Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ

Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi HSG, đại học, cao đẳng.

 Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ.

 Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ có rất nhiều cách giải và nhiều dạng. Nên tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ”. Ở đây tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất phương trình và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.

 Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này, tránh những sai lầm dễ mắc phải.

 

doc 23 trang cucnguyen11 14/10/2021 750
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
 	BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu 
	Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ là một nội dung hay và khó trong toán THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi HSG, đại học, cao đẳng.
	Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ.
	Phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ có rất nhiều cách giải và nhiều dạng. Nên tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ”. Ở đây tôi đưa ra một số dạng phương trình và bất phương trình và cách giải của nó với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập. 
 Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này, tránh những sai lầm dễ mắc phải.
2. Tên sáng kiến: “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ”
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Trần Thị Yến
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Triệu Thái – Lập Thạch– Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0975638835
- E_mail: tranthiyen.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Không
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
Phạm vi: Phương trình và phương trình vô tỷ.
Đối tượng: Học sinh từ lớp 10 đến lớp 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 15/10/2017
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến: 
A. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CƠ BẢN
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản.
* Lưu ý
 Đối với những phương trình , bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên , ta thực hiện theo các bước :
	Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa
	Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm
	Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức. 
2. Một số phương trình – Bất phương trình vô tỷ cơ bản thường gặp khác.
Dạng 1. 
 Ta có 
 Thay vào (2) ta được 
Dạng 2. với 
Biến đổi về dạng : 
Bình phương , giải phương trình hệ quả
Lưu ý:
Phương pháp biến đổi trong cả hai dạng la đưa về phương trình hệ quả . Do đó , để đảm bảo rằng không xuất hiện nghiệm ngoại lai của phương trình , ta nên thay thế kết quả vào phương trình đầu đề bài nhằm nhận , loại nghiệm chính xác.
II.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
	Trích đề thi Cao đẳng Nhà Trẻ - Mẫu Giáo TW1 năm 2004
Bài giải
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
	Đề thi thử Đại học năm 2010- THPT Thuận Thành- Bắc Ninh
Bài giải
Vậy nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 3. Giải phương trình : 
	Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004
Bài giải
Điều kiện : 
Kết hợp điều kiện , nghiệm của phương trình là x=9
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
Bài 1. Giải phương trình : 
Cao đẳng Lương Thực – Thực phẩm năm 2004
ĐS : x=5
Bài 2. Giải phương trình : 
Đại học Văn Hóa năm 1998
ĐS : 
Bài 3.Giải phương trình : 
Đại học Dân Lập Đông Đô khối B năm 2001
ĐS: 
Bài 4.Giải phương trình : 
Đại học Xây Dựng năm 2001
ĐS: x=1
B- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ TÍCH SỐ HOẶC TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM
I- KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Sử dụng biến đổi cơ bản.
Dùng các phép biến đổi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm , ghép thích hợp để đưa phương trình về dạng tích đơn giản và biết cách giải.
Một số phép biến đổi thường gặp
* với là hai nghiệm của 
* Chia Hoocner để đưa về dạng tích số
* Các hằng đẳng thức thường gặp
* 
* 
2/ Tổng các số không âm.
Dùng các biến đổi ( chủ yếu là hằng đẳng thức ) hoặc tách ghép đưa về dạng
3/Sử dụng nhân liên hợp.
Dự đoán nghiệm bằng MTBT ( SHIFT – SOLOVE hay ALPHA – CALC )
Tách ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung hoặc bội của trong phương trình nhằm đưa về phương trình tích số 
Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp
Biểu thức
Biểu thức liên hợp
Tích
4/Đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn là một hình thức phân tích thành nhân tử . Khi đặt ẩn phụ t thì biến x vẫn tồn tại và ta xem x là tham số . Thông thường thì đó là phương trình bậc hai theo t ( tham số x ) và giải bằng cách lập 
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
 1/ Sử dụng biến đổi hằng đẳng thức cơ bản để đưa về phương trình tích số
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Cao đẳng Sư Phạm Cần Thơ khối M năm 2005
Bài giải
Điều kiện : 
Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là 
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình gần đối xứng loại II : và lấy vế trừ vế . ta sẽ giải ra tìm x. Dạng tổng quát của bài toán là : , 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Đại học Dược Hà Nội năm 1999
Bài giải
Điều kiện : 
Ta có nên (1) vô nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=-3
Ví dụ 3. Giải phương trình : 
Bài giải
Vậy phương trình có nghiệm là x=-1 v x=0
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên tôi đã sử dụng phân tích thành tich của tam thức bậc hai: với là hai nghiệm của 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 
Cao đẳng Sư Phạm Kỹ Thuật Vinh năm 2001
ĐS: 
Bài 2. Giải phương trình : 
Đại học Sư Phạm Hà Nội khối D năm 2000- CĐ Sư Phạm Hà Nội năm 2005
ĐS: 
Bài 3. Giải phương trình : 
Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ số 420 tháng 6 năm 2012
ĐS: 
Bài 4. Giải phương trình : 
Đại học Dân Lập Hải Phòng khối A năm 2000
2/ Biến đổi về tổng hai số không âm.
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Bài giải
Điều kiện : 
Kết hợp với điều kiện , nghiệm của phương trình là x=3
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Bài giải
Điều kiện: 
So với điều kiện , nghiệm của phương trình là x=1
Ví dụ 3. Giải phương trình : 
Bài giải
Điều kiện : 
So với điều kiện , phương trình có nghiệm duy nhất 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 
ĐS: x=-1
Bài 2. Giải phương trình : 
ĐS: x=2
Bài 3. Giải phương trình : 
ĐS: x=1
Bài 4. Giải phương trình : 
Đề thị olympic 30/04 – THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam
ĐS: x=-1003
3/ Sử dụng nhân liên hợp
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Đề thi thử Đại học lần 1 khối D năm 2013 – Trường THPT Lê Xoay
Nhận xét: sử dụng máy tính , ta tìm được một nghiệm là và ta có
 nên ta có lời giải sau:
Bài giải
Điều kiện : 
Ta có nên (1) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Nhận thấy rằng : nên ta có lời giải sau:
Bài giải
Điều kiện : 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
Ví dụ 3. Giải phương trình : 
Đề thi thử Đại học lần 1 khối A, B năm 2013 _ THPT Hà Trung- Thanh hóa
 Nhận xét:
Sử dụng ALPHA – CALC cho biểu thức với các giá trị nguyên trong khoảng tập xác định , ta nhận được f(x)=0 khi x=3, nghĩa là x=3 là một nghiệm của phương trình .
Một cách tự nhiên , ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho khi nhân lượng liên hợp xuất hiện nhân tử (x-3) hoặc bội của nó.
Ta không nên ghép cặp với nhau, mặc dù nó xuất hiện nhân tử (x-3) và đặc biệt biểu thức không xuất hiện (x-3). Hơn nữa , sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện hạng tử dưới mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x , điều đó sẽ gây khó khăn cho ta khi giải quyết ( đánh giá ) biểu thức g(x)=0 trong đó 
Do đó ta suy nghĩ đi tìm hai số trong hai biểu thức để sau khi nhân lượng liên hợp , cả hai đều xuất hiện . Vì vậy hai số phải thỏa mãn đồng nhất 
Nên ta có lời giải sau
Bài giải
Điều kiện : 
Xét hàm số trên thấy (2)
Xét hàm số trên 
 nghịch biến và 
Từ (2), (3) 2 hàm số f(x) và g(x) có đồ thị không thể cắt nhau. Do đó (1) vô nghiệm 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 
Đại học Tổng Hợp năm 1992
ĐS: 
Bài 2. Giải phương trình : 
Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 – THPT Dương Đình Nghệ - Thanh Hóa
ĐS: x=1
Bài 3. Giải phương trình : 
Đại học Ngoại Thương năm 1997- Đề số 3
ĐS x=1
4/ Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 
Đại học Quốc Gia hà Nội khối A- Học Viện Ngân Hàng khối A năm 2001
Bài giải
Đặt lúc đó :
 Lúc đó ta xem (1) là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số
Với vô nghiệm 
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Bài giải
 Đặt 
Lúc đó ta xem (1) là phương trình bậc hai theo biến t và x là tham số 
Với 
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 
ĐS: 
Bài 2. Giải phương trình : 
ĐS: 
Bài 3. Giải phương trình : 
ĐS: 
Bài 4. Giải phương trình : 
ĐS: 
C- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Đặt một ẩn phụ 
Tìm mối liên hệ giữa các biến để đặt ẩn phụ thích hợp. Một số dạng cơ bản thường gặp: 
2/ Đặt hai ẩn phụ .
Thông thường , ta tìm mối liên hệ giữa biến để đặt ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp ( đồng bậc ) hoặc phương trình đối xứng loại II , đẳng cấp . Ta thường gặp một số dạng cơ bản sau:
 đặt 
 đặt 
 3) đưa về hệ đối xứng loại II : 
 4) đặt đưa về hệ đối xứng loại II
Lưu ý:
Sau khi đặt ẩn phụ , ta cần đi tìm điều kiện cho ẩn phụ , tức là đi tìm miền xác định cho bài toán mới . Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta phải đi tìm điều kiện cho hợp lý ( dễ , không gây sai sót) , chung quy, ta có hai cách tìm điều kiện : tìm điều kiện đúng và tìm điều kiện thừa .
Cần lưu ý một số khai triển và biến đổi sau :
 hay tổng quát hơn : 
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
1/ Đặt ẩn phụ 
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Đại học Cảnh Sát Nhân Dân năm 1999
Bài giải
Đặt 
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm x=5 và x=-5
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Cao đẳng Sư Phạm Trung Ương năm 2006
Bài giải
Đặt lúc đó 
Với 
Vậy nghiệm của phương trình là x=0 v x=-2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1.Giải phương trình : 
Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối D – THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh
ĐS : 
Bài 2.Giải phương trình : 
Đại học Xây Dựng Hà Nội khối A năm 1998
ĐS: 
Bài 3.Giải phương trình : 
Đại học Nông Nghiệp I khối A năm 1999
ĐS: x=1
2/ Đặt hai ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Đề thi Đại học khối A năm 2009
Bài giải
Điều kiện : 
Đặt 
Lúc đó 
So với điều kiện nghiệm của phương trình là x=-2
Ví dụ 2. Giải phương trình : 
Đề thi Đại học khối A năm 2009
Bài giải
Điều kiện : 
Đặt 
Lúc đó (1) 
So với điều kiện nghiệm của phương trình là x=-2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1. Giải phương trình : 
Học Viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông năm 1996
ĐS: x=40 v x=-25
Bài 2. Giải phương trình : 
Đại học Tài Chính Kế Toán Hà Nội năm 2000
ĐS: x=1 v x=2 v x=10
Bài 3. Giải phương trình : 
Đại học An Ninh năm 2000
ĐS: 
D- GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Định lí 1. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (kÎR) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).
Định lí 2. Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì "u, v Î(a,b) ta có .
Định lí 3. Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì :. Khi áp dụng giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc 
Định lý Rôn: Nếu hàm số lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. 
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.
II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA.
Ví dụ 1. Giải phương trình : 
Nhận xét: Vế trái của (*) có dạng tổng, nên có nhiều khả năng là hàm đồng biến theo x trên miền xác định . khi đó , theo định lí 1, phương trình sẽ có nghiệm duy nhất và ta dùng máy tính bỏ túi (SHIFT – SOLVE ) tìm ra nghiệm này là 
Bài giải
Điều kiện : 
Xét hàm số trên khoảng ta có:
 đồng biến trên khoảng 
 nếu có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất 
Nhận thấy 
Thử lại thấy thỏa mãn phương trình 
Vậy phương trình có nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001
Bài giải.
Điều kiện : 
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình (*)
Xét hàm số trên nửa khoảng 
 đồng biến trên 
Mà là nghiệm duy nhất của phương trình (*)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Bài 1. Giải phương trình : 
Đại học khối B năm 2010
ĐS: x=5
Bài 2. Giải phương trình : 
ĐS: 
Bài 3. Giải phương trình : 
Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012
ĐS: 
Bài 4. Giải phương trình : 
Đề thi thử Đại học 2013 lần 1 khối A _ THPT Tuy Phước
ĐS: 
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
Kết quả đạt được
Tôi đã giảng dạy môn Toán tại trường Triệu Thái được gần 9 năm. Năm học 2017 – 2018, tôi mạnh dạn sử dụng “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ” vào giảng dạy ở 2 lớp 11A1, 11A6, thu được những kết quả đáng khích lệ.
Kết quả đầu tiên là sự chuyển biến về phong cách học tập của học sinh khi được tiếp nhận một sự trải nghiệm đầy thú vị trong chính lớp học của mình. Các em học tập tích cực, chủ động hơn, sôi nổi hơn, thảo luận nhiều hơn, hăng hái phát biểu hơn và chú ý vào bài giảng. Các em học sinh nắm bắt và nhận ra cách giải phương trình vô tỷ và bất phương trình vô tỷ một cách dễ dàng hơn.
Sự hứng thú và ham học hỏi của học sinh giúp giáo viên có thêm động lực và sự hứng khởi để tiếp tục tìm tòi, sáng tạo, mang đến những bài học bổ ích, lý thú hơn.
Kết quả học tập môn Toán của 2 lớp 11A2, 11A6 trong năm học 2017 – 2018 rất khả quan với tỉ lệ khá giỏi được nâng lên.
Lớp
Giỏi
Khá
Loại khác
11A1
30%
50%
20%
11A6
15%
40%
45%
8. Những thông tin cần được bảo mật: Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Đòi hỏi giáo viên phải chuẩn bị rất công phu và vất vả
Trình độ nhận thức của học sinh phải từ mức TB trở lên, đồng đều.
Phương trình và bất phương trình vô tỷ là một nội dung quan trọng, đòi hỏi học sinh phải biết cách tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. 
Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học đảm bảo.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả
 	 Đã trang bị một số kiến thức về giải phương trình và bất phương trình vô tỷ nhằm nâng cao năng lực học môn toán cho học sinh
 Gây được hứng thú cho học sinh khi giải bài tập trong SGK, SBT và sách tham khảo
 Giải đáp được nhưng thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ
 Giúp học sinh năm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản về giải phương trình, bất phương trình vô tỷ và áp dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập
Việc triển khai các tiết học theo chủ đề mang lại hiệu quả rất nhiều. Đó cũng là điều mong mỏi của tôi khi viết sáng kiến này. Mong muốn có những chủ đề dạy học vừa bám sát chương trình học – thi, vừa có thể cung cấp cho các em một hệ thống các tri thức phương pháp .
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến
Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình và bất phương trình, các phương pháp giải phù hợp. Tuy nhiên, do đây là một nội dung rộng, nên việc đưa ra các phương pháp đôi khi còn mang tính tương đối. Hi vọng qua bài viết này phần nào giúp cho học sinh có tư duy tốt hơn, thành thạo kỹ năng giải toán và một số các kiến thức liên quan. 
 Các kiến thức trong sáng kiến cũng đã được tôi áp dụng với học sinh các lớp tôi dạy và cũng thu được một số kết quả khả quan. Tuy nhiên sáng kiến chưa được áp dụng nhiều đối với các đối tượng nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Hi vọng sẽ nhận được sự góp ý của các thầy cô, anh chị đồng nghiệp để sáng kiến được hoàn thiện hơn và có ứng dụng rộng rãi hơn. 
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): 
Số TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
1
Lớp 11A1, 11A6
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Phương trình và phương trình vô tỷ
......., ngày.....tháng......năm......
Thủ trưởng đơn vị/
Chính quyền địa phương
(Ký tên, đóng dấu)
........, ngày.....tháng......năm......
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Ký tên, đóng dấu)
., ngày.....tháng......năm......
Tác giả sáng kiến
(Ký, ghi rõ họ tên)
Trần Thị Yến 
MỤC LỤC

Tài liệu đính kèm:

  • docsang_kien_kinh_nghiem_mot_so_phuong_phap_giai_phuong_trinh_v.doc