SKKN Phân tích một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi ứng dụng đạo hàm để giải toán và cách khắc phục

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÂN TÍCH MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 KHI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN VÀ 
CÁCH KHẮC PHỤC
Người thực hiện: Đỗ Thị Hồng Hạnh
Chức vụ: Hiệu trưởng
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ - NĂM 2017
MỤC LỤC
Phần 1: Mở đầu
1
Lý do chọn đề tài
1
Mục đích nghiên cứu
1
Đối tượng nghiên cứu
1
Phương pháp nghiên cứu
1
Phần 2: Nội dung
Chương I: Cơ sở lí luận
2
2
1. Nội dung chương trình
2
1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số
2
. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến
2
1.3. Công thức tính đạo hàm
2
1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số 
2
1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số
3
1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số 
3
1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
3
2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
4
Chương II:	Thực trạng của đề tài
4
Chương III: Biện pháp thực hiện và kết quả của đề tài
4
I. Biện pháp thực hiện
4
II. Nghiên cứu thực tế
6
1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
6
1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
6
1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
8
 1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
9
 1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
10
 1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
13
 1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
15
2. Bài tập tương tự.
15
 Kết quả nghiên cứu
16
Phần 3: Kết luận và kiến nghị
18
Tài liệu tham khảo
20
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình toán phổ thông, đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình Giải tích lớp 12. Đạo hàm là một công cụ để giải quyết rất nhiều bài toán trong các đề thi THPT QG cũng như trong các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh.
Mặc dù ứng dụng của đạo hàm rộng như vậy, nhưng trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn đến việc vận dụng đạo hàm để giải quyết các tình huống trong các bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Các em thường hay mắc những sai lầm do không hiểu rõ bản chất của các kiến thức liên quan đến đạo hàm. Ví dụ, khi mới học về cực trị, học sinh thường hiểu rằng cực đại của hàm số luôn lớn hơn cực tiểu; hay mặc định cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số...
Từ thực trạng trên, để giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "Phân tích một số sai lầm của học sinh lớp 12 khi ứng dụng đạo hàm để giải toán và cách khắc phục "
II. Mục đích nghiên cứu.
Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để giải toán giải tích lớp 12 .
IV. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1. Nội dung chương trình (Chương I - Giải tích 12 - Ban cơ bản)
 	Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
 	1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:
 + Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, 
x1 < x2 f(x1) < f(x2).
 + Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2 thuộc K, 
x1 f(x2).
 	1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:
 + Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x).
 + Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D.
 	1.3. Công thức tính đạo hàm:
 Hàm số hợp có đạo hàm y ' = (*)
 + Công thức (*) chỉ đúng với số mũ là hằng số.
 + Nếu không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
 	1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
 + Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K.
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
 a. Nếu f '(x) > 0 với thì hàm số f(x) đồng biến trên K.
 b. Nếu f '(x) < 0 với thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.
 c. Nếu f '(x) = 0 với thì hàm số f(x) không đổi trên K.
 * Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần.
	Định lí mở rộng: nếu hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K, (), và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến(nghịch biến) trên K.
 	1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số:	
 + Định lí 1: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = và có đạo hàm trên K hoặc trên , với h > 0.
 a. Nếu f '(x) > 0 trên khoảng và f '(x) < 0 trên khoảng thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).
 b. Nếu f '(x) 0 trên khoảng thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).
 + Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với h > 0. Khi đó: 
 a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu
 b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
 * Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
 	1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số: 
 , 
 * Nếu (hay ) nhưng không 
 (hay ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, m (hay M) không phải là giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D.
 * Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x):
+ Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0) (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0.
 + Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: 
y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ: (*,*)
 * Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (*,*). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
 	2. Sai lầm thường gặp khi giải toán.
 	2.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số. 
 	2.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
 	2.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ thực.
 	2.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b).
 	2.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi sang bài toán không tương đương.
 	2.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số.
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 	Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau:
 	- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
 	- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
 	- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
 	- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D.
 	- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. Biện pháp thực hiện.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt.
	- Phân tích kỹ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
	- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
	- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
	- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
	2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
 	- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
 	- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
 	- Phương pháp: phương pháp phân tích, tổng hợp, tìm đoán, loại trừ, quy lạ về quen.
	3. Đổi mới phương pháp dạy học (Lấy học sinh làm trung tâm).
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
 	4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá.
 - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 4 mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng thấp - vận dụng cao.
 - Giáo viên đánh giá học sinh.
 - Học sinh đánh giá học sinh.
	5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 	6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 	- Hệ thống kiến thức cơ bản.
 	- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 	- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 	- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. Nghiên cứu thực tế.
	1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa.
 	1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số.
* Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1:
Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
-1
Bảng biến thiên:
x
-∞
 +∞
y '
+
1
+
y
1
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
 Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán! Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D, 
x1 < x2 f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 và 
x2 = 0 thì x1 - 1 = f(x2) ?
Lời giải đúng là:
Tập xác định: 
Ta có: 
1
1
Bảng biến thiên:
x
-1
y '
+
+
y
Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
* Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2:
Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: ; 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
-2
 2
-1
1
-3
x
y '
	-
 0
+ 0
-
y
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? Thực ra ở đây - không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: . Ta có: 
2
1
-3
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
y '
+ 0
 - 
y
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
 	1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức.
* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
Chứng minh rằng: tanx > x, với 
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với .
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, vậy sai lầm nằm ở đâu(?). Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng thì vì sao từ x > 0 f(x) > f(0) ??? 
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn (tức là f(x) liên tục trên và f '(x)> 0 với ) thì với 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = tanx - x, với . 
Ta có: f '(x) = , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ x > 0 f(x) > f(0) tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với . 
* Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: 
Chứng minh rằng nếu với , x > - 1 thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên . Suy ra hàm số h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên . Suy ra, từ x > - 1 h(x) > h(-1) hay . 
Phân tích: 	
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ,, dấu "=" xảy ra chỉ tại x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Từ x > - 1 f(x) > f(-1) hay . 
 	1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm.
* Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x.với 
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có y' = .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
Điều kiện: (khi đó y > 0)
Từ y = (2x+1)x 
* Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1.
Một số học sinh trình bày như sau:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y = suy ra y ' = 
y '(-1) = .
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết là không đúng (!). 
Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có 
Ta có y3 = x2 (y3)'= (x2)' 3.y2 y ' = 2x y ' = y '(-1) = - 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
 	1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.
* Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 - mx2 + x- 1 đồng biến trên .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = .
y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên 
 .
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên , nhưng y ' = 3x2 , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0 (!). Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). 
Lời giải đúng là:
Hàm số đồng biến trên 
 .
* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
 Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2.
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
0
0
0
x
- ∞ 
 + ∞ 
y '
 +
 -
y
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)
Vậy lời giải trên sai ở đâu ???
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. Lí do là điều kiện f ''(x0) 0), khi đó:
 là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
 xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 v m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 v m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
 v m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0.
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx.
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: 
hệ vô nghiệm m.
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: 
Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1 
y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
0
0
1
x
y '
 -
 +
y
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (!)
Lời giải đúng là:
 Cách 1: 
Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì (với h > 0)
(1) (1')
(2) (2')
Từ (1') và (2') suy ra m = 0
Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
‚ Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0)
 v m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 x = 0.
Bảng biến thiên:
0
0
1
x
y '
 -
 +
y
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
 v m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
 v m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 0 x = 0 hoặc x = - . Lập bảng biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0.
Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0.
 	1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
* Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = .
Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt t = = t2 - 2.
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 
Vậy , khi t = - 1.
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), .
Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để = - 1 (!)
Nhớ rằng, số 
Lời giải đúng là: 
Đặt t = , với .
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = 1
Khi đó: = t2 - 2. 
Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3. 
Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với ):
-1
-2
2
0
t
g '(t)
-
 - +
+
g(t)
 -3
5
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: = = - 3
Đạt được khi t = - 2 
1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Ví dụ minh họa 11: 
Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có