SKKN Phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản

 1. MỞ ĐẦU 
 - Lí do chọn đề tài:	
Trong chương trình THCS thì Toán học là một bộ môn đòi hỏi tư duy cao. Đặc biệt là hình học, đây là môn học yêu cầu các em phải có khả năng lập luận, tư duy tốt. Tuy nhiên đa phần học sinh lớp 7 rất sợ môn Hình học vì các em không biết lí luận mà chỉ quen với việc quan sát, thử nghiệm, đo đạc, vẽ hình để đi đến kết quả, một lí do khác làm cho các em sợ học hình là đa số các tiết lí thuyết vẫn được các em tiếp thu kiến thức mới theo kiểu lớp 6, ít được rèn tư duy suy luận, nhưng sau bài Định lí thì lượng bài tập cần suy luận tăng rõ rệt.
Với học sinh lớp 7 mới được làm quen với nhiều khái niệm, định lí trong hình học. Việc làm cho học sinh tiếp cận với kiến thức mới một cách hào hứng, biết vận dụng những kiến thức lý thuyết đã học để chứng minh một bài toán hình học, từ đó mở rộng, nâng cao bài toán là một yêu cầu cần thiết. Đặc biệt là thành thạo các thao tác vẽ hình chính xác, lập luận dễ hiểu, chặt chẽ và logic. Đồng thời làm cho học sinh thấy bản chất của các kiến thức đã học thông qua lời giải từ một bài toán, cho học sinh nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để thấy được sự phong phú của toán học và thêm yêu thích bộ môn là nhiệm vụ không thể thiếu trong quá trình dạy học của giáo viên.
 Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán 7 trong năm học 2014- 2015 tôi luôn băn khoăn, trăn trở và nhận thấy rằng, cần phải làm cho các em tự tin hơn, không còn có cảm giác khó trong học hình học. Từ đó, không những học sinh chủ động nắm được nội dung kiến thức cơ bản mà còn phải giúp học sinh có được phương pháp học tập đúng đắn.
Nhận thức được tầm quan trọng của bộ môn, và sự cần thiết của việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản. Trong quá trình giảng dạy Hình học 7, tôi đã sử dụng một số bài toán điển hình trong SGK và SBT, nhằm thông qua bài toán này giúp các em khắc sâu, ghi nhớ các kiến thức và tìm ra mối quan hệ giữa các bài toán để từ bài toán cơ bản này có thể chứng minh bài toán có các yếu tố tương tự khác. Đó là lí do tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy cho học sinh qua việc khai thác các bài toán cơ bản" dành cho đối tượng học sinh lớp 7 bước đầu có hiệu quả cao. 
 - Mục đích nghiên cứu: 
Mong muốn cùng bạn bè và đồng nghiệp khám phá những kiến thức phong phú, đa dạng trên cơ sở nền tảng kiến thức cơ bản là SGK, SBT. Qua đó chúng ta có cái nhìn sâu sắc, toàn diện hơn về toán học. Mặt khác đây cũng là cơ hội bồi dưỡng năng lực phát hiện tìm tòi cách giải các bài toán, phát huy khả năng tư duy, óc phán đoán, giúp các em học sinh hình thành tốt các kỹ năng giải toán, và thêm yêu thích bộ môn. 
Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của học sinh. Khơi dậy tính sáng tạo và giải toán của học sinh. 
 Phát triển năng lực tự học, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương pháp giải.
 - Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này giúp khai thác các bài toán cơ bản, phát triển tư duy, chủ động, sáng tạo trong giải toán Hình học cho học sinh lớp 7 năm học 2014-2015- Trường THCS Quảng Phú.
 - Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp thu thập thông tin, xử lí số liệu
 	 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 	Đặc điểm của lứa tuổi học sinhTHCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo. Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá 
trình lâu dài, kiên nhẫn và phải có phương pháp. Tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học của học sinh được thể hiện một số mặt sau:	- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc.	 	- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh.	- Phải có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi tại sao? Do đâu? Như thế 
nào? Liệu có trường hợp nào nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận trên
 có đúng nữa không? Và phải biết tổng hợp các bài toán liên quan.	- Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ở chổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.	 	- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã biết.
	Khi thấu hiểu bản chất nội dung kiến thức, thấy được sự đa dạng phong 
phú của các bài toán Hình học thì các em cảm thấy yêu thích hơn, đi sâu nghiên cứu hơn và sẽ giải được các bài tập một cách hiệu quả hơn. 
 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua nhiều năm giảng dạy, tham khảo học hỏi các đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường, tôi nhận ra rằng: 
- Học sinh yếu toán là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. 	
- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.	 - Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.	 - Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao. 
 - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các giờ luyện tập, tự chọn ...
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán.	
Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp và có hiệu quả.	
Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho học
sinh không chỉ kiến thức, kỹ năng làm bài tập Toán mà còn phải khơi dậy ở các
em lòng say mê , tính tích cực, tự giác trong học tập. Đây không chỉ là vấn đề
của riêng ai. Nhưng làm thế nào để đạt được mục đích đó thì quả là không dễ
chút nào. Chính vì vậy, nhận thấy sự cần thiết phải rèn luyện cho các em năng lực tư duy, độc lập sáng tạo càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh. Trong khi dạy hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán cơ bản nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dưới nhiều góc độ cho một bài toán hình học, cũng như việc khai thác các bài toán xung quanh bài toán cơ bản đó hay phát triển mở rộng các bài toán tương tự. 
Kết quả khảo sát đầu năm khi chưa sử dụng đề tài:
Lớp
Kém
Yếu
TB
Khá
Giỏi
TB trở lên
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
7A(45)
6
13,3
13
28,9
21
46,7
5
11,1
0
0
26
57,7
7B(44)
5
11,4
12
27,3
23
52,2
4
9,1
0
0
27
61,3
 2.3.Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
1. Tạo hứng thú khi giải các bài tập cơ bản trong SGK và khai thác các bài toán tương tự.
Trước hết, trong giảng dạy chính khóa phải giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về các khái niệm, các tính chất hính học để vận dụng giải các bài tập. Việc tạo được niềm say mê, hứng thú trong học tập, bằng cách này hay cách khác chắc chắn sẽ đem lại kết quả học tập tốt hơn nhiều cho mỗi em. Có thể tự tạo hứng thú từ những nhận xét, phát hiện “nho nhỏ” trong quá trình học toán, nhất là các bài tập trong SGK.
Trong quá trình dạy toán, chắc rằng các thầy cô giáo đã có không ít lần gặp các bài toán cũ mà cách phát biểu có thể hoàn toàn khác, hoặc khác chút ít. Những bài toán tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược bài toán mà các bài toán này có cùng phương pháp giải. Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kĩ năng thường xuyên liên hệ một bài toán mới với những bài toán đã biết như bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt...thì sẽ làm cho học sinh phát hiện ra rằng bài toán đó không mới đối với mình nữa hoặc nhanh chóng xếp loại được bài toán từ đó định hướng được phương pháp giải quyết một cách tích cực và chủ động. Sau đây tôi sẽ đưa ra một số ví dụ để giải quyết thực trạng trên và để thể hiện nội dung của đề tài. Ví dụ:
Bài tập 13/SBT Toán 7 (tập 1, trang 99) 
Trên hình vẽ có Ax song song với By, = 50o, = 40o. Tính bằng cách xem nó là góc ngoài của một tam giác.” (xem hình 1)
Lời giải tóm tắt: (xem hình 1’)
Kéo dài AC cắt By tại D. là góc ngoài của tam giác BCD nên:
*Bài toán 1: Bài tập 3/SGK Toán
7 (tập 2, trang 91) : 
 Xem hình 4, cho a // b, = 44o, 
 = 132o. Tính số đo góc COD. 
Chú ý : Tương tự học sinh có thể giải được một bài trong bài toán 5, trang 92, SGK Toán 7, tập 2. 
Bài tập 57/SGK Toán 7 (tập 1, trang 104) 
Cho hình vẽ (a // b), hãy tính số đo x của góc O (xem hình 3). 
Gợi ý:
 Sử dụng kết quả của bài toán 1, ta chỉ cần tính . 
Ở đây tôi muốn trao đổi một bài toán tổng quát hơn.
* Bài toán 2 : Hình 2 cho biết , Ax // By. Chứng minh rằng: 
 Lời giải : Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa tia CB, vẽ tia Cm // Ax. Vì Ax // By => Cm // By => ; (so le trong).
Vậy:   (1). 
Theo giả thiết, => hay tia Cm nằm giữa hai tia CA và CB, do đó :   (2). 
Từ (1) và (2) suy ra 
Nhận xét : 
+ Bài toán 2 cho biết mối quan hệ giữa hai góc với , không phụ thuộc vào số đo của các góc như ở bài toán đặt vấn đề. 
+ Mấu chốt của lời giải là việc kẻ thêm đường phụ Cm song song với Ax. 
+ Đối với học sinh lớp 7 mới được tập dượt chứng minh hình học, nhất là với kiến thức ở chương I - Đường thẳng vuông góc - Đường thẳng song song, thì đây là một bài toán khá hay. Khai thác bài toán, ta có nhiều bài toán tương tự khá thú vị. 
*Bài toán 3: Cho hình 5, 
biết Ax // By và > 180o. Chứng minh rằng: 
 = 360o. 
Gợi ý :
 + Kẻ tia đối Ax’ của tia Ax và tia đối By’ của tia By. Sử dụng kết quả của bài toán 1
 + Cách khác: Kẻ Cm // Ax và chứng minh tương tự bài toán 2 
 2. Giúp học sinh chủ động, sáng tạo khi giải toán hình học
Sau khi giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sách giáo khoa sau đó suy nghĩ đến vấn đề là làm thế nào để học sinh chủ động, sáng tạo khi giải các bài toán hình học thông qua các buổi dạy bồi dưỡng. Cách tôi đã làm là đưa ra các bài tập toán với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kiểm tra năng lực toán học. Đồng thời phù hợp phương pháp dạy học đổi mới theo định hướng tích cực, độc lập, sáng tạo.
Câu trả lời đã trở nên rõ ràng nếu chú ý nhận xét tính đa dạng và phong phú của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa. Trong khuôn khổ bài viết này, tôi xin trình bày thông qua hai ví dụ về bài tập hình học 7 mà tôi đã tiến hành dạy trong một tiết dạy học theo chủ đề tự chọn.
Ví dụ 1: Bài tập kích thích mạnh mẽ tư duy học sinh - loại bài tập tình huống. Ta hãy xét bài tập sau: 
Cho điểm M trên trang giấy và hai đường thẳng d, d’ cắt nhau nhau ngoài trang giấy. Hãy vẽ đường thẳng d’’ đi qua điểm M và giao điểm của d, d’. Nói cách vẽ và giải thích vì sao vẽ được như vậy.
Tình huống của bài tập này là: Học sinh phải vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, trong đó một điểm đã cho trước, còn điểm thứ hai thì chưa xác định được.
Hướng giải quyết bài toán không phải là vẽ giao điểm của hai đường thẳng d và d’ mà là tìm quan hệ giữa đường thẳng phải vẽ (đường thẳng d’’ đi qua điểm M) với những đường thẳng khác có thể vẽ được trên trang giấy.
Quá trình mò mẫm dẫn đến cấu hình ba đường cao đồng quy trong tam giác, từ đó suy ra cách vẽ.
Lời giải (tóm tắt):
Cách vẽ : Vẽ đường thẳng a đi qua M và vuông góc với d’, a cắt d tại A. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với d, b cắt d’ tại B. Vẽ đường thẳng d’’ đi qua M và vuông góc với AB, d’’ là đường thẳng phải vẽ, nó đi qua giao điểm của d và d’ (giao điểm này nằm ngoài trang giấy) vì ba đường cao d, d’, d’’ của tam giác MAB đồng quy.
Cũng có thể giải thích như sau : 
Giả sử giao điểm của d và d’ là C (nằm ngoài trang giấy). Trong tam giác ABC, hai đường cao a và b cắt nhau tại M. Thế thì đường thẳng d’’ đi qua M (trực tâm của tam giác ABC) và vuông góc với AB phải là đường cao thứ ba, vậy d’’ đi qua C. 
 Ví dụ 2 : Ta hãy xét bài tập sau. 
Trên hình vẽ, người ta đã cho biết : AE = CE, BE // CD, = 88o, = 31o. 
a) Tính số đo góc ECD. 
b) Tính số đo góc EDC 
c) Trong tam giác CDE thì cạnh nào lớn nhất ? 
Đây là một bài tập dễ, vận dụng nhiều kiến thức và có nhiều cách giải khác nhau. Nếu đề kiểm tra cuối năm phần hình học lớp 7 được ra theo kiểu này thì chắc chắn học sinh sẽ bộc lộ rõ ràng mức độ nắm vững kiến thức cơ bản, kĩ năng cơ bản của mình và ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng hi vọng giải được hầu hết các câu hỏi của bài toán.
Lời giải (tóm tắt) :
a) = 88o (hai góc đồng vị).
 = 88o - 31o = 57o 
b) Vì tam giác EAC cân nên = 31o. Trong tam giác ABE : 
 = 180o - 88o + 31o = 61o. 
= 61o (hai góc đồng vị). 
c) Trong tam giác CDE : = 180o - (57o + 61o) = 620 
 Vậy cạnh CD lớn nhất. 
Cách giải khác : 
a) Vì tam giác EAC cân nên = 31o. Trong tam giác AEB : = 61o.
Với tam giác BEC : = 88o là góc ngoài ở đỉnh B nên = 88o - 31o = 57o. 
Vì BE // CD nên = 57o (hai góc so le trong) 
b) Vì BE // CD nên = 61o (hai góc đồng vị) 
c) Trong tam giác CDE : = 180o - (57o + 61o) = 62o 
Vậy cạnh CD lớn nhất.
Khi học sinh đã biết cách chủ động trong việc giải các bài tập toán thì cần cho học sinh phát triển các tư duy đó dưới dạng tổng quát để có thể suy luận làm các bài tập từ rất dễ đến khó hơn, từ đơn giản đến phức tạp hơn, tôi xin trình bày chủ đề khai thác yếu tố trung điểm của đoạn thẳng mà tôi đã tiến hành trong một buổi dạy ôn tập tổng hợp cho học sinh.
Để làm được các dạng toán này học sinh cần nhớ khái niệm trung điểm của đoạn thẳng và nhận ra một điểm là trung điểm của đoạn thẳng trên hình vẽ. Ngoài ra phải có khả năng tổng hợp các kiến thức đã học để chứng minh một vấn đề. Xuất phát từ bài toán cơ bản sau: 
Bài toán 1: Cho hình vẽ. 
a- Có nhận xét gì về điểm H và thử chứng minh nhận xét đó.
b- Hãy đặt một đề toán.	
c- Từ đó suy ra cách dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
 Với bài tập này học sinh dễ dàng làm được theo các yêu cầu trên.
* Cách làm trên không những bồi dưỡng cho HS óc quan sát, nhận xét, phán đoán mà còn giúp các em chủ động đặt và giải quyết vấn đề.
- Rèn luyện ngôn ngữ, cách lập luận hình học và năng lực tư duy sáng tạo.
- Rõ ràng so với dạy đại trà thì yêu cầu đã cao hơn ở chỗ: 
+ HS phải sử dụng nhiều kiến thức và kĩ năng như hai tam giác bằng nhau, trung điểm của đoạn thẳng, đường trung trực, đường tròn, kĩ năng sử dụng thước, com pa và tính chính xác trong sử dụng cụ.
+ HS phải vận dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau để chứng minh được điểm đã dựng chính là trung điểm của AB.
+ Học sinh phải vẽ đoạn thẳng AB trước rồi mới dựng trung điểm của nó.
Bài toán 2: Gọi I là trung điểm
 chung của hai đoạn thẳng AC và BD.
 Chứng minh AB = CD và AB // CD.
* Chú ý: 
- Trong hai kết luận nên đưa kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau lên trước thì HS dễ định ra hướng giải quyết hơn.
- Việc HS vẽ hai đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn là không dễ, vì vậy nên hướng dẫn HS cách vẽ, vừa rèn luyện kĩ năng sử dụng dụng cụ, vừa định hướng tư duy cho HS trong quá trình xem xét bài toán (Hầu hết các bài toán hình học, khi có quá trình vẽ hình đúng thì cũng có nghĩa là một ý nào đó của lời giải cũng đã xuất hiện ).
	Sau khi học sinh làm xong bài tập 3, giáo viên đưa ra củng cố theo sơ đồ phân tích ngược:
 AB // CD
 ;AB = CD 
 Xét sự bằng nhau của hai tam giác chứa chúng
Sử dụng dấu hiệu I là trung điểm của AC và BD = 2.BI, hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán 3.
Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông trung tuyến ứng 
với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
* ý tưởng của bài là ở chỗ:
- HS phải chuyển bài toán sang bài toán với kí hiệu toán học (Toán học hoá lời văn ).
- Suy nghĩ điều kiện tồn tại, dấu hiệu đặc biệt.
- HS vẽ nhiều hình để chọn cách vẽ phù hợp.
- Kiểm tra sự vận dụng các bài toán trên vào việc tìm lời giải bài toán.
- HS xây dựng lược đồ chứng minh.
* Lược đồ tìm lời giải: AM = .BC <= BC = 2.AM (AM = BM = MC) Tạo ra một đoạn thẳng bằng 2.AM <= Liên tưởng đến bài toán trên.
* Phương pháp vẽ đường phụ khi có dấu hiệu trung điểm của đoạn thẳng bằng cách sau: “ Tạo ra AK = 2.AM ” đối với các tam giác vuông, nhọn, tù.
3. Hướng dẫn học sinh khai thác các cách giải khác nhau của một bài tập hình học.
 Để khắc sâu lý thuyết, rèn kĩ năng giải toán đồng thời gây hứng thú cho học sinh trong khi học hình học 7, tôi đã có một số cải tiến và cách làm để khai thác bài toán nhằm tìm ra lời giải hay, ngắn nhất và nhìn bài toán dưới nhiều góc độ cho một bài toán hình học.
Bài toán:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Kẻ AH BC (H BC), Từ B, C kẻ các đường thẳng song song với AH chúng cắt đường thẳng thẳng đi qua A lần lượt tại M và N. CMR: AM= AN.
- Trước hết giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình, ghi GT, KL của bài toán:
GT
 có AB=AC
AHBC (HBC)
BM //AN; CN // AH
KL
AM= AN
Nhìn nhận của giáo viên: 
	Nhìn trên hình vẽ BMNC là hình thang do BM //CN (vì cùng song song với AH) và H là trung điểm BC nên AH là đường trung bình 
của hình thang BMNC. Song việc khai thác chứng minh A là trung điểm của MN đối với học sinh lớp 7 khi chưa học vê tính chất hình thang thì quả là một điều không dễ và rất thú vị. Dưới đây là cách nhìn nhận, hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán này:
Định hướng giải quyết bài toán theo phương pháp tạo ra hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AM và AN sau đó chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
* Một cách nhìn nhận trực tiếp:
Cách 1:
* Hạ MEAH ( E AH) AFCN (FCN)
Ta có ME=BH ; AF=HC (1) Mà BH = HC (2) 
(1) và (2) => ME= AF
LạicóAF//ME AM=AN
Cách 2:
* Hạ MEAH ( EAH) NFCN (FAH)
Từ đó chứng minh cho 2 tam giác vuông NAF và MAE bằng nhau suy ra MA= NA
 Hình 2
Cách 3: (xem hình 3)
Qua A kẻ EF//BC dẫn đến r AME = r ANF => AM=AN
Cách 4: Xem hình 4)
 Kẻ AE BM (E BM); NF AH( F AH);
Suy ra rAEM = rNFA( g.c.g).
suy ra AM = AN (2 cạnh tương ứng)
Hình 3
Hình 4
+ Một cách nhìn nhận gián tiếp:
Cách 1: 
Kẻ BE// MN; HF// MN 
Dễ dàng chứng minh được:
 BE = MA ; HF = AN(1)
Ta chứng minh: 
 rBEH = rHFC(g.c.g) 
 BE=HF(2).
Từ (1) và (2) có AM=AN
Cách 2:
Qua H kẻ EF //MN
(E BM; F CN).
Dễ chứng minh được 
EH = AM ; HF = AN (1)
có rBEH= rCFH( g.c.g)
 HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
Cách 3:
Kẻ BE // MN( E AH)
 CF // MN (F AH)
Dễ chứng minh được: 
BE = AM; CF= AN (tính chất đoạn chắn) (1)
Ta chứng minh:
r BEH= rCFH (g.c.g).
 HE = HF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM=AN.
Cách 4:
Kẻ HE // MN( E BM)
 CF // MN( F AH) 
 HE = MA; CF = AN (1)
Ta chứng minh được: 
 rBEH = rHFC( g.c.g).
 HE = HF(2).
Từ (1) và (2) suy ra: AM=AN
Nếu khai thác bài toán theo khía cạnh sử dụng định lí “ đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba" thì bài toán có thể giải quyết theo 7 cách nữa. Tuy nhiên ở lớp 7 học sinh chưa học định lí này, nhưng vẫn có thể chứng minh được, việc đưa vào để khai thác hay không là tùy thuộc giáo viên và thời lượng buổi dạy.
Một điều cần phải nói thêm rằng: Có các cách giải sẽ là tương tự của nhau, nhưng tôi vẫn đưa ra để giúp học sinh khai thác bài toán một cách triệt để.
Bài tập tham khảo.
Bài 1: Cho góc xAy bằng 600, Az là tia phân giác của góc xAy. Từ điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc với Ay (D Ay). Chứng minh rằng BD = AC
Hướng dẫn:
Chứng minh một đoạn thẳng có độ dài bằng một nửa độ daiof của đoạn thẳng khác có các cách giải sau:
Cách 1: Chia đôi đoạn thẳng dài rồi chứng minh một trong hai đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng ngắn.
Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Cần chứng minh AE hoặc EC bằng BD. Điều này có được nhờ ADB = BEA.
Cách 2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn thẳng này bằng đoạn thẳng dài.
(trên tia đối của tia DB lấy