SKKN Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
I. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài.
Năm 2017 là năm đầu tiên triển khai thi trắc nghiệm môn Toán trong kỳ thi THPT quốc gia. Do đó để đạt được kết quả cao cho bài thi môn toán đòi hỏi học sinh ngoài việc có kiến thức vững vàng còn cần có kỹ năng và linh hoạt trong làm bài vì thời gian rất ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, do vậy đòi hỏi các em khi gặp 1 bài toán cần linh hoạt lựa chọn cho mình cách giải quyết nhanh nhưng lại phải chính xác. Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những hướng tốt để phát triển tư duy cho học sinh. Phương pháp này đã được hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán. Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông phương pháp hàm số đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng giải quyết rất nhiều bài toán khác. Trong các kỳ thi THPT quốc gia năm nay ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng phương pháp hàm số như là một công cụ đắc lực để giải quyết đặc biệt năm nay là năm đầu tiên đồng thời Giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “Tại sao nghĩ và làm được như vậy”. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng kiến thức về phương pháp hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên, vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học Toán.
 	Khi còn là học sinh, mỗi khi suy nghĩ các bài toán nhỏ, nhờ sự hướng dẫn của Thầy giáo đã giúp tôi có những bài toán mới, lời giải mới.Và giúp tôi có những phân tích hay, sâu sắc trên bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sự sáng tạo, có niềm tin vào chính mình.Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp, tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực sử dụng phương pháp hàm số cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán . Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi bàn tới vấn đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2015 - 2016 và 2016 - 2017, Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu đề tài “Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 	Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em có thể phát hiện được hướng giải các phương trình mũ và logarit mà có thể sở dụng đến phương pháp hàm số, hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và giải các bài toán liên quan đến hàm số nói riêng. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”.
Cung cấp cho học sinh cách sử dụng phương pháp hàm số trong việc giải các phương trình mũ và logarit.
Giới thiệu một số ví dụ minh họa giải các phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số. Từ đó giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Các bài tập trong sách giáo khoa môn toán THPT và đề thi đại học các năm gần đây về phần phương trình mũ và logarit.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: 
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết. Từ các tài liệu tham khảo và quá trình giảng dạy tôi đúc rút ra được hệ thống lý thuyết về phương pháp hàm số nói chung để giải quyết các bài toán THPT đặc biệt vận dung vào các phương trình mũ và logarit.
Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin. Qua quá trình giảng dạy thực tiễn, qua các kênh thông tin khác nhau như giao bài tập, làm đề khảo sát theo chuyên đề rồi từ đó có những điều chỉnh ngày càng phù hợp với thực tiễn nhận thức của học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần mũ và logarit.
Phương pháp thống kê, xử lý số liệu. Từ báo kết quả của các bài kiểm tra qua thống kê xử lý số liệu để biết được hiệu quả của sáng kiến từ đó đề ra giải pháp tối ưu cho công tác giảng dạy phần mũ và logarít trong năm học tới.. 
II. PHẦN NỘI DUNG
Phương pháp hàm số giải phương trình mũ và logarit
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
+) y = f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi x (a, b).
+) y = f(x) nghịch biến trên (a, b) với mọi x (a, b).
+) y = f(x) đồng biến trên thì = f(a); = f(b)
+) y = f(x) nghịch biến trên thì = f(b); = f(a). [1]
Chú ý: 
F Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị 
y = f(x) với đồ thị y = g(x).
F Nếu hàm số,(a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì .
F Bất phương trình đúng Min f(x) 
F Bất phương trình đúng Max f(x) 
F Bất phương trình có nghiệmMax f(x) 
F Bất phương trình có nghiệm Max f(x) 
Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k nếu có nghiệm x = x0 thì x = x0 là nghiệm duy nhất. 
 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D, u(x), v(x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D thì ta có: 
Nếu f(x) là hàm số đồng biến(nghịch biến) thì y = đồng biến (nghịch biến), với f(x) >0 là nghịch biến(đbiến), y= - f(x) nghịch biến (đồng biến)
Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên D là đồng biến (nghịch biến) trên D
Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến) trên D
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m. Nếu trên tập D hàm số y = f(x) đạt GTLN là L, GTNN là n thì phương trình f(x) = m có nghiệm khi .
Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện :
- Tìm tập xác định của phương trình.
- Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.
- Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình.
Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:
Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số 
y = f(x) với đường thẳng y = m.
Để giải các bài toán: Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau: 
- Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) 
- Tìm tập xác định của hàm số f(x) 
- Tính f’(x) 
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất từ đó áp dụng lý thuyết trên ta có đáp số bài toán.
Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ 
thích hợp , từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức hoặc đôi khi phải khảo sát hàm (để có thể tìm được điều kiên chính xác của biến mới t)
Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
	Mũ và logarit là 2 trong số những vấn đề khó đối với học sinh nói chung và với học sinh trường Lê Lai nói riêng. Bởi trong toán học phương trình mũ và logarit được coi là các phương trình siêu việt. Khó khăn lớn nhất của học sinh trong vấn đề này đó là biến đổi mũ và logarit bởi nó khá nhiều công thức đồng thời các phép biến đổi cũng có những điểm khác với biến đổi đại số. 
	Đặc biệt hơn nữa là việc áp dụng phương pháp hàm số để giải quyết các bài toán về mũ và logarit lại càng trở nên khó khăn hơn.
	 Thực tế kết quả kiểm tra trước khi áp dụng sáng kiến này ở các lớp 12 trong năm học 2015 – 2016 như sau.
Lớp kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp 12C1
3%
40%
40%
17%
Lớp 12C2
1%
30%
51%
18%
Lớp 12C3
0%
15%
43%
40%
	Từ thực trạng trên tôi đã trăn trở và tìm giải pháp để áp dụng cho các lớp dạy trong năm học 2016 – 2017 nhằm giải quyết khó khăn và nâng cao chất lượng giải phương trình mũ và logarit trong kỳ thi THPT săp tới.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1. Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ không chứa tham số.
Để giải một phương trình mũ thì có nhiều phương pháp khác nhau để tiếp cận lời giải. Ở đây tôi chỉ đề cập đến một góc nhỏ, đó là nhìn từ quan điểm hàm số để tiếp cận lời giải một số phương trình, mà theo quan điểm riêng của tôi nếu tiếp cận theo hướng khác thì rất khó .
Ví dụ 1 : Giải phương trình sau: (1)
Lời giải: Điều kiện . Ta nhận thấy từ đó ta có hướng biến đổi phương trình như sau: 
 .(*)
Xét hàm số f(t) = . Hàm f(t) đồng biến nên phương trình (*) là nghiệm .[2]
 Ví dụ 2 : Giải phương trình sau: .[5]
 Lời giải: Biến đổi phương trình như sau:
 (*)
Xét hàm số . 
Hàm f(t) đồng biến trên R Ví dụ 3 : Giải phương trình sau 
Lời giải: Điều kiện . Biến đổi phương trình như sau 
 (*)
Xét hàm số nên hàm f(t) đồng biến trên R
 (*)
Thoả mãn điều kiện của đề bài .[2]
Nhận xét: 
 Ba phương trình trên thuộc dạng phương trình 
Để áp dụng được học sinh phải có kỹ năng biến đổi thành thạo mỗi phương trình để đưa phương trình trên về một trong hai dạng trên. Sau đó xét hàm đặc trưng f(t) chỉ ra được hàm f(t) đơn điệu trên tập xác định ,sử dụng tính chất: 
f(t1)=f(t2) khi t1=t2 
Một số phương trình sau khi biến đổi lại sử dụng đến tính chất :Nếu f(t) đơn điệu thì phương trình f(t)=k (k-hằng số ) có nghiệm duy nhất. 
Ví dụ 4 :Giải phương trình (1) . [4]
Lời giải: Biến đổi phương trình như sau 
 (*)
Xét hàm số nên hàm f(t) dồng biến 
 (*)
Ví dụ 5 :Giải phương trình: 
 (1). [2]
Lời giải: Biến đổi (1) như sau: 
Đặt f(x) = ,g(x) =
dễ thấy f(x) đồng biến ,g(x) nghịch biến .f(1) = g(1) nên x = 1 là nghiệm.
Ví dụ 6 : Giải phương trình 2016x +2017x =2.2015x
Lời giải: Biến đổi phương trình như sau 
 2016x +2017x = 2.2015x 
Xét hàm số f(x) = 
Ta có f’(x) = nên f(x) đồng biến và 
f(0) = f(x) = 
Nên phương trình có nghiệm duy nhất x =0
Qua 2 ví dụ trên ta rút ra nhận xét:
Hai ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng hai tính chất sau của hàm số 
+) Nếu f(x) đơn điệu trên D, thì phương trình f(x) = k (k-hằng số) có nhiều nhất một nghiệm 
+) Nếu f(x) là hàm số đồng biến ,g(x) là hàm số nghịch biến thì phương trình
f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm .
Một số phương trình mũ đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn .Ta chỉ ra phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình .Ta xét bài toán sau 
Ví dụ 7 : Giải phương trình 
Lời giải: Xét hàm số f(x) =. Ta có: 
Nhận xét g(x) liên tục trên R: g(0).g(1) < 0 nên g(x) = 0 có nghiệm x0 trong (0;1)
Ta có bảng biến thiên 
x
-∞ x0 + ∞ 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 f(x0)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm 
mà f(0) = f(1) = 0 .Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 0. [2] 
Nhận xét :
Ngoài cách giải trên ,ta cũng có thể trình bày lời giải như sau 
Xét hàm số f(x) =. Ta có 
 với mọi x nên f’(x) đồng biến trên R
 Lại có nên phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất xo
Ta có bảng biến thiên 
 x
-∞ x0 + ∞ 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 f(x0)
Dựa vào bảng bién thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm:
f(0) = f(1) = 0. Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 0 
+)Trong toán học sơ cấp có định lý Rôn (Role): Nếu f(x) là hàm số lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ có không quá hai nghiệm trên D. 
+)Do trong trương trình phổ thông , học sinh không được học và chứng minh nội dung của định lý Rôn nên cách trình bày lời giải bài toán trên là phù hợp nhất .
+)Trong toán học nhiều học sinh khi chứng minh bất đẳng thức cũng đã làm quen với Bất đẳng thức Becnully
Nội dung như sau:
 Nếu thì: 
Dấu bằng xảy ra khi x = 0 hoặc x = 1
Chứng minh :
Xét hàm số f(x) = ax-(a-1)x -1. Ta thấy f(x) liên tục trên R
f’(x) = axlna-(a-1); f’’(x) = ax(lna)2 >0 với mọi x thuộc R. Từ đó suy ra phương trình f(x)=0 không có qua hai nghiệm, mà f(0) = f(1) = 0 nên x = 0; x = 1 là hai nghiệm của f(x) trên R.
suy ra dấu của f(x) như sau + 0 - 1 +
Bất đẳng thức được chứng minh. [2]
Từ kết quả chứng minh trên ta có 
Hệ quả : Ta có 
 ( Gọi là phương trình Bécnuly)
Áp dụng kết quả trên vào giải phương trình 
+ Xét trên 
 dấu bằng khi x = 0 hoặc x = 1
+Xét trên 
 dấu bằng khi x = 0 hoặc x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 1. [2]
Nhận xét :
Với ba cách giải trên ta thấy: hai cách giải bằng hàm số thuần tuý ban đầu là hay hơn cả (kể cả về cách trình bày). Tuy nhiên khi dạy học, đối với những lớp có nhiều học sinh khá giỏi người thầy cũng nên giới thiệu cho học sinh cách thứ ba. Nó có tác dụng gây hứng thú cho học sinh tìm hiểu sâu hơn nữa về toán học sơ cấp. Từ đó giúp các em thấy được cái ta biết chỉ là rất ít, cái ta không biết là nhiều. Làm được như vậy có nhiều ý nghĩa về mặt giáo dục: Một là rèn luyện cho học sinh tính khiêm tốn; Hai là hình thành ở học sinh tính tò mò, khám phá những cách giả mới, chưa hài lòng với những gì mình làm được; Ba là rèn luyện cho học sinh thói quen tự học,tự đọc qua sách vở ngoài những kiến thức được học trên lớp. Từ đó hình thành ở học sinh - những công dân tương lai có trách nhiệm vói chính mình, gia đình và xã hội.
Khi áp dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số do không nắm vững về kiến thức, học sinh thường mắc sai lầm trong giải toán nên thường có những kết luận nghiệm chưa chính xác. Ta lấy thêm một ví dụ mô tả điều đó :
Ví ụ 7 Giải phương trình : (1)
 Sai lầm thường gặp của học sinh :
(1). Ta có f(x) =3x đồng biến, -nb
 f(1) = g(1) nên x = 1 là nghiệm duy nhất . Nhận thấy f(-1) = g(-1) vậy x = -1 cũng là nghiệm . Vậy đâu là sai lầm của lời giải ?
Khi hướng dẫn học sinh sử dụng các tính chất của hàm số người thầy cần nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ: Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biến trên D thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm .Đối chiếu với lời giaỉ trên ta thấy f(x) và g(x) có tập xác định hoàn toàn khác nhau,vì vậy khi áp dụng dẫn đến sai lầm 
Lời giải đúng như sau :
Hàm số f(x) =3x đồng biến trên R 
Hàm số g(x)= nghịch biến trên R\{1/2}
Bảng biến thiên: 
x
- ½ + 
g’(x)
 -	-
g(x)
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm g(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại không quá hai điểm. Nên phương trình f(x)=g(x) có không quá hai nghiệm,mà f(1)=g(1), f(-1)=g(-1).Nên phương trình có hai nghiệm 
Nhận xét:Một trong những ứg dụng nữa của hàm số trong phương trình đó là chứng minh một phương trình mũ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước. Ta xét thêm một số ví dụ sau để chứng minh điều đó 
Ví dụ 8 : Chứng minh rằng phương trình : 
 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt. [3]
Lời giải: 
 Xét hàm số f(x) =. Ta có: , 
, có hai nghiệm x1,x2
Ta có bảng biến thiên :
x
- x1 x2 +
f’(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) =0 có không quá ba nghiệm.
Mặt khác ta có , f(-3).f(-2) <0 nên f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm 
Nhận xét:
Qua hai bài toán trên ta thấy được tính độc đáo và thế mạnh của phương pháp tư duy hàm trong việc giải phương trình .Khi giảng dạy người thầy có thể cho học sinh giải bằng phương pháp khác .Đó là những yêu cầu rất khó đối với học sinh. Từ đó học sinh thấy được vai trò và tính ưu việt của việc sử dụng phương pháp hàm số trong giải phương trình nói riêng và trong giải toán nói chung.
2.3.2. Phương pháp hàm số giải các phương trình mũ có chứa tham số.
Cũng như trong giải phương trình vô tỷ, Việc sử dụng phương pháp hàm số tham gia vào giải các bài toán chứa tham số trong phương trình mũ là một việc cần thiết . Ta xét một số bài toán sau :
Ví dụ 9: Tuỳ theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình sau 
 . [2]
Lời giải: Nhận xét ( 2x2 +4mx+m+2) – (x2+2mx+2) = . (*)
biến đổi phương trình đã cho thành: 
Xét hàm số f(t) = 5t +t, f’(t) =5tln5 +1 >0 nên hàm số f(t) đồng biến .
(*) f(2x2 +4mx+m+2) = f(x2+2mx+2) 2x2 +4mx+m+2 = x2+2mx+2
 (1)
Bài toán quy về Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1) thật đơn giản 
Nhận xét :
Bài toán trên ,ngoài cách giải trên ta còn có thể làm như sau 
Đặt a=2x2 +4mx+m+2; b= x2+2mx+2 suy ra a - b = 
 (*)
Nếu a0 phương trình vô nghiệm 
Nếu a>b Vt>0 , Vp<0 phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm khi a=b hay .
Đây là bài toán và những lời giải hay ,phát huy được sự sáng tạo và tư duy linh hoạt,khả năng quan sát của học sinh.
Ví dụ 10: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 
 . [3]
Lời giải: Điều kiện Đặt t= Ta thấy 
Nên . Bài toán quy về:
Tìm a để phương trình t2-(a+2)t+2a+1 =0 (1) có nghiệm t thoả .
(1)f(t) = . Số nghiệm của phương trình (1) trong bằng số giao điểm của đường thẳng y = a và đồ thị hàm số f(t) = .
Bảng biến thiên : 
 t
- 1 2 3 9
f’(t)
 + 0 - - 0 +
f(t)
 0 
	4
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 
Nhận xét: 
Phương trình trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số :
Phương trình f(x)= m có nghiệm trên khi 
2.3.3.Phương pháp hàm số giải phương trình logarit không chứa tham số:
Cũng như đối với phương trình mũ ,phương trình logarit cũng có nhiều cách giải như:Đưa về cùng cơ số ,Đặt ẩn phụ ,mũ hoá ,đánh giá .... song trong phần này tôi chỉ trao đổi về vấn đề hướng dẫn học sinh vận dụng tư duy hàm trong việc giải phương trình logarit. Chủ yếu vận dụng giải hai phương trình logarít cơ bản sau: 
2.3.3.1. Phương trình dạng: (1). [2]
 + Nếu a = b, (1) (dạng này khá quen đối với học sinh)
 +Nếu ta chia làm hai trường hợp như sau 
*) (a-1)(b-1) < 0. Ta dùng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất áp vào phương pháp hàm số.
*) (a-1)(b-1) > 0. Dùng phương pháp mũ hoá bằng cách đặt t = Dẫn đến phương trình f(t) = At+Bt = 1
Ví dụ 11 :Giải phương trình . [1]
Lời giải: D =, Đặt f(x) = , đồng biến trên D = 
 g(x)=, nghịch biến trên D=
 Mà là nghiệm 
Ví dụ 12: Giải phương trình .
Lời giải: Điều kiện: x>-1
 Đặt =6t 
Xét hàm số f(t) = nhận thấy f(t) nghịch biến trên R
mà f(1) = 1 nên t =1 là nghiệm. Từ đó ta có x = 7 là nghiệm duy nhất 
Ví dụ 13 Câu 35. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt? 
A. 2. 	B. 1. 	C. 3. 	D. 4. [8]
Lời giải: Phương trình đã cho có điều kiện x > - 1 khi đó ta có phương trình mới
.Xét hàm số trên (- 1 ;+ ).
 nên f’(x) = 0 có 2 nghiệm x = 
Ta có bảng biến thiên:
x
- -1 +
f’(x)
 + || 0 - 0 +
f(x)
	 	+
 -
Sử dụng máy tính ta tính được: nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 14 : Giải phương trình (*). [2]
 Lời giải: Điều kiện: x> 0 (*)
Đặt t= 
Thế (2) vào (1) ta có 4t +2t =6t 
Xét hàm số f(t) = nhận thấy f(t) nghịch biến trên R
mà f(1) = 1 nên t = 1 là nghiệm ,thay vào (2) ta có x=16
Nhận xét :
Đối với các phương trình dạng : 
Gọi K là bội số chung nhỏ nhất của m và n.Đặt: 
ta đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đối với x,t từ đó rút x từ hai phương trình ta được phương trình dạng At+Bt =1
Để luyện tập ,ta có thể giải các phương trình sau. 
 1/ 2/
 3/ 4/
Chú ý :
Đối với phương trình dạng (1) 
Nếu b=1 (1) =0 
Nếu b điều kiện 
 trở về phương trình đã xét ở dạng trên .
Ví dụ 15 : Giải phương trình . [9]
Lời giải: Điều kiện: 
Đặt t = 
Xét hàm số f(t) = nhận thấy f(t) nghịch biến trên R
mà f(1) =1 nên t=1 là nghiệm từ đó suy ra x=3
2.2.3.2. Phương trình dạng: 
Ví d