SKKN Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
 Người thực hiện: Trương Thị Nga
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU........ ....3
 1.1. Lý do chọn đề tài...3
 1.2. Mục đích nghiên cứu.....3
 1.3. Đối tượng nghiên cứu....4
 1.4. Phương pháp nghiên cứu...4
 1.5. Những điểm mới của sáng kiến.....4
 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ....4
 2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
 2.2. Thực trạng vấn đề.........4
 2.3. Các giải pháp thực hiện........5
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến...........16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ........ 16
 3.1. Kết luận..16
 3.2. Kiến nghị17
1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Một trong các nội dung đổi mới đó là đổi hình thức thi THPTQG. Đối với bộ môn Toán, năm 2017 thay hình thức thi tự luận được tiến hành lâu nay bằng hình thức thi trắc nghiệm. Hình thức này là mới đối với chúng ta, nhưng đã được các nước phát triển trên thế giới áp dụng lâu nay. Cùng với sự thay đổi hình thức thi thì đề thi cũng có sự thay đổi về hình thức và nội dung. Trong đề thi không còn nhiều câu hỏi hóc búa, đòi hỏi phải suy luận và tính toán dài dòng, nhưng bên cạnh đó lại xuất hiện các cách hỏi mới không quá khó nhưng yêu cầu học sinh khi học phải hiểu đầy đủ và cặn kẽ các vấn đề.
Chủ đề tích phân là một trong những chủ đề quan trọng ở chương trình toán giải tích lớp 12, đồng thời là một nội dung trong kì thi THPTQG. Thông qua đề minh họa của Bộ Giáo Dục chúng ta thấy: Ngoài những câu hỏi yêu cầu tính toán tích phân thông thường giống như lâu nay vẫn gặp trong đề thi tự luận, còn xuất hiện những dạng bài tập mới như các bài toán thực tế, hoặc cách hỏi mới đó là các bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không cho biểu thức. Thực chất để giải quyết những câu hỏi như trên học sinh vẫn sử dụng các công thức, phương pháp quen thuộc đã học. Nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khá bối rối khi gặp các bài tính tích phân không cho biểu thức, các em không biết tính như thế nào, hay dùng phương pháp nào để tính.
Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng tính một số tích phân đặc biệt ”. Để giúp học sinh không còn bị lúng túng khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán. Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12A, 12B trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
- Phân loại các dạng bài tập tính tích phân mà không 
- Đưa ra một hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh tự luyện
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
 - Các tính chất cua tích phân.[1]
 - Các phương pháp tính tích phân.[1]
2.2. Thực trạng vấn đề.
	Học sinh vốn quen thuộc với các bài tập tích phân mà biểu thức tính tích phân có công thức rõ ràng, tương ứng với từng dạng bài tập đều đã có phương pháp giải rõ ràng, một số bài các em còn có thể sử dụng sự hỗ trợ của máy tính Casio. Nhưng với hình thức thi mới, cách hỏi mới xuất hiện các dạng bài tập yêu cầu tính tích phân nhưng không biết biểu thức tính mà chỉ biết một số tích chất của nó. Khi gặp những bài tập này đa số học sinh thường lúng túng trong quá trình tìm lời giải, các em không biết phải biến đổi như thế nào hay phải sử dụng công thức nào, ngay cả những học sinh khá giỏi cũng gặp phải vấn đề như vậy.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập, đưa ra dấu hiệu và phương pháp giải tương ứng.
- Đưa ra một hệ thống ví dụ và bài tập trắc nghiệm khách quan tăng dần từ dễ đến khó, tăng dần từ mức độ nhận biết, thông hiểu lên vận dụng. Giúp cho các em làm quen dần với dạng bài tập này. Dần hình thành kỹ năng giải toán cũng như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Tính các tích phân không cho biểu thức cụ thể.
Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.
Ví dụ 1. Cho Tính .[1]
Lời giải
Ta có 
Vậy .
Ví dụ 2. Cho Tính .[1]
Lời giải
Ta có 
Nên 
Vậy .
Ví dụ 3. Cho là các hàm số liên tục trên và , . Tính .[3]
Lời giải
Ta có 
Nên .
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm trên và . Tính .[2]
Lời giải
Ta có 
Vậy .
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Dấu hiệu: Trong bài toán ngoài biểu thức còn xuất hiện biểu thức ( biểu thức này có thể nằm ở giả thiết của bài toán hoặc ở tích phân cần tính), và sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến .
	Với một số bài tập ngoài phương pháp đổi biến ta còn có thể sử dụng cách chọn hàm. Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc nghiệm. Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử . Từ các giả thiết ta tìm được a, b suy ra hàm số và tính tích phân. Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao tác tìm hàm thường không liên quan đến những phép biến đổi tích phân phức tạp. Tuy nhiên thường chỉ một số bài tập đơn giản mới chọn được một hàm thỏa mãn, còn đối với cách 1 thì giải quyết được từ những bài đơn giản đến phức tạp. 
Ví dụ 1. Cho . Tính .[2]
Phân tích bài toán: Dựa vào đề bài ta dự đoán đặt , phép đổi biến này phù hợp với sự tương ứng vể cận.
Lời giải.
Cách 1. Đặt . Ta có . Đổi cận 
Khi đó 
Cách 2. Chọn . Khi đó . Nên 
Ta có và 
Vậy . 
Ví dụ 2. Cho . Tính .[3]
Phân tích bài toán: Dễ thấy ta sẽ đặt .
Lời giải.
Đặt . Đổi cận 
Ta có 
Ví dụ 3. Cho hàm số liên tục trên và . Tính .[3]
Phân tích bài toán: Trong bài toán này ta đặt , như vậy trong trường hợp này ta biến đổi tích phân đã cho về tích phân cần tính.
Lời giải
Đặt . Đổi cận 
Ta có 
Vậy .
Ví dụ 4. Cho hàm số liên tục trên , biết và . Tính .[3]
Phân tích bài toán: Trong đề bài xuất hiện các đại lượng và để ý các cận của tích phân. Ta nghĩ ngay đên việc đặt , tuy nhiên trong bài này ta cần thêm một vài biến đổi khéo léo. 
Lời giải
Ta có 
Đặt . Đổi cận 
Khi đó 
Suy ra 
Ví dụ 5. Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn với mọi thuộc . Tính .[3]
Lời giải
Cách 1. Đặt . Đổi cận 
Khi đó 
Ta có 
Vậy .
Cách 2. Chọn hàm 
Do . Suy ra 
Do đó 
Vậy .
Ví dụ 6. Cho hàm số liên tục trên và với mọi thuộc . Tính .[3]
Lời giải
Cách 1. Đặt , khi đó .
Từ giả thiết ta có , Suy ra .
Ta có 
Vậy .
Cách 2. Ta dễ dàng chọn được một hàm số thỏa mãn điều kiện của đề bài là . Khi đó .
Nhận xét: Với bài tập này sử dụng cách 2 để làm trắc nghiệm tối ưu hơn vì mất ít thời gian.
Ví dụ 7. Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn với mọi thuộc . Tính .[2]
Lời giải
Đặt , khi đó 
Ta có 
Vậy .
Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.
Dấu hiệu: Nếu biểu thức tính tích phân có dạng mà không dùng phương pháp đổi biến để tính được thì ta thường dùng công thức tích phân từng phần.
Ví dụ . Cho hàm số thỏa mãn và . Tính .[2]
Lời giải
Ta có
Suy ra .
Bài tập tương tự 
Bài 1. Giả sử và . Tính 
A. .	B. . 	C. .	D. 
Bài 2. Cho hàm số liên tục trên và . Tính . 
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 3. Cho . Tính .
A. .	B. . 	C .	 D. .
Bài 4. Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên . Biết và . Tính .
Bài 5. Cho hàm số liên tục trên và với mọi thuộc . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 6. Cho hàm số liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Biết diện tích phần được tô màu là . Tính .
Bài 7. Cho hàm số liên tục trên và . Tính .
A. .	B. .	C. . 	D. .
Bài 8. Cho hàm số là hàm số chẵn, liên tục trên và . Tính .
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 9. Cho . Tính tích phân . 
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 10. Cho hàm số liên tục trên và . Mệnh đề nào sau đây sai?
	A. .	B. .
	C. .	D. .
Bài 11. Cho là một nguyên hàm của hàm số trên , và . Tính tích phân .
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 12. Cho hàm số liên tục trên và với mọi thuộc . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 13. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn và . Tính . 
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 14. Cho hàm số liên tục, có đạo hàm trên R thỏa mãn và . Tính . 
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 15. Cho là một nguyên hàm của hàm số trên , và . Tính tích phân .
A. .	B. . 	C. .	D. .
2.3.2. Tích phân một số hàm đặc biệt.
Ta sử dụng một số công thức sau:
+ Nếu là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì 
 .[4]
+ Nếu là hàm số lẻ, liên tục trên [-a;a] thì 
 .[4]
+ Nếu là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì 
 .[4]
	+ Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
 .[4]
Ví dụ 1. Tính tích phân .[4]
Phân tích bài toán: Ta thấy cận của tích phân là đối xứng từ -2 đến 2, đồng thời khéo nhận ra hàm số là hàm số lẻ. Vì thế ta có thể áp dụng công thức tích phân của hàm số lẻ
Lời giải.
Dễ dàng chứng minh được hàm số là hàm số lẻ.
Do đó . Vậy .
Ví dụ 2. Tính tích phân .[4]
Phân tích bài toán : Ta có cận của tích phân là đối xứng từ -1 đến 1, hàm số là hàm số chẵn. Vì thế đủ điều kiện để ta áp dụng công thức tích phân kết hợp giữa hàm số chẵn và hàm số mũ
Lời giải.
Ta có . Vậy .
Nhận xét: Bằng việc sử dụng các công thức trên việc tính toán một số bài tập tích phân có biểu thức phức tạp trở nên nhanh chóng và chính xác, học sinh có thể trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.
Bài tập tương tự.
Bài 1. Cho là hai hàm số liên tục trên đoạn , là hàm số chẵn, là hàm số lẻ. Biết . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?[3]
A. .	B. .
	C. .	D. .
Bài 2. Biết rằng ( với a là số thực dương). Tính tích phân .[3]
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 3. Cho biết . Tính tích phân .[3]
A. .	B. . 	C. .	D. .
Bài 4. Tính các tích phân sau.
 a) .
 b) .
 c) .
d).
e) .[4]
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
 Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp : 12A, 12B. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân đặc biệt các em rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
 Kết quả kiểm tra:
Lớp
Điểm yếu
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
12A
0
0
5
11,9
17
40,5
20
47,6
12B
3
5,9
8
15,7
25
49
15
29,4
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
 Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
 Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại, các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham khảo.
Các cơ quan quản lý giáo dục trong tỉnh cần phát triển rộng rãi các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên, đặc biệt là các sáng kiến đã được xếp loại để đồng nghiệp tham khảo, học hỏi. Qua đó nâng cao hiệu quả của các sáng kiến kinh nghiệm trong ứng dụng vào thực tế nhà trường.
 	Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất, thiếu sót. Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng 5 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
 Trương Thị Nga
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12, tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, nhà xuất bản giáo dục năm 2008.
2. Đề thi minh họa môn Toán năm 2017 của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo
3. Đề thi thử THPTQG môn toán của các Sở Giáo Dục, các trường THPT trong cả nước.
4.Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học cao đẳng, tác giả Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, nhà xuất bản giáo dục, năm 2001.
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trương Thị Nga
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hà Trung – Hà Trung – Thanh Hóa.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Rèn luyện kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỉ.
Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa.
C
2014-2015
----------------------------------------------------