SKKN Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH.
Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm
Tổ: Toán - Tin
Trường: THPT Như Thanh
SKKN thuộc môn Toán.
THANH HÓA, NĂM 2018
MỤC LỤC
 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
	Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sáng tạo của người học. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động.
	Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy, việc chuyển bài toán Đại số nói chung và số phức nói riêng sang bài toán hình học ở nhiều học sinh nói chung còn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải bài toán về số phức gây ra khá nhiều khó khăn cho học sinh. 
	Bài toán cực trị số phức thông thường có khá nhiều cách lựa chọn để giải như Bất đẳng thức, khảo sát hàm số.. Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi muốn rèn luyện cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt phương pháp chuyển đổi từ bài toán đại số sang bài toán hình học cho học sinh. Với mục tiêu đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung giải quyết theo hướng hình học. Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu. 
	Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vận dụng cao về cực trị môđun số phức,.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
	Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán cực trị môđun số phức, được nghiên cứu ở nhiều dạng toán khác nhau.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
	Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: 
	-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết quả thực nghiệm,  phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học.
	- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận.
	Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạo tạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương trình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dân trí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”.
	Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”.
2.2. Thực trạng.
	Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôi nhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là phần cực trị môđun số phức. Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào. Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không có hứng thú trong việc học môn Toán.
	Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập cực trị môđun của số phức, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chú ý đến việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng để giải các dạng bài toán này.
	Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% học sinh hứng thú với bài toán cực trị môđun số phức.
2.3. Giải quyết vấn đề.
	Năm học 2017-2018 sau khi nội dung thi THPT QG có cả nội dung lớp 11 thì Bộ GD&ĐT có công bố đề minh họa 2018 và có bài toán sau:
Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất. 
	A. 	 B. 	 	C. 	 D. .
(Trích câu 46 đề minh họa THPT Quốc gia 2018).
	Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi. Cái khó khăn của bái toán trên chính là mối liên hệ giữa hai điều kiện và . Sau đây là một số cách giải bài toán này.
Cách 1: 
	Đặt . Từ hệ thức ta suy ra: .
	Đặt là trung điểm của AB thì .
	Khi đó: . Ta biết rằng lớn nhất khi lớn nhất.
M
M
A
I
A
I
B
O
O
B
Đường thẳng đi qua I và vuông góc với AB có phương trình là:
. Xét hệ phương trình: giải ra ta được: 
. Từ hình vẽ ta chọn được . 
Vậy chọn .
Vậy, chọn đáp án A.
Cách 2: 
Ta có: .
Lại có: 
Suy ra:
.
Khi đó: . 
Ta có: .
. Suy ra: . Vậy, . Vậy, chọn đáp án A.
Cách 3: Ta có: .
Đặt 
Khi đó : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
.
Vậy 
Vậy, chọn đáp án A.
	Nhận xét: Bài toán trên có thể vẫn còn nhiều cách giải khác, qua ba cách giải trên, ta thấy tiếp cận bài toán theo cách 1 (phương pháp hình học) là đơn giản và nhanh gọn. Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải quyết bài toán là điều không dễ dàng với phần lớn học sinh.
2.3.1. Cơ sở lý thuyết.
2.3.1.1. Các định nghĩa và kí hiệu.
a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.
b) Số phức: Cho , biểu thức gọi là một (dạng đại số) số phức. Trong đó x: phần thực, y: phần ảo.
c) Với mỗi số phức , giá trị biểu thức gọi là môđun của z. Kí hiệu: . Như vậy, .
d) Cho số phức . Số phức gọi là số phức liên hợp với số phức . 
e) Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại, mỗi điểm biểu diễn một số phức là . 
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi kí hiệu , hay đơn giản để chỉ M là điểm biểu diễn cho số phức .
2.3.1.2. Các phép toán trên tập hợp số phức.
Cho hai số phức ,.
+) Phép cộng: .
+) Phép trừ: .
+) Phép nhân: .
+) Phép chia: .
2.3.1.3. Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc.
+) Với thì .
+) Với thì .
+) Với , trong đó là hai số phức khác nhau cho trước thì tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Với , tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức: là đường tròn tâm bán kính .
+) Với , tập hợp các điểm thỏa mãn hệ thức: là đường Elíp có hai tiêu điểm A, B.
2.3.1.4. Một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và điểm . Tìm trên điểm sao chonhỏ nhất.
M0
H
M
Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của trên với thì ta có: , do đó nhỏ nhất thì . Từ đó ta viết phương trình đường thẳng đi qua M vuông góc với . Giải hệ gồm hai phương trình đường thẳng và ta suy ra nghiệm . Từ đó ta tìm được điểm M.
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và hai điểm ,. Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất.
Giải: Đây là bài toán khá cơ bản trong hình học phẳng mà học sinh đã được học từ chương trình THCS. Ta thấy rằng:
A
B
M0
M
A
A’
B
M
Mo
+) Nếu hai điểm A, B nằm về hai phía so với thì với mọi . Vậy nhỏ nhất là khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng, hay .
+) Nếu hai điểm A, B nằm về cùng một phía so với thì ta gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó với mọi . Vậy nhỏ nhất là khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng, hay .
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và hai điểm ,. Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất.
Giải. Gọi là trung điểm . Khi đó, với mọi ta có: Suy ra, . Do A, B cố định nên AB không đổi, do đó nhỏ nhất nhỏ nhất, trong đó là hình chiếu của trên đường thẳng . Và giá trị nhỏ nhất của .
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng và hai điểm ,. Tìm trên điểm sao cho: lớn nhất.
Giải: Với hai điểm A, B cố định.
B
A
M
M0
B
M
A’
M0
A
+) Nếu A, B cùng phía so với thì với mọi ta luôn có: , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng, hay .
 A, B khác phía với 
A, B cùng phía với 
+) Nếu hai điểm A, B nằm khác phía so với thì ta gọi là điểm đối xứng với qua . Khi đó với mọi ta luôn có .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm thẳng hàng, hay .
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) tâm I bán kính R và hai điểm ,. Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất (lớn nhất).
Giải: Gọi là trung điểm ta có: suy ra: . Do cố định nên không đổi. 
Vậy: 
+) nhỏ nhất khi và chỉ khi: nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của 
 là .
+) lớn nhất khi và chỉ khi: lớn nhất và giá trị lớn nhất của là .
M
A
B
H
M1
I
M2
 x
y
O
A
B
M
A
B
O
Bài toán 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Elíp (E) có hai tiêu điểm ,. Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất (lớn nhất).
Giải: 
Với bài toán này thì ta chỉ cần xác định các yếu tố của Elíp: Tiêu điểm, Tọa độ các đỉnh của (E). nhỏ nhất (lớn nhất) khi M trùng đỉnh của (E). Trong trường hợp xác định được phương trình Elíp thì ta cần xác định độ dài trục lớn, độ dài trục bé để xác định giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
2.3.2. Một số dạng bài toán cực trị số phức.
Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
Với dạng này thì ta thường gặp một số bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho số phức thỏa mãn: (với là các số phức cho trước).
Tìm số phức để đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm số phức để đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm số phức để đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất.
Nhận xét: Ta gọi Thì: 
. Từ đẳng thức , suy ra M thuộc đường thẳng là trung trực của đoạn thẳng AB. Khi đó bài toán trở thành:
Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất.
Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất.
Tìm trên điểm sao cho: nhỏ nhất.
Tìm trên điểm sao cho: lớn nhất.
Ví dụ 1. Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của: .
Lời giải: Đặt và . Ta có: 
2
1
O
-2
-1
x
y
6
M0
M
 Hay . Do đó với . Áp dụng kết quả bài toán 1 ta có . 
Ví dụ 2. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải: Đặt và . Từ hệ thức ta suy ra:
, đặt . 
-2
1
O
3
-2
y
x
B
A
A’
Mo
Dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với . Khi đó: . Áp dụng kết quả bài toán 3 ta có: 
 với là điểm đối xứng với qua .
Gọi là đường thẳng qua A và vuông góc với thì . Gọi , thì tọa độ là cặp thỏa mãn hệ phương trình: . là điểm đối xứng với qua thì là trung điểm nên . Suy ra . 
Qua ví dụ trên ta thấy việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học vào giải các bài toán cực trị của số phức sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp đại số và các phương pháp khác. Giúp học sinh giải các bài toán dạng này một cách nhanh nhất, phù hợp với xu thế làm bài trắc nghiệm trong một khoảng thời gian ngắn.
Ví dụ 3. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của: .
Lời giải: Đặt và .
Từ hệ thức ta suy ra:
, đặt và gọi là trung điểm của AB thì gọi d là khoảng cách từ đến .Ta có: . Đến đây áp dụng kết quả bài toán 3 ta có: . 
y
x
O
B
M
I
A
2
-3
O
x
y
Ví dụ 4. Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Biết rằng số phức thỏa mãn: đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức . 
Lời giải: Đặt . Từ hệ thức ta suy ra:
y
, kiểm tra được hai điểm khác phía so với . 
1
1
MO
y
x
2
6
3
A
 A’
B
2
6
1
O
Theo bài toán 4 ở trên, gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng ta tính được . Phương trình đường thẳng tọa độ giao điểm của và là cặp thỏa mãn hệ: . Vậy, số phức thỏa mãn lớn nhất là: . 
Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho số phức thỏa mãn: , với là số phức cho trước.
Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Tìm số phức để đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Nhận xét: Đặt . Từ đẳng thức , suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I bán kính R. Khi đó bài toán trở thành.
Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Ví dụ áp dụng.
Ví dụ 1. Trong tất cả các số phức thỏa mãn . Biết rằng: đạt giá trị nhỏ nhất. Tính . 
 Lời giải: Đặt . Từ hệ thức ta suy ra:
y
x
O
-3
-2
1
1
A
I
M
1
-2
O
A
-3
1
I
, đường thẳng có phương trình: . 
Tọa độ giao điểm của (C) và IM là cặp thỏa mãn hệ phương trình: .
Với thì .
Với thì .
Vậy: .
Ví dụ 2. Cho các số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . 
Lời giải: Đặt . Từ đẳng thức 
A
B
I
O
M
O
y
x
2
1
5
3
A
B
-2
I
tâm .
Ta có Trong đó . Nhận thấy 
Gọi là đường thẳng trung trực AB thì . Khi đó 
Xét hệ phương trình: 
Từ hình vẽ ta thấy thỏa mãn, vậy . 
Ví dụ 3. Cho số phức thỏa mãn . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: . 
Trong bài toán này, nếu sử dụng phương pháp đại số thì chắc chắn chúng ta sẽ nghĩ tới việc biến đổi biểu thức P về biểu thức một biến. Tuy nhiên từ giả thiết của bài toán thì ý tưởng này có thể nói là không thể. Từ đó ta có thể nghĩ tới phương pháp hình học.
Lời giải: Đặt . Từ đẳng thức
 .
Vậy, M thuộc một trong 4 đường tròn có tâm lần lượt là .
Khi đó với Từ hình vẽ ta thấy 
. 
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng và đường tròn.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho hai số phức thỏa mãn các hệ thức: . Trong đó là các số phức cho trước. Tính giá trị nhỏ nhất của .
Nhận xét:
 Đặt . Từ đẳng thức suy ra M thuộc đường tròn (C). Từ đẳng thức suy ra M’ thuộc đường thẳng và . Khi đó bài toán trở thành. 
Tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
+) Trường hợp thì giá trị nhỏ nhất của .
+) Trường hợp thì giá trị nhỏ nhất của là .
M2
I
MM’
A
B
M2
I
M’
M1
M
B
A
Lời giải:
Từ hệ thức ta tìm được tọa độ tâm I và bán kính R của (C).
Từ hệ thức ta tìm được phương trình .
Tính khoảng cách d từ I đến .
+) Nếu thì và .
+) Nếu thì và M là hình chiếu của I lên và , trong đó là đường thẳng đi qua I và vuông góc với .
Bài tập áp dụng.
Cho hai số phức thỏa mãn: . Tính giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải:
Đặt . Từ hệ thức , suy ra M thuộc đường tròn: tâm bán kính R=2. 
Từ hệ thức suy ra M’ thuộc đường thẳng .
 Khoảng cách từ I đến là . Vậy .
Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường Elíp.
Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:
Bài toán: Cho số phức thỏa mãn: . Tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của với là số phức cho trước.
Nhận xét:
 Đặt . Từ đẳng thức: 
 suy ra M thuộc đường Elíp (E) có hai tiêu điểm . Khi đó yêu cầu bài toán được phiên dịch sang ngôn ngữ hình học như sau: 
Tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).
Ví dụ áp dụng. Cho số phức thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . Tính : 
Lời giải: 
Cách 1. Đặt . Từ đẳng thức: 
với . Suy ra có hai tiêu điểm A, B và .
 . Vậy, .
Cách 2. Đặt . Từ đẳng thức: .
, khi đó:
.
.
.
Cách 3. . Đặt . Ta có: 
. 
Do .
Vậy, .
Qua 3 cách giải, một lần nữa khẳng định được tính ưu việt của phương pháp hình học trong giải các bài toán cực trị số phức.
2.4. Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng.
Bài 1: Cho số phức thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khi đó M-m bằng: 
	 B. 	C. 	 D. 
Bài 2: Trong tất cả các số phức thỏa mãn hệ thức . Biết rằng: nhỏ nhất. Khi đó ab bằng: 
	 B. 	C. 	 D. 
Bài 3: Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực của số phức biết đạt giá trị nhỏ nhất.
	 B. 	 C. 	 	D. 
Bài 4: Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
	 B. 	 C. 	 D. 
(Trích câu 45 trường chuyên Thái Bình lần 6).
Bài 5: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức lần lượt là:
	 	B. 	 C. 	 	D. 
Bài 6: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện , tìm số phức z sao cho nhỏ nhất.
	 B. 	 C. 	 	 D. 
Bài 7: Cho số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức bằng.
	 	B. 	 	C. 	 D. 
(Trích câu 46 THPT Thanh Chương 1 lần 2).
Bài 8: Cho số phức thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính tỉ số . 
	 	 B. 	 C. 	 	D. 
 (Trích câu 46 chuyên Quốc học Huế lần 2).
Bài 9: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính M+m
	 B. 	 C. 	 D. 
(Trích câu 47 Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc lần 2).
Bài 10: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:
	 B. 	 C. 	 	 D. 
(Trích câu 37 chuyên Lê Quý Đôn Quảng trị lần 2).
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
	- SKKN này đã được tôi thực hiện giảng dạy trong năm học 2016-2017 và năm học 2017-2018. Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh rất hứng thú và tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán về cực trị môđun số phức, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học. Kết quả đạt được có thể nói là rất khả quan, sau khi học xong chuyên đề thì tất cả các em đề giả`i quyết được câu hỏi về dạng này.
	- Đối với đồng nghiệp: được chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúc đẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu trong nhà trường.
	- Đối với học sinh: Trang bị thêm cho học sinh một phương pháp giải nhanh các bài toán cực trị số phức trong kì thi THPT Quốc gia.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận. 
	Quá trình nghiên cứu đề tài đã thu được một số kết quả sau:
	- Trong đề tài đã hướng dẫn cho học sinh chuyển đổi được bài toán đại số sang bài toán hình học thuần túy một cách có hiệu quả, qua đó giúp HS có ý thức trong việc tự học- tự nghiên cứu.
	- Đưa ra cơ sở lý luận về phương pháp dạy học học sinh chuyển đổi ngôn ngữ bài toán đai số sang bài toán hình học.
	- Đưa ra các dạng bài tập mà học sinh sẽ gặp khi giải các bài toán cực trị môđun số phức.
	- Thông qua dạy học chuyên đề đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lô gic và khả năng sáng tạo của học sinh. Sáng kiến này có tác dụng tốt trong việc ôn luyện thi THPT QG. Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2. Kiến nghị.
	- Đối với tổ chuyên môn, cần phân dạng bài tập cho học sinh khi giảng dạy. Trong quá trình ôn tập cho học sinh nên ra nhiều dạng đề đúng với cấu trúc đề minh họa của Bộ GD&ĐT. 
	- Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần quan tâm đến việc khai thác mối liên hệ giữa đại số và hình học. Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời có thể viết thành những tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên.
	- Sở GD& ĐT nên gửi các SKKN đạt giải về các trường THPT để giáo viên có thể tham khảo trong quá trình giảng dạy .
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Như Thanh, ngày 03 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Khắc Sâm
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
[1]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Giải tích 1