưa có sẳn thuật toán giải là khá lớn và gây cho học sinh không ít khó khăn, lúng túng khi giải chúng dẫn đến tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ học tập của học sinh. Do vậy khi giải bài tập giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là “dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lí để giải toán”. Bởi vì “Tìm ra cách giải một bài toán là một phát minh” 
Bên cạnh đó, trong đề thi THPT quốc gia và đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa của các năm qua, bài toán hình học không gian liên quan đến véc tơ hầu như không thể thiếu và là bài toán không thuộc loại khó. Tuy nhiên đối với học sinh thì vẫn coi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất, các phương pháp giải của véc tơ. 
	Véc tơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học không gian được thuận lợi để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của véc tơ giải các bài toán hình học không gian, chính vì những lý do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài 
‘‘ Rèn luyện kỹ năng giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ’’
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Nhằm giúp học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được 
kết quả cao khi giải các bài toán hình học không gian nói riêng và đạt kết quả cao 
trong quá trình học tập và thi tuyển nói chung.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 - Học sinh các lớp 11A1 và 11A4 ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG tỉnh Thanh Hóa.
 - Các dạng toán về hình học không gian mà sử dụng véc tơ để giải trong chương trình hình không gian 11.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu lý luận;
 - Điều tra thực tế;
 - Thực nghiệm sư phạm. 
1.5. Những điểm mới của sáng kiến 
 Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau:
 - Đưa ra hệ thống lí thuyết, hệ thống các phương pháp giải.
 - Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể. Phân tích tỉ mỉ hướng giải, vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó giúp học sinh đưa ra được lời giải của bài toán.
 - Thực nghiệm sư phạm
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận 
2.1.1. Nội dung chủ đề véc tơ trong chương trình toán THPT
Ở chương trình lớp 10 véc tơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn. Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng. 
Chương I - véc tơ: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về véc tơ (véc tơ, véc tơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau) và các phép toán cộng trừ véc tơ, nhân véc tơ với một số. Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu về tọa độ, trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng. Tọa độ của véc tơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa độ.
Chương II – Tích vô hướng của véc tơ và ứng dụng, bao gồm: Định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác [1].
Ở chương trình lớp 11 – véc tơ trong không gian là mọt bài trong chương III: Quan hệ vuông góc trong không gian. Các phép toán và tính chất của véc tơ trong không gian được hiểu tương tự như véc tơ trong mặt phẳng, nên không trình bày một cách tỉ mỉ. Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba véc tơ. Việc đưa véc tơ vào trong chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất về quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của chương trình phân ban 2006 [2].
Ở chương trình lớp 12 có đưa vào khái nệm tích có hướng của hai véc tơ, ký hiệu là hoặc , được xác định bởi biểu thức tọa độ để làm cơ sở viết phương trình mặt phẳng [3].
2.1.2. Sử dụng phương pháp véc tơ để giải các bài toán hình học [2]
Dùng véc tơ và các phép toán véc tơ chúng ta có thể giải nhanh một số bài tập hình học. Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng
Để chứng minh 4 điểm đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ 
 đồng phẳng, tức là chứng minh .
Để chứng minh hai đường thẳng và song song hoặc trùng nhau ta chứng minh hai véc tơ và cùng phương, tức là chứng minh 
. 
Để chứng minh đường thẳng song song hoặc nằm trong , ta lấy trong hai véc tơ và không cùng phương và chứng minh cho ba véc tơ , và đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ trong sao cho và cùng phương.
Để chứng minh hai đường thẳng và vuông góc với nhau ta chứng minh .
Để tính độ dài của đoạn thẳng ta hãy biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã biết và tính . Từ đó suy ra .
Để tính ta tín tích vô hướng , từ đó suy ra .
2.2. Thực trang của vấn đề trước khi áp dụng SKKN
	Qua thực tế trực tiếp giảng dạy ở trường THPT 4 Thọ Xuân cho thấy rằng HS thường gặp lúng túng và không giải được các bài tập khi học chương III phần bài tập liên quan đến “Véc tơ trong không gian - Quan hệ vuông góc” nguyên nhân của tình trạng trên xuất phát từ nhiều phía :
* Về phía HS : 
 - Không nắm vững định nghĩa, tính chất, quy tắc véc tơ.
 - Không nắm vững kỹ năng áp dụng các quy tắc véc tơ.
 - Không nắm vững phương pháp và lựa chọn bài tập nào nên sử dụng véc tơ 
 - Nhiều HS chưa tự giác tích cực, chưa phát huy được khả năng tư duy sáng tạo.
	* Về phía GV: GV không thể cung cấp hết kiến thức, phương pháp giải bài tập cho HS được trong thời gian ngắn trên lớp.
	* Về phía phụ huynh: Sự quan tâm của một số phụ huynh đến việc học tập của con em mình còn hạn chế.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề: Sử dụng kĩ thuật véc tơ để xử lí một số dạng toán hình học không gian
DẠNG I. Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ và cùng phương, tức là . 
Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt và song song, ta chứng minh , .
Bài 1. Cho hình hộp . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác và . Chứng minh rằng thẳng hàng. [3]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ cùng phương.
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các vectơ theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh. Chú ý giả thiết lần 
lượt là trọng tâm của các tam giác và .
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt , , 
Ta có: 
Vì là trọng tâm của tam giác nên: 
Vì là trọng tâm của tam giác nên: 
Từ và suy ra: thẳng hàng.
Từ và suy ra: thẳng hàng.
Vậy bốn điểm thẳng hàng.
Bài 2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với M, N thuộc cạnh CA, DC’ sao cho và . Tìm m để MN song song với BD’. [5]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài toán
Đề thì cùng phương với , tức là có số thực sao cho .
Chọn hệ vectơ cơ sở (Gồm ba vectơ không đồng phẳng) sao cho việc biểu diễn các vectơ theo hệ vectơ đó là thuận lợi nhất. thông thường ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh.
Chú ý giả thiết và .
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt 
Ta có: , . 
Để thì . 
Vậy thì MN song song với BD’.
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hai tia chéo nhau, di chuyển trên , di chuyển trên . 
Giả sử , là điểm chia theo tỉ số . Chứng minh di chuyển trên một tia cố định.
Bài 2. Cho hình hộp . Tìm điểm thuooch đoạn và điểm thuộc đoạn sao cho song song với .
Dạng II. Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta chứng minh các véc tơ đồng phẳng, tức là chứng minh .
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng , hoặc nằm trên mặt phẳng ta lấy trong hai véc tơ không cùng phương và chứng minh ba véc tơ đồng phẳng hoặc tìm một véc tơ trong sao cho và cùng phương.
Bài 1. Cho tứ diện , là trung điểm của , là trung điểm của . Điểm chia trong theo tỉ số , điểm chia trong theo tỉ số . Chứng minh đồng phẳng. [3]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh đồng phẳng, ta chứng minh ba véc tơ . Hay có 
thể biểu diễn . 
Ta chọn hệ véc tơ cơ sở và biểu diễn các véc tơ theo chúng, từ đó suy ra đồng phẳng.
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt .
Theo bài ra ta có: 
 hay .
 hay .
Do đó 
Từ và suy ra: .
Vậy đồng phẳng.
Bài 2. Cho hình chóp, gọi là trọng tâm của tam giác. Một mặt phẳng cắt các đoạn thẳng theo thứ tự tại . Chứng minh rằng: [6]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh bài toán ta đặt các tỷ số 
Chọn hệ véc tơ cơ sở với điểm đầu là . Sau đó biểu diễn các véc tơ ;
 theo các véc tơ đã chọn. từ đó sử dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ suy ra điều phải chứng minh
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt và 
Ta có 
Do đồng phẳng nên sao cho
. 
Do , 
Vậy, ta có . 
Bài 3. Cho hình hộp . Các điểm lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng đường thẳng song song với mặt phẳng . [8]
Hướng dẫn
Bước 1: Phân tích bài toán
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng , ta chứng minh ba véc tơ đồng phẳng. nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại của hai số thực 
 sao cho: . 
Bước 2: Thực hiện giải bài toán
Đặt .
Ta có: 
Giả sử 
Vậy, 
Do đó ba véc tơ đồng phẳng. 
Mà nên suy ra .
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trên AB, AC sao cho . Chứng minh mặt phẳng (SIJ) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
Bài 2. Cho hình hộp . Gọi là các điểm thỏa mãn , . Chứng minh song song với mặt phẳng .
Dạng III. Chứng minh quan hệ vuông góc, tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta chứng minh .
Để tính độ dài của đoạn thẳng ta biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã biết sau đó ta bình phương vô hướng véc tơ rồi sử dụng các kiến thức từ giả thiết để suy ra .
Để tính góc ta tính tích vô hướng và dùng công thức 
để tính ra kết quả.
Bài 1. Cho hình lập phương . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để chứng minh , ta chỉ cần chỉ ra tích vô hướng . Muốn làm 
được điều này ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, biểu diễn các véc tơ qua 
hệ véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt .
Ta có 
Vì là hình lập phương nên: và (với là độ dài cạnh của hình lập phương)
Khi đó ta có: 
 .
Vậy, .
Bài 2. Cho tứ diện đều cạnh . Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh 
 và . Trên các đường thẳng lần lượt lấy các điểm và sao cho 
 song song với . Tính độ dài đoạn theo . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để tính độ dài đoạn ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ cơ sở đó và tính . Từ đó suy ra độ dài đoạn .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt và , .
Ta có 
Lúc đó .
Suy ra 
.
Do và CM//EF nên 
== 
Bài 3. Cho lăng trụ tam giác đều . Tìm góc giữa hai đường thẳng và , biết . [3]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, rồi biểu diễn hai véc tơ và 
theo các véc tơ cơ sở đó và tính tích vô hướng . Từ đó áp dụng công thức tính tích vô hướng , suy ra góc giữa hai đường thẳng và .
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt , , với , .
Ta có , 
Do đó .
Mà , 
Do đó: . 
Một số bài tập tương tự: 
Bài 1. Cho tứ diện đều . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 và là trọng tâm tam giác, là góc giữa 2 vectơ và . 
Tính . [5]
Bài 2. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a, với cạnh bên Gọi là điểm thỏa mãn và là trung điểm của cạnh Tìm k để [5]
Bài 3. Cho lăng trụ có đáy là hình thoi cạnh bằng a, góc . Hình chiếu của lên mặt phẳng là trung điểm của đoạn thẳng và tam giác là tam giác cân. Tính với là góc giữa hai đường thẳng và . [6]
Dạng IV. Tính giá trị biểu thức và chứng minh các hệ thức hình học
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Các điểm , thỏa mãn , . Mặt phẳng chứa đường thẳng cắt các cạnh , lần lượt tại , (không trùng . Tính giá trị biểu thức: . [8]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để giải bài toán ta biểu diễn véc tơ theo và theo . Từ đó áp dụng 
quy tắc véc tơ biểu diễn véc tơ theo , và . Sau đó sử dụng điều kiện 
đồng phẳng của các điểm suy ra kết quả.
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt , , khi đó .
Ta có 
Do 4 điểm , , , đồng phẳng 
Nên ta có .
Bài 2. (HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017) Cho hình lăng trụ tam giác đều 
 có . Điểm thay đổi trên đường thẳng sao cho mặt 
phẳng qua , vuông góc cắt đường thẳng tại điểm trên đoạn . Xác 
định vị trí của để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. [5]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt , rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử dụng điều kiện vuông góc của hai véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo và đưa về hàm số bậc hai để xét tìm giá trị nhỏ nhất. 
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt , , , , .
Khi đó .
Do vuông góc nên vuông góc , ta được 
(do). Từ đó .
Khi đó nên 
Do thuộc đoạn nên , suy ra 
Đặt , do nên đồng biến trên .
Từ đó nhỏ nhất bằng khi . 
Tức là nhỏ nhất khi là trung điểm .
Bài 3. (HSG tỉnh Thanh Hóa 2017-2018) Cho tứ diện có . Một mặt phẳng thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ diện và cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . Chứng minh rằng biểu thức có giá trị không đổi. [5]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để bài toán ta sử dụng quy tắc trọng tâm rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ 
. Sau đó lại biểu diễn theo các véc tơ , rồi sử dụng 
điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán . 
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất:, 
với M là điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm ta có: 
Lại có 	
Do đó 
Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có 
Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật có tâm O và . Mặt phẳng đi qua O và cắt các tia tương ứng tại ba điểm phân biệt . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .[7]
Hướng dẫn
Bước 1. Phân tích bài toán
Để bài toán ta chọn hệ véc tơ cơ sở phù hợp, ta đặt , , 
 rồi biểu diễn véc tơ theo các véc tơ đã chọn và đặt. Sau đó sử 
dụng điều kiện đồng phẳng của các véc tơ thiết lập được yêu cầu bài toán theo 
 và sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm. 
Bước 2. Thực hiện giải bài toán
Đặt . Ta có 
Vì đồng phẳng nên 
Ta có : 
. Suy ra 
BĐT Cauchy : 
Vậy . Khi 
Một số bài tập tương tự [5]:
Bài 1. Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Gọi là trung điểm của . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua điểm cắt các đoạn thẳng tương ứng tại . Chứng minh: 
Bài 2. Cho tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc với nhau tại Gọi là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng và là điểm bất kỳ trong tam giác Chứng minh rằng 
Bài 3. Cho hình hộp . Lấy lần lượt trên đoạn và sao cho: ( khác và khác). Giả sử //, chứng minh rằng: 
Bài 4. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng bất kì 
không đi qua ,cắt các cạnh lần lượt tại các điểm . 
Chứng minh rằng 
2.4. Hiệu quả trong việc triển khai đề tài SKKN
	Khi triển khai đề tài này được tiến hành trên 02 lớp thuộc trường THPT 4 Thọ Xuân, đó là: Lớp dạy 11A1 (học ban cơ bản A) và lớp dạy 11A4 (học ban cơ bản)
* Kết quả đạt được
	- Về mặt định tính :
	Khi tôi áp dụng phương pháp sử dụng kĩ thuật chọn hệ véc tơ cơ sở vào giải các dạng toán hình học không gian phức tạp, tôi thấy học sinh của tôi ham học hình hơn, yêu thích các bài tập về hình không gian hơn và không còn thấy lo lắng, lúng túng trong việc xử lí các bài toán hình không gian phức tạp.
	- Về mặt định lượng :
 Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được khả quan hơn nhiều. Cụ thể thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ tương đương nhau. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra như sau: 
Bài 1. Cho lăng trụ có cạnh bên bằng . Ba điểm , , thay đổi trên các cạnh , , sao cho . Chứng minh rằng mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho tứ diện , các điểm xác định bởi 
. Tìm điều kiện giữa và để ba đường thẳng cùng song song với một mặt phẳng.
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là điểm thỏa mãn: Một mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại. Chứng minh rằng: 
Số liệu thống kê kết quả được thể hiện qua bảng sau đây:
Bảng: Kết quả các bài kiểm tra cụ thể như sau: 	
Điểm 
Lớp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Số lượng bài
TN (11A4) 
0
0
0
1
3
10
13
6
7
5
45
ĐC (11A1) 
0
0
2
7
12
8
10
3
3
0
45
Lớp TN có 97,8% điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 68,9% khá giỏi. 
Có 5 em đạt điểm tuyệt đối. 
	Lớp ĐC có 80,0% điểm trung bình trở lên, trong đó có 35,6% điểm khá giỏi, không có HS đạt điểm tuyệt đối. 
 	Kết quả của các bài kiểm tra cho thấy kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng nhất là bài đạt khá và giỏi. Một nguyên nhân không thể phủ định là lớp thực nghiệm HS thường xuyên được thực hiện phương pháp (như đã sử dụng ở trên) và cách thức tìm tòi lời giải của bài toán
 Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những khó khăn và những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập về hình học qua đề thi THPT Quốc gia của các năm trước và các bài toán liên quan; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm.
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết quả nghiên cứu
 Hình học không gian là loại toán đa phần không có phương pháp giải cụ thể nên khó hiểu, khó trình bày và khó trong tính toán. 
 Vì vậy, nghiên cứu, phân tích một số bài toán hình học không gian có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo của mình về vấn đề, từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực, chủ động, củng cố trau rồi thêm kiến thức về giải toán hình không gian. Từ đó làm chủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và thi THPT Quốc gia cũng như thi HSG cấp tỉnh. 
3.2. Kiến nghị, đề xuất
 Vì một bài toán có thể có nhiều cách giải, nên trong quá trình học tập và giải toán ta cố gắng suy nghĩ tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, lựa chọn phương pháp mà mình tâm đắc nhất cho bài toán đó. Từ đó sẽ tiết kiệm thời gian làm bài đặc biệt tránh được sai sót đáng tiếc.
 Vì vậy, mỗi bài học giáo viên khi dạy nên cố gắng vận dụng linh hoạt các phương pháp giải để học sinh được học tập và giải bài tập một cách tốt nhất nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.
 Trên đây là quan điểm của cá nhân tôi về việc giảng dạy phần hình học có ứng dụng véc tơ để chuẩn bị cho các kì thi sắp tới
 Trong quá trình biên soạn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong các Thầy cô và các em học sinh đóng góp ý kiến để đề tài của tôi hoàn thiện hơn và có thể áp dụng rộng rãi hơn. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác
Trịnh Duy Văn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa thí điểm 10 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
2. Sách giáo khoa thí điểm 11 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
3. Sách bài tập hình học 11 cơ bản và nâng cao, NXB Giáo dục
4. Sách giáo khoa thí điểm 12 cơ bản, nâng cao, NXB Giáo dục.
5. Mạng internet.
6. Doãn Minh Cường (1998), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học năm 
1997-1998, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
7. Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2004), Giới thiệu đề
thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng toàn Quốc (môn