SKKN Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc hướng dẫn tìm tòi lời giải bài toán bất đẳng thức

1.Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài.
“Hội nghị Trung ương Đảng khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo ” đã khẳng định nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng cao dân trí, phổ cập giáo dục phổ thông cho toàn dân, song song nhiệm vụ đó cần phải bồi dưỡng nhân tài, phát hiện các học sinh có năng khiếu ở trường phổ thông và có kế hoạch đào tạo để họ thành những cán bộ khoa học kĩ thuật nòng cốt. “Bồi dưỡng nhân tài” là một nội dung quan trọng trong nhiều nghị quyết của Đảng và Nhà nước đã đặc biệt nhấn mạnh. Không chỉ riêng nước ta, có thể nói, hầu hết các nước đều coi trọng vấn đề đào tạo và bồi dưỡng nhân tài trong chiến lược phát triển chương trình giáo dục phổ thông.
Yêu cầu đó đã đặt ra cho ngành giáo dục ngoài nhiệm vụ đào tạo toàn diện còn có chức năng phát hiện, bồi dưỡng học sinh giỏi (HSG), đào tạo họ trở thành những nhà khoa học mũi nhọn trong từng lĩnh vực. Lĩnh vực toán học, trong nhiều năm nay, trong các kỳ thi quốc tế chúng ta đều có thứ hạng đáng trân trọng, được bạn bè quốc tế đánh giá cao
Thực tiễn ở trương phổ thông, bài tập toán học giữ vai trò rất quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo. Bài tập vừa là mục đích vừa là nội dung lại vừa là phương pháp dạy học hiệu nghiệm. Bài tập cung cấp cho học sinh cả kiến thức, con đương giành lấy kiến thức và cả niềm vui sướng của sự phát hiện- tìm ra đáp số- một trạng thái hưng phấn - hứng thú nhận thức-một yếu tố tâm lý góp phần rất quan trọng trong việc nâng cao tính hiệu quả của hoạt động thực tiễn của con người. Đặc biệt bài tập Toán học theo định hướng phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là phương tiện để tích cực hóa hoạt động của HS trong các bài dạy, giúp HS tự lực giải quyết các vấn đề đặt ra. Bằng cách đó HS vừa nắm được tri thức mới vừa nắm được PP nhận thức tri thức đó, phát triển được tư duy sáng tạo, HS còn có khả năng phát triển vấn đề và vận dụng kiến thức vào tình huống mới góp phần hoàn thiện nhân cách toàn diện cho HS.
	Tuy nhiên, việc thực hiện mục tiêu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo học sinh theo định hướng đổi mới của Bộ giáo Dục và Đào tạo còn gặp nhiều khó khăn. Khối lượng thông tin, tri thức tăng nhanh Tài liệu bồi dưỡng HSG không có một hệ thống chính quy, kiến thức vừa nhiều vừa rộng, Thầy giỏi quá ít, đội ngũ giáo viên (GV) bồi dưỡng HSG chưa đáp ứng được yêu cầu. Nhằm mục đích, BDHSG và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô dạy đội tuyển và học sinh, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc hướng dẫn tìm tòi lời giải bài toán bất đẳng thức”
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
	Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc hướng dẫn tìm tòi lời giải bài toán bất đẳng thức, góp phần đổi mới cách dạy,cách học nâng cao hiệu quả bồi dưỡng HSG. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
-Khách thể nghiên cứu:Quá trình bồi dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức ở trường THPT.
 - Đối tượng nghiên cứu : Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của HSG THPT thông qua việc hướng dẫn tìm tòi lời giải bài toán bất đẳng thức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu 
Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách tham khảo, các đề thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh các năm ... 
2. Nội dung
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 Chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực (định hướng phát triển năng lực) nay còn gọi là dạy học định hướng kết quả đầu ra được bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế. Giáo dục định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực người học. Giáo dục định hướng năng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Chương trình này nhấn mạnh vai trò của người học với tư cách chủ thể của quá trình nhận thức.
Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là ”sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của HS.
Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết quả đầu ra mong muốn. Trong chương trình định hướng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học tập mong muốn thường được mô tả thông qua hệ thống các năng lực (Competency). Kết quả học tập mong muốn được mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá được. HS cần đạt được những kết quả yêu cầu đã quy định trong chương trình. Việc đưa ra các chuẩn đào tạo cũng là nhằm đảm bảo quản lý chất lượng giáo dục theo định hướng kết quả đầu ra.
Ưu điểm của chương trình giáo dục định hướng phát triển năng lực là tạo điều kiện quản lý chất lượng theo kết quả đầu ra đã quy định, nhấn mạnh năng lực vận dụng của HS. Tuy nhiên nếu vận dụng một cách thiên lệch, không chú ý đầy đủ đến nội dung dạy học thì có thể dẫn đến các lỗ hổng tri thức cơ bản và tính hệ thống của tri thức. Ngoài ra chất lượng giáo dục không chỉ thể hiện ở kết quả đầu ra mà còn phụ thuộc quá trình thực hiện.
Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng lực được sử dụng như sau:
- Năng lực liên quan đến bình diện mục tiêu của dạy học: mục tiêu dạy học được mô tả thông qua các năng lực cần hình thành;
- Trong các môn học, những nội dung và hoạt động cơ bản được liên kết với nhau nhằm hình thành các năng lực;
- Năng lực là sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng, mong muốn;
- Mục tiêu hình thành năng lực định hướng cho việc lựa chọn, đánh giá mức độ quan trọng và cấu trúc hóa các nội dung và hoạt động và hành động dạy học về mặt phương pháp;
- Năng lực mô tả việc giải quyết những đòi hỏi về nội dung trong các tình huống: ví dụ như đọc một văn bản cụ thể ... Nắm vững và vận dụng được các phép tính cơ bản;
- Các năng lực chung cùng với các năng lực chuyên môn tạo thành nền tảng chung cho công việc giáo dục và dạy học;
- Mức độ đối với sự phát triển năng lực có thể được xác định trong các chuẩn: Đến một thời điểm nhất định nào đó, HS có thể/phải đạt được những gì?[3]
Sau đây là bảng so sánh một số đặc trưng cơ bản của chương trình định hướng nội dung và chương trình định hướng phát triển năng lực:
Chương trình định hướng nội dung
Chương trình định hướng phát triển năng lực
Mục tiêu giáo dục
Mục tiêu dạy học được mô tả không chi tiết và không nhất thiết phải quan sát, đánh giá được
Kết quả học tập cần đạt được mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá được; thể hiện được mức độ tiến bộ của HS một cách liên tục
Nội dung giáo dục
Việc lựa chọn nội dung dựa vào các khoa học chuyên môn, không gắn với các tình huống thực tiễn. Nội dung được quy định chi tiết trong chương trình.
Lựa chọn những nội dung nhằm đạt được kết quả đầu ra đã quy định, gắn với các tình huống thực tiễn. Chương trình chỉ quy định những nội dung chính, không quy định chi tiết.
Phương pháp dạy học
GV là người truyền thụ tri thức, là trung tâm của quá trình dạy học. HS tiếp thu thụ động những tri thức được quy định sẵn.
- GV chủ yếu là người tổ chức, hỗ trợ HS tự lực và tích cực lĩnh hội tri thức. Chú trọng sự phát triển khả năng giải quyết vấn đề, khả năng giao tiếp,;
- Chú trọng sử dụng các quan điểm, phương pháp và kỹ thuật dạy học tích cực; các phương pháp dạy học thí nghiệm, thực hành
Hình thức dạy học
Chủ yếu dạy học lý thuyết trên lớp học
Tổ chức hình thức học tập đa dạng; chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học, trải nghiệm sáng tạo; đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học
Đánh giá kết quả học tập của HS
Tiêu chí đánh giá được xây dựng chủ yếu dựa trên sự ghi nhớ và tái hiện nội dung đã học.
Tiêu chí đánh giá dựa vào năng lực đầu ra, có tính đến sự tiến bộ trong quá trình học tập, chú trọng khả năng vận dụng trong các tình huống thực tiễn.
Để hình thành và phát triển năng lực cần xác định các thành phần và cấu trúc của chúng. Có nhiều loại năng lực khác nhau. Việc mô tả cấu trúc và các thành phần năng lực cũng khác nhau. Cấu trúc chung của năng lực hành động được mô tả là sự kết hợp của 4 năng lực thành phần: Năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, năng lực xã hội, năng lực cá thể.
(i) Năng lực chuyên môn (Professional competency): Là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Nó được tiếp nhận qua việc học nội dung – chuyên môn và chủ yếu gắn với khả năng nhận thức và tâm lý vận động.
(ii) Năng lực phương pháp (Methodical competency): Là khả năng đối với những hành động có kế hoạch, định hướng mục đích trong việc giải quyết các nhiệm vụ và vấn đề. Năng lực phương pháp bao gồm năng lực phương pháp chung và phương pháp chuyên môn. Trung tâm của phương pháp nhận thức là những khả năng tiếp nhận, xử lý, đánh giá, truyền thụ và trình bày tri thức. Nó được tiếp nhận qua việc học phương pháp luận – giải quyết vấn đề.
(iii) Năng lực xã hội (Social competency): Là khả năng đạt được mục đích trong những tình huống giao tiếp ứng xử xã hội cũng như trong những nhiệm vụ khác nhau trong sự phối hợp chặt chẽ với những thành viên khác. Nó được tiếp nhận qua việc học giao tiếp.
(iv) Năng lực cá thể (Induvidual competency): Là khả năng xác định, đánh giá được những cơ hội phát triển cũng như những giới hạn của cá nhân, phát triển năng khiếu, xây dựng và thực hiện kế hoạch phát triển cá nhân, những quan điểm, chuẩn giá trị đạo đức và động cơ chi phối các thái độ và hành vi ứng xử. Nó được tiếp nhận qua việc học cảm xúc – đạo đức và liên quan đến tư duy và hành động tự chịu trách nhiệm. [4]
Mô hình cấu trúc năng lực trên đây có thể cụ thể hoá trong từng lĩnh vực chuyên môn, nghề nghiệp khác nhau. Mặt khác, trong mỗi lĩnh vực nghề nghiệp người ta cũng mô tả các loại năng lực khác nhau. Ví dụ năng lực của GV bao gồm những nhóm cơ bản sau: Năng lực dạy học, năng lực giáo dục, năng lực chẩn đoán và tư vấn, năng lực phát triển nghề nghiệp và phát triển trường học.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
“Hiền tài là nguyên khí của Quốc gia” vì vậy công việc bồi dưỡng HSG nói chung, bồi dưỡng HSG Toán học THPT nói riêng đang được các cấp quan tâm và coi trọng, khuyến khích và tôn vinh những học sinh đạt thành tích xuất sắc trong các kì thi HSG Tỉnh, Quốc gia ,quốc tế... cũng như thủ khoa của các trường Đại học. Đặc biệt phương pháp bồi dưỡng HSG theo định hướng phát triển năng lực học sinh đang được Đảng, nhà nước chú trọng đổi mới để tiếp cận với thế giới.
-Trong thực tế ở các trường THPT không chuyên thì còn tồn tại nhiều bắt cặp như:
+ Giáo viên chưa tiếp cận nhanh với yêu cầu của sự đổi mới .
+Phương tiện dạy học chưa đáp ứng được yêu cầu của chương trình.
+Tài liệu chính thống để bồi dưỡng HSG không có, kiến thức vừa sâu ,vừa rộng .Trong khi điểm xuất phát của học sinh lại có hạn. Mỗi giáo viên phải tự lần mò, tìm kiếm cho mình phương pháp bồi dưỡng riêng để mong mang lại kết quả tốt nhất. 
Một thực trạng hiện nay trong việc học toán là: Phần lớn các học sinh khi đứng trước một bài toán không biết bắt đầu từ đâu, không biết mình phải giải quyết vấn đề gì; sử dụng giả thiết và kết luận ra sao để biến đổi. Và biến đổi theo hướng nào cũng không ít học sinh lúng túng nên dẫn đến tình trạng biến đổi vòng quanh sau một hồi biến đổi lại quay về cái ban đầu. Đặc biệt, bất đẳng thức là một chuyên đề khó đối với hầu hết học sinh, trong tư duy học sinh cũng gặp nhiều sai sót về mặt suy luận: hoặc mơ hồ không chính xác hoặc thiếu chặt chẽ trong việc vận dụng các điều kiện đã cho; hoặc suy luân trên cơ sở hình thức không bản chất dẫn đến lời giải thiếu chính xác, thừa hoặc thiếu thậm chí tưởng là đúng nhưng thực chất là saiCũng vì vậy nhiều học sinh không thấy hứng thú khi học chuyên đề này. Mặt khác đại đa số học sinh khi tìm được lời giải của bài toán là họ đã thấy thỏa mãn, thì trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán còn phát hiện các lời giải khác nhau và hơn thế có thể sáng tạo các bài toán mới. Do vậy việc dạy cho học sinh biết các phương pháp tìm tòi lời giải các bài toán về bất đẳng thức góp phần rất quan trọng giúp học sinh khắc phục các nhược điểm đã nêu. Song quan trọng hơn là rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt, sáng tạo và những phép suy luận có lý, tạo hứng thú trong học toán và tâm lý tự tin, từ đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh THPT. Đương nhiên việc dạy tìm lời giải bài toán phải thực hiện trong suốt quá trình dạy toán và theo trình tự từ thấp đến cao.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hướng dẫn học sinh nhìn nhận một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau để tìm tòi các lời giải 
Ví dụ 1.“Chứng minh rằng với mọi ”. (1) [4].
Cách 1. Nhìn nhận bất đẳng thức dưới dạng biểu thức tọa độ của tích vô hướng, ta có cách giải sau
Đặt . Khi đó ; 
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
. Bất đẳng thức này luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng 
Cách 2.Nhìn nhận dưới dạng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp –xki
Ta có từ đó ta có điểu phải chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi .
Cách 3. Bình phương hai vế của bất đẳng thức 
. Bất đẳng thức này luôn đúng.
Dấu “= ” xảy ra khi 
Cách 4. Biến đổi bất đẳng thức như sau 
Sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TBN sang TBC của bất đẳng thức Cauchy
Ta có 
 ; 
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
Có sự định hướng đúng đắn và áp dụng sáng tạo ví dụ 1 ta có thể giải quyết tốt ví dụ sau:
Ví dụ 2. Với a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức sau
 (2) [4]
Cách 1. Nhìn nhận bài toán dưới dạng sử dụng kỹ thuật giảm biến: Tìm dấu “=” xảy ra. Từ biểu thức ta có thể dự đoán dấu “=” xảy ra khi b = c. Khi đó đến đây ta có dấu “=” khi a = b.
Vậy dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Định hướng giải quyết bài toán bằng kỹ thuật giảm biến, giảm từ 3biến a, b, c về 2 biến b, c.
Ta có 
Áp dụng BĐT ở ví dụ 1 ta có 
Khi đó . Đặt . Ta được . Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy Khi a = b = c.
Cách 2. Nhìn nhận BĐT dưới dạng đồng bậc, ta có cách giải đơn giản sau:
Ta có thể giả sử abc =1. Khi đó 
Áp dụng BĐT ở Ví dụ 1. Ta được
Vậy khi a = b = c.
Cách 3. Áp dụng BĐT (1) ta có 
Vậy khi a = b = c.
Ví dụ 3. “Nếu a, b, c, là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì 
” (3) [5].
Cách 1. Ta có 
Tương tự, ta có 
Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nên tất cả các vế của các BĐT trên đều dương. Nhân các vế tương ứng ba BĐT trên, ta được 
[5].
Khai căn bậc 2 hai vế ta được BDDT cần chứng minh.
Cách 2. Đặt ẩn số phụ
Đặt , , 
BĐT cần chứng minh tương đương với (3’)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp hai số không âm, ta được
, , . Nhân các vế tương ứng của ba BĐT dương cùng chiều trên ta được (3’).
Cách 3. Nhìn nhận BĐT (3) dưới góc nhìn công thức diện tích
Ta có Để chứng minh (3) ta chỉ cần chứng minh BĐT quyen thuộc (3”)
Cách 4. Đánh giá từ TBN sang TBC theo BĐT cauchy
Ta có
Nhân các vế tương ứng của ba BĐT dương cùng chiều trên ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ 4. ĐH khối A năm 2013. “Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: ” (4) [2].
Nhận xét: VT của BĐT (4) gợi cho ta đến phương pháp Vector. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = .
Với mọi vector , ta có (*)
Đặt . Áp dụng BĐT (*) ta có 
. Vậy
Cách 1. Ta có 
Với .
Xét hàm số giảm trên hay . Do đó . Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = .[2]
Cách 2. Ta có 
Cách 3. Ta có 
Tương tự, ta cũng có , 
Do đó ++
(ở đây ta áp dụng BĐT (*) và BĐT ).
Cách 4. VT của BĐT cũng gợi cho ta nghĩ đến BDT Bu-nhi-a-côp-xki
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki, ta có
, tương tự ta cũng có 
. Do đó 
Vậy .
Ví dụ 5. HSG Thanh Hóa 2013 – 2014. “Cho là các số thực dương .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 ”  [2].
Ta có 
Cách 1. Đặt ta có Xét hàm số với 
Ta có ; 
Bảng biến thiên 
Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN của P bằng khi [2]
Cách 2. Ta có . Do đó GTLN của P bằng khi 
Ví dụ 6. HSG Thanh Hóa 2012 – 2013. Với là các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng  [2].
Cách 1. 
Ta có : 
Đặt 
Ta có : 
Suy ra : 
Chứng minh tương tự ta có :
 ; 
Từ đó suy ra : (đpcm)
Cách 2. Ta có 
Ta có : 
Mà suy ra : 
(đpcm)
2.3.2. Hướng dẫn học sinh phân tích và biến đổi kết quả để tìm phương hướng giải bài toán.
Bằng cách này ta tìm cách thay bài toàn đã cho bằng bài toán mới tương đương nhưng đơn giản hơn và giải được. Vì bằng cách này ta đã tìm được các phép biến đổi ngược với tác giả bài toán, nên tất nhiên sẽ dẫn ta tới con đường tìm ra lời giải bài toán
Ví dụ 7: “Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì ta có 
” [4].
Tìm tòi lời giải: Phân tich yêu cầu bài toán ta thấy, từ có thể tìm thấy hoặc , nhưng do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta sẽ sử dụng để có thể áp dụng định lý hàm số côsin. Ta có hay . Vậy BĐT cần chứng minh tương đương với . Đến đây ta được BĐT đúng (vì cos2C ≤ 1)
Ví dụ8: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC thì 
 (*) [4].
 Tìm tòi lời giải: Biến đổi (*) ta có: 
. Điều này đúng vì do a, b, c là 3 cạnh của tam giac nên mỗi thừa số ở VT của BĐT cuối cùng là đúng.
 Chú ý rằng : Nếu từ (**) ta sử dụng định lý hàm số cosin thì cũng được BĐT đúng
Ví dụ 9. Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác, chứng minh:
│ + +│ < 1 [1].
Tìm tòi lời giải: Vì x, y, z là độ dài 3 cạnh của tam giác nên
 ││ <1; ││ < 1 ; ││ <1. Suy ra │ . .│ < 1. Nếu gọi + + và . . ta hy vọng A = ±B. Ta hãy kiểm tra điều dự đoán xem có đúng không?
 Ta có A = + + = + + 
 = + = 
 = . . = - . . = - B
 Vậy điều dự đoán của ta là đúng. Từ đó ta có đpcm
2.3.3. Định hướng để học sinh huy động các kiến thức liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán
Ví dụ 10. Chứng minh: với n là số tự nhiên, ta có 
 [6].
Tìm tòi lời giải : Gọi Rõ ràng ở đây ta không thể nghĩ đến chuyện biến đổi tương đương BĐT đã cho. Nhưng biểu thức 
( với k = 1, 2, n-1) gợi cho ta độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng n và cạnh góc vuông kia bằng k. Lại để ý rằng biểu thức n2 gợi cho ta có thể sử dụng công thức diện tích hình tròn để chứng minh BĐT với chú ý rằng 
là diện tích của hình chữ nhật có một cạnh bằng 1 và cạnh kia bằng ak. Khi đó Sn-1 là tổng diện tích của (n-1) hình chữ nhật tạo nên một hình bậc thang nội tiếp trong đường tròn OAB có bán kính bằng n. Rõ ràng Sn-1 < n2 .(1) 
Ví dụ 11. “Cho 2n số dương Chứng minh rằng:
” [6].
Định hướng 1. Trong hệ tọa độ Oxxy, là độ dài đường chéo của hình chữ nhật với 
Khi đó . Hay 
.
Định hướng 2. Các biểu thức gợi cho ta độ dài của vector và gợi cho ta độ dài vector tổng của các vector , với k = 1, 2, .., n. Từ đó định hướng cho ta lời giải về sử dụng kiến thức vector.
Ví dụ 12. “Cho các số phức thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ” [2].
Định hướng tìm tòi lời giải.
Từ giả thiết , gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức . Khi đó 
là tam giác vuông cân tại O.
Yêu cầu của bài toán nhỏ nhất.
Bài toán trở thành tìm GTNN của biểu thức với OAB là tam giác vuông cân tại O, OA = OB = 6. Đến đây những học sinh giỏi sẽ phát hiện ra M chính là điểm Toricelli của tam giác OAB. Khi đó GTNN của P là .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Hướng dẫn tìm tòi lời giải bài toán bất đẳng thức theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ và ST là phương tiện để tích cực hóa hoạt động của HS trong các bài dạy, giúp HS tự lực GQVĐ đặt ra.