SKKN Phương pháp hàm số giải một số bài toán cực trị về góc và khoảng cách ở hình học tọa độ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH Ở HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Người thực hiện: Nguyễn Sỹ Duẩn
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
Nội dung
Trang 
1. MỞ ĐẦU 
2
1.1. Lý do chọn đề tài .
2
1.2. Mục đích nghiên cứu.
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.1.1. Các công thức về khoảng cách và góc:
3
2.1.2. Các dạng bài toán
3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 
4
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
5
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số ở phương trình tham số của đường thẳng 
5
BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng 
9
BÀI TOÁN 3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian
10
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt phẳng trong không gian. 
12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động dạy học: 
14
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
14
3.1. Kết luận. 
14
3.2. Kiến nghị 
14
Tài liệu tham khảo
15
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
Hình học ở chương trình THPT là môn học mà đa số học sinh đều cảm thấy khó tiếp thu kiến thức đặc biệt là phần tính khoảng cách và tính góc. Các em thường gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu.
Khi giải các bài toán về khoảng cách và góc lớn nhất, nhỏ nhất ở hình giải tích lớp 10 và lớp 12 thì đa số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn ở phương pháp sử dụng hình vẽ để so sánh độ dài đoạn thẳng với nhau và so sánh góc với nhau, việc này đòi hỏi ở học sinh phải có khả năng tư duy tốt trong hình học dặc biệt là trong không gian. Trong khi đó nếu học sinh sử dụng tham số để đưa về xét hàm thì nhiều bài toán trở nên đơn giản và sẽ tránh được việc phải sử dụng hình vẽ phức tạp.
Trong sách bài tập và nhiều tài liệu tham khảo ở các bài toán này chủ yếu sử dụng phương pháp hình học, điều này là khó đối với đa số học sinh.
Từ thực tế giảng dạy, khi đưa ra các bài toán về góc và khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất gải bằng cách đưa về xét hàm số thì học sinh đều có khả năng tiếp thu và cảm thấy hứng thú với phương pháp này.
Từ những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phương pháp hàm số giải một số bài toán cực trị về góc và khoảng cách ở hình học tọa độ ” góp phần giúp học sinh và đồng nghiệp học tốt và dạy tốt môn hình học lớp 10 và 12.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải nhanh các bài tập về khoảng cách và góc lớn nhất, nhr nhất.
Việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp cho giáo viên và học sinh có thêm công cụ để giải quyết một số bài tập về cực trị trong hình học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Đề tài sẽ nghiên cứu về việc tìm khoảng cách và góc lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học tọa độ phẳng và tọa độ trong không gian.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài được xây dựng dựa trên các công thức về góc, khoảng cách. Các ví dụ được đưa ra từ dễ đến khó và được phân chia theo các dạng bài tập sử dụng tham số của đường thẳng, sử dụng tọa độ vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương, từ đó biến đổi đưa về tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Đề tài sử dụng phương pháp thống kê và xử lý số liệu: Thống kê các bài toán ở cùng một dạng và đưa ra cách xử lý bài toán đó.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Các công thức về khoảng cách và góc:
* Cho và M(. Khi đó : 
* Đường thẳng có vtpt ( hoặc vtcp ) ; có vtpt ( hoặc vtcp ) .
 Gọi là góc của hai đường thẳng. Khi đó: ( )
* Cho (P): và M() , Khi đó: d(M, (P)) = 
* Cho (P) có vtpt và (Q) có vtpt . Gọi giữa hai mặt phẳng
* Cho (P) có vtpt và dường thẳng có vtcp là . Gọi là góc của (P) và 
2.1.2. Các dạng bài toán:
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số ở phương trình tham số của đường thẳng.
BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng.
BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt phẳng trong không gian.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Ở một số bài tập thì học sinh chọn cách vẽ hình để tìm lời giải, tuy nhiên đây là cách mà học sinh phải có tư duy tốt trong hình học.
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z +5 = 0 và đường thẳng d:. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d sao cho tạo với (P) một góc nhỏ nhất.
Giải:
Cách 1 ( Sử dụng hình vẽ):
d cắt (P) tại I, 
Lấy A thuộc d rồi kẻ 
 góc giữa d với (P) là góc AIH
Kẻ góc giữa với (P)
Là góc AKH
Ta có sinAKH= 
 góc góc giữa với (P) lớn nhất
bắng góc AIK.
Ta có d có chỉ phương là ; (P) có vectơ pháp tuyến là 
sinAIK = góc AIK = . Ta viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc bằng . 
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(-1;-1;3) và N(1;0;4)
Giả sử mặt phẳng : (). Vì đi qua M và N nên:
 phương trình 
có vectơ pháp tuyến là ; (P) có vectơ pháp tuyến là .
Gọi là góc giữa hai mặt và (P). Khi đó: 
 (chọ b= 1) .
Cách 2: (sử dụng phương pháp hàm số)
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(-1;-1;3) và N(1;0;4)
Giả sử mặt phẳng : (). Vì đi qua M và N nên:
 phương trình 
có vectơ pháp tuyến là ; (P) có vectơ pháp tuyến là .
Gọi là góc giữa hai mặt và (P). Khi đó: 
Ta có nhỏ nhất lớn nhất
TH1: 
TH2: 
Ta xét hàm (với ) 
; ; 
So sánh hai trường hợp trên ta thấy lớn nhất khi (chọn b =1)
Phương trình mặt phẳng .
Nhận xét: Rõ ràng ở cách 1 đòi hỏi ở học sinh phải có tư duy rất cao trong không gian.
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
BÀI TOÁN 1: Sử dụng tham số t ở phương trình tham số của đường thẳng:
1) Phương pháp:
Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng về phương trình tham số và chọn điểm thuộc đường theo tham số t.
Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách, góc và xét hàm số theo biến t.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho và hai điểm A(1;1), B(0;2). Tìm toạ độ điểm M trên sao cho :
a) có giá trị nhỏ nhất. b) Tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
Giải: 
 có phương trình tham số: .
a) 
 có giá trị nhỏ nhất bằng .
b) Ta có: AB = , phương trình AB: . Chu vi tam giác MAB nhỏ nhất khi và chỉ MA + MB nhỏ nhất.
MA + MB = . Xét hàm 
Ta có: 
Bảng biến thiên: 
 t 1/7 
 - 0 +
Từ bảng biến thiên suy ra MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi 
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0;2), B(0;3) và đường thẳng d:. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt d sao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất.
Giải: 
Đường thẳng d có phương trình tham số: 
Giả sử cắt d tại đường thẳng phương trình : 
Bảng biến thiên:
 t 0 1 
 - 0 + 0 -
 1 
 0 
Từ bảng biến thiên .
Ví dụ 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(1;01), B(2;1;0) và đường thẳng . Tìm điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến AB là nhỏ nhất.
Giải:
Điểm . Ta có: ; 
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;3;2), B(6;-1;-2), C(-1;-4;-3) và D(1;6;-5). Tìm điểm H trên đường thẳng CD sao cho tam giác ABH có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Ta có: phương trình đường thẳng CD: 
; ; 
Chu vi tam giác HAB nhỏ nhất khi và chi khi HA + HB nhỏ nhất.
HA + HB = 
Ta có: 
Bảng biến thiên:
 t - 1 
 - 0 +
Từ bảng biến thiên .
Ví dụ 5:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng . Trong số các đường thẳng đi qua A và cắt d, hãy viết phương trình mà khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử là đường thẳng qua A và cắt d tại M
Ta có : 
Xét hàm . Ta có 
Bảng biến thiên:
 t -2 30/11 
 + 0 - 0 +
 48 
Từ bảng biến thiên ta có: và 
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó lớn nhất là 
Đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đó nhỏ nhất là 
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;0) và điểm B(0;2;1). Tìm trên trục Oz điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Giải: Điểm M thuộc Oz nên M(0;0;t), khi đó: , 
MA + MB = 
 t 1/3 
 - 0 +
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: MA + MB nhỏ nhất .
BÀI TOÁN 2: Sử dụng vectơ pháp tuyến của đường thẳng trong mặt phẳng:
1) Phương pháp: 
Bước 1: Đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến có phương trình: 
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách, góc và đưa về hàm theo biến t =.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;0), B(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến là lớn nhất.
Giải: 
Đường thẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến có phương trình:
TH1: 
TH2: (với ) 
 t -1 1 
 - 0 + 0 -
 1 2
 0 1
Bảng biến thiên:
So sánh hai trường hợp trên ta thấy lớn nhất khi và chỉ khi 
( chọn ) .
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
Đường thẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến có phương trình:
; ()
.
(vì và )
xét hàm: (với ) 
 t 1/2 
 - 0 +
 8 
bảng biến thiên: 
Từ bảng biến thiên ta có: (chọn )
Vậy: .
 BÀI TOÁN3: Sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
1) Phương pháp:
Bước 1: Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng là và sử dụng giả thiết để tìm mối liên hệ giữa a, b, c.
Bước 2: Sử dụng công thức khoảng cách, góc và dưa về xét hàm số.
2) các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;1), B(1;1;1) và 
(P): x + y – z = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là lớn nhất. 
Giải: 
Gọi là vectơ chỉ phương của và là vectơ pháp tuyến của (P).
Ta có: 
TH1: 
TH2: (Với ). Xét hàm: 
Ta có: ; ; 
So sánh hai trường hợp trên thì: đạt giá trị lớn nhất (chọn a = 1).
Phương trình 
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Cho hai điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0. Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi là đường thẳng đi qua A và song song với (P). Gọi là vectơ chỉ phương của và là vectơ pháp tuyến của (P).
Ta có: 
TH1: 
TH2: (Với ). Xét hàm: 
Ta có: 
Ta có: ; ; 
So sánh hai trường hợp trên thì (chọn b = 11 thì c = -2 )
BÀI TOÁN 4: Sử dụng vectơ pháp tuyến ở phương trình của mặt phẳng trong không gian.
1) Phương pháp: Gọi phương trình mặt phẳng có dạng: (),rồi sử dụng giả thiết để đưa phương trình về hai hoặc ba tham số .
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến lớn nhất. 
Giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm M(1;0;2) và N(-1;-1;0)
Giả sử mặt phẳng : (). Vì đi qua M và N nên:
 phương trình 
TH1: 
TH2: (với )
Ta có 
So sánh hai trường hợp trên ta thấy lớn nhất 
(chọn )
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-3;0;-3) và 
 B(0; 4; -4).Viết phương trình mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến lớn nhất.
Giải:
Giả sử mặt phẳng : (). Vì đi qua A nên: 
Ta có:
 ( chọn )
phương trình (): 
Ví dụ 3:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: . Viết phương trình mặt phẳng () chứa d và tạo với trục Oy góc lớn nhất.
Giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm là A(1;-2;0), B(0;-1;2)
Giả sử mặt phẳng : (). Vì đi qua A và B nên:
 phương trình 
có vectơ pháp tuyến là ; Trục Oy có vectơ chỉ phương là 
Gọi là góc giữa hai mặt và trục Oy. Khi đó: 
TH1: 
TH2: . Ta có (với ) đạt giá trị lớn nhất (chọn a = 1 thì b = -5).
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động dạy học:
Sau khi giảng dạy phương pháp trên thì đa số học sinh đều tiếp thu được kiến thức và biết vận dụng vào các bài toán. Dưới đây là bảng kết quả thu được qua hai bài khảo sát trước và sau khi cho học sinh vận dụng kiến thức trong sáng kiến kinh nghiệm ở hai lớp giảng dạy.
 Điểm
Lớp
8 – 10
5 -7
Dưới 5
Lớp 10A1
(46 HS)
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
18HS = 39,1%
30HS = 65,2%
20HS = 43,5%
12 HS =26%
8HS = 17,4%
4HS = 8,8%
Lớp 12A1
(46 HS)
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
Sử dụng pp khác
Sử dụng pp trong SKKN
10HS = 21,7%
20HS = 42,5%
28HS = 60,1%
21HS = 45,7%
8HS = 18,2%
5HS = 11,8%
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần làm rõ được hai bước: Chọn tham số thích hợp và biến đổi đưa về việc xét hàm số. Học sinh phải được tiếp cận phương pháp từ dễ đến khó từ đó gây sự hứng thú cho học sinh.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
“ Phương pháp hàm số giải một số bài toán cực trị về góc và khoảng cách ở hình học tọa độ ” có thể chuyển những bài toán phức tạp về bài toán đơn giản, ngắn gọn, giúp học sinh có hứng thú với môn hình học. 
Đề tài này được áp dụng với nhiều đối tượng học sinh. 
3.2. Kiến nghị.
Sáng kiến kinh nghiệm cần được các giáo viên và học sinh sử dụng ở các buổi dạy có nội dung liên quan.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Sỹ Duẩn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. Sách bài tập hình nâng cao lớp 10 - Nhà xuất bản giáo dục.
 2. Sách bài tập hình nâng cao lớp 12 - Nhà xuất bản giáo dục.
 3. Trần Phương . Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn toán tập 2. NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2009
 4. Nguyễn Thị Thu Hương (2010). Một số bài toán cực trị hình học không gian; Tuyển chọn theo chuyên đề toán học & tuổi trẻ (quyển 5). NXB Giáo Dục Việt Nam.